Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2023, T. 511, № 1, стр. 16-21

1. ЭВОЛЮЦИЯ КВАНТОВЫХ ЧЕРНЫХ ДЫР В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ

В стандартной космологической модели ΛCDM расширение Вселенной описывается пространственно-плоской метрикой Фридмана–Робертсона–Уокера

Масштабный фактор $b\left( t \right) > 0$ растет со временем. Линейные размеры в сопутствующей космологической системе отсчета растут со временем и равны

Физические импульсы частиц уменьшаются со временем

В работах [3, 4] с учетом (2), (3) строго обосновано, что системы атомных уровней не меняются с космологическим временем.

Скорости свободных массивных частиц в сопутствующей системе отсчета убывают в расширяющейся Вселенной; частицы со временем постепенно “вмораживаются”. Первоначально релятивистские частицы с массой m при больших космологических временах становятся нерелятивистскими [5].

Для нас важно, что импульсы безмассовых фотонов и гравитонов также уменьшаются со временем: для фотонов в расширяющейся Вселенной это приводит к хорошо известному эффекту красного смещения¹¹.

Классические черные дыры S и RN описываются следующими метриками.

Метрика S:

Равенство ${{f}_{S}} = 0$ определяет горизонт событий

Равенство ${{f}_{{RN}}} = 0$ определяет радиусы внешнего и внутреннего горизонтов событий:

В (5), (8) $G$ – гравитационная постоянная; M, Q – масса и заряд черной дыры.

Для метрики RN:

1. Если $G{{M}^{2}} > {{Q}^{2}}$, то

2. Случай $G{{M}^{2}} = {{Q}^{2}}$ соответствует экстремальной метрике с единственным горизонтом событий

3. Случай $G{{M}^{2}} < {{Q}^{2}}$ соответствует голой сингулярности без горизонтов событий. В этом случае ${{f}_{{RN}}} > 0$.

Классические черные дыры Шварцшильда и Райсснера–Нордстрёма, определяемые формулами (4)–(11), не изменяют своих характеристик в расширяющейся Вселенной. Горизонты событий и центральная сингулярность остаются одинаковыми в любой момент космологического времени. В квазистационарном приближении для любого момента ${{t}_{0}}$ параметр $b\left( {{{t}_{0}}} \right)$ является константой и с помощью координатного преобразования всегда можно возвратиться к формулам (4)–(11).

Иная физическая картина складывается для квантовых черных дыр с предельными импульсами гравитонов ${{k}_{{UV}}}$.

1.1. Квантовая метрика Шварцшильда

В [1] модифицированная метрика S имеет вид

(12)

$d{{s}^{2}} = {{f}_{{SQ}}}d{{t}^{2}} - \frac{{d{{r}^{2}}}}{{{{f}_{{SQ}}}}} - {{r}^{2}}[d{{\theta }^{2}} + {{\sin }^{2}}\theta d{{\varphi }^{2}}],$

где

(13)

${{f}_{{SQ}}} = 1 - \frac{{{{R}_{H}}}}{r}\frac{2}{\pi }\operatorname{Si} \left( {\frac{r}{{{{R}_{S}}}}} \right).$

Здесь через $\operatorname{Si} $ обозначен интегральный синус: $\operatorname{Si} \left( x \right) = \int\limits_0^x {\frac{{\sin t}}{t}dt} $.

Равенство ${{f}_{{SQ}}} = 0$ определяет горизонт событий

(14)

$\frac{{{{r}_{H}}}}{{{{R}_{H}}}} = \frac{2}{\pi }\operatorname{Si} \left( {\frac{{{{r}_{H}}}}{{{{R}_{H}}}}\frac{1}{{{{{{R}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{S}}} {{{R}_{H}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{H}}}}}}} \right).$

В результате мы имеем функциональную зависимость

(15)

$\frac{{{{r}_{H}}}}{{{{R}_{H}}}} = f\left( {\frac{{{{R}_{S}}}}{{{{R}_{H}}}}} \right).$

Зависимость (15) определена в [1] и приведена на рис. 1.

Рис. 1.

Радиусы ${{r}_{H}}$ квантовых горизонтов событий для различных значений ${{R}_{S}}.$

Квантовая метрика (12) отличается от классической метрики (4) наличием предельного импульса гравитонов ${{k}_{{UV}}}\sim {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{R}_{S}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{S}}}}$.

В расширяющейся Вселенной предельный импульс гравитонов в соответствии с (3) уменьшается с космологическим временем. Тогда

(16)

${{R}_{S}}\left( t \right) = b\left( t \right){{R}_{S}}\left( {{{t}_{0}}} \right),$

где t₀ – момент образования черной дыры.

Из решения (15) для каждого момента космологического времени будет существовать свой горизонт событий ${{r}_{H}}\left( t \right)$.

Пусть ${{R}_{S}}({{t}_{0}}) = 0.01{{R}_{H}}$. Из рис. 1 следует, ${{r}_{H}}({{t}_{0}})\, \approx \,{{R}_{H}}$.

Далее, в соответствии с (16), ${{R}_{S}}\left( t \right)$ возрастает и при $t = {{t}_{1}}$ достигает ${{R}_{S}} \approx 0.6{{R}_{H}}$. В этом случае ${{r}_{H}} = {{R}_{S}}$, т.е. горизонт событий исчезает. Его заменяет источник гравитационной массы M. Черная дыра при $t = {{t}_{1}}$ исчезает. Исчезновение черной дыры неминуемо происходит в какой-то момент космологического времени для любого момента времени образования квантовой черной дыры с ${{R}_{S}} < 0.6{{R}_{H}}$ (см. рис. 1).

1.2. Квантовая метрика Райсснера–Нордстрёма

В [2] модифицированная метрика RN имеет вид

(17)

$d{{s}^{2}} = {{f}_{{RNq}}}d{{t}^{2}} - \frac{{d{{r}^{2}}}}{{{{f}_{{RNq}}}}} - {{r}^{2}}[d{{\theta }^{2}} + {{\sin }^{2}}\theta d{{\varphi }^{2}}],$

где

(18)

${{f}_{{RNq}}} = 1 - \frac{{{{R}_{H}}}}{r}\frac{2}{\pi }\operatorname{Si} \left( {\frac{r}{{{{R}_{S}}}}} \right) + \frac{{R_{Q}^{2}}}{{{{r}^{2}}}}\left( {1 - \cos \left( {\frac{r}{{{{R}_{S}}}}} \right)} \right).$

В (18) ${{R}_{H}} = 2GM;$ $R_{Q}^{2} = G{{Q}^{2}}$.

Равенство ${{f}_{{RNq}}} = 0$ определяет возможные горизонты событий ${{r}_{q}}$:

(19)

$\begin{gathered} 1 - \frac{{{{R}_{H}}}}{{{{r}_{q}}}}\frac{2}{\pi }\operatorname{Si} \left( {\frac{{{{r}_{q}}}}{{{{R}_{H}}}}\frac{1}{{{{{{R}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{S}}} {{{R}_{H}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{H}}}}}}} \right) + \\ \, + \beta \frac{{R_{H}^{2}}}{{4r_{q}^{2}}}\left( {1 - \cos \left( {\frac{{{{r}_{q}}}}{{{{R}_{H}}}}\frac{1}{{{{{{R}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{S}}} {{{R}_{H}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{H}}}}}}} \right)} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Здесь $R_{Q}^{2} = \beta \frac{{R_{H}^{2}}}{4}$; $\beta = 0$ – метрика S; $0 < \beta < 1$ – метрика RN с горизонтами событий; β = 1 – аналог экстремальной метрики RN; β > 1 – параметрический аналог “голой” сингулярности RN.²²

Рис. 2.

Радиусы ${{r}_{q}}$ квантовых горизонтов событий для различных значений ${{R}_{S}}$ и $\beta \leqslant 1.$

Рис. 3.

Радиусы ${{r}_{q}}$ квантовых горизонтов событий для различных значений ${{R}_{S}}$ и $\beta > 1.$

Решение уравнения (19) можно выразить в виде 

(20)

$\frac{{{{r}_{q}}}}{{{{R}_{H}}}} = \varphi \left( {\frac{{{{R}_{S}}}}{{{{R}_{H}}}},\beta } \right).$

На рис. 2 приведены зависимости (20) для значений $\beta = 0.3,\,0.5,\,0.8,\,1.0$, определенные с помощью пакета программ “Maple”.

Из рисунков видно, что при малых значениях ${{{{R}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{S}}} {{{R}_{H}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{H}}}}$ существует несколько горизонтов событий. С увеличением ${{R}_{S}}$ количество горизонтов уменьшается вплоть до одного ${{\left( {{{r}_{q}}} \right)}_{ + }}$. Дальнейшее увеличение ${{R}_{S}}$ приводит к исчезновению всех горизонтов событий.

В отличие от классической экстремальной черной дыры RN с единственным горизонтом событий ${{R}_{ \pm }} = {{R}_{H}}$ для квантовой черной дыры RN с $\beta = 1$ качественно воспроизводится картина, описанная для значений $0 < \beta < 1$. В этом случае исчезновение горизонтов событий происходит при достаточно малых значениях ${{{{R}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{S}}} {{{R}_{H}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{H}}}} \approx 0.15$ (см. рис. 2г).

Затененные участки на рис. 1, 2 соответствуют параметрам ${{r}_{H}},{{r}_{q}} < {{R}_{S}}$. Такие параметры не могут являться параметрами черных дыр.

Для классических черных дыр RN случай β > 1 соответствует “голой” сингулярности RN. Для квантовых черных дыр RN при β > 1 и ${{{{R}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{R}_{S}}} {{{R}_{H}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{H}}}}$ < < 0.145 существует несколько горизонтов событий (см. рис. 3). При увеличении ${{R}_{S}}$ горизонты событий исчезают.

Таким образом, во всех рассмотренных случаях квантовые черные дыры RN в расширяющейся Вселенной исчезают в определенные моменты космологического времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Квантовые черные дыры Шварцшильда [1] и Райсснера–Нордстрёма [2] описываются когерентными состояниями гравитонов с предельными импульсами ${{k}_{{UV}}}\sim {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{R}_{S}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{S}}}}$. В расширяющейся Вселенной импульсы безмассовых фотонов и гравитонов уменьшаются cо временем, что для фотонов приводит к хорошо известному эффекту красного смещения. Предельный импульс ${{k}_{{UV}}}$ также уменьшается с космологическим временем. В результате квантовые черные дыры [1, 2] в определенные моменты времени теряют горизонты событий и превращаются в гравитирующие объекты с массами $M$. Лишь к таким объектам без горизонтов событий можно применять классические утверждения от том, что локальные силы (включая гравитацию) будут всегда преодолевать космологическое расширение.

Из-за наличия предельного импульса гравитонов квантовые черные дыры имеют волосы. Эффект исчезновения черных дыр в расширяющейся Вселенной сохранится также в будущей более совершенной квантовой теории гравитации, поскольку он связан с заменой точечной массы M в классических черных дырах на квантовое ядро в квантовых черных дырах.