1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 490, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 490, № 1, стр. 55-58

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА n-ГО ПОРЯДКА С НЕРАСПАДАЮЩИМИСЯ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ПО НЕСКОЛЬКИМ СПЕКТРАМ

Академик В. А. Садовничий 1, Я. Т. Султанаев 1, 2, *, А. М. Ахтямов 3, 4, **

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

2 Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы
Уфа, Республика Башкортостан, Россия

3 Башкирский государственный университет
Уфа, Республика Башкортостан, Россия

4 Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
Уфа, Республика Башкортостан, Россия

* E-mail: sultanaevyt@gmail.com
** E-mail: akhtyamovam@mail.ru

Поступила в редакцию 10.10.2019
После доработки 10.10.2019
Принята к публикации 29.10.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Доказана теорема единственности восстановления дифференциального оператора n-го порядка с нераспадающимися краевыми условиями по нескольким спектрам. Эта теорема опирается на результаты Е.А. Барановой.

Ключевые слова: восстановление дифференциального оператора n-го порядка, обратная спектральная задача с нераспадающимися краевыми условиями, обратная задача восстановления дифференциального оператора по нескольким спектрам

Обратным спектральным задачам с распадающимися краевыми условиями посвящено большое число работ (см., например, [1–7]). Обратная задача с нераспадающимися краевыми условиями изучалась в работах И.В. Станкевича, В.А. Садовничего, В.А. Юрко, В.А. Марченко, О.А. Плаксиной, М.Г. Гасымова, И.М. Гусейнова, И.М. Набиева и др. (см., например, [8–14]). Однако все рассмотренные обратные задачи с нераспадающимися краевыми условиями представляли собой обратные задачи для дифференциального оператора второго порядка. В настоящем сообщении рассмотрена обратная задача с нераспадающимися краевыми условиями для дифференциального оператора шестого порядка.

Рассмотрим обыкновенный дифференциальный оператор шестого порядка, который задается дифференциальным выражением вида

$ly \equiv {{y}^{{(n)}}} + \sum\limits_{m = 0}^{n - 2} {{p}_{m}}(x){{y}^{{(m)}}}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant 1,$
где pm ($m = 0,1$, ..., 4) – комплекснозначные функции, $p_{m}^{{(m)}} \in {{L}_{1}}(0,1)$, и краевыми условиями вида
(2)
$\begin{gathered} {{u}_{i}}(y) \equiv {{y}^{{(i)}}}(0) + \sum\limits_{k = 0}^{i - 1} a_{k}^{i}{{y}^{{(k)}}}(0) = 0, \\ i = 0,1,\; \ldots ,\;n - 1, \\ \end{gathered} $
(3)
$\begin{gathered} {{{v}}_{i}}(y) \equiv {{y}^{{(i)}}}(1) + \sum\limits_{k = 0}^{j - 1} b_{k}^{j}{{y}^{{(k)}}}(1) = 0, \\ j = 0,1,\; \ldots ,\;n - 1, \\ \end{gathered} $
где $a_{k}^{i}$, $b_{k}^{j}$ – комплексные числа.

З.Л. Лейбензоном [3] было доказано, что выражение (1) и условия (2), (3) однозначно определяют системы краевых задач {Sk}, $k = 1,2,\; \ldots ,\;n - 1$, каждая из которых задается уравнением

(4)
$ly = \lambda y$
и краевыми условиями

(5)
$\begin{gathered} {{u}_{i}}(y) = 0,\quad i = k, \ldots ,\;n - 1, \\ {{{v}}_{j}}(y) = 0,\quad j = n - k,\; \ldots ,\;n - 1. \\ \end{gathered} $

В качестве спектральных данных в [3] в случае простых собственных значений берутся собственные значения $\{ {{\lambda }_{{km}}}\} $ задачи Sk при всех k и $m$, $k = 1,2, \ldots ,n - 1$, $m = 1,2,\; \ldots $, и отвечающие им весовые числа ${{\sigma }_{{km}}}$:

${{\sigma }_{{km}}} = \int\limits_0^1 {} {{\varphi }_{{km}}}(x)\overline {{{f}_{{km}}}(x)} dx,$
где ${{\varphi }_{{km}}}(x)$ – собственная функция задачи Sk, отвечающая собственному значению ${{\lambda }_{{km}}}$, ${{f}_{{km}}}(x)$ – собственная функция сопряженнной задачи $S_{k}^{*}$, отвечающая $\overline {{{\lambda }_{{km}}}} $; эти функции нормированы условиями ${{u}_{{k - 1}}}({{\varphi }_{{km}}}) = u_{{6 - k - 1}}^{*}({{f}_{{km}}}) = 1$.

В настоящей работе рассматривается задача для уравнения (4) с краевыми условиями

(6)
$\begin{gathered} {{U}_{i}}(y) \equiv \sum\limits_{k = 1}^n {{a}_{{ik}}}{{y}^{{(k)}}}(0) + \sum\limits_{k = n + 1}^{2n} {{a}_{{ik}}}{{y}^{{(k)}}}(1) = 0, \\ i = 1,2, \ldots ,\;n. \\ \end{gathered} $

Рассмотрим следующие краевые условия, связанные с условиями (6):

(7)
$\begin{gathered} {{u}_{i}}(y) \equiv {{y}^{{(i)}}}(0) + \sum\limits_{k = 0}^{i - 1} a_{{6,k + 1}}^{i}{{y}^{{(k)}}}(0) = 0, \\ i = 0,1,\; \ldots ,\;n - 1, \\ \end{gathered} $
(8)
$\begin{gathered} {{{v}}_{j}}(y) \equiv {{y}^{{(i)}}}(1) + \sum\limits_{k = 0}^{j - 1} a_{{6,k + 1}}^{j}{{y}^{{(k)}}}(1) = 0, \\ j = n,n + 1,\; \ldots ,\;2n, \\ \end{gathered} $
где $a_{{2n,k + 1}}^{i} = {{a}_{{2n,k + 1}}}$, $a_{{2n,k + 1}}^{j} = {{a}_{{2n,k + 1}}}$. Индексы $i$, $j$ берутся только для выбора задач ${{S}_{k}}$ в (5).

Задачу (4), (6) будем обозначать через L.

Покажем, что задача L может быть восстановлена по спектру задачи L и $4n - 6$ спектрам вспомогательных задач.

В работе Е.А. Барановой [4] система задач ${{S}_{k}}$ ($k = 1,2, \ldots ,n - 1$) восстанавливалась по (4n – 6) спектрам. Пусть l* – дифференциальное выражение, формально сопряженное выражению (1), а $u_{i}^{*}$, $i = 0,1,\; \ldots ,\;n - 1$, ${v}_{j}^{*}$, $j = 0,1,\; \ldots ,\;n - 1$, – краевые условия, сопряженные условиям (2), (3). Формула Лагранжа имеет в нашем случае вид

$\int\limits_0^1 {ly \cdot \bar {z}dx} = {{u}_{0}}(y)u_{{n - 1}}^{*}(z) + \; \ldots \; + {{u}_{{n - 1}}}(y)u_{0}^{*}(z) + $
$ + \;{{{v}}_{0}}(y){v}_{{n - 1}}^{*}(z) + \; \ldots \; + {{{v}}_{{n - 1}}}(y){v}_{0}^{*}(z) + \int\limits_0^1 {y \cdot \overline {l{\text{*}}z} } dx,$
где

$u_{i}^{*}(z) \equiv {{( - 1)}^{{i + 1}}}{{\bar {z}}^{i}}(0) + \sum\limits_{k = 0}^{i - 1} \gamma _{k}^{i}{{\bar {z}}^{{(k)}}}(0) = 0,$
${v}_{i}^{*}(z) \equiv {{( - 1)}^{j}}{{\bar {z}}^{j}}(1) + \sum\limits_{k = 0}^{i - 1} \delta _{k}^{i}{{\bar {z}}^{{(k)}}}(1) = 0.$

Числа $\gamma _{k}^{i}$, $\delta _{k}^{i}$ определяются единственным образом по числам $a_{k}^{i}$, $b_{k}^{j}$ и коэффициентам выражения (1).

Тогда задача $S_{k}^{*}$, $k = 1,2, \ldots ,n - 1$, задается уравнением

$l{\text{*}}z = \bar {\mu }z$
и краевыми условиями

(9)
$\begin{gathered} u_{i}^{*}(z) = 0,\quad i = n - k,\; \ldots ,\;n - 1, \\ {v}_{j}^{*}(z) = 0,\quad j = k,\; \ldots ,\;n - 1. \\ \end{gathered} $

Заменив в (9) условие $u_{{n - 1}}^{*}(z) = 0$ условием

(10)
$\begin{gathered} \hat {u}_{{n - 1}}^{*}(z) \equiv {{( - 1)}^{{n - 1}}}{{\overline z }^{{(n - 1)}}}(1) + \\ + \;\sum\limits_{k = 1}^{n - 2} \delta _{k}^{{n - 1}}{{{\bar {z}}}^{{(k)}}} + \hat {\delta }_{0}^{{n - 1}}\bar {z}(1) = 0, \\ \end{gathered} $
где $\hat {\delta }_{0}^{{n - 1}} \ne \delta _{0}^{{n - 1}}$, получим новую задачу $\hat {S}_{k}^{*}$. Можно показать, что достаточно большие по модулю собственные значения задач $S_{k}^{*}$ и $\hat {S}_{k}^{*}$ не совпадают.

Аналогично с задачей Sk рассмотрим задачу $S_{k}^{'}$, которая задается дифференциальным уравнением (4) и краевыми условиями

$\begin{gathered} {{u}_{i}}(y) = 0,\quad i = k - 1,\; \ldots ,\;n - 1, \\ {{{v}}_{j}}(y) = 0,\quad j = k,\; \ldots ,\;n - 2. \\ \end{gathered} $

Можно показать, что при достаточно больших по модулю $\lambda $ спектры задач Sk и $S_{k}^{'}$ (соответственно $\hat {S}_{k}^{*}$ и $S_{k}^{{*'}}$) лежат в разных полуплоскостях $\lambda $-плоскости.

Теорема (Е.А. Баранова) [4]. Пусть все собственные значения задач $\{ {{S}_{k}}\} $ и $\{ \hat {S}_{k}^{*}\} $, k = 1, ... ... $n - 1$ являются простыми; тогда по спектрам задач $\{ {{S}_{k}}\} $, $k = 1, \ldots ,n - 1$, $\{ S_{k}^{'}\} $, k = $2, \ldots ,n - 1$, $\{ \hat {S}_{k}^{*}\} $, k = 1, ..., $n - 1$, $\{ S_{k}^{{*'}}\} $, $k = 1,\; \ldots ,\;n - 2$, дифференциальное выражение вида (1) и краевые условия (2), (3), (10) определяются единственным образом.

Теорема. Пусть все собственные значения задач $\{ {{S}_{k}}\} $ и $\{ \hat {S}_{k}^{*}\} $, $k = 1,\; \ldots ,\;n - 1$, являются простыми; тогда по $C_{{2n}}^{n} - 1 = \frac{{(2n)!}}{{n!n!}} - 1$ собственным значениям задачи $L$, по спектрам задач $\{ {{S}_{k}}\} $, k = 1, ... ... $n - 1$, $\{ S_{k}^{'}\} $, $k = 2, \ldots ,n - 1$, $\{ \hat {S}_{k}^{*}\} $, $k = 1, \ldots ,n - 1$, $\{ S_{k}^{{*'}}\} $, k = $1, \ldots ,n - 2$, задача L определяется единственным образом.

Схема доказательства. Единственность восстановления дифференциального выражения вида (1) и краевых условий (2), (3), (10) получается как в доказательстве теоремы Е.А. Барановой [4]. Далее, характеристический определитель задачи L имеет следующий вид

$\begin{gathered} \Delta (\lambda ) \equiv {{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 1,n}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 1,n}}} + \\ + \;{{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 1,n + 1}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 1,n + 1}}} + \,\, \ldots \\ \; \ldots \; + {{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 1,2n}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 1,2n}}} + \; \ldots \; \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \ldots + \;{{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 2,n,n + 1}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 2,n,n + 1}}} + \\ + \;{{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 2,n,n + 2}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 2,n,n + 2}}} + \; \ldots \\ \; \ldots \; + {{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 2,n,2n}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 2,n,2n}}} + \; \ldots \; \\ \ldots \; + \;{{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 2,2n - 1,2n}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 2,2n - 1,2n}}} + \\ + \;{{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 3,n - 1,n}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 3,n - 1,n}}} + \; \ldots \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \; \ldots \; + {{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 3,n,n + 1}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 3,n,n + 2}}} + \; \ldots \; \\ \ldots \; + \;{{A}_{{1,2,3, \ldots ,n - 3,n,2n}}}{{Y}_{{1,2,3, \ldots ,n - 3,n,2n}}} + \ldots \\ \ldots \; + \;{{A}_{{n + 1,n + 2, \ldots ,2n - 1,2n}}}{{Y}_{{n + 1,n + 2, \ldots ,2n - 1,2n}}}. \\ \end{gathered} $

Можно показать, что все функции ${{Y}_{{{{i}_{1}},{{i}_{2}},...,{{i}_{n}}}}}$ линейно независимы. Матрица A имеет $C_{{2n}}^{n} = \frac{{(2n)!}}{{n!{\kern 1pt} n!}}$ миноров n-го порядка. Поэтому система $C_{{2n}}^{n} - 1$ уравнений $\Delta ({{\lambda }_{j}}) = 0$ (j = $1,2, \ldots ,C_{{2n}}^{n} - 1$) имеет $C_{{2n}}^{n}$ решений (миноров), определяемых с точностью до постоянного множителя. По этим минорам однозначно определяется матрица $A$ с точностью до линейных преобразований строк, а значит, и краевые условия (6), что и требовалось доказать.

Список литературы

  1. Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

  2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

  3. Лейбензон З.Л. Обратная задача спектрального анализа обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Тр. Моск. матем. о-ва. 1966. Т. 15. С. 70–145.

  4. Баранова Е.А. О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков по системе их спектров // ДАН СССР. 1972. Т. 205. № 6. С. 1271–1273.

  5. Коротяев Е.Л., Челкак Д.С. Обратная задача Штурма–Лиувилля со смешанными краевыми условиями // Алгебра и анализ. 2009. Т. 21. № 5. С. 114–137.

  6. Panakhov E.S., Koyunbakan H., Unal Ic. Reconstruction Formula for the Potential Function of Sturm-Liouville Problem with Eigenparameter Boundary Condition // Inverse Problems in Science and Engineering. 2010. V. 18. № 1. P. 173–180.

  7. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Обратные задачи для оператора Штурма–Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость // Функц. анализ и его приложения. 2010. Т. 44. № 4. С. 34–53.

  8. Садовничий В.А. Единственность решения обратной задачи в случае уравнения второго порядка с нераспадающимися условиями, регуляризованные суммы части собственных чисел. Факторизация характеристического определителя // ДАН СССР. 1972. Т. 206. № 2. С. 293–296.

  9. Плаксина О.А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. I // Матем. сборник. Т. 131. № 1. С. 3–26.

  10. Плаксина О.А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов Штурма–Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. II // Матем. сборник. 1988. Т. 136. № 1. С. 140–159.

  11. Yurko V.A. The Inverse Spectral Problems for Differential Operators with Nonseparated Boundary Conditions // J. Mathematical Analysis and Applications. 2000. V. 250. P. 266–289.

  12. Гасымов М.Г., Гусейнов И.М., Набиев И.М. Обратная задача для оператора Штурма–Лиувилля с неразделенными самосопряженными граничными условиями // Сиб. матем. журнал. 1990. Т. 31. № 6. С. 46–54.

  13. Akhtyamov A.M., Mamedov Kh.R. Uniqueness Theorem for Inverse Sturm–Liouville Problem with Nonseparated Boundary Conditions // Proc. Mavlyutov Institute of Mechanics. 2016. V. 11. № 2. P. 167–170.

  14. Sadovnichii V.A., Sultanaev Ya.T., Akhtyamov A.M. General Inverse Sturm–Liouville Problem with Symmetric Potential // Azerbaijan J. Mathematics. 2015. V. 5. № 2. P. 96–108.

  15. Akhtyamov A., Amram M., Mouftakhov A. On Reconstruction of a Matrix by Its Minors // International J. Mathematical Education in Science and Technology. 2018. V. 49. № 2. P. 268–321.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал