1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 490, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 490, № 1, стр. 13-15

Формула следа для целых точек на трехмерной сфере

Член-корреспондент РАН В. А. Быковский 1, *, М. Д. Монина 1, **

1 Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук
Хабаровск, Россия

* E-mail: vab@iam.khv.ru
** E-mail: monina_dvggu@mail.ru

Поступила в редакцию 24.10.2019
После доработки 24.10.2019
Принята к публикации 01.11.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе изучаются средние по целым точкам на трехмерной сфере с произвольной гладкой весовой функцией. Для них получено разложение по средним произведений двух L-рядов, ассоциированных с базисом Гекке в пространствах голоморфных параболических форм целого четного веса относительно конгруэнцподгруппы Γ0(4).

Ключевые слова: целые точки на сфере, модулярные функции, L-ряды параболических форм

Пусть d – нечетное натуральное число. Для произвольной функции φ, определенной на отрезке [–1, 1], положим

${{S}_{{\varphi }}}\left( d \right) = \mathop \sum \limits_{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} = d} {\varphi }\left( {1 - 2\frac{{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}}{d}} \right).$

Здесь суммирование проводится по всем наборам целых чисел $\left( {{{a}_{1}},{{a}_{2}},~{{a}_{3}},~{{a}_{4}}} \right)$, которые лежат на трехмерной сфере радиуса $\sqrt d $ с центром в начале координат.

Пусть 1 – тождественно равная 1 функция на отрезке [–1, 1]. В 1829 г. Якоби доказал, что (см. [1])

${{S}_{1}}\left( d \right) = 8{\sigma }\left( d \right) = 8\mathop \sum \limits_{{{d}_{1}}\backslash d} {{d}_{1}}.$

Другими словами, количество представлений нечетного натурального d суммой четырех квадратов целых чисел равно восьмикратной сумме делителей d.

Пусть

${\text{r}}\left( n \right) = \mathop \sum \limits_{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = n} 1$
есть количество представлений целого $n \geqslant 0$ суммой двух квадратов целых чисел. Хорошо известно (см. [2]), что для n > 0
${\text{r}}\left( n \right) = 4\mathop \sum \limits_{{{n}_{1}}\backslash n} {\chi }\left( {{{n}_{1}}} \right) = 4{{{\tau }}^{{\left( \chi \right)}}}\left( n \right),$
где
${\chi }\left( a \right) = \left\{ \begin{gathered} {{( - 1)}^{{\frac{{a - 1}}{2}}}},\quad ~{\text{если}}\quad ~a - {\text{нечетное}}, \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad ~a - {\text{четное,}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
есть квадратичный характер по модулю 4, и по определению ${{{\tau }}^{{\left( {\chi } \right)}}}\left( 0 \right) = \frac{1}{4}$. Легко заметить, что

(1)
$\begin{gathered} {{S}_{{\varphi }}}\left( d \right) = \mathop \sum \limits_{0 \leqslant n \leqslant d} r\left( n \right)r\left( {d - n} \right){\varphi }\left( {1 - \frac{{2n}}{d}} \right) = \\ = 16\mathop \sum \limits_{0 \leqslant n \leqslant d} {{{\tau }}^{{\left( {\chi } \right)}}}\left( n \right){{{\tau }}^{{\left( {\chi } \right)}}}\left( {d - n} \right){\varphi }\left( {1 - \frac{{2n}}{d}} \right). \\ \end{gathered} $

В соответствии со стандартными обозначениями

${{P}_{n}}\left( x \right) = \frac{1}{{{{2}^{n}}n!}}\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{x}^{n}}}}{{({{x}^{2}} - 1)}^{n}},\quad n = 0,\,\,1,\,\,~2,\,\, \ldots ,$
суть полиномы Лежандра, которые составляют полную ортогональную систему на отрезке [–1, 1] и ${{P}_{0}}\left( x \right) \equiv 1.$

Следующий классический результат можно найти, например, в [3].

Теорема 1. Если функция ${\varphi }\left( x \right)$ непрерывно дифференцируема на отрезке [–1, 1], то она разлагается в равномерный сходящийся ряд Фурье–Лежандра

${\varphi }(x) = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {\varphi }(t)dt + \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \left( {k + \frac{1}{2}} \right)\left( {\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {{P}_{k}}(t){\varphi }(t)dt} \right){{P}_{k}}(x).$

Принимая во внимание равенство (1), отсюда получаем следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть d – нечетное натуральное число и функция φ(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [–1, 1]. Тогда

$\frac{1}{8}{{S}_{{\varphi }}}\left( d \right) = \left( {\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {\varphi }\left( t \right)dt} \right)\left( {\mathop \sum \limits_{n = 0}^d {{{\tau }}^{{\left( \chi \right)}}}\left( n \right){{{\tau }}^{{\left( {\chi } \right)}}}\left( {d - n} \right)} \right) + $
$\begin{gathered} \, + \mathop \sum \limits_{k = 2}^\infty \left( {2k - 1} \right)\left( {\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {\varphi }\left( t \right){{P}_{{k - 1}}}\left( t \right)dt} \right) \times \\ \times \,\left( {\mathop \sum \limits_{n = 0}^d {{{\tau }}^{{\left( \chi \right)}}}\left( n \right){{{\tau }}^{{\left( {\chi } \right)}}}\left( {d - n} \right){{P}_{{k - 1}}}\left( {1 - \frac{{2n}}{d}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Как обычно, для натурального N

$\begin{gathered} {{\Gamma }_{0}}(N) = \\ = \,\left\{ {M\, = \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right){\text{|}}a,b,c,d\, \in \,\mathbb{Z};ad\, - \,bc\, = \,1;c\, \equiv \,0\,({\text{mod}}N)} \right\} \\ \end{gathered} $
есть конгруэнцподгруппа уровня N мультипликативной модулярной группы ${\Gamma } = {{{\Gamma }}_{0}}\left( 1 \right)$. Элементы Γ действуют на верхней полуплоскости $\mathbb{H}$ = = $\{ x + iy~|~x,y \in \mathbb{R};y > 0\} $ посредством дробно-линейных преобразований

$z \to M\left( z \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right)\left( z \right) = \frac{{az + b}}{{cz + d}}.$

Так как матрицы M и –M действуют на $\mathbb{H}$ одинаково, то удобнее работать с

${{{\bar {\Gamma }}}_{0}}\left( N \right) = {{{\Gamma }}_{0}}\left( N \right){\text{/}}\left\{ { \pm \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right)} \right\}$
(матрицы M и –M отождествляются).

Обозначим через ${{S}_{{2k}}}\left( {{{{{\bar {\Gamma }}}}_{0}}\left( N \right)} \right)$ линейное пространство голоморфных на $\mathbb{H}$ параболических форм веса 2k (k – натуральное), для которых

${{\left( {cz + d} \right)}^{{ - 2k}}}f\left( {\frac{{az + b}}{{cz + d}}} \right) = f\left( z \right)~\,\,\,\,\forall \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&d \end{array}} \right) \in {{{\Gamma }}_{0}}\left( N \right).$

Эти пространства конечномерны, и скалярное произведение Петерссона

$\left\langle {f,g} \right\rangle = \iint\limits_{{{{\Gamma }}_{0}}\left( {\text{N}} \right)\backslash \mathbb{H}} {f\left( z \right)\overline {g\left( z \right)} {{y}^{{2k - 2}}}dxdy}$
определяет на ${{S}_{{2k}}}\left( {{{{{\bar {\Gamma }}}}_{0}}\left( N \right)} \right)$ структуру эрмитова пространства.

Для любой формы f из ${{S}_{{2k}}}\left( {{{{{\bar {\Gamma }}}}_{0}}\left( N \right)} \right)$ справедливо разложение в ряд Фурье

$f\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \,{{\rho }_{f}}\left( n \right){{n}^{{k - 1/2}}}{{e}^{{2\pi inz}}}.$

По определению,

${{\mathcal{L}}_{f}}\left( s \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \,{{\rho }_{f}}\left( n \right)\frac{1}{{{{n}^{s}}}},\quad \mathcal{L}_{f}^{*}\left( s \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \,\rho _{f}^{*}\left( n \right)\frac{1}{{{{n}^{s}}}}$
суть ряды Гекке формы f (* – знак комплексного сопряжения). Далее,
$\begin{gathered} {{\mathcal{L}}_{f}}\left( {s;\chi } \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \,{{\rho }_{f}}\left( n \right)\frac{{\chi \left( n \right)}}{{{{n}^{s}}}}, \\ \mathcal{L}_{f}^{*}\left( {s;\chi } \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \,\rho _{f}^{*}\left( n \right)\frac{{\chi \left( n \right)}}{{{{n}^{s}}}} \\ \end{gathered} $
суть ряды Гекке, скрученные с характером χ. Во всех четырех случаях ряды Гекке определяют голоморфные по s функции на всей комплексной плоскости.

На пространстве ${{S}_{{2k}}}\left( {{{{{\bar {\Gamma }}}}_{0}}\left( N \right)} \right)$ действуют операторы Гекке по правилу (для любого натурального n)

$T(n)f(z) = \frac{1}{{\sqrt n }}\mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {{{n}_{1}}{{n}_{2}} = n} \\ {НОД~\left( {{{n}_{2}},N} \right) = 1} \end{array}} {{\left( {\frac{{{{n}_{1}}}}{{{{n}_{2}}}}} \right)}^{k}}\mathop \sum \limits_{a = 1}^{{{n}_{2}}} f\left( {\frac{{{{n}_{1}}z + a}}{{{{n}_{2}}}}} \right).$

Операторы Гекке коммутируют между собой и они эрмитовы для ${\text{НОД}}~(n,N)$ = 1. Поэтому в ${{S}_{{2k}}}({{{\bar {\Gamma }}}_{0}}(N))$ можно выбрать ортонормированный базис ${{B}_{{2k}}}\left( N \right)$ (множество, составленное из элементов базиса), состоящий из собственных функций операторов T(n) с ${\text{НОД}}~\,\left( {n,N} \right) = 1$, для которых

$T(n)f = {{\lambda }_{f}}(n)f,~\quad {{\lambda }_{f}}(n) \in \mathbb{R}.$

В работе [4] была доказана формула следа, частным случаем которой является следующая

Теорема 3. Для $k \geqslant 2$ и нечетного d

$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{n = 0}^d {{\tau }^{{\left( \chi \right)}}}\left( n \right){{\tau }^{{\left( \chi \right)}}}\left( {d - n} \right){{P}_{{k - 1}}}\left( {1 - \frac{{2n}}{d}} \right) = \\ = 2\sqrt d {{\left( { - 1} \right)}^{{k - 1}}}\frac{{{\Gamma }\left( {2k - 1} \right)}}{{{{{\left( {4\pi } \right)}}^{{2k}}}}}\mathop \sum \limits_{f \in {{B}_{{2k}}}\left( 4 \right)} {{\lambda }_{f}}\left( d \right){{\mathcal{L}}_{f}}\left( {\frac{1}{2}} \right)\mathcal{L}_{f}^{*}\left( {\frac{1}{2};\chi } \right). \\ \end{gathered} $

Поэтому тождество из теоремы 2 преобразуется к следующему виду.

Теорема 4. Пусть функция φ(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [–1, 1]. Тогда для любого нечетного d

${{S}_{\varphi }}\left( d \right) = 4\left( {\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \varphi \left( t \right)dt} \right)\sigma \left( d \right) + $
$\begin{gathered} + \,\,16\sqrt d \mathop \sum \limits_{k = 2}^\infty {{\left( { - 1} \right)}^{{k - 1}}}\frac{{{\Gamma }\left( {2k} \right)}}{{{{{\left( {4\pi } \right)}}^{{2k}}}}}\left( {\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \varphi \left( t \right){{P}_{{k - 1}}}\left( t \right)dt} \right)\,\, \times \\ \times \,\,\left( {\mathop \sum \limits_{f \in {{B}_{{2k}}}\left( 4 \right)} {{\lambda }_{f}}\left( d \right){{\mathcal{L}}_{f}}\left( {\frac{1}{2}} \right)\mathcal{L}_{f}^{*}\left( {\frac{1}{2};\chi } \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Пусть $0 \leqslant u < {v} \leqslant 1$ и $S\left( {d;u,{v}} \right)$ – количество целых точек $\left( {{{a}_{1}},{{a}_{2}},~{{a}_{3}},~{{a}_{4}}} \right)$ на сфере $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}$ = d, для которых

$ud \leqslant a_{1}^{2} + a_{2}^{2} \leqslant {v}d.$

Действуя стандартным способом, из теоремы 4 получаем еще один результат.

Теорема 5. Для любого ε > 0 равномерно по u и ${v}$

$S\left( {d;u,{v}} \right) = 8\left( {{v} - u} \right)\sigma \left( d \right) + {{O}_{\varepsilon }}\left( {{{d}^{{\frac{2}{3} + \varepsilon }}}} \right).$

Доказательство опирается на оценку Делиня (см. [5])

${{\lambda }_{f}}\left( d \right) \ll {{d}^{\varepsilon }}$
и оценку (см. [6])

$\frac{{{\Gamma }\left( {2k - 1} \right)}}{{{{{\left( {4\pi } \right)}}^{{2k}}}}}\mathop \sum \limits_{f \in {{B}_{{2k}}}\left( {\text{N}} \right)} {{\left| {{{\mathcal{L}}_{f}}\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right|}^{2}} \ll \log \left( {kN + 1} \right).$

ИСТОЧНИКИ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 19–11–00065).

Список литературы

  1. Jacobi C.G.J. Gesammelte werke. B., 1881.

  2. Дирихле П.Л. Лекции по теории чисел. М.-Л.: ОНТИ, 1936.

  3. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 2005.

  4. Bykovsky V.A. Hecke Series Values of Holomorphic Cusp Forms in the Centre of the Critical Strip // Number Theory in Progress. V. 2. Elementary and Analytic Number Theory / Eds. K. Gyory, H. Iwaniec, J. Urbanowicz. B.: Walter de Gruyter, 1999. P. 675–689.

  5. Делинь П. // Успехи матем. наук. 1975. Т. 30. Вып. 5. С. 159–190.

  6. Быковский В.А., Фроленков Д.А. О втором моменте L-рядов голоморфных параболических форм на критической прямой // Известия РАН. Серия математическая. 2017. № 2. С. 5–34.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал