Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 490, № 1, стр. 9-12

Дифференциал Стилтьеса в импульсных нелинейных задачах

А. Д. Баев 1*, Д. А. Чечин 1, М. Б. Зверева 1**, С. А. Шабров 1***

1 Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия

* E-mail: alexsandrbaev@mail.ru
** E-mail: margz@rambler.ru
*** E-mail: shaspoteha@mail.ru

Поступила в редакцию 11.10.2019
После доработки 14.10.2019
Принята к публикации 05.11.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В настоящей работе изучается импульсная нелинейная задача, допускающая разрывные решения, являющиеся функциями ограниченной вариации. Такая задача моделирует деформации разрывной струны (цепочки из струн, скрепленных между собой пружинами) с упругими опорами в виде линейных и нелинейных пружин (например, пружин с разными витками, деформации которых не подчиняются закону Гука). Модель описывается дифференциальным уравнением второго порядка с производными по специальным мерам и краевыми условиями первого рода. Доказаны теоремы существования решений, получены условия существования неотрицательных решений.

Ключевые слова: функция ограниченной вариации, интеграл Стилтьеса, мера, производная по мере, стилтьесовская струна

В последнее время активно ведутся исследования дифференциальных операторов Штурма–Лиувилля (Шрёдингера) для случаев разнообразных импульсных возмущений (сингулярных потенциалов). Особенно выделим публикации А.А. Шкаликова, А.М. Савчука, Б.С. Митягина, В.А. Михайлеца (см. [16]) и др., в которых методами теории обобщенных функций решаются задачи, касающиеся структуры спектра, его асимптотики, спектральной полноты, разнообразных свойств непрерывного спектра, структуры сингулярных компонент спектра (спектральных лакун, зон неустойчивости) и проч.

В то же время поточечный анализ решения у математической модели очень важен для приложений. Наличие особенностей у изучаемой системы (как внутренних, так и внешних), как правило, приводит не только к потере гладкости решения дифференциальной модели, но и к появлению разрывов у решения. Последнее закрывает возможность использования классических производных как при моделировании, так и при анализе. Применение теории обобщенных функций (по Соболеву–Шварцу, Коломбо и др.) ситуацию не спасает: удается доказать лишь наличие слабого решения. При этом приходится преодолевать ряд трудно разрешимых проблем (например, умножения разрывной функции на обобщенную).

Подход к поточечному анализу решений уравнения

$ - {\kern 1pt} (pu{\text{'}}){\text{'}} + qu = f$
в случае особенностей типа функции Дирака в потенциале q, когда q может считаться обобщенной производной от функции ограниченной вариации Q, был разработан Ю.В. Покорным в [7, 8], где в развитие идей В. Феллера и М.Г. Крейна (см. комментарии в [9]), уравнение с обобщенными коэффициентами и правой частью
$ - {\kern 1pt} (pu{\text{'}}){\text{'}} + Q{\text{'}}u = F\,{\text{'}}$
заменялось поточечно задаваемым уравнением

$ - {\kern 1pt} (pu{\text{'}})_{\sigma }^{'} + uQ_{\sigma }^{'} = F_{\sigma }^{'}.$

Дальнейшее развитие этот подход для случая непрерывных решений получил в работах [10, 11].

Для случая разрывных решений предыдущее уравнение имеет вид

$ - (pu_{\mu }^{'})_{{[\sigma ]}}^{'} + uQ_{{[\sigma ]}}^{'} = F_{{[\sigma ]}}^{'}.$

Здесь p, Q, $F$ – функции ограниченной вариации на отрезке $[0,\ell ]$; решения $u(x)$ принадлежат классу $\mu $-абсолютно непрерывных функций на $[0,\ell ]$, $\mu $‑производные которых имеют ограниченную вариацию на $[0,\ell ]$; внутреннее дифференцирование ведется по $\mu $-мере, порождаемой строго возрастающей на $[0,\ell ]$ функцией $\mu (x)$, соизмеримой с наблюдаемым процессом. Строго возрастающую функцию $\sigma (x)$ можно подобрать таким образом, что она будет нести в себе все особенности рассматриваемой задачи. Точнее, $\sigma (x)$ будет являться разрывной лишь в точках разрыва $\mu $, p, Q, F, так что $[\sigma ]$-мера этих точек оказывается отличной от нуля. При этом $[\sigma ]$-мера точек разрыва $u(x)$ “расщепляется” в силу того, что функция $\sigma (x)$ в этих точках имеет два скачка (левый и правый), равных

${{\Delta }^{ - }}\sigma (\xi ) = \sigma (\xi ) - \sigma (\xi - 0),$
${{\Delta }^{ + }}\sigma (\xi ) = \sigma (\xi + 0) - \sigma (\xi )$
соответственно. Чтобы подчеркнуть, что речь идет о “расщепленной” мере, мы заключаем порождающую меру функцию в квадратные скобки. Отметим, что для восстановления функции по ее [σ]-производной необходимо использовать π-интеграл, введенный Ю.В. Покорным в [8].

В настоящей работе мы применяем подход Ю.В. Покорного к нелинейным граничным задачам.

Рассмотрим на $[0;\ell ]$ нелинейную математическую модель

(1)
$\begin{array}{*{20}{c}} {Lu \equiv - (pu_{\mu }^{'})_{{[\sigma ]}}^{'} + uQ_{{[\sigma ]}}^{'} = f(x,u),} \\ {u(0) = u(\ell ) = 0,} \end{array}$
возникающую, например, при моделировании деформаций разрывной струны (цепочки из струн, скрепленных между собой пружинами), натянутой вдоль отрезка $[0,\ell ]$ и подпертой (не более чем в счетном количестве точек) как обычными пружинами, деформации которых подчиняются законам Гука, так и пружинами с разными витками, деформации которых закону Гука не подчиняются и задаются некоторой функцией. При этом к отдельным точкам струны могут быть приложены нелинейные импульсные внешние воздействия.

В уравнении системы (1) внутренняя производная понимается как производная по обычной мере, внешняя – как производная по “расщепленной” мере, понимаемая в смысле Ю.В. Покорного, т.е. обращаемая интегрированием с помощью π-интеграла. Последнее означает, что функция g(x) называется [σ]-производной от функции $G(x)$, если

$G(x) - G(0) = \int\limits_0^x g (s)d[\sigma ].$

Таким образом, во всякой точке $\xi $ разрыва функции $\sigma (x)$ у функции $g(x)$ возникает два собственных значения, вообще говоря, отличных от предельных, определяемых равенствами

$g({{\xi }^{1}}) = G_{{[\sigma ]}}^{'}({{\xi }^{1}}) = \frac{{{{\Delta }^{ - }}G(\xi )}}{{{{\Delta }^{ - }}\sigma (\xi )}},$

$g({{\xi }^{2}}) = G_{{[\sigma ]}}^{'}({{\xi }^{2}}) = \frac{{{{\Delta }^{ + }}G(\xi )}}{{{{\Delta }^{ + }}\sigma (\xi )}}.$

Уравнение (1) рассматривается на специальном расширении ${{\overline {[0;\ell ]} }_{{[\sigma ]}}}$ отрезка $[0;\ell ]$, которое строится следующим образом. Обозначим через $S(\mu )$ множество точек разрыва функции $\mu (x)$. На множестве ${{J}_{\mu }} = [0;\ell ]{\backslash }S(\mu )$ введем метрику ρ(x; y) = = $\left| {\mu (x) - \mu (y)} \right|$. Метрическое пространство ${{J}_{\mu }}$ является неполным. Обозначим через ${{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$ его стандартное пополнение. Множество ${{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$ вместо каждой точки $\xi $ разрыва функции $\mu (x)$ содержит элементы ${\text{\{ }}{{\xi }^{1}};{{\xi }^{2}}{\text{\} }}$, появившиеся при пополнении. При этом $x < {{\xi }^{1}} < {{\xi }^{2}} < y$ в смысле естественной упорядоченности элементов, если $x < \xi < y$. Определим $u({{\xi }^{1}}) = u(\xi - 0)$, $u({{\xi }^{2}}) = u(\xi + 0)$. Пусть $S$ – множество точек разрыва функции $\sigma (x)$, не являющихся точками разрыва $\mu (x)$. Рассмотрим множество ${{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}{\backslash }S$, пополним его по метрике ρ(xy) = $\left| {\sigma (x) - \sigma (y)} \right|$ и добавим к полученному пополнению элементы из S. Обозначим дан-ное множество через ${{\overline {[0;\ell ]} }_{{[\sigma ]}}}$. Обозначим ${{\overline {[0,\ell ]} }_{S}} = {{\overline {[0,\ell ]} }_{{[\sigma ]}}} \cup S(\mu )$.

Таким образом, в точках ${{\xi }^{1}}$ и ${{\xi }^{2}}$ уравнение (1) имеет вид

$\begin{gathered} - {{\Delta }^{ - }}(pu_{\mu }^{'})(\xi ) + u(\xi - 0){{\Delta }^{ - }}Q(\xi ) = \\ = \;f({{\xi }^{1}},u(\xi - 0)){{\Delta }^{ - }}\sigma (\xi ), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} - {{\Delta }^{ + }}(pu_{\mu }^{'})(\xi ) + u(\xi + 0){{\Delta }^{ + }}Q(\xi ) = \\ = \;f({{\xi }^{2}},u(\xi + 0)){{\Delta }^{ + }}\sigma (\xi ). \\ \end{gathered} $

В точках s разрыва функции $\sigma (x)$, в которых $\mu (x)$ является непрерывной, уравнение (1) имеет вид

$ - \Delta (pu_{\mu }^{'})(s) + u(s)\Delta Q(s) = f(s,u(s))\Delta \sigma (s),$
где $\Delta {v}(s) = {v}(s + 0) - {v}(s - 0)$.

Решение (1) мы будем искать в классе $E$ $\mu $-абсолютно непрерывных на ${{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$ функций, первая производная которых [σ]-абсолютно непрерывна на ${{\overline {[0;\ell ]} }_{S}}$. Относительно коэффициентов $p(x)$, $Q(x)$ и функции $f(x,u)$ мы делаем следующие предположения:

1) $p(x)$ и $Q(x)$$[\sigma ]$-абсолютно непрерывны на ${{\overline {[0;\ell ]} }_{S}}$;

2) функция $p(x)$ положительна и отделена от нуля;

3) функция $Q(x)$ не убывает на $[0;\ell ]$;

4) $f(x,u)$ удовлетворяет условию Каратеодери, т.е.

а) при каждом фиксированном $u$ функция $f(x,u)$ является $[\sigma ]$-измеримой;

б) при всех $x \in {{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$ $f(x,u)$ непрерывна по $u$;

в) существует [σ]-суммируемая с некоторой степенью $p \in [1,\infty )$ функция $m(x)$ такая, что |f(x$u){\text{|}} \leqslant m(x)$ для почти всех x (в смысле $[\sigma ]$-меры) и $u$. Последнее позволяет нам гарантировать, что оператор суперпозиции $[{\mathbf{F}}u](x) = f(x,u(x))$ непрерывно действует из ${{C}_{\mu }}$ (пространства $\mu $-непрерывных на $x \in {{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$ функций) в ${{L}_{{r,[\sigma ]}}}$ ([σ]-суммируемых с некоторой степенью r функций).

При выполнении условий 1)–3) нетрудно доказать разрешимость в классе E линейной задачи (когда в правой части системы (1) стоит $f(x)$ – [σ]-суммируемая функция); показать существование и единственность функции влияния $H(x,s)$ линейной граничной задачи $Lu = f$, $u(0) = u(\ell )$ = 0. Ключевым моментом для наших результатов является следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1)–3). Тогда существуют такое положительное число $\kappa $ и такие $[\sigma ]$-суммируемые почти всюду положительные функции ${{{v}}_{1}}(s)$, ${{{v}}_{2}}(s)$, что для всех x, s, $\tau $, принадлежащих ${{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$, справедливы неравенства

(2)
$H(x,s) \geqslant \kappa {{u}_{0}}(x)H(\tau ,s),$
(3)
${{u}_{0}}(x){{{v}}_{1}}(s) \leqslant H(x,s) \leqslant {{u}_{0}}(x){{{v}}_{2}}(s),$
где

${{u}_{0}}(x) = (\mu (x) - \mu (0))(\mu (\ell ) - \mu (x)).$

Данная теорема позволяет получить достаточные условия существования решений нелинейных краевых задач.

Теорема 2. Пусть помимо условий 1)–4) выполнены следующие условия:

(i) функция $f(x,u)$ не убывает по $u$ при каждом $x \in {{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$ и $f(x,0) \geqslant 0$;

(ii) существует N пар чисел ${{\alpha }_{i}}$, ${{\beta }_{i}}$, удовлетворяющих неравенствам

$0 \leqslant {{\alpha }_{1}} < {{\beta }_{1}} < {{\alpha }_{2}} < {{\beta }_{2}} < \ldots < {{\alpha }_{n}} < {{\beta }_{n}},$
причем

(4)
$f(x,{{\beta }_{k}}{{u}_{0}}(x))\int\limits_0^\ell {{{{v}}_{2}}} (s)d[\sigma (s)] \leqslant {{\beta }_{k}},\quad x \in {{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }};$

(iii) для каждого k существует множество wk положительной $[\sigma ]$-меры такое, что

(5)
$\begin{gathered} f(x,{{\alpha }_{k}}{{u}_{0}}(x))\int\limits_{{{w}_{k}}} {{{{v}}_{1}}} (s)d[\sigma (s)] \geqslant {{\alpha }_{k}}, \\ x \in {{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }},\quad k = 1,2,\; \ldots ,\;N. \\ \end{gathered} $

Тогда если неравенства (4) и (5) превращаются в строгие на множествах положительной [σ]-меры, то задача (1) имеет $2N - 1$ нетривиальных решений ${\text{\{ }}{{u}_{i}}(x){\text{\} }}_{{i = 1}}^{{2N - 1}}$, удовлетворяющих неравенствам

${{u}_{i}}(x)$ ≥ 0 (i = $1,2, \ldots ,2N - 1$) и ${{u}_{{2i - 1}}}(x) \leqslant {{u}_{{2i + 1}}}(x)$

(i = 1, 2, ..., $N - 1$).

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1)–4) и

(i) $f(x,u) \geqslant 0$ при всех $x \in {{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$ и $u \geqslant 0$;

(ii) при некотором $R > 0$ и любом $\lambda \in (0;1)$ краевая задача $Lu = \lambda f(x,u)$, $u(0) = u(\ell ) = 0$, не имеет решений $u(x)$ таких, что $u(x) \geqslant R{{u}_{0}}(x)$.

Тогда (1) имеет хотя бы одно нетривиальное неотрицательное решение.

Теорема 4. Пусть наряду с условиями 1)–4) выполнены следующие:

(i) $f(x,0) \geqslant 0$ при всех $x \in {{\overline {[0;\ell ]} }_{\mu }}$ и $u \geqslant 0$;

(ii) $f(x,0) \equiv 0$;

(iii) при некотором $R > 0$ и любом $\lambda \in (0;1)$ граничная задача $Lu = \lambda f(x,u)$, $u(0) = u(\ell ) = 0$ не имеет решений $u(x)$ таких, что $u(x) \geqslant R{{u}_{0}}(x)$;

(iv) для некоторого $r > 0$ и некоторой функции $h(x) \geqslant 0$, отличной от тождественного нуля, такой, что $h(x) \in {{L}_{\infty }}[0;\ell ]$ (где ${{L}_{\infty }}$пространство измеримых ограниченных в существенном функций) при достаточно малом $\lambda > 0$ задача

$\begin{array}{*{20}{c}} {Lu = f(x,u) + \lambda h(x),} \\ {u(0) = u(\ell ) = 0,} \end{array}$
не имеет решений, для которых
${{\tilde {u}}_{0}}(x) \cdot {{\left\| u \right\|}_{{{{C}_{\mu }}}}} \leqslant u(x) \leqslant r,$
где ${{\tilde {u}}_{0}}(x) = M{{u}_{0}}(x)$. ($M$ — некоторая положительная константа.) Тогда задача (1) имеет неотрицательное нетривиальное решение.

Теорема 5 (Случай сильной нелинейности). Пусть вместе с условиями 1)–4) выполнены следующие:

(i) $f(x,0) \equiv 0$;

(ii) при некоторых $0 < r < R < \infty $ справедливо

а) краевая задача $Lu = \lambda f(x,u)$, $u(0) = u(\ell ) = 0$ при любых $\lambda \in (0;1)$ не имеет решений, удовлетворяющих неравенствам

${{u}_{0}}(x) \cdot {{\left\| u \right\|}_{{{{C}_{\mu }}}}} \leqslant u(x) \leqslant r;$

б) для некоторой $h(x)$ (отличной от тождественного нуля), принадлежащей ${{L}_{{1,[\sigma ]}}}[0;\ell ]$, и для любого $\lambda > 0$ задача $Lu = f(x,u) + \lambda h(x)$, $u(0) = u(\ell )$ = 0 не имеет решений, для которых

${{u}_{0}}(x){{\left\| u \right\|}_{{{{C}_{\mu }}}}} \leqslant u(x) \leqslant R.$

Тогда нелинейная граничная задача (1) имеет неотрицательное нетривиальное решение.

Список литературы

  1. Савчук А.М. О базисности системы собственных и присоединенных функций одномерного оператора Дирака // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. Т. 82. № 2. С. 113–139.

  2. Иванов А.С., Савчук А.М. След порядка минус один для струны с сингулярными весом // Матем. заметки. 2017. Т. 102. № 2. С. 197–215.

  3. Конечная Н.Н., Мирзоев К.А., Шкаликов А.А. Об асимптотике решений двучленных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами // Матем. заметки. 2018. Т. 104. № 2. С. 231–242.

  4. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость // Функц. анализ и его прил. 2010. Т. 44. № 4. С. 34–53.

  5. Джаков П.Б., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака // УМН. 2006. Т. 61. В. 4 (370). С. 77–182.

  6. Михайлец В.А. Структура непрерывного спектра одномерного оператора Шрёдингера с точечными взаимодействиями // Функц. анализ и его прил. 1996. Т. 30. № 2. С. 90–93.

  7. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях // ДАН. 1999. Т. 364. № 2. С. 167–169.

  8. Покорный, Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма–Лиувилля // ДАН. 2002. Т. 383. № 5. С. 1–4.

  9. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Пер. с англ. М.: Мир, 1968. 749 с.

  10. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С.А. Осцилляционная теория Штурма–Лиувилля для импульсных задач // УМН. 2008. Т. 63. В. 1 (379). С. 111–154.

  11. Покорный Ю.В. и др. Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах. М.: Физматлит, 2009. 192 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления