Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. T. 511, Номер 1, 2023

  1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 511, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2023, T. 511, № 1, стр. 55-59

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА В ЖИДКОСТИ

А. Г. Петров 1, *

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: petrovipmech@gmail.com

Поступила в редакцию 19.01.2023
После доработки 13.05.2023
Принята к публикации 15.05.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследуются вынужденные нелинейные колебания газового пузырька в жидкости, когда частота колебаний внешнего давления жидкости равна собственной частоте колебаний пузырька (резонанс). Методом осреднения выведена простая формула зависимости амплитуды колебаний газового пузырька от амплитуды внешнего давления и теплофизических характеристик газа и вязкости жидкости. Показано ее хорошее согласие с численными расчетами до значения амплитуды колебаний радиуса пузырька, сравнимого с его равновесным значением.

Ключевые слова: газовые пузырьки, вынужденные нелинейные колебания, гомобаричность, жидкость

Задача о колебаниях газового пузырька в жидкости под действием периодически меняющегося давления имеет долгую историю. К настоящему времени этот раздел механики жидкости и газа является классическим и представлен в сотнях статей и ряде монографий [1–4]. М. Миннаерт [5] экспериментально и теоретически изучил зависимость частоты свободных колебаний газового пузырька в жидкости. Им получена формула, связывающая частоту свободных колебаний пузыря с плотностью жидкости, давлением, радиусом пузыря в равновесном состоянии и показателем адиабаты газа γ. В [6] исследованы вынужденные колебания пузыря под воздействием внешних пульсаций давления в линейном приближении. При этом предполагалось, что давление внутри пузыря однородно (допущение о гомобаричности). В [7, 8] учитываются следующее за линейным (квадратичное) приближение, а также теплофизические свойства жидкости и газа. В [9, 10] обсуждаются правомерность условия гомобаричности и влияние теплофизических свойств жидкости на колебание пузырьков в жидкости.

Наибольшую сложность для анализа амплитуды колебаний пузырька представляет собой резонансный случай, когда частота внешних пульсаций давления равна частоте Миннаерта. Линейное приближение дает для амплитуды на порядок большее значение, чем численное ее значение, определенное из точного нелинейного уравнения [11]. Даже учет квадратичных членов в уравнении дает значение, существенно отличающееся от точного. Ниже методом осреднения выведена простая формула зависимости амплитуды колебаний газового пузырька от амплитуды внешнего давления и теплофизических характеристик газа и жидкости. Показано ее хорошее согласие с численными расчетами до значения амплитуды колебаний радиуса пузырька, сравнимого с его равновесным значением.

УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Уравнение изменения радиуса пузырька $R$ можно получить из закона изменения энергии [11, 12]:

(1)
$\begin{gathered} \frac{{dE}}{{dt{\kern 1pt} '}} + \left[ {{{p}_{0}}\left( {1 - {{{\left( {\frac{{{{R}_{0}}}}{R}} \right)}}^{{3\gamma }}}} \right) + {{p}_{1}}\cos \omega t{\kern 1pt} '} \right]4\pi {{R}^{2}}\frac{{dR}}{{dt{\kern 1pt} '}} + \\ \, + 16\pi \mu R{{\left( {\frac{{dR}}{{dt{\kern 1pt} '}}} \right)}^{2}} = 0,\quad E = 2\pi \rho {{R}^{3}}{{\left( {\frac{{dR}}{{dt{\kern 1pt} '}}} \right)}^{2}}, \\ \end{gathered} $
где E – кинетическая энергия жидкости, p0 – невозмущенное давление жидкости, p1 – амплитуда колебаний давления в жидкости. В диссипативном члене учитывается только вязкость жидкости $\mu $. В линейном приближении амплитуда свободных колебаний за один период убывает в ${{e}^{\Lambda }}$ раз, где Λ – декремент затухания, который выражается через вязкость жидкости $\Lambda = \frac{{4\pi \mu }}{{\rho {{R}_{0}}^{2}\omega }}$. Для учета тепловой диссипации удобно заменить $\mu $ на эффективную вязкость, выразив ее через декремент затухания $\mu = \frac{{\rho {{R}_{0}}^{2}\omega }}{{4\pi }}\Lambda $, где $\omega $ – частота свободных колебаний пузырька (частота Миннаерта). Как известно, для воздушных пузырьков в воде, радиусы которых меняются в диапазоне ${{R}_{0}} \in $ (10–4 см, 10–1 см), декремент затухания меняется в интервале $\Lambda \in (0.1,0.16)$. Для малых пузырьков ${{R}_{0}}$ < 10–3 см – обусловлен главным образом вязкостью воды, а для пузырьков большего размера – тепловыми эффектами.

Разделив уравнение (1) на $4\pi {{R}^{3}}\dot {R}$, получим

(2)
$\begin{gathered} \rho \left( {\frac{3}{2}\frac{{{{{\dot {R}}}^{2}}}}{R} + \ddot {R}} \right) + \frac{{{{p}_{0}}}}{R}\left( {1 - {{{\left( {\frac{{{{R}_{0}}}}{R}} \right)}}^{{3\gamma }}}} \right) + \frac{{{{p}_{1}}}}{R}\cos \omega t + \\ \, + 4\mu \frac{{\dot {R}}}{{{{R}^{2}}}} = 0,\quad \dot {R} = \frac{{dR}}{{dt{\kern 1pt} '}},\quad \ddot {R} = \frac{{{{d}^{2}}R}}{{dt{\kern 1pt} {{'}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Сделаем замену

$\begin{gathered} t{\kern 1pt} ' = t{\text{/}}\omega ,\quad R = {{R}_{0}}(1 + z(t)),\quad {{p}_{0}} = \frac{{\rho {{R}_{0}}^{2}}}{{3\gamma }}{{\omega }^{2}}, \\ \,{{p}_{1}} = A\rho {{R}_{0}}^{2}{{\omega }^{2}},\quad \mu = \frac{1}{4}\varepsilon \rho {{R}_{0}}^{2}\omega \\ \end{gathered} $
и разделим уравнение на размерный множитель ${{\omega }^{2}}{{R}_{0}}\rho $. Получим следующее уравнение для $z(t)$:

$\frac{{A\cos (t)}}{{(1 + z)}} + \ddot {z} + \frac{1}{{3\gamma (1 + z)}}\left[ {1 - {{{\left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right)}}^{{3\gamma }}}} \right] + \frac{{3{{{{{\dot {z}}}}}^{2}}}}{{2(1 + z)}} + $
(3)
$\begin{gathered} + \,\,\varepsilon \frac{{\dot {z}}}{{{{{(1 + z)}}^{2}}}} = 0,\quad \dot {z} = \frac{{dz}}{{dt}},\quad \ddot {z} = \frac{{{{d}^{2}}z}}{{d{{t}^{2}}}}, \\ \frac{1}{{3\gamma (1 + z)}}\left[ {1 - {{{\left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right)}}^{{3\gamma }}}} \right] = z - \frac{3}{2}\left( {1 + \gamma } \right){{z}^{2}} + \\ \end{gathered} $
$\, + \frac{1}{6}(11 + 18\gamma + 9{{\gamma }^{2}}){{z}^{3}} + O{{\left[ z \right]}^{4}}.$

В линейном приближении уравнение имеет вид $A\cos t + \ddot {z} + z + \varepsilon \dot {z} = 0$. Уравнение имеет точное решение

(4)
$\begin{gathered} z = - \left( {A{\text{/}}\varepsilon } \right)\sin t + C{{{\text{e}}}^{{ - \varepsilon t{\text{/}}2}}}\sin ( - \sqrt {1 - {{\varepsilon }^{2}}{\text{/}}4} t), \\ \varepsilon = \Lambda {\text{/}}\pi = \frac{{4\mu }}{{\rho {{R}_{0}}^{2}\omega }}. \\ \end{gathered} $

Первое слагаемое – это установившееся гармоническое колебание, второе – возмущение, зависящее от начальных условий. Возмущение за период колебаний убывает в ${{e}^{\Lambda }}$ раз. Декремент затухания учитывает все механизмы потерь энергии. При декременте затухания $\Lambda = 0.1,$ $\varepsilon = \Lambda {\text{/}}\pi ,$ $A = \varepsilon $ значение установившейся амплитуды равно 1. Тогда как согласно численному решению точных уравнений при этих же значениях параметров имеем зависимость $z(t)$, изображенную сплошной линией на рис. 1, и амплитуда равна 0.366, т.е. в 3 раза меньше. Амплитуда вычислялась из численного решения по формуле $a = 0.5\;(\max z(t) - \min z(t)),$ $t \in (290,300)$. Численное решение построено при начальных условиях $z\left( 0 \right) = \dot {z}(0) = 0$ и приведено на отрезках времени: а) $t \in (0,300)$, б) $t \in (290,300)$, и показывает неприемлемость линейного приближения для расчета установившейся амплитуды.

Рис. 1.

Колебания относительного радиуса пузырька при $\gamma = 4{\text{/}}3,\,\,\Lambda = 0.1,\,\,A = \varepsilon = \Lambda {\text{/}}\pi $ и начальных условиях $z\left( 0 \right) = \dot {z}(0) = 0$ на отрезках времени: $t \in (0,300)$ (а), $t \in (290,300)$ (б).

Цель дальнейшего изложения – найти установившуюся амплитуду колебаний в зависимости от безразмерных параметров $\gamma ,\Lambda = \pi \varepsilon ,A$.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ОСРЕДНЕНИЯ

Записываем уравнение колебаний в виде

(5)
$\begin{gathered} \ddot {z} + z = F(t,z,\dot {z}),\quad F = - \varepsilon \left( {{{A}_{1}}\frac{{\cos t}}{{(1 + z)}} + \frac{{\dot {z}}}{{{{{(1 + z)}}^{2}}}}} \right) - \\ \, - \frac{3}{2}\frac{{{{{\left( {\dot {z}} \right)}}^{2}}}}{{(1 + z)}} - \frac{1}{{3\gamma (1 + z)}}\left[ {1 - {{{\left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right)}}^{{3\gamma }}}} \right] + z,\quad A = {{A}_{1}}\varepsilon . \\ \end{gathered} $

Следуя методу осреднения [13], c помощью подстановок $z = r\cos \varphi ,\dot {z} = - r\sin \varphi $ находим

(6)
$\begin{gathered} \frac{{dz}}{{dt}} = \frac{{dr}}{{dt}}\cos \varphi - r\frac{{d\varphi }}{{dt}}\sin \varphi = - r\sin \varphi , \\ - \frac{{{{d}^{2}}z}}{{d{{t}^{2}}}} = \frac{{dr}}{{dt}}\sin \varphi - r\frac{{d\varphi }}{{dt}}\cos \varphi = r\cos \varphi - f, \\ f = F(t,r\cos \varphi , - r\sin \varphi ). \\ \end{gathered} $

Разрешаем систему относительно $\frac{{dr}}{{dt}}$ и $r\frac{{d\varphi }}{{dt}}$:

(7)
$\frac{{dr}}{{dt}} = - f\sin \varphi ,\quad r\frac{{d\varphi }}{{dt}} = r - f\cos \varphi .$

Будем считать $\varphi $ независимой переменной и рассмотрим функции $r(\varphi ),$ $t(\varphi ) = \varphi + \tau (\varphi )$.

Для введенных функций, предполагая $f{\text{/}}r \ll 1$, получим систему уравнений

(8)
$\begin{gathered} \frac{{dr}}{{d\varphi }} = {{f}_{1}},\quad \frac{{d\tau }}{{d\varphi }} = {{f}_{2}}, \\ {{f}_{1}} = - f\sin \varphi \left( {1 + f\frac{{\cos \varphi }}{r} + {{{\left( {f\frac{{\cos \varphi }}{r}} \right)}}^{2}} + ...} \right), \\ {{f}_{2}} = f\frac{{\cos \varphi }}{r} + {{\left( {f\frac{{\cos \varphi }}{r}} \right)}^{2}}...\,\,. \\ \end{gathered} $

Предполагая $\varepsilon $ малым параметром, введем замены

(9)
$r(\varphi ) = {{\varepsilon }^{{1{\text{/}}3}}}{{r}_{0}}(\varphi ),\quad \tau (\varphi ) = {{\varepsilon }^{{1{\text{/}}3}}}{{\tau }_{0}}(\varphi ).$

Поскольку $f\sim {{\varepsilon }^{{2{\text{/}}3}}}$, то для новых переменных ${{r}_{0}}(\varphi ),{{\tau }_{0}}(\varphi )$ получим уравнения нормального вида с малыми параметрами ε1/3 в правых частях. По теореме Боголюбова можно приблизить решение уравнений решением уравнения с осредненными правыми частями. Эти уравнения имеют вид

(10)
$\begin{gathered} \frac{{d{{r}_{0}}}}{{d\varphi }} = - \frac{1}{2}\varepsilon ({{A}_{1}}{{\tau }_{0}} + {{r}_{0}}), \\ \frac{{d{{\tau }_{0}}}}{{d\varphi }} = \frac{{{{\varepsilon }^{{1{\text{/}}3}}}\left( {\left( {9{{\gamma }^{2}} + 4} \right){{r}_{0}}^{3} - 32{{A}_{1}}} \right)}}{{64{{r}_{0}}}}. \\ \end{gathered} $

Приравнивая к нулю правые части, найдем установившееся решение:

(11)
${{r}_{0}} = {{\left( {\frac{{32{{A}_{1}}}}{{4 + 9{{\gamma }^{2}}}}} \right)}^{{1{\text{/}}3}}},\quad {{\tau }_{0}} = - {{\left( {\frac{{32{{A}_{1}}}}{{4 + 9{{\gamma }^{2}}}}} \right)}^{{1{\text{/}}3}}}{\text{/}}{{A}_{1}}.$

Принимая во внимание замену (9), получаем следующую асимптотическую зависимость для амплитуды a и фазы ${{t}_{0}}$:

(12)
$\begin{gathered} a = {{\varepsilon }^{{1{\text{/}}3}}}{{r}_{0}} = {{\left( {\frac{{32{{A}_{1}}\varepsilon }}{{4 + 9{{\gamma }^{2}}}}} \right)}^{{1{\text{/}}3}}}, \\ {{t}_{0}} = {{\varepsilon }^{{1{\text{/}}3}}}{{\tau }_{0}} = - {{\left( {\frac{{32{{A}_{1}}\varepsilon }}{{4 + 9{{\gamma }^{2}}}}} \right)}^{{1{\text{/}}3}}}{\text{/}}{{A}_{1}}. \\ \end{gathered} $

Согласно полученным асимптотическим формулам, при $t \to \infty $ устанавливается гармоническое колебание $z = a\cos (t - {{t}_{0}})$ с амплитудой и фазой (12). При $\gamma = 4{\text{/}}3,$ $\Lambda = 0.1,$ ${{A}_{1}} = 1$ это гармоническое колебание изображено на рис. 1 штриховой линией. Оно имеет амплитуду $a = 0.370$, близкую к значению $a = 0.366$, которое найдено из численного решения точных уравнений. Как видно из рис. 1, амплитуда и фаза, определенные по асимптотическим формулам (12), удовлетворительно согласуются с точными значениями. Согласие улучшается по мере уменьшения параметра $\varepsilon = \Lambda {\text{/}}\pi $.

Формулу (12) для амплитуды удобно представить в виде

(13)
$\begin{gathered} a = {{\left( {\frac{{32A}}{{4 + 9{{\gamma }^{2}}}}} \right)}^{{1{\text{/}}3}}} = {{\left( {\frac{{32{{p}_{1}}}}{{3\gamma (4 + 9{{\gamma }^{2}}){{p}_{0}}}}} \right)}^{{1{\text{/}}3}}}, \\ A = \frac{{{{p}_{1}}}}{{3\gamma {{p}_{0}}}}. \\ \end{gathered} $

Эта простая формула показывает удивительно хорошее согласие с точными численными расчетами практически для всех физически реализуемых значений параметров $\gamma ,\Lambda $ и A и весьма больших амплитуд колебаний радиуса пузырька. Амплитуда может достигать значения $0.7{{R}_{0}}$ и с хорошей точностью определяться формулой (13). Кроме того, численные расчеты подтверждают, что амплитуда колебаний пузырька практически не зависит от декремента затухания. Эти результаты иллюстрируются на рис. 2, на котором изображены зависимости установившейся относительной амплитуды $a$ от относительной амплитуды колебаний внешнего давления $A = {{p}_{1}}{\text{/}}(3\gamma {{p}_{0}})$.

Рис. 2.

Сравнение относительных амплитуд численного и асимптотического решений для установившихся колебаний, $\Lambda \in (0.02,0.22)$: $\gamma = 1.3$ (а), $\gamma = 1.4$ (б); $\gamma = 1.5$ (в).

ВЫВОДЫ

Как показывает рис. 2, формула (13) для установившейся относительной амплитуды $a = {{R}_{1}}{\text{/}}{{R}_{0}}$ при резонансной частоте зависит только от показателя политропы $\gamma $ и отношения амплитуды колебаний внешнего давления p1 к его равновесному значению p0. Эта зависимость хорошо подтверждается численными расчетами точных уравнений, как для малых амплитуд внешнего давления ${{p}_{1}}{\text{/}}{{p}_{0}}$, так и для достаточно больших, при которых амплитуда радиуса достигает значения $0.7{{R}_{0}}$. Зависимость справедлива для большинства газов с показателями политропы $\gamma $ от значения 1.3 до значения 1.5 и практически всех реально существующих декрементов затухания.

Однако полученная формула (13) не всегда применима. Следует исключить частоты $\omega $, в два раза большие собственных частот деформационных мод ${{\omega }^{2}} = 4\omega _{n}^{2} = \frac{{4(n - 1)(n + 1)(n + 2)}}{{\rho R_{0}^{3}}}{{\sigma }}$. Радиусы пузырьков ${{R}_{0}}$, которые удовлетворяют такому условию, имеют вид [14, 15]

(14)
$\begin{gathered} {{R}_{0}} = \frac{{2\sigma }}{{{{p}_{0}}}}\left( {\frac{{2(n - 1)(n + 1)(n + 2) + 1}}{{3\gamma }} - 1} \right), \\ n = 2,...,10, \\ \end{gathered} $
где $\sigma $ – коэффициент поверхностного натяжения.

Значения радиусов воздушных пузырьков в воде (σ = 0.07 Н/м, ${{p}_{0}}$ = 100 Па, γ = 1.4) и их собственных частот, удовлетворяющих такому резонансному условию при $n = 2,...,10$, приведены в табл. 1. Окрестности резонансных частот, приведенные в этой таблице, следует исключить при использовании формулы (13), так как при таких частотах она не работает.

Таблица 1.

Радиусы воздушных пузырьков ${{R}_{0}}$ (мм) в воде, для которых частота Миннаерта в два раза больше частоты n-й деформационной моды

 Номер моды n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Радиус ${{R}_{0}}$ 0.007 0.026 0.059 0.111 0.186 0.287 0.419 0.586 0.791
Частота $\omega $ 3.2 × 106 8.2 × 105 3.5 × 105 1.9 × 105 1.1 × 105 7.2 × 104 4.9 × 104 3.5 × 104 2.6 × 104

Список литературы

  1. Plesset M., Prosperetty A. Bubble Dynamics and Cavitation // Ann. Rev. Fluid Mech. 1977. V. 9. P 145.

  2. Leighton T. The Acoustic Bubble. London: Academic Press, 1994. 633 p.

  3. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Н̈аука, 1987. Т. 1. 464 с.

  4. Brennen C. Cavitation and Bubble Dynamics. N.Y.: Oxford University Press, 1995. 254 p.

  5. Minnaert M. Musical Air Bubbles and the Sounds of Running Water // Philosophical Magazine. 1933. V. 16. P. 235.

  6. Pfriem H. Zur thermischen Dämpfung in kugelsymme trisch schwingenden Gasblasen // Akust. Z. 1940. Bd. 5. S. 202.

  7. Devin C. Survey of Thermal, Radiation, and Viscous Damping of Pulsating Air Bubbles in Water // J. Acoust. Soc. Am. 1959. V. 31. P. 1654.

  8. Prosperetti A. The thermal behaviour of oscillating gas bubbles // J. Fluid Mechanics. 1991. V. 222. P. 587–616.

  9. Avdeev A.A. Gas bubble pulsations in an acoustic field (resonance and boundaries of the polytropic approximation) // High temperature. 2014. V. 52. P. 851–860.

  10. Khabeev N.S., Shagapov V.S. Towards the problem of homobaricity in bubble dynamics // Int. J. of Math. Trends and Techn. 2020. V. 66. Iss. 9. P. 156–159.

  11. Голубятников А.Н., Украинский Д.В. О динамике сферического пузырька в неньютоновских жидкостях // Изв. РАН. МЖГ. 2021. № 4. С. 52–62.

  12. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1994. 560 с.

  13. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 326 с.

  14. Вановский В.В., Петров А.Г. Колебания газового пузырька в жидкости при резонансе частот радиальной и произвольной осесимметричной моды колебаний 2: 1 // ДАН. 2011. Т. 437. № 3. С. 331–335.

  15. Вановский B.B., Петров А.Г. Резонансный механизм дробления газового пузырька в жидкости // ДАН. 2012. Т. 444. № 4. С. 385–389.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал