1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 507, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 507, № 1, стр. 24-26

Об уравнениях движения космического тела при переменной скорости отбрасывания продуктов сгорания в предпосылках специальной теории относительности

У. Н. Закиров 1, *

1 Институт механики и машиностроения Федерального исследовательского центра “Казанский научный центр Российской академии наук”
Казань, Россия

* E-mail: zakirural@mail.ru

Поступила в редакцию 07.12.2021
После доработки 26.01.2022
Принята к публикации 09.06.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

У космического тела переменного состава постулируется управляемая (переменная) скорость истечения массы, вырабатываемая механизмом использования внутренней энергии. На основе этого постулата выводятся уравнения динамики в отсутствие внешних сил в рамках специальной теории относительности, решение которых позволяет изучать актуальные задачи в ракетодинамике и астрофизике во всем физическом диапазоне скоростей движения.

Ключевые слова: скорость истечения, специальная теория относительности, четырехмерная скорость, параметр управления k

В работах [1, 2] были представлены уравнения движения космического тела переменного состава при постоянной скорости отбрасываемых продуктов сгорания. В настоящем сообщении рассматривается случай переменной скорости истечения, приводящий к уточненной формуле движения космического тела в специальной теории относительности (СТО), в частности, к аналогу формулы Циолковского. Решение Циолковского сыграло и еще играет значительную роль в создании научной базы мировой космонавтики; оно было сформулировано на базе ньютоновской механики. Однако возникновение нехимических с ядерным содержанием движителей требует уточнения и перехода к специальной теории относительности, в которой постулируется метрическое аффиносвязанное пространство – четырехмерное плоское псевдоэвклидово пространство [3].

Как отмечал Л.И. Седов [4], с динамической точки зрения нельзя признать реалистичным постоянство скорости истечения; более того, по его убеждению, “регулированием скорости истечения за конечное время в системе наблюдателя в принципе возможен разгон космического тела до скорости света, происходящий за конечное время в системе наблюдателя”. Исходя из этого мы постулируем функционал $\frac{{{{{v}}_{{{\text{ист}}}}}}}{c}$ в виде

(1)
$\frac{{{{{v}}_{{{\text{ист}}}}}}}{c} = \left( {\frac{{{{{v}}_{{{\text{ист}}\,k}}}}}{c}} \right)\left( {1 - k{{{\sum\limits_{n = 1}^{} {\left( {\frac{{m(t)}}{{{{m}_{o}}}}} \right)} }}^{2}}^{{n - 1}}} \right).$

Для простоты примем n = 1:

(2)
$\frac{{{{{v}}_{{{\text{ист}}}}}}}{c} = \left( {\frac{{{{{v}}_{{{\text{ист}}\,k}}}k}}{c}} \right)\left( {1 - k\frac{{m(t)}}{{{{m}_{o}}}}} \right).$

Здесь при полном выгорании тела, когда материя превращается в поток фотонов, $\frac{{m(t)}}{{{{m}_{o}}}} \to 0$, $\frac{{{{{v}}_{{{\text{ист}}\,k}}}}}{c}~ \to 1$; в начальный момент при $\frac{{m(t)}}{{{{m}_{o}}}} = 1$ параметр k может характеризовать свойства исследуемого тела, $\frac{{{{v}_{{{\text{ист}}}}}}}{c} = \left( {\frac{{{{v}_{{{\text{ист}}\,k}}}}}{c}} \right)(1 - k)$.

Используя постулаты СТО, а также гипотезу Мещерского–Папапетру о контактном взаимодействии из закона сохранения четырех импульсов в системе отсчета внешнего наблюдателя в отсутствие внешних сил следует записать уравнение [5]:

(3)
${{V}^{\gamma }}\frac{{dm}}{{ds}} + m\frac{{d{{V}^{\gamma }}}}{{ds}} = {{A}^{\gamma }}\frac{{d{{m}^{ \times }}}}{{ds}},$
где ds2 = ${{c}^{2}}d{{t}^{2}} - {{(d{{x}^{1}})}^{2}} - {{(d{{x}^{2}})}^{2}} - {{(d{{x}^{3}})}^{2}}$, Vk = = $\left( {\frac{{\frac{{d{{x}^{k}}}}{{dt}}}}{с}} \right){\text{/}}{{\left( {1\, - \,\frac{v}{с}} \right)}^{{1/2}}}$ – скорость тела, Vo = ${{\left( {\frac{1}{{1\, - \,\frac{v}{с}}}} \right)}^{{1/2}}}$, Aγ – четырехмерная скорость выхлопа; $\frac{{d{{m}^{ \times }}}}{{ds}}$ – скорость изменения массы выхлопа. Умножая (3) cкалярно на ковариантную скорость Vγ, имеем

(4)
$\frac{{d{{m}^{ \times }}}}{{ds}} = \left( {\frac{{dm}}{{ds}}} \right){\text{/}}({{V}^{\gamma }}{{A}_{\gamma }}).$

Подставляя (4) в (3), получим

(5)
$\frac{{d{{V}^{\gamma }}}}{{ds}} = \left( {\frac{{{{A}^{\gamma }}}}{{{\text{|}}{{V}^{\gamma }}{{A}_{\gamma }}{\text{|}} - {{V}^{\gamma }}}}} \right)\left( {\frac{{dm}}{{ds}}} \right){\text{/}}m.$

Используя преобразования Лоренца, правила сложения скоростей Эйнштейна, получим урав-нение 

(6)
$\frac{{d{{V}^{\gamma }}}}{{ds}} = \left( {\frac{{{v}_{{{\text{ист}}}}^{\gamma }}}{c}} \right)\left( {\frac{{dm}}{{ds}}} \right){\text{/}}{{\left( {1 - {{{\left( {\frac{{v}}{c}} \right)}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}}m.$

Для простоты рассмотрим одномерную кинематику

(7)
$\begin{gathered} \frac{{dV}}{{ds}} = \left( {\frac{{{{{v}}_{{{\text{ист}}}}}}}{c}} \right)\left( {\frac{{dm}}{{ds}}} \right){\text{/}}{{\left( {1 - {{{\left( {\frac{{v}}{c}} \right)}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}}m, \\ ~V = \left( {\frac{{v}}{c}} \right){\text{/}}{{\left( {{\text{ }}1 - {{{\left( {\frac{{v}}{c}} \right)}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}}. \\ \end{gathered} $

Подставим в (7) выражение (2):

(8)
$\begin{gathered} d\left( {\frac{{v}}{c}} \right){\text{/}}{{\left( {{\text{ }}1 - {{{\left( {\frac{{v}}{c}} \right)}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}}{\text{/}}ds = \\ = \left[ {\left( {\frac{{{{{v}}_{{{\text{ист}}k}}}}}{c}} \right)\left( {1 - k\frac{{m(t)}}{{{{m}_{o}}}}} \right)} \right]{\text{ }}\left( {\frac{{dm}}{{ds}}} \right){\text{/}}{{\left( {1 - {{{\left( {\frac{{v}}{c}} \right)}}^{2}}} \right)}^{{1/2}}}m.~ \\ \end{gathered} $

После интегрирования (8) получим окончательный результат:

(9)
$\begin{gathered} {\text{при}}\quad \frac{{dm}}{{ds}} < 0\quad \frac{{v}}{c} = \left\{ {1 - \frac{{1 - \frac{{{{{v}}_{0}}}}{c}}}{{1 + \frac{{{{{v}}_{0}}}}{c}}}{{{\left( {\frac{{m(t)}}{{{{m}_{o}}}}} \right)}}^{2}}{{e}^{2}}{{{^{{r(1 - }}}}^{{m/}}}^{{{{m}_{o}})}}} \right\}/ \\ ~/\left\{ {1 + \frac{{1 - \frac{{{{{v}}_{0}}}}{c}}}{{1 + \frac{{{{{v}}_{0}}}}{c}}}{{{\left( {\frac{{m(t)}}{{{{m}_{o}}}}} \right)}}^{2}}{{e}^{{2r(1 - m/{{m}_{o}})}}}} \right\}.~ \\ \end{gathered} $

При $\frac{m}{{{{m}_{o}}}} \to 0$  $\frac{v}{c} = \left( {\frac{{{{v}_{{{\text{ист}}\,k}}}}}{c}} \right){\text{ }} = {\text{ }}1$, при $\frac{m}{{{{m}_{o}}}} = {\text{ }}1$  $\frac{v}{c} = 0$.

В табл. 1 для примера приводится иллюстрация формулы (9), k = 0.01.

Таблица 1
m/mo 0.9 0.8 0.6 0.5 0.3 0.1
${v}$/c 0.104 0.22 0.47 0.60 0.83 0.98

Подводя итоги, следует отметить, что выбор модели истечения и полученное решение могут быть связаны с задачами оптимизации движения космического тела при больших скоростях, в задачах инерциальной навигации, а также в изучении астрофизики тел с переменной массой в космологии.

Список литературы

  1. Закиров У.Н. Механика релятивистских космических полетов. М.: Наука, 1984.

  2. Закиров У.Н. Релятивистская механика для инженеров. Казань: КФУ, 2020.

  3. Эйнштейн А. Сущность теории относительности. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955.

  4. Седов Л.И., Цыпкин А.Г. Основы макроскопических теории гравитации и электромагнетизма. М.: Наука, Главная ред. физ.-мат. лит., 1989.

  5. Закиров У.Н. Уравнения движения космического тела переменного состава в предпосылках теории относительности // ДАН СССР. 1980. Т. 254. № 1. С. 50–52.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал