Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. T. 509, Номер 1, 2023

  1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 509, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2023, T. 509, № 1, стр. 45-49

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ ТЕЛА, БЛИЗКОГО К ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМУ, ПОЛЕМ ПРИТЯЖЕНИЯ ТРЕХ ШАРОВ

А. А. Буров 1, В. И. Никонов 1, *

1 Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление” Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: nikon_v@list.ru

Поступила в редакцию 13.09.2022
После доработки 13.09.2022
Принята к публикации 12.10.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается поле притяжения твердого тела, близкого к динамически симметричному. Исследуется вопрос о том, как приблизить такое поле притяжения полем притяжения трех однородных шаров так, чтобы для этих полей разложение гравитационного потенциала совпадало вплоть до членов пятого порядка малости. В качестве примера рассмотрено приближение тремя шарами астероида (433) Эрос.

Ключевые слова: поле притяжения твердого тела, приближение поля притяжения, поле притяжения астероидов, астероид (433) Эрос

1. ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Пусть $\mathcal{B}$ – динамически симметричное твердое тело массой $m$ с центром масс в точке O, осевой и экваториальный центральные моменты инерции которого равны Ia и Ie соответственно. Пусть $Oxyz$ – связанная с этим телом система отсчета, ось $Oz$ которой направлена вдоль оси динамической симметрии. Как известно (см., например, [1–3]), разложение в ряд потенциала притяжения такого тела может быть представлено в виде

(1)
$U = - G\frac{m}{r}\left( {1 + \sum\limits_{k \geqslant 2} {{J}_{k}}{{{\left( {\frac{R}{r}} \right)}}^{k}}{{P}_{k}}\left( {\sin \varphi } \right)} \right),$
где $G$ – гравитационная постоянная, $m$ – масса тела, $R$ – характерный размер тела, например, радиус шара, объем которого совпадает с объемом тела, r – расстояние от центра масс тела до изучаемой точки, $\varphi $ – “географическая широта” изучаемой точки (отстоящей от центра масс тела на расстоянии r), ${{J}_{k}}$ – безразмерные постоянные, ${{P}_{k}}( \cdot )$ – многочлены Лежандра.

В частном случае, когда тело представляет собой совокупность однородных шаров ${{\mathcal{B}}_{i}}$, $i = 1,...,N,$ массами ${{m}_{i}}$ и радиусами ${{r}_{i}}$, центры которых лежат на одной прямой и задаются как ${{C}_{i}} = (0,0,{{c}_{i}})$ относительно $Oxyz$, разложение (1) принимает вид

(2)
$\begin{gathered} U = - \frac{{Gm{\kern 1pt} '}}{r}\left( {1 + \sum\limits_{k \geqslant 1} \frac{{{{\gamma }_{k}}}}{{{{r}^{k}}}}{{P}_{k}}(\sin \varphi )} \right), \\ {{\gamma }_{k}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {{m}_{i}}c_{i}^{k}}}{{m{\kern 1pt} '}},\quad m{\kern 1pt} ' = \sum\limits_{i = 1}^N {{m}_{i}}. \\ \end{gathered} $

В общем случае ставится задача определения 2N параметров ${{m}_{1}}$, …, ${{m}_{N}}$ и ${{c}_{1}}$, …, ${{c}_{N}}$ таких, чтобы совпали первые 2N коэффициентов в разложениях (1) и (2). Соответствующие равенства примут вид:

(3)
$\begin{gathered} {{m}_{1}}c_{1}^{k} + {{m}_{2}}c_{2}^{k} + ... + {{m}_{N}}c_{N}^{k} = m{{J}_{k}}{{R}^{k}}, \\ k = 0, \ldots ,2N - 1. \\ \end{gathered} $

Заметим, что для k = 0 в правой части равенства (3) стоит масса тела, а для k = 1 правая часть равна нулю, поскольку предполагается, что начало системы отсчета совпадает с центром масс. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда N = 3.

2. ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ТРЕХ ШАРОВ С ЦЕНТРАМИ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ

Рассмотрим случай, когда N = 3, т.е. приближение осуществляется с помощью трех однородных шаров ${{\mathcal{B}}_{1}}$, ${{\mathcal{B}}_{2}}$ и ${{\mathcal{B}}_{3}}$ массами ${{m}_{1}}$, ${{m}_{2}}$ и ${{m}_{3}}$ и радиусами ${{r}_{1}}$, ${{r}_{2}}$ и ${{r}_{3}}$, центры которых во введенной системе отсчета задаются как ${{C}_{1}} = (0,0,{{c}_{1}})$, С2 = = $(0,0,{{c}_{2}})$ и ${{C}_{3}} = (0,0,{{c}_{3}})$.

Разрешив систему уравнений (3) c $k = 0,1,2$ относительно ${{m}_{1}}$, ${{m}_{2}}$ и ${{m}_{3}}$, имеем

(4)
$\begin{gathered} {{m}_{1}} = \frac{{m({{c}_{2}}{{c}_{3}} + {{J}_{2}}{{R}^{2}})}}{{({{c}_{1}} - {{c}_{2}})({{c}_{1}} - {{c}_{3}})}},\quad {{m}_{2}} = \frac{{m({{c}_{3}}{{c}_{1}} + {{J}_{2}}{{R}^{2}})}}{{({{c}_{2}} - {{c}_{3}})({{c}_{2}} - {{c}_{1}})}}, \\ {{m}_{3}} = \frac{{m({{c}_{1}}{{c}_{2}} + {{J}_{2}}{{R}^{2}})}}{{({{c}_{3}} - {{c}_{1}})({{c}_{3}} - {{c}_{2}})}}. \\ \end{gathered} $

Подстановка этих выражений в оставшиеся три уравнения системы (3) и введение обозначений

(5)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{1}} = {{c}_{1}} + {{c}_{2}} + {{c}_{3}},\quad {{\sigma }_{2}} = {{c}_{1}}{{c}_{2}} + {{c}_{2}}{{c}_{3}} + {{c}_{3}}{{c}_{1}}, \\ {{\sigma }_{3}} = {{c}_{1}}{{c}_{2}}{{c}_{3}}, \\ \end{gathered} $
позволяет представить эти уравнения в виде

(6)
${{\sigma }_{3}} + {{\sigma }_{1}}{{R}^{2}}{{J}_{2}} = {{R}^{3}}{{J}_{3}},$
(7)
${{\sigma }_{3}}{{\sigma }_{1}} + (\sigma _{1}^{2} - {{\sigma }_{2}}){{R}^{2}}{{J}_{2}} = {{R}^{4}}{{J}_{4}},$
(8)
${{\sigma }_{3}}(\sigma _{1}^{2} - {{\sigma }_{2}}) + (\sigma _{1}^{3} + {{\sigma }_{3}} - 2{{\sigma }_{1}}{{\sigma }_{2}}){{R}^{2}}{{J}_{2}} = {{R}^{5}}{{J}_{5}}.$

Оказалось, что система уравнений (6)–(8) относительно ${{\sigma }_{1}},\;{{\sigma }_{2}},\;{{\sigma }_{3}}$ сводится к линейной и потому имеет единственное решение

(9)
${{\sigma }_{1}} = R\frac{{{{J}_{3}}{{J}_{4}} + \left( {{{J}_{2}}{{J}_{3}} - {{J}_{5}}} \right){{J}_{2}}}}{{J_{2}^{3} + J_{3}^{2} - {{J}_{2}}{{J}_{4}}}},$
(10)
${{\sigma }_{2}} = {{R}^{2}}\frac{{\left( {{{J}_{2}}{{J}_{3}} - {{J}_{5}}} \right){{J}_{3}} + ({{J}_{4}} - J_{2}^{2}){{J}_{4}}}}{{J_{2}^{3} + J_{3}^{2} - {{J}_{2}}{{J}_{4}}}},$
(11)
${{\sigma }_{3}} = {{R}^{3}}\frac{{J_{3}^{3} + J_{2}^{2}{{J}_{5}} - 2{{J}_{2}}{{J}_{3}}{{J}_{4}}}}{{J_{2}^{3} + J_{3}^{2} - {{J}_{2}}{{J}_{4}}}}.$

Таким образом, остается найти ${{c}_{1}},\;{{c}_{2}},\;{{c}_{3}}$ как корни кубического уравнения

(12)
${{c}^{3}} - {{\sigma }_{1}}{{c}^{2}} + {{\sigma }_{2}}c - {{\sigma }_{3}} = 0$
и по ним с помощью соотношений (4) восстановить значения масс ${{m}_{1}},\;{{m}_{2}},\;{{m}_{3}}.$

Дискриминант левой части уравнения (12) имеет вид

(13)
$\begin{gathered} \Delta = - 4 \cdot \sigma _{1}^{3} \cdot {{\sigma }_{3}} + \sigma _{1}^{2} \cdot \sigma _{2}^{2} - 4 \cdot \sigma _{2}^{3} + \\ \, + 18 \cdot {{\sigma }_{1}} \cdot {{\sigma }_{2}} \cdot {{\sigma }_{3}} - 27 \cdot \sigma _{3}^{2}. \\ \end{gathered} $

Если $\Delta > 0$, то все значения ${{c}_{k}}$, а вместе с ними – и ${{m}_{k}}$ вещественны. Если $\Delta < 0$, то вещественно лишь одно значение из ${{c}_{k}}.$

Замечание 1. То обстоятельство, что при приближении поля притяжения твердого тела полем притяжения двух притягивающих центров, эти центры могут оказаться в комплексной области, хорошо известно. Соответствующие выражения для дискриминанта, знак которого определяет, имеет место такое явление или нет, выписаны, например, в [2, 4].

3. ОСРЕДНЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА

Как известно (см., например, [5]), гравитационный потенциал твердого тела $\mathcal{B}$ в правой декартовой системе координат $Oxyz$ в общем виде может быть записан как

(14)
$U = - G\sum\limits_{d = 0}^\infty {\sum\limits_{a + b + c = d} {\kern 1pt} {{I}_{{abc}}}\frac{{{{{( - 1)}}^{d}}}}{{a!b!c!}}\frac{{{{\partial }^{d}}}}{{\partial {{x}^{a}}\partial {{y}^{b}}\partial {{z}^{c}}}}\left( {\frac{1}{r}} \right),} $
где ${{I}_{{abc}}} = \int\limits_\mathcal{B} {{x}^{a}}{{y}^{b}}{{z}^{c}}dm$ – так называемые интегралы инерции, a, b, c – целые числа, $d = 0,1,2,...$ .

В случае, когда тело близко к динамически симметричному, вместо потенциала (14) имеет смысл рассматривать приближенный потенциал, получающийся из (14) в результате осреднения “по долготе” следующим образом.

Пусть оси системы отсчета $Oxyz$ совпадают с главными центральными осями инерции, и ось $Oz$ можно приближенно считать осью динамической симметрии, т.е.

(15)
$\frac{{{\text{|}}{{I}_{y}} - {{I}_{x}}{\text{|}}}}{{{{I}_{z}}}} \ll 1,$
где ${{I}_{x}}$, ${{I}_{y}}$ и ${{I}_{z}}$ – главные центральные моменты инерции относительно осей системы отсчета. Введем координаты
(16)
$\begin{gathered} x = r\cos \varphi \cos \theta ,\quad y = r\cos \varphi \sin \theta , \\ z = r\sin \varphi \\ \end{gathered} $
и выполним осреднение потенциала по долготе $\theta .$ Имеем
(17)
$\begin{gathered} \bar {U} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } \,U{{{\text{|}}}_{{(16)}}}{\text{d}}\theta = \\ \, = - G\frac{m}{r}\left( {1 + \sum\limits_{k = 2,3,4} {{J}_{k}}{{{\left( {\frac{R}{r}} \right)}}^{k}}{{P}_{k}}\left( {\sin \varphi } \right) + \ldots } \right), \\ \end{gathered} $
причем коэффициенты разложения (17) определяются соотношениями

(18)
${{J}_{2}} = \frac{1}{2}\frac{{2{{I}_{{002}}} - {{I}_{{020}}} - {{I}_{{200}}}}}{{{{I}_{{000}}}{{R}^{2}}}},$
(19)
${{J}_{3}} = \frac{1}{2}\frac{{2{{I}_{{003}}} - 3{{I}_{{021}}} - 3{{I}_{{201}}}}}{{{{I}_{{000}}}{{R}^{3}}}},$
(20)
$\begin{gathered} {{J}_{4}} = \\ = \frac{1}{8}\frac{{8{{I}_{{004}}} + 3{{I}_{{400}}} + 3{{I}_{{040}}} + 6{{I}_{{220}}} - 24{{I}_{{022}}} - 24{{I}_{{202}}}}}{{{{I}_{{000}}}{{R}^{4}}}}, \\ \end{gathered} $
(21)
$\begin{gathered} {{J}_{5}} = \\ = \frac{1}{8}\frac{{8{{I}_{{005}}}\, + \,15{{I}_{{401}}}\, + \,15{{I}_{{041}}}\, + \,30{{I}_{{221}}}\, - \,40{{I}_{{203}}}\, - \,40{{I}_{{023}}}}}{{{{I}_{{000}}}{{R}^{5}}}}. \\ \end{gathered} $

Замечание 2. Для осредненного потенциала (17) ось Oz является осью симметрии.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСОВ ШАРОВ

После того, как из предыдущих рассуждений найдены массы “приближающих тело” трех шаров, можно перейти к определению радиусов этих шаров. Шары предполагаются однородными и имеющими одинаковую плотность $\rho $, равную плотности тела: $\rho = m{\text{/}}V,$ где V – объем тела. Тогда радиусы шаров находятся из соотношений

(22)
${{m}_{i}} = \frac{4}{3}\pi \rho r_{i}^{3} \Leftrightarrow {{r}_{i}} = {{\left( {\frac{{3{{m}_{i}}}}{{4\pi \rho }}} \right)}^{{1{\text{/}}3}}}.$

5. ТРЕХМАССОВАЯ МОДЕЛЬ АСТЕРОИДА (433) ЭРОС

Рассмотрим в качестве примера астероид (433) Эрос. Будем полагать, что поверхность астероида представлена триангуляционной сеткой, полученной в результате обработки фотометрических измерений, а плотность заключенного в нем вещества постоянна. Из ряда имеющихся моделей, отличающихся друг от друга калибром разбиения триангуляционных элементов, выберем ту, у которой 1708 треугольных граней и 856 вершин [6, 7]. Как показано ранее [8], использование сеток с более мелкими ячейками не приводит к существенному уточнению вычисляемых величин. Известно, что для этого астероида $R = 8.41$ (км), I000 = $6.665$ × 1015 (кг) и средняя плотность составляет $\rho = 2675$ (кг/м3). Кроме того, главные центральные   моменты инерции астероида составляют ${{I}_{x}} = 9.991$ × 1016, ${{I}_{y}} = 4.8445$ × 1017, ${{I}_{z}} = 4.9246$ × 1017 (кг ⋅ км2), а также, согласно вычислениям из [9],

$\begin{gathered} {{I}_{{200}}} = 4.385 \times {{10}^{{17}}},\quad {{I}_{{020}}} = 5.396 \times {{10}^{{16}}}, \\ {{I}_{{002}}} = 4.595 \times {{10}^{{16}}}\;({\text{кг}} \cdot {\text{к}}{{{\text{м}}}^{2}}), \\ \end{gathered} $
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}_{{300}}} = - 2.974 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{102}}} = 2.232 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{120}}} = - 1.310 \times {{{10}}^{{15}}},} \\ {{{I}_{{003}}} = - 1.692 \times {{{10}}^{{15}}},}&{{{I}_{{012}}} = 6.155 \times {{{10}}^{{15}}},}&{{{I}_{{021}}} = - 1.738 \times {{{10}}^{{15}}},} \\ {{{I}_{{030}}} = 1.978 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{102}}} = 2.232 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{111}}} = - 1.761 \times {{{10}}^{{15}}},} \\ {{{I}_{{120}}} = - 1.310 \times {{{10}}^{{15}}},}&{{{I}_{{201}}} = 6.803 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{210}}} = - 4.653 \times {{{10}}^{{17}}},} \\ {}&{{{I}_{{300}}} = - 2.974 \times {{{10}}^{{17}}},}&{} \end{array}} \right\}\;({\text{кг}} \cdot {\text{к}}{{{\text{м}}}^{3}}),$
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}_{{004}}} = 6.846 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{013}}} = - 1.539 \times {{{10}}^{{15}}},}&{{{I}_{{022}}} = 2.556 \times {{{10}}^{{17}}},} \\ {{{I}_{{031}}} = - 1.023 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{040}}} = 9.802 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{103}}} = - 1.491 \times {{{10}}^{{16}}},} \\ {{{I}_{{112}}} = - 3.081 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{121}}} = 4.277 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{130}}} = - 1.159 \times {{{10}}^{{17}}},} \\ {{{I}_{{202}}} = 2.363 \times {{{10}}^{{18}}},}&{{{I}_{{211}}} = - 5.325 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{220}}} = 3.724 \times {{{10}}^{{18}}},} \\ {{{I}_{{301}}} = 2.512 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{310}}} = 1.375 \times {{{10}}^{{18}}},}&{{{I}_{{400}}} = 5.579 \times {{{10}}^{{19}}},} \end{array}} \right\}\;({\text{кг}} \cdot {\text{к}}{{{\text{м}}}^{4}}),$
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{I}_{{005}}} = - 8.480 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{014}}} = 1.616 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{023}}} = - 2.813 \times {{{10}}^{{16}}},} \\ {{{I}_{{032}}} = 1.472 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{041}}} = - 5.151 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{050}}} = 9.686 \times {{{10}}^{{17}}},} \\ {{{I}_{{104}}} = 5.840 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{113}}} = - 7.008 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{122}}} = 1.820 \times {{{10}}^{{17}}},} \\ {{{I}_{{131}}} = 1.537 \times {{{10}}^{{16}}},}&{{{I}_{{140}}} = - 3.387 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{203}}} = 1.148 \times {{{10}}^{{18}}},} \\ {{{I}_{{212}}} = - 2.200 \times {{{10}}^{{18}}},}&{{{I}_{{221}}} = 3.492 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{230}}} = - 7.574 \times {{{10}}^{{18}}},} \\ {{{I}_{{302}}} = 7.016 \times {{{10}}^{{17}}},}&{{{I}_{{311}}} = - 6.271 \times {{{10}}^{{18}}},}&{{{I}_{{320}}} = - 2.386 \times {{{10}}^{{18}}},} \\ {{{I}_{{401}}} = 1.029 \times {{{10}}^{{19}}},}&{{{I}_{{410}}} = - 9.041 \times {{{10}}^{{19}}},}&{{{I}_{{500}}} = - 1.054 \times {{{10}}^{{20}}}.} \end{array}} \right\}\;({\text{кг}} \cdot {\text{к}}{{{\text{м}}}^{5}}).$

Проверка условия (15) дает

$\frac{{{\text{|}}{{I}_{z}} - {{I}_{y}}{\text{|}}}}{{{{I}_{x}}}} \approx 0.08 \ll 1.$

Поэтому формулы (18)–(21) применимы, и, опираясь на перечисленные значения интегралов ${{I}_{{jkl}}}$, находим

${{J}_{2}} = 0.82423145,\quad {{J}_{3}} = - 0.08296512,$
${{J}_{4}} = 1.15007088,\quad {{J}_{5}} = - 0.34177994.$

Из (9)–(11) определяем

$\begin{gathered} {{\sigma }_{1}} = - 2.86753661\;{\kern 1pt} ({\text{км}}), \\ {{\sigma }_{2}} = - 96.26739729\;({\text{к}}{{{\text{м}}}^{2}}), \\ {{\sigma }_{3}} = 117.80084113\;({\text{к}}{{{\text{м}}}^{3}}), \\ \end{gathered} $
и, решая уравнение (12), имеем

${{c}_{1}} = - 10.782,\quad {{c}_{2}} = 9.114,\quad {{c}_{3}} = - 1.199\;({\text{км}}).$

Тогда в силу (4)

$\begin{gathered} {{m}_{1}} = 1.656 \times {{10}^{{15}}},\quad {{m}_{2}} = 2.313 \times {{10}^{{15}}}, \\ {{m}_{3}} = 2.696 \times {{10}^{{15}}}\;({\text{кг}}), \\ \end{gathered} $
а в силу (22)

${{r}_{1}} = 5.287,\quad {{r}_{2}} = 5.910,\quad {{r}_{3}} = 6.220\;({\text{км}}).$

Замечание 3. Полученные значения масс и радиусов шаров близки к значениям

$\begin{gathered} {{m}_{1}} = 2.001 \times {{10}^{{15}}},\quad {{m}_{2}} = 2.608 \times {{10}^{{15}}}, \\ {{m}_{3}} = 2.057 \times {{10}^{{15}}}\;({\text{кг}}), \\ \end{gathered} $
${{r}_{1}} = 5.631,\quad {{r}_{2}} = 6.151,\quad {{r}_{3}} = 5.683\;({\text{км}}),$
полученным ранее в [10] так называемым методом K-средних. Расстояния между центрами шаров
$\begin{gathered} {{d}_{{12}}} = {\text{|}}{{c}_{1}} - {{c}_{2}}{\text{|}} = 19.896,\quad {{d}_{{23}}} = {\text{|}}{{c}_{2}} - {{c}_{3}}{\text{|}} = 10.312, \\ {{d}_{{31}}} = {\text{|}}{{c}_{3}} - {{c}_{1}}{\text{|}} = 9.584\;({\text{км}}) \\ \end{gathered} $
также близки к длинам сторон треугольника, образованного центрами шаров, определенных в [10] методом K-средних и равных

$d_{{12}}^{ \star } = 17.983,\quad d_{{23}}^{ \star } = 9.897,\quad d_{{31}}^{ \star } = 8.783\;({\text{км}}).$

Отклонения можно оценить отношениями

$\begin{gathered} \frac{{\left| {d_{{12}}^{ \star } - {{d}_{{12}}}} \right|}}{{\min (d_{{12}}^{ \star },{{d}_{{12}}})}} \approx 0.106,\quad \frac{{\left| {d_{{23}}^{ \star } - {{d}_{{23}}}} \right|}}{{\min (d_{{23}}^{ \star },{{d}_{{23}}})}} \approx 0.042, \\ \frac{{\left| {d_{{31}}^{ \star } - {{d}_{{31}}}} \right|}}{{\min (d_{{31}}^{ \star },{{d}_{{31}}})}} \approx 0.091. \\ \end{gathered} $

Заметим также, что в этом треугольнике тупой угол при вершине составляет 2.592524415 радиан и достаточно близок к развернутому. Примечательно, что благодаря вытянутости астероида (433) Эрос шары оказались расположенными в действительной области.

Рис. 1.

Астероид (433) Эрос и приближаюшие его шары.

Астероид (433) Эрос в сочетании с тройкой моделирующих его шаров изображен на рис. 1 .

6. ЗАМЕЧАНИЯ

Благодаря тому, что задача о движении точки в поле притяжения двух неподвижных притягивающих центров вполне интегрируема [11], идея приближения поля притяжения динамически симметричных тел полем притяжения пары точечных масс (шаров), восходящая к работам [4, 12–14], оказалась плодотворной при исследовании орбитальной динамики. В случае, когда появляющееся в таком приближении гантелеобразное тело равномерно вращается или прецессирует, также удается получить ряд результатов, в частности, к свойствам точек либрации [15–17] (см. также [18, 19]).

В случае, когда тело приближается тремя и более точками (или шарами, как в [20–22]), динамика в окрестности небесного тела в рамках такого приближения остается малоизученной [23–25].

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке РНФ, грант № 22-21-00297.

Список литературы

  1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1964. 560 с.

  2. Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968. 352 с.

  3. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1972. 360 с.

  4. Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г. Обобщенная задача двух неподвижных центров и ее применение в теории движения искусственных спутников Земли // Астрономический журнал. 1963. Т. 40. Вып. 2. С. 363–372.

  5. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.

  6. Thomas P.C., Joseph J., Carcich B., et al. // Icarus. 2002. V. 155. № 1. P. 18–37.

  7. Gaskell R.W., Gaskell Eros Shape Model V1.1. urn:nasa:pds:gaskell.ast-eros.shape-model::1.1. NASA Planetary Data System, 2021.

  8. Буров А.А., Никонов В.И. Чувствительность значений компонент тензоров Эйлера–Пуансо к выбору триангуляционной сетки поверхности тела // ЖВМиМФ. 2020. Т. 60. № 10. С. 1764–1776.

  9. Буров А.А., Никонов В.И. Вычисление потенциала притяжения астероида (433) Эрос с точностью до членов четвертого порядка // Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. 2020. Т. 492. № 1. С. 58–62.

  10. Буров А.А., Герман А.Д., Никонов В.И. Использование метода k-средних для агрегирования масс продолговатых небесных тел // Космические исследования. 2019. Т. 57. № 4. С. 283–289.

  11. Euler L. Problème. Un corps étant attiré en raison réciproque quarrée des distances vers deux points fixes donnés trouver les cas où la courbe décrite par ce corps sera algébrique // Mémoires de l’Acad. des sciences de Berlin (1760). P. 228–249.

  12. Кислик М.Д. Движение искусственного спутника в нормальном гравитационном поле Земли // Искусственные спутники Земли. 1960. Вып. 4. С. 3–17.

  13. Vinti J.P. Theory of an accurate intermediary orbit for satellite astronomy // Journ. Res. Nat. Bur. Standards. 1961. V. B65. № 3. P. 169–201.

  14. Кислик М.Д. Анализ интегралов уравнений движения искусственного спутника в нормальном гравитационном поле Земли // Искусственные спутники Земли. 1963. Вып. 13. С. 23–52.

  15. Белецкий В.В. Обобщенная ограниченная круговая задача трех тел как модель динамики двойных астероидов // Космич. исследования. 2007. Т. 45. № 6. С. 435–442.

  16. Белецкий В.В., Родников А.В. Об устойчивости треугольных точек либрации в обобщенной ограниченной круговой задаче трех тел // Космические исследования. 2008. Т. 46. № 1. С. 42–50.

  17. Родников А.В. Треугольные точки либрации обобщенной ограниченной круговой задачи трех тел в случае комплексно-сопряженных масс притягивающих центров // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. Вып. 2. С. 213–222.

  18. Gabern F., Koon W.S., Marsden J.E. Spacecraft dynamics near a binary asteroid // Discrete and continuous dynamical systems. 2005. V. 2005 (Special). P. 297–306.

  19. Gabern F., Koon W.S., Marsden J.E. Parking a Spacecraft near an Asteroid Pair // Journal of guidance, control, and dynamics. 2006. V. 29. № 3. P. 544–553.

  20. Herrera-Sucarrat E. The full problem of two and three bodies: application to asteroids and binaries. Ph. D. Dissertation. University of Surrey, 2012.

  21. Scheeres D.J. Stability of the Euler resting N-body relative equilibria // Celest Mech Dyn Astr. 2018. V. 130. Art № 26.

  22. Scheeres D.J. Relative Equilibria in the Spherical, Finite Density Three-Body Problem. // Journal of Nonlinear Science. 2016. V. 26. P. 1445–1482.

  23. Никонов В.И. Относительные равновесия в задаче о движении треугольника и точки под действием сил взаимного притяжения // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2014. Т. 69. № 2. С. 45–51.

  24. Буров А.А., Никонов В.И. Об устойчивости и ветвлении стационарных вращений в плоской задаче о движении взаимно гравитирующих треугольника и материальной точки // Нелинейная динамика. 2016. Т. 12. № 2. С. 179–196.

  25. Баландин Д.В., Никонов В.И. О точках либрации вращающегося “комплексифицированного” треугольника // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2016. Т. 71. № 3. С. 25–31.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал