Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 506, № 2, стр. 46-51

БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ В НЕДИСПЕРГИРУЮЩИХ СИЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Е. Н. Пелиновский^1, *, О. В. Капцов^2, **

¹ Институт прикладной физики Российской академии наук
Нижний Новгород, Россия

² Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук
Красноярск, Россия

^* E-mail: pelinovsky@appl.sci-nnov.ru
^** E-mail: kaptsov@icm.krasn.ru

Поступила в редакцию 19.06.2022
После доработки 19.06.2022
Принята к публикации 27.06.2022

EDN: VVMIZY
DOI: 10.31857/S2686740022070082

Полный текст (PDF)

Аннотация

Обсуждаются методы получения бегущих волн в сильно неоднородных средах в рамках линейного волнового уравнения с переменной скоростью распространения (скоростью звука). Показано, что существует достаточно широкий класс изменений скорости распространения, допускающих существование волн, не испытывающих отражения несмотря на сильную неоднородность среды. При этом форма волны и ее характеристики меняются с расстоянием. Такие волны способны переносить энергию на большие расстояния без потерь.

Ключевые слова: волны в недиспергирующих средах, волновое уравнение, неоднородная среда, бегущие волны

Как известно, решения волновых уравнений типа u(x–t), где x – пространственная координата и t – время, описывают бегущие волны, не меняющиеся с расстоянием. Нахождение таких решений в рамках одномерной теории проводится в рамках обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае, нелинейных, с помощью методов динамических систем. Если среда является неоднородной или нестационарной в направлении распространения волны, то исходные уравнения содержат переменные параметры, и решения типа u(x–t) не существуют. Физически это связано с эффектами отражения, рассеяния и дифракции, отбирающими энергию от бегущей волны. В то же время, если среда меняется достаточно медленно во времени или плавно в пространстве, то бегущие волны с переменной амплитудой находятся приближенно с использованием методов типа геометрической оптики или акустики; см., например, [1]. При этом сохраняется поток волновой энергии, что и позволяет найти характеристики волны в явном виде. Существует, однако, конечное число примеров, допускающих существование бегущих волн и в неоднородных средах со специальными законами изменения характеристик среды в пространстве. Такие примеры известны для акустических волн [2, 3], поверхностных волн на воде [4 , 5], волн в неоднородном потоке [6], внутренних волн в стратифицированной жидкости [7], волн в атмосфере Земли и Солнца [8, 9], а также электромагнитных и плазменных волн [10–12]. Для их нахождения используются различные методы, в том числе алгебра Ли и трансформационные методы [13–19]. Однако возникает вопрос, насколько широк диапазон изменения параметров среды, допускающих существование бегущих волн.

В настоящей работе мы рассматриваем классическое линейное волновое уравнение с переменной скоростью распространения (скоростью звука). Основная идея получения решений в виде бегущих волн связана с преобразованием волнового уравнения с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами, в рамках которых существование бегущих волн становится очевидным. Эта модель с использованием “одноточечной” трансформацией кратко описана в разделе 1. Возможен и другой путь трансформационных преобразований, когда уравнения с постоянными коэффициентами получаются в рамках “двойной” или более сложной трансформации (факторизации). В частности, исходное одномерное волновое уравнение с переменной скоростью звука сводится к уравнению для сферически симметричных волн, а затем уже к уравнению с постоянными коэффициентами (раздел 2). Такой же подход можно применить, сводя одномерное волновое уравнение к уравнению для сферически симметричных волн в пространстве высокой размерности (раздел 3). В сущности, здесь использованы свойства уравнения Эйлера–Дарбу–Пуассона, которое имеет явные аналитические решения для счетного множества параметров. В результате найден широкий класс изменчивых скоростей распространения (скоростей звука), допускающих безотражательное распространение волн на большие расстояния. Полученные результаты суммированы в заключении.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим классическое волновое уравнение для волновой функции (в акустике это давление) u(x, t), в котором скорость распространения (скорость звука) зависит от координаты:

(1)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} - {{с}^{2}}(x)\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} = 0.$

Условия на волновую функцию (ее гладкость), а также область определения будут получены ниже.

Для нахождения решений уравнения (1) в виде бегущей волны будем использовать трансформационную технику сведения волнового уравнения с переменными коэффициентами к волновому уравнению с постоянными коэффициентами [15, 18]. Для этого проведем следующую замену в (1):

(2)

$u\left( {x,t} \right) = A\left( x \right)\Phi \left[ {t,\tau (x)} \right],$

где A(x), Φ(t, τ) и τ(x) – три неизвестные функции, подлежащие определению. Тогда уравнение (1) трансформируется в уравнение Клейн–Гордона с переменными коэффициентами:

(3)

$\begin{gathered} A\left[ {\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{t}^{2}}}} - {{c}^{2}}{{{\left( {\frac{{d\tau }}{{dx}}} \right)}}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{\tau }^{2}}}}} \right] - \\ \, - {{c}^{2}}\left[ {A\frac{{{{d}^{2}}\tau }}{{d{{x}^{2}}}} + 2\frac{{dA}}{{dx}}\frac{{d\tau }}{{dx}}} \right]\frac{{\partial \Phi }}{{\partial \tau }} - {{c}^{2}}\frac{{{{d}^{2}}A}}{{d{{x}^{2}}}}\Phi = 0. \\ \end{gathered} $

Поскольку в этом уравнении содержатся три неизвестные функции, то мы можем наложить три условия для их однозначного определения. В работе [18] предлагался следующий выбор этих условий в виде трех уравнений:

(4)

${{c}^{2}}{{\left( {\frac{{d\tau }}{{dx}}} \right)}^{2}} = 1,$

(5)

$A\frac{{{{d}^{2}}\tau }}{{d{{x}^{2}}}} + 2\frac{{dA}}{{dx}}\frac{{d\tau }}{{dx}} = 0,$

(6)

${{с}^{2}}\frac{{{{d}^{2}}A}}{{d{{x}^{2}}}} = PA,$

где P – произвольная константа. При выполнении этих условий уравнение (3) сводится к уравнению Клейн–Гордона с постоянными коэффициентами:

(7)

$\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{\tau }^{2}}}} - P\Phi = 0,$

и существование бегущих волн (в частности, монохроматических бегущих волн) становится очевидным. Более того, такие волны становятся дисперсионными (при ненулевом P), и здесь проявляется эффект геометрической дисперсии на низких частотах.

Первое уравнение (4) определяет переход к фазе волны или времени распространения (для определенности взята волна, распространяющаяся направо)

(8)

$\tau = \int\limits_{{{x}_{0}}}^x {\frac{{dy}}{{c(y)}}} .$

Второе уравнение (5) легко интегрируется:

(9)

${{A}^{2}}\frac{{d\tau }}{{dx}} = {\text{const,}}$

и с учетом (8) определяет связь между амплитудой и скоростью распространения:

(10)

$A(x) = {\text{const}}\sqrt {c(x)} .$

Сразу отметим, что такое же выражение получается при использовании метода ВКБ для волны в среде с медленно меняющейся скоростью распространения [1], однако здесь мы не накладываем условие медленности изменения параметров среды.

Третье уравнение (6) определяет функцию с(х), для которой существуют бегущие волны

(11)

$\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}{{c}^{{1/2}}} = P{{c}^{{ - 3/2}}}.$

Эта функция находится из обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка и, следовательно, зависит от двух произвольных констант. Полный анализ возможных решений уравнения (11) дан в статье [18] и здесь не воспроизводится. Отметим еще раз, что при ненулевых P волны становятся дисперсионными и в процессе распространения могут фокусироваться в волны-убийцы [20]. Недиспергирующая волна получается только при P = 0, решение для которой мы здесь воспроизведем:

(12)

$\begin{gathered} c(x) = {{c}_{0}}{{(1 + x{\text{/}}L)}^{2}},\quad \tau (x) = \frac{x}{{{{c}_{0}}(1 + x{\text{/}}L)}}, \\ A(x) = {{A}_{0}}(1 + x{\text{/}}L),\quad u(x,t) = A(x)\Phi [t - \tau (x)], \\ \end{gathered} $

где введены константы, определяющие все функции в точке х = 0. Наличие констант в формуле (12) позволяет использовать такие безотражательные профили в качестве аппроксимаций реальных профилей скорости звука, по крайней мере, на отдельных участках, и лучше понимать условия распространения волн. Волна в каждой точке такого профиля самоподобна (во времени), но ее амплитуда и фаза, конечно же, меняются. Сразу заметим, что все функции определены на полуоси –1 < x/L< +∞, и решение становится сингулярным в точке x/L = –1. Однако время движения волны к этой сингулярной точке, характеризуемое функцией τ(х), становится бесконечным, так что волна не приближается к сингулярной точке. Также отметим, что на бесконечности время движения волны конечно, т.е. волна уходит на бесконечность за конечное время. Ее амплитуда при этом неограниченно растет, и линейное приближение там становится неприменимым. Таким образом, нам нет необходимости исследовать волновое движение на границах и ставить соответствующие граничные условия в рамках линейной теории.

2. СВЕДЕНИЕ К СФЕРИЧЕСКОМУ ВОЛНОВОМУ УРАВНЕНИЮ

Наложенные условия (4)–(6) не являются единственно возможными для существования бегущих волн. Известно, например, что волновое уравнение для сферических волн после введения амплитудного фактора r^–1 также сводится к одномерному волновому уравнению с постоянными коэффициентами [21]). Уравнение (3) при условии (4) сводится к сферически симметричному волновому уравнению

(13)

$\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{\tau }^{2}}}} - \frac{2}{\tau }\frac{{\partial \Phi }}{{\partial \tau }} = 0$

при наложении условий

(14)

$A\frac{{{{d}^{2}}\tau }}{{d{{x}^{2}}}} + 2\frac{{dA}}{{dx}}\frac{{d\tau }}{{dx}} = \frac{{2A}}{{\tau {{c}^{2}}}},$

(15)

$\frac{d}{{dx}}\left[ {{{c}^{2}}\frac{{dA}}{{dx}}} \right] = 0.$

Здесь мы рассмотрим только частное решение этой системы, положив А = 1. Тогда уравнение (15) выполняется автоматически, а уравнение (14) сводится к

(16)

${{c}^{2}}\frac{{{{d}^{2}}\tau }}{{d{{x}^{2}}}} = \frac{2}{\tau },$

или после использования формулы (4) – к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению для фазы волны (времени движения)

(17)

$\tau \frac{{{{d}^{2}}\tau }}{{d{{x}^{2}}}} = 2{{\left( {\frac{{d\tau }}{{dx}}} \right)}^{2}}.$

Последнее уравнение легко интегрируется:

(18)

$c(x) = {{c}_{0}}{{(1 + x{\text{/}}L)}^{2}},\quad \tau (x) = \frac{x}{{{{c}_{0}}(1 + x{\text{/}}L)}},$

и полностью совпадает с формулой (12). Решение уравнения (13) хорошо известно и представляет собой две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях:

(19)

$\Phi (t,\tau ) = \frac{{\theta (t - \tau ) + \psi (t + \tau )}}{\tau },$

с амплитудами, пропорциональными τ^–1, или с учетом (18), линейно зависящими от координаты х, как это получалось в (12) другим методом. Итак, сведение исходного волнового уравнения (1) к сферически симметричному волновому уравнению не позволило получить новые решения, но дало возможность установить важную связь между решениями для волн в неоднородных средах и сферически симметричными волнами в случае безотражательного распространения.

3. СВЕДЕНИЕ К УРАВНЕНИЮ ЭЙЛЕРА–ДАРБУ–ПУАССОНА

Уравнение (13) является частным случаем известного уравнения Эйлера–Дарбу–Пуассона [21–24]:

(20)

$\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{\tau }^{2}}}} - \frac{k}{\tau }\frac{{\partial \Phi }}{{\partial \tau }} = 0,$

в котором коэффициент k изменяется от минус до плюс бесконечности. Известно, что в случае положительных целых четных значений k = 2m это уравнение описывает сферически симметричные волны в пространстве нечетной размерности и имеет простое аналитическое решение для произвольных начальных условий. Мы можем использовать это свойство для нахождения безотражательных волн в неоднородной среде.

Так, принимая условия с целочисленным m

(21)

$A\frac{{{{d}^{2}}\tau }}{{d{{x}^{2}}}} + 2\frac{{dA}}{{dx}}\frac{{d\tau }}{{dx}} = \frac{{2mA}}{{\tau {{c}^{2}}}},$

(22)

$\frac{d}{{dx}}\left[ {{{c}^{2}}\frac{{dA}}{{dx}}} \right] = 0,$

уравнение Клейн–Гордона с переменными коэффициентами (3) сводится к уравнению Эйлера–Дарбу–Пуассона

(23)

$\frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}\Phi }}{{\partial {{\tau }^{2}}}} - \frac{{2m}}{\tau }\frac{{\partial \Phi }}{{\partial \tau }} = 0,$

если использовать формулу (4).

Положим опять А = 1, тогда уравнение (22) выполняется автоматически, а уравнение (21) сводится к нелинейному уравнению, похожему на (17):

(24)

$\tau \frac{{{{d}^{2}}\tau }}{{d{{x}^{2}}}} = 2m{{\left( {\frac{{d\tau }}{{dx}}} \right)}^{2}}.$

Уравнение (24) интегрируется в общем виде при любом значении параметра m:

(25)

$\begin{gathered} c(x) = {{c}_{0}}{{(1 + x{\text{/}}L)}^{{\frac{{2m}}{{2m - 1}}}}}, \\ \tau (x) = ({{\tau }_{0}}{\text{/}}{{c}_{0}}){{\left( {\frac{x}{{1 + x{\text{/}}L}}} \right)}^{{\frac{1}{{2m - 1}}}}}. \\ \end{gathered} $

Естественно, что при m = 1 решение (25) переходит в (18). Итак, и в общем случае мы получаем область определения всех функций с(х) на полуоси. Скорость распространения волн (скорость звука) в безотражательных решениях описывается монотонной степенной функцией, степень которой меняется от 1 (m → ∞) до 2 (m = 1). Число таких безотражательных функций образует счетное множество.

Решение уравнения (23) для целочисленных коэффициентов m было получено еще Леонардо Эйлером, и оно выражается через решение волнового уравнения с постоянными коэффициентами (получаемое из (23) при m = 0, которое обозначим как V) в виде конечной суммы

(26)

$\Phi (t,\tau ) = \frac{1}{{{{\tau }^{{2m - 1}}}}}\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} {{{a}_{i}}{{\tau }^{i}}\frac{{{{\partial }^{i}}V}}{{\partial {{t}^{i}}}}} $

с числовыми коэффициентами a_i, находимыми элементарно после подстановки (26) в (23). Функция V, как решение волнового уравнения с постоянными коэффициентами, представимо в виде двух волн, распространяющихся в противоположные стороны:

(27)

$V(t,\tau ) = \theta (t - \tau ) + \psi (t + \tau ),$

так что решение (26) также представимо в виде суммы двух бегущих волн, но с переменной амплитудой. Для простоты мы ограничимся здесь только одной волной, бегущей вправо.

В частности, для m = 2 волновое поле есть

(28)

$\Phi (t,\tau ) = \frac{1}{{{{\tau }^{3}}}}\theta [t - \tau ] + \frac{1}{{{{\tau }^{2}}}}\frac{{\partial \theta [t - \tau ]}}{{\partial t}}.$

Переход к физическим переменным легко делается с помощью формул (25). Важно сразу отметить, что временная форма волны уже не сохраняется в процессе распространения (как это было при m = 1), и вблизи сингулярной точки форма волны значительно меняется, а на больших расстояниях от нее волна становится стационарной и за конечное время уходит на бесконечность.

Приведем также решение в случае m = 3:

(29)

$\Phi (t,\tau ) = \frac{1}{{{{\tau }^{5}}}}\theta (t - \tau ) + \frac{1}{{{{\tau }^{4}}}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + \frac{1}{{3{{\tau }^{3}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{t}^{2}}}}.$

Качественно процесс трансформации волны остается неизменным с сильным изменением формы волны вблизи сингулярной точки.

С увеличением m в решении появляются все более высокие производные, но характер решения качественно остается таким же. Наличие высших производных в решении накладывает определенные условия на гладкость формы бегущей волны (существование нескольких производных от функции θ), которые в сущности отсутствуют в рамках волнового уравнения с постоянными коэффициентами (в частности, оно допускает распространение волн с крутым фронтом). Важно также отметить, что если далеко от сингулярной точки задана уединенная волны (импульс), то вблизи сингулярной точки импульс интегрируется, и в нем могут возникнуть нефизические остаточные хвосты. Таким образом, кроме гладкости, мы должны потребовать конечности интегралов от волнового профиля, что накладывает дополнительные условия на бегущие волны.

Уравнение Эйлера–Дарбу–Пуассона (23) допускает решения в виде бегущих волн и в случае отрицательных значений m [22, 23]. Заменяя m на n = –m, перепишем формулы (25) для характеристик донного рельефа:

(30)

$\begin{gathered} c(x) = {{c}_{0}}{{(1 + x{\text{/}}L)}^{{\frac{{2n}}{{2n + 1}}}}}, \\ \tau (x) = ({{\tau }_{0}}{\text{/}}{{c}_{0}}){{(1 + x{\text{/}}L)}^{{\frac{1}{{2n + 1}}}}}. \\ \end{gathered} $

Мы опять получаем счетное множество полиномиальных скоростей звука, степень которых меняется от 2/3 до 1, дополняя степени их величинами от 1 до 2 согласно формуле (25). Здесь, однако, скорость распространения медленнее растет с расстоянием, поэтому волна движется на бесконечность неограниченно долго.

Общее решение уравнения (23) для целочисленных отрицательных значений m (положительных значений n) также выражается в виде конечной суммы

(31)

$\Phi (t,\tau ) = \sum\limits_{i = 0}^m {{{a}_{i}}{{\tau }^{i}}\frac{{{{\partial }^{i}}V}}{{\partial {{t}^{i}}}}} .$

Приведем здесь наиболее простое решение (31) при n = 1:

(32)

$\Phi (t,\tau ) = \theta [t - \tau ] + \tau \frac{{\partial \theta [t - \tau ]}}{{\partial t}}.$

И здесь волновое поле сильно меняется с расстоянием, как и в описанных выше случаях. С увеличением n в решении добавляются высшие производные, так при n = 2 имеем

(33)

$\Phi (t,\tau ) = \theta (t - \tau ) + \tau \frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + \frac{{{{\tau }^{2}}}}{3}\frac{{{{\partial }^{2}}\theta }}{{\partial {{t}^{2}}}}.$

Таким образом, и здесь наблюдается счетное множество монотонных скоростей звука, обеспечивающих безотражательное распространение волн. В процессе распространения форма волны меняется, однако волна не теряет энергии при распространении на большие расстояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе развивается подход к нахождению бегущих волн в сильно неоднородной одномерной среде на примере простого волнового уравнения с переменной скоростью звука. Показывается, что есть несколько способов получения бегущих волн. В первом способе исходное волновое уравнение с переменными коэффициентами сводится к уравнению Клейн–Гордона с постоянными коэффициентами и существование решений в виде бегущих волн становится очевидным. В другом подходе исходное волновое уравнение с переменными коэффициентами сводится к уравнению Эйлера–Пуассона–Дарбу, которое также имеет решения в виде бегущей волны для целочисленных значений параметра в этом уравнении. И хотя в этом случае временная форма волны меняется с расстоянием, но, тем не менее, отражение от неоднородностей отсутствует. Найдено, что число “безотражательных” монотонных профилей скорости звука составляет счетное множество и их степени лежат между двумя монотонными профилями x^2/3 и x², разделенные линейным профилем, который в сущности разделяет два класса решений уравнения Эйлера–Дарбу–Пуассона (рис. 1). Наличие большого числа безотражательных профилей свидетельствует об относительно малом отражении волн на монотонных профилях и обеспечивает перенос энергии на большие расстояния. Приведенный подход не является исчерпывающим, и мы уверены, что можно найти еще разнообразные ситуации, когда волна будет распространяться на большие расстояния без отражения. Анализ волновых процессов в окрестности сингулярной точки будет сделан в дальнейшем.

Рис. 1.

Безотражательные профили скорости распространения (скорости звука). Цифры – показатели степени в зависимости c ~ x^k.

Список литературы

Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.
Миронов М.А. Точные решения уравнения поперечных колебаний стержня со специальным законом изменения поперечного сечения //Акуст. журн. 2017. Т. 63. № 1. С. 3–8.
Петухов Ю.В. О возможности безотражательного распространения плоских акустических волн в непрерывно-стратифицированных средах // Акуст. журн. 2022. Т. 68. № 2. С. 129–138.
Didenkulova I., Pelinovsky E., Soomere T. Long surface wave dynamics along a convex bottom. // J. Geophysical Research – Oceans. 2009. V. 114. C07006.
Pelinovsky E., Didenkulova I., Shurgalina E., Aseeva N. Nonlinear wave dynamics in self-consistent water channels // J. Physics A. 2017. V. 50. 505501.
Churilov S.M., Stepanyants Y.A. Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current // J. Fluid Mech. 2022. V. 931. A15; Pt. 2. V. 939. A15.
Pelinovsky E., Talipova T., Didenkulova I., Didenkulova (Shurgalina) E. Interfacial long traveling waves in a two-layer fluid with variable depth // Studies in Applied Mathematics. 2019. V. 142. № 4. P. 513–527.
Петрухин Н.С., Пелиновский Е.Н., Талипова Т.Г. Безотражательное вертикальное распространение волны в сильно неоднородной атмосфере // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2012. Т. 48. № 2. С. 189–194.
Петрухин Н.С., Пелиновский Е.Н., Бацына Е.К. Безотражательное распространение акустических волн в атмосфере Солнца // Письма в Астрон. журн. 2012б. Т. 38. № 6. С. 439–445.
Шварцбург А.Б. Дисперсия электромагнитных волн в стратифицированных и нестационарных средах (точно решаемые модели) // УФН. 2000. Т. 170. № 12. С. 1297–1324.
Petrukhin N.S., Ruderman M.S., Pelinovsky E. Non-reflective propagation of kink pulses in magnetic waveguides in solar atmosphere // Solar Physics. 2015. V. 290. № 5. P. 1323–1335.
Петрухин Н.С., Пелиновский Е.Н., Диденкулова Е.Г. Безотражательные магнитогидродинамические волны в неоднородной плазме // Изв. вузов. Радиофизика. 2020. Т. 63. № 1. С. 32–43.
Bluman G., Kumei S. On invariance properties of the wave equation // J. Math. Phys. 1987. V. 28. P. 307–318.
Seymour B., Varley E. Exact representations for acoustical waves when the sound speed varies in space and time // Stud. Appl. Math. 1987. V. 76. P. 1–35.
Varley E., Seymour B. A method for obtaining exact solutions to partial differential equations with variable coefficients // Stud. Appl. Math. 1988. V. 78. P. 183–225.
Bluman G., Cheviakov A.F. Nonlocally related systems, linearization and nonlocal symmetries for the nonlinear wave equation // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 333. P. 93–111.
Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М: Физматлит, 2009.
Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E. Homogenization of the variable – speed wave equation // Wave Motion. 2010. V. 47. № 12. P. 496–507.
Капцов О.В., Мирзаохмедов М.М. Общие решения некоторых линейных уравнений с переменными коэффициентами // Уфимский матем. журн. 2021. Т. 13. № 2. С. 36–43.
Didenkulova I., Pelinovsky E. On shallow water rogue wave formation in strongly inhomogeneous channels // J. Physics A. 2016. V. 49. 194001.
Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиздат, 1951.
Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: ИИЛ, 1961.
Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИИЛ, 1957.
Шишкина Э.Л. Общее уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу и гиперболические B-потенциалы // Современная математика. Фундаментальные направления. 2019. Т. 65. № 2. С. 157–338.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал