Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 506, № 2, стр. 60-65

ИЗМЕНЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ТЕЛА ПРИ ПОМОЩИ ТРЕХ ПАР ПОДВИЖНЫХ МАСС

Академик РАН Ф. Л. Черноусько^1, *

¹ Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия

Поступила в редакцию 10.06.2022
После доработки 10.06.2022
Принята к публикации 26.07.2022

EDN: AVATJA
DOI: 10.31857/S2686740022070021

Аннотация

Предложен новый способ изменения пространственной ориентации твердого тела при помощи нескольких подвижных точечных масс. Предполагается, что эти массы образуют три пары, причем массы каждой пары движутся симметрично друг другу. Показано, что при сделанных предположениях может быть осуществлено любое заданное движение тела, в том числе плоский поворот вокруг произвольной оси. Предложены два варианта алгоритма.

Ключевые слова: динамика твердого тела, управление движением, ориентация

Как известно, изменение ориентации твердого тела в пространстве может быть осуществлено при помощи вспомогательных масс, снабженных актюаторами и совершающих определенные движения относительно несущего тела. В случае одной подвижной массы, рассмотренном в работах [1, 2], оказывается, что движение этой массы проходит вблизи центра масс твердого тела, что может быть нежелательно с точки зрения конструкции аппарата. Наличие нескольких подвижных масс, как показано в работах [3–5], позволяет разместить подвижные массы внутри несущего тела достаточно произвольным образом, а также значительно ограничить области движения этих масс относительно тела. Эти обстоятельства существенно снижают ограничения, накладываемые на конструкцию аппарата.

Однако во всех рассмотренных выше способах управления ориентацией при помощи подвижных масс предполагалось, что требуемая переориентация достигается путем трех плоских поворотов тела вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. В то же время, как известно, любая заданная переориентация может быть осуществлена путем одного плоского поворота вокруг некоторой оси (так называемого эйлерова поворота, см., например, [6]). Конечно, переориентация путем одного плоского поворота предпочтительнее, чем путем трех поворотов, как с точки зрения простоты, так и с точки зрения времени реализации.

В данной работе предложен новый способ произвольного изменения ориентации твердого тела при помощи трех пар подвижных точечных масс. Этот способ позволяет осуществить произвольное заданное пространственное движение тела, в том числе и плоский поворот вокруг произвольной оси. Рассмотрены два варианта алгоритма переориентации.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ

Рассматривается движение управляемого объекта, представляющего собой механическую систему, которая состоит из твердого тела Р массы M и n материальных точек ${{Q}_{i}}$ массы m_i, $i = 1,...,n.$ Точки ${{Q}_{i}}$ могут двигаться относительно тела Р под действием двигателей (актюаторов) и взаимодействуют с телом Р, но не взаимодействуют с внешней средой.

Предполагается, как и в работах [1–5], что внешние силы, действующие на систему, очень малы, и ими можно пренебречь. Это предположение выполняется с хорошей точностью для космических аппаратов, а также для других управляемых объектов и мобильных роботов в случае быстрых поворотов относительно центра масс, когда силы взаимодействия несущего тела с подвижными массами значительно превосходят внешние силы. Оценка влияния внешних сил на точность выполнения маневра ориентации приведена в работе [3].

Обозначим через С центр масс тела Р, а через О – центр масс всей системы. Предположим, что в начальный момент времени t = 0 система покоится в некоторой инерциальной системе координат. Тогда, ввиду отсутствия внешних сил, ее центр масс О неподвижен во время движения и может быть принят в качестве начала координат неподвижной системы $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$. Введем также систему координат $C{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, связанную с телом Р (см. рис. 1). Обозначим через

${{r}_{i}} = C{{Q}_{i}},\quad i = 1,...,n,$

радиус-вектор подвижной точки ${{Q}_{i}}$ относительно центр масс С тела Р, а через ${{\dot {r}}_{i}}$ вектор скорости точки ${{Q}_{i}}$ в связанной с телом Р система координат $C{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$.

Рис. 1.

Механическая система.

Тогда, как показано в работах [3, 4], уравнение движения тела Р относительно его центра масс С можно представить в виде

(1)

$\begin{gathered} {\mathbf{J}} \cdot \omega - {{\left( {M + m} \right)}^{{ - 1}}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{m}_{i}}} {{{\mathbf{r}}}_{i}}} \right) \times \\ \times \left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{{m}_{i}}} \left( {\omega \times {{{\mathbf{r}}}_{i}} + {{{{\mathbf{\dot {r}}}}}_{i}}} \right)} \right] + \\ \, + \sum\limits_{i = 1}^n {{{m}_{i}}} {{{\mathbf{r}}}_{i}} \times \left( {\omega \times {{{\mathbf{r}}}_{i}} + {{{{\mathbf{\dot {r}}}}}_{i}}} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Здесь J – тензор инерции тела Р относительно его центра масс С, ω – угловая скорость тела Р, а m – полная масса всех подвижных точек Q_i, $i = 1,...,n,$ т.е.

$m = \sum\limits_{i = 1}^n {{{m}_{i}}} .$

Уравнение (1) связывает угловую скорость ω тела Р с характеристиками относительного движения подвижных точек Q_i, $i = 1,...,n,$ а именно с их радиусами-векторами ${{r}_{i}}$ и относительными скоростями ${{\dot {r}}_{i}}$ в системе координат $C{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$.

ТРИ ПАРЫ ПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК

Предполагаем, что имеется шесть (n = 6) подвижных точек Q_i, $i = 1,...,6,$ объединенных в три пары. Массы всех точек одинаковы и равны ${{m}_{o}}$. Точки каждой пары осуществляют движения симметрично друг другу относительно точки С, так что имеем

(2)

${{r}_{{i + 3}}} = - {{r}_{i}},\quad i = 1,2,3.$

В силу сделанных предположений имеем

$\sum\limits_{i = 1}^n {{{m}_{i}}} {{r}_{i}} = 0,$

и уравнение (1) упрощается и принимает вид

(3)

${\mathbf{J}} \cdot \omega + 2{{m}_{0}}\sum\limits_{i = 1}^3 {{{{\mathbf{r}}}_{i}} \times \left( {\omega \times {{{\mathbf{r}}}_{i}} + {{{{\mathbf{\dot {r}}}}}_{i}}} \right)} = 0.$

Потребуем, чтобы точки каждой пары двигались в одной из координатных плоскостей системы $C{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ и тем самым создавали момент относительно оси, перпендикулярной этой плоскости. Пусть, для определенности, точки первой из пар, ${{Q}_{1}}$ и ${{Q}_{4}}$, движутся в плоскости $C{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ и создают момент относительно оси $C{{x}_{3}}$, точки второй пары, ${{Q}_{2}}$ и ${{Q}_{5}}$, движутся в плоскости $C{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, а точки третьей пары, ${{Q}_{3}}$ и ${{Q}_{6}}$, движутся в плоскости $C{{x}_{3}}{{x}_{1}}$. В силу свойства симметрии (2) достаточно определить движение лишь одной точки в каждой паре, т.е. точек ${{Q}_{1}}$, ${{Q}_{2}}$ и ${{Q}_{3}}$ для трех пар соответственно.

Предполагаем, что в начальный момент времени эти точки ${{Q}_{i}}$ находятся на осях $C{{x}_{i}}$ соответственно, $i = 1,2,3.$

Будем рассматривать два варианта (А и В) движений подвижных точек.

А. Точки ${{Q}_{i}}$ движутся по прямым в плоскости $C{{x}_{i}}{{x}_{{i + 1}}}$, перпендикулярным осям $C{{x}_{i}},{\text{ }}i = 1,2,3.$

В. Точки ${{Q}_{i}}$ движутся по окружностям в плоскостях $C{{x}_{i}}{{x}_{{i + 1}}}$ с центром в точке С.

Обозначим через ${{e}_{i}}$ орты осей Cx_i, $i = 1,2,3.$ Тогда радиусы-векторы ${{r}_{i}}$ подвижных точек ${{Q}_{i}}$ для варианта А можно записать в виде

(4)

${{r}_{i}} = {{a}_{i}}{{e}_{i}} + {{y}_{i}}{{e}_{{i + 1}}},{\text{ }}i = 1,2,3.$

Здесь ${{a}_{i}}$ – расстояния точек ${{Q}_{i}}$ от точки С в начальный момент времени, ${{y}_{i}}$ – смещения этих точек в процессе движения. Индексы i в формуле (4) и в последующих аналогичных соотношениях изменяются циклически так, что индекс i при $i > 3$ заменяется на $i - 3.$ Движение точки ${{Q}_{1}}$ для варианта А иллюстрирует рис. 2.

Рис. 2.

Движение точки ${{Q}_{1}}$ для варианта А.

Для варианта В получим

(5)

${{r}_{i}} = {{R}_{i}}\left( {{{e}_{i}}\cos {{\psi }_{i}} + {{e}_{{i + 1}}}\sin {{\psi }_{i}}} \right),\quad i = 1,2,3.$

Здесь ${{R}_{i}}$ – радиусы окружностей, по которым движутся точки ${{Q}_{i}}$, ${{\psi }_{i}}$ – углы, характеризующие положение точки ${{Q}_{i}}$ на этих окружностях. Движение точки ${{Q}_{1}}$ для варианта В показано на рис. 3.

Рис. 3.

Движение точки ${{Q}_{1}}$ для варианта В.

Вектор угловой скорости $\omega $ тела Р представим в виде

(6)

$\omega = \sum\limits_{i = 1}^3 {{{\omega }_{i}}{{e}_{i}}} ,$

где ${{\omega }_{i}}$ – проекции вектора $\omega $ на оси Cx_i, $i = 1,2,3.$

С учетом соотношения (6), произведение тензора инерции J на вектор $\omega $ в уравнение (3) запишется в виде

(7)

$J \cdot \omega = \sum\limits_{j,i = 1}^3 {{{J}_{{ji}}}{{\omega }_{i}}{{e}_{i}}} ,$

где ${{J}_{{ji}}}$ – элементы симметрического тензора J. Для упрощения записи соотношений введем обозначения

(8)

${{b}_{i}} = {{\left( {2{{m}_{0}}} \right)}^{{ - 1}}}\sum\limits_{j = 1}^3 {{{J}_{{ji}}}} ,{\text{ }}i = 1,2,3.$

Заметим, что величины ${{b}_{i}}$ – постоянные. На основании равенств (7) и (8) уравнение (3) примет вид

(9)

$\sum\limits_{i = 1}^3 {{{b}_{i}}{{\omega }_{i}}{{e}_{i}}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{{r}_{i}} \times \left( {\omega \times {{r}_{i}} + {{{\dot {r}}}_{i}}} \right)} = 0.$

ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ВАРИАНТОВ А И В

Используя равенства (4), вычислим слагаемые, входящие в уравнение (9) для варианта А:

(10)

$\begin{gathered} {{r}_{i}} \times \left( {\omega \times {{r}_{i}}} \right) = {{e}_{i}}({{\omega }_{i}}y_{i}^{2} - {{\omega }_{{i + 1}}}{{a}_{i}}{{y}_{i}}) + \\ \, + {{e}_{{i + 1}}}({{\omega }_{{i + 1}}}a_{i}^{2} - {{\omega }_{i}}{{a}_{i}}{{y}_{i}}) + {{e}_{{i + 2}}}{{\omega }_{{i + 2}}}(a_{i}^{2} + y_{i}^{2}),{\text{ }} \\ {\text{ }}{{r}_{i}} \times {{{\dot {r}}}_{i}} = {{e}_{{i + 2}}}{{a}_{i}}{{{\dot {y}}}_{i}}. \\ \end{gathered} $

Подставим полученные равенства (10) в уравнение (9) и примем во внимание правило циклической перестановки индексов. В результате проектирования векторного уравнения (9) на оси системы координат $C{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ получим три скалярных уравнения:

$\begin{gathered} {{\omega }_{1}}({{b}_{1}} + y_{1}^{2} + a_{2}^{2} + y_{2}^{2} + a_{3}^{2}) - \\ \, - {{\omega }_{2}}{{a}_{1}}{{y}_{1}} - {{\omega }_{3}}{{a}_{3}}{{y}_{3}} + {{a}_{2}}{{{\dot {y}}}_{2}} = 0, \\ \end{gathered} $

(11)

$\begin{gathered} {{\omega }_{2}}({{b}_{2}} + y_{2}^{2} + a_{3}^{2} + y_{3}^{2} + a_{1}^{2}) - \\ \, - {{\omega }_{3}}{{a}_{2}}{{y}_{2}} - {{\omega }_{1}}{{a}_{1}}{{y}_{1}} + {{a}_{3}}{{{\dot {y}}}_{3}} = 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{\omega }_{3}}({{b}_{3}} + y_{3}^{2} + a_{1}^{2} + y_{1}^{2} + a_{2}^{2}) - \\ \, - {{\omega }_{1}}{{a}_{3}}{{y}_{3}} - {{\omega }_{2}}{{a}_{2}}{{y}_{2}} + {{a}_{1}}{{{\dot {y}}}_{1}} = 0. \\ \end{gathered} $

При заданной угловой скорости $\omega \left( t \right),$ т.е. при заданных функциях ω_i(t), $i = 1,2,3,$ уравнения (11) представляют собой систему трех нелинейных дифференциальных уравнений для функций y_i(t), $i = 1,2,3.$ Эти уравнения должны интегрироваться при нулевых начальных условиях

(12)

${{y}_{i}}(0) = 0,\quad i = 1,2,3,$

отвечающих начальному состоянию подвижных масс ${{Q}_{i}}$ в момент $t = 0$.

С другой стороны, при заданных движениях подвижных точек ${{Q}_{i}}$, т.е. при заданных функциях y_i(t), $i = 1,2,3,$ уравнения (11) представляют собой линейную алгебраическую систему уравнений для компонентов ω_i(t) угловой скорости тела $\omega (t).$

Аналогично, подставляя соотношения (5) в уравнения (9), получим в результате следующую систему уравнений для варианта В:

$\begin{gathered} {{\omega }_{1}}({{b}_{1}} + R_{1}^{2}{{\sin }^{2}}{{\psi }_{1}} + R_{2}^{2} + R_{3}^{2}{{\cos }^{2}}{{\psi }_{3}}) - \\ \, - {{\omega }_{2}}R_{1}^{2}\cos {{\psi }_{1}}\sin {{\psi }_{1}} - \\ \, - {{\omega }_{3}}R_{3}^{2}\cos {{\psi }_{3}}\sin {{\psi }_{3}} + R_{2}^{2}{{{\dot {\psi }}}_{2}} = 0, \\ \end{gathered} $

(13)

$\begin{gathered} {{\omega }_{2}}({{b}_{2}} + R_{2}^{2}{{\sin }^{2}}{{\psi }_{2}} + R_{3}^{2} + R_{1}^{2}{{\cos }^{2}}{{\psi }_{1}}) - \\ \, - {{\omega }_{3}}R_{2}^{2}\cos {{\psi }_{2}}\sin {{\psi }_{2}} - \\ \, - {{\omega }_{1}}R_{1}^{2}\cos {{\psi }_{1}}\sin {{\psi }_{1}} + R_{3}^{2}{{{\dot {\psi }}}_{3}} = 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{\omega }_{3}}({{b}_{3}} + R_{3}^{2}{{\sin }^{2}}{{\psi }_{3}} + R_{1}^{2} + R_{2}^{2}{{\cos }^{2}}{{\psi }_{2}}) - \\ \, - {{\omega }_{1}}R_{3}^{2}\cos {{\psi }_{3}}\sin {{\psi }_{3}} - \\ \, - {{\omega }_{2}}R_{2}^{2}\cos {{\psi }_{2}}\sin {{\psi }_{2}} + R_{1}^{2}{{{\dot {\psi }}}_{1}} = 0. \\ \end{gathered} $

Подобно системе (11) для варианта А, система (13) при заданных компонентах угловой скорости ω_i(t), $i = 1,2,3,$ представляет собой нелинейную систему дифференциальных уравнений для переменных ${{\psi }_{i}}\left( t \right),{\text{ }}i = 1,2,3$. Эти уравнения должны интегрироваться при начальных условиях

(14)

${{\psi }_{i}}\left( 0 \right) = 0,\quad i = 1,2,3,$

соответствующих начальному положению масс ${{Q}_{i}}$.

При заданных движениях подвижных масс, т.е. при заданных функциях ψ_i(t), $i = 1,2,3,$ уравнения (13) образуют линейную алгебраическую систему уравнений для компонентов ω_i(t), $i = 1,2,3$.

Представляется, что системы уравнений (11) и (13) заслуживают дальнейшего изучения.

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ПЛОСКИЙ ПОВОРОТ

Рассмотрим плоский поворот тела вокруг произвольной неподвижной оси. В этом случае имеем

(15)

$\omega \left( t \right) = e\dot {\varphi }\left( t \right),$

где e – единичный вектор неподвижной оси поворота, $\varphi $ – угол поворота. Приравнивая друг другу соотношения (6) и (15), получим

(16)

${{\omega }_{i}} = {{\gamma }_{i}}\dot {\varphi },\quad {{\gamma }_{i}} = e{\text{ }}{{e}_{i}},\quad i = 1,2,3,$

где постоянные ${{\gamma }_{i}}$ – направляющие косинусы вектора e в системе координат $C{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, связанной с телом.

Подставим соотношение (16) в уравнениях (11) и перейдем в этих уравнениях к независимой переменной $\varphi $ – углу поворота тела. Получим

$\begin{gathered} {{a}_{1}}\frac{{d{{y}_{1}}}}{{d\varphi }} + {{\gamma }_{3}}({{b}_{3}} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + y_{1}^{2} + y_{3}^{2}) - \\ \, - {{\gamma }_{1}}{{a}_{3}}{{y}_{3}} - {{\gamma }_{2}}{{a}_{2}}{{y}_{2}} = 0, \\ \end{gathered} $

(17)

$\begin{gathered} {{a}_{2}}\frac{{d{{y}_{2}}}}{{d\varphi }} + {{\gamma }_{1}}({{b}_{1}} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + y_{2}^{2} + y_{1}^{2}) - \\ \, - {{\gamma }_{2}}{{a}_{1}}{{y}_{1}} - {{\gamma }_{3}}{{a}_{3}}{{y}_{3}} = 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{a}_{3}}\frac{{d{{y}_{3}}}}{{d\varphi }} + {{\gamma }_{2}}({{b}_{2}} + a_{3}^{2} + a_{1}^{2} + y_{3}^{2} + y_{2}^{2}) - \\ \, - {{\gamma }_{3}}{{a}_{2}}{{y}_{2}} - {{\gamma }_{1}}{{a}_{1}}{{y}_{1}} = 0. \\ \end{gathered} $

Аналогично, система (13) после перехода к независимой переменной $\varphi $ приобретает вид

$\begin{gathered} R_{1}^{2}\frac{{d{{\psi }_{1}}}}{{d\varphi }} + {{\gamma }_{3}}({{b}_{3}} + R_{1}^{2} + R_{2}^{2}{{\cos }^{2}}{{\psi }_{2}} + R_{3}^{2}{{\sin }^{2}}{{\psi }_{3}}) - \\ \, - {{\gamma }_{1}}R_{3}^{2}\cos {{\psi }_{3}}\sin {{\psi }_{3}} - {{\gamma }_{2}}R_{2}^{2}\cos {{\psi }_{2}}\sin {{\psi }_{2}} = 0, \\ \end{gathered} $

(18)

$\begin{gathered} R_{2}^{2}\frac{{d{{\psi }_{2}}}}{{d\varphi }} + {{\gamma }_{1}}({{b}_{1}} + R_{2}^{2} + R_{3}^{2}{{\cos }^{2}}{{\psi }_{3}} + R_{1}^{2}{{\sin }^{2}}{{\psi }_{1}}) - \\ \, - {{\gamma }_{2}}R_{1}^{2}\cos {{\psi }_{1}}\sin {{\psi }_{1}} - {{\gamma }_{3}}R_{3}^{2}\cos {{\psi }_{3}}\sin {{\psi }_{3}} = 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} R_{3}^{2}\frac{{d{{\psi }_{3}}}}{{d\varphi }} + {{\gamma }_{2}}({{b}_{3}} + R_{3}^{2} + R_{1}^{2}{{\cos }^{2}}{{\psi }_{1}} + R_{2}^{2}{{\sin }^{2}}{{\psi }_{2}}) - \\ \, - {{\gamma }_{3}}R_{2}^{2}\cos {{\psi }_{2}}\sin {{\psi }_{2}} - {{\gamma }_{1}}R_{1}^{2}\cos {{\psi }_{1}}\sin {{\psi }_{1}} = 0. \\ \end{gathered} $

Начальные условия, вытекающие из условий (12) и (14), запишутся в виде

(19)

$\begin{gathered} {{y}_{i}} = 0\quad {\text{при}}\quad \varphi = 0,\quad i = 1,2,3, \\ {{\psi }_{i}} = 0\quad {\text{при}}\quad \varphi = 0,\quad i = 1,2,3, \\ \end{gathered} $

для уравнений (17) и (18) соответственно.

Из полученных уравнений следует, что параметры ${{y}_{i}}$ и ${{\psi }_{i}}$ движения подвижных масс Q_i, $i = 1,2,3,$ однозначно определяются углом поворота $\varphi $ и не зависят от характера изменения угла φ(t) во времени.

ПРИМЕРЫ

Сначала в качестве простого примера рассмотрим плоский поворот тела вокруг одной из его главных центральных осей инерции. Пусть оси системы координат $C{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, связанной с телом Р, совпадают с главными центральными осями инерции этого тела. Тогда тензор инерции J тела Р имеет диагональный вид. Рассматривая вращение тела Р вокруг оси $C{{x}_{3}}$, имеем, согласно равенствам (6) и (16):

(20)

$\omega = {{\omega }_{3}}{{e}_{3}} = \dot {\varphi }{{e}_{3}},\quad {{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = 0,\quad {{\gamma }_{3}} = 1.$

Из равенства (8) получим

(21)

${{b}_{3}} = {{\left( {2{{m}_{0}}} \right)}^{{ - 1}}}{{J}_{3}},$

где ${{J}_{3}}$ – главный центральный момент инерции тела Р вокруг оси $C{{x}_{3}}$.

Вращение тела Р вокруг оси $C{{x}_{3}}$ можно обеспечить при помощи одной пары подвижных масс – ${{Q}_{1}}$ и ${{Q}_{4}}$.

Рассматривая сначала вариант А, положим ${{y}_{2}} = {{y}_{3}} = 0.$ Принимая во внимание также соотношения (20), получим, что система (17) сводится к одному уравнению

(22)

${{a}_{1}}\frac{{d{{y}_{1}}}}{{d\varphi }} + {{b}_{3}} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + y_{1}^{2} = 0.$

Интегрируя уравнение (22) при начальных условиях (19) и учитывая равенство (21), имеем

(23)

${{y}_{1}} = - c{\text{ tg}}\frac{{c\varphi }}{{{{a}_{1}}}},\quad c = {{[{{\left( {2{{m}_{0}}} \right)}^{{ - 1}}}{{J}_{3}} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2}]}^{{1/2}}}.$

Заметим, что равенство (23) предусматривает неограниченность смещения ${{y}_{1}}$ при

$\varphi \to \pm {{\varphi }_{*}},\quad {{\varphi }_{*}} = \frac{{\pi {{а}_{1}}}}{{2с}},$

где с определено соотношением (23). Поэтому реализация варианта А имеет смысл при достаточно малых углах поворота тела: при $\left| \varphi \right| < {{\varphi }_{*}}$.

Переходя к варианту В, положим ${{\psi }_{2}} = {{\psi }_{3}} = 0$ в системе (18) и примем во внимание соотношения (20). Тогда система (18) приводится к уравнению

$R_{1}^{2}\frac{{d{{\psi }_{1}}}}{{d\varphi }} + {{b}_{3}} + R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = 0.$

Интегрируя это уравнение при начальных условиях (19), получим

${{\psi }_{1}} = - \frac{{{{{\left( {2{{m}_{0}}} \right)}}^{{ - 1}}}{{J}_{3}} + R_{1}^{2} + R_{2}^{2}}}{{R_{1}^{2}}}\varphi .$

Как видно, вариант В не имеет ограничений, присущих варианту А, и позволяет в принципе осуществлять поворот на любой угол.

Рассмотрим теперь для варианта В пример поворота тела Р вокруг оси, не совпадающей с его главными центральными осями инерции. Примем следующие значения постоянных, фигурирующие в уравнениях (18):

(24)

$\begin{gathered} {{R}_{1}} = {{R}_{2}} = {{R}_{3}} = 1;\quad {{b}_{1}} = 1.5,\quad {{b}_{2}} = 2, \\ {{b}_{3}} = 2.5;\quad {{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}. \\ \end{gathered} $

Результаты численного интегрирования системы (18) с параметрами (24) при начальных условиях (19) представлены на рис. 4, где кривые 1, 2, 3 соответствуют зависимостям ${{\psi }_{1}}(t{\text{),}}$ ${{\psi }_{2}}(t{\text{),}}$ ${{\psi }_{3}}(t{\text{)}}$. Заметим, что эти кривые не сильно отличаются от линейных зависимостей.

Рис. 4.

Зависимости ${{\psi }_{i}}(t)$ для примера (вариант В).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный способ пространственной переориентации твердого тела основан на управлении движением при помощи трех пар вспомогательных точечных масс, которые могут перемещаться относительно тела. Рассмотрены два варианта движения этих масс: по прямолинейным и круговым траекториям, причем второй вариант предпочтительнее. Предложенный способ управления позволяет осуществлять произвольное изменение ориентации, в том числе путем плоского поворота вокруг произвольной оси. Изложенный подход к изменению ориентации может представлять интерес для управления движением различных аппаратов, в том числе космических, и мобильных роботов.

Список литературы

Черноусько Ф.Л. Изменение ориентации твердого тела при помощи вспомогательной массы //Доклады РАН. Физика, технические науки. 2020. Т. 490. С. 79–81.
Chernousko F.L. Two- and three-dimensional motions of a body controlled by an internal movable mass // Nonlinear Dynamics. 2020. V. 99. № 1. P. 793–802.
Черноусько Ф.Л. Управление ориентацией тела при помощи нескольких подвижных масс // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2020. Т. 493. С. 70–74.
Chernousko F.L. Reorientation of a rigid body by means of internal masses // Nonlinear Dynamics. 2020. V. 102. P. 1209–1214.
Черноусько Ф.Л. Об использовании нескольких подвижных масс для переориентации тела // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2022. Т. 503. С. 52–56.
Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация // М.: Наука, 1976. 672 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал