Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 490, № 1, стр. 85-90

1. Введение. Понятие внутренней устойчивости формаций нескольких управляемых движущихся объектов возникло при изучении задачи управления группой автономных роботов [1]. Под формацией понимается конечное множество взаимосвязанных движущихся объектов, связи между которыми (типа “ведущий–ведомый”) задаются некоторым ориентированным бесконтурным графом. Каждой паре связанных объектов сопоставляется некоторый вектор, определяющий их требуемое (в идеале) взаимное расположение, которое реально может быть выдержано только с некоторой точностью. Изучается задача существования управлений, обеспечивающих малые отклонения формации от желаемого идеального состояния при малом начальном отклонении и малых возмущающих внешних воздействиях. Это свойство, названное внутренней устойчивостью формаций, видимо, впервые появилось в работах Г.Дж. Таннера, Дж.Дж. Паппаса и В. Кумара (H.G. Tanner, G.J. Pappas, V. Kumar) (2002) [2–5] (см. также [6, 7]).

В этих работах за оценку малости отклонения была выбрана концепция “устойчивости от входа к состоянию” (input to state stability). Данное понятие впервые появилось в работах Э.Д. Cонтага (E.D. Sontag) (1989) [8, 9] и активно исследовалось в работах многих авторов, при этом в основном использовался метод функций Ляпунова. Некоторые итоги этих более чем 20-летних исследований содержатся в обзоре [10].

Отметим, что имеются и различные другие подходы к исследованию поведения формаций. Например, в работах [11–13] также на основе метода функций Ляпунова изучается свойство типа диссипативности.

Однако практически во всех работах при исследовании внутренней устойчивости формаций вопрос существования управлений, обеспечивающих свойство внутренней устойчивости формации, в явном виде не ставился.

В данной работе мы будем рассматривать только формации, у которых динамика каждого объекта описывается линейным дифференциальным уравнением и управления ищутся в классе аффинных обратных связей.

2. Основные понятия и определения. Перейдем к точным формулировкам. Следующие определения взяты из работ [2–5].

Определение 1. Будем говорить, что задана формация из l взаимосвязанных объектов, если: 

1) задан ориентированный бесконтурный граф $G = (V,E)$ без кратных ребер и петель с множеством вершин $V = {\text{\{ }}1,2,\; \ldots ,\;l{\text{\} }}$ и множеством ребер $E \subseteq V \times V$, называемый в дальнейшем графом формаций. При этом вершины графа отождествляются с движущимися объектами формации, а ребра указывают на наличие взаимосвязей между некоторыми из них. Если $(i,j) \in E$, то i-й объект называется ведомым, а j-й объект – ведущим (ребро $(i,j) \in E$ считаем ориентированным от i к j);

2) динамика движения i-го объекта задается дифференциальным уравнением с управлением

3) каждому ребру $(i,j) \in E$ сопоставлен вектор ${{d}_{{ij}}} \in {{R}^{n}}$, задающий требуемое взаимное расположение (в идеале) i-го и j-го объектов относительно друг друга, при этом в идеале хотелось бы иметь соотношение ${{{\text{x}}}_{i}} + {{d}_{{ij}}} = {{{\text{x}}}_{j}}$;

4) если динамика движения всех объектов задается линейным дифференциальным уравнением с управлением, т.е. ${{\dot {x}}_{i}} = {{A}_{i}}{{{\text{x}}}_{i}} + {{B}_{i}}{{u}_{i}}$, где ${{A}_{i}} \in {{R}^{{n \times n}}}$ и ${{B}_{i}} \in {{R}^{{n \times m}}}$ – матрицы соответствующих размерностей, то формацию будем называть  линейной.

Будем обозначать L_i = ${\text{\{ }}j \in V|(i,j) \in E{\text{\} }}$ = = ${\text{\{ }}{{j}_{{i1}}}, \ldots ,{{j}_{{i{{s}_{i}}}}}{\text{\} }}$ – множество ведущих для i-го объекта. Обозначим также ${{V}_{0}} = {\text{\{ }}i \in V|{{L}_{i}} = \phi {\text{\} }}$ – множе-ство  лидеров формации.

Если $(i,j) \in E$, то обозначим ${{{\text{z}}}_{{i,j}}}\, = \,{{{\text{x}}}_{i}} + {{d}_{{ij}}} - {{{\text{x}}}_{j}}$ – отклонение (ошибку) от идеального состояния между i-м и j-м объектами и ${\text{z}} = ({{{\text{z}}}_{{i,j}}})$ – ($l \times l$)-матрица ошибок,

Для оценки величины отклонений используем стандартные классы функций [14]:

1) $\mathcal{K}$ – класс функций Хана: $\gamma \in \mathcal{K}$, если $\gamma :[0, + \infty ) \to [0, + \infty )$ непрерывная, строго возрастающая, $\gamma (0) = 0$;

2) функции класса $\mathcal{K}\mathcal{L}$: $\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$, если $\beta :[0, + \infty ) \times [0, + \infty ) \to [0, + \infty )$, $\beta ( \cdot ,t) \in \mathcal{K}$ при фиксированном t, $\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } \beta (a,t) = 0$, при фиксированном $a \in [0, + \infty )$, $\beta (a,t)$ непрерывна по (a, t).

Пусть для каждого $i \in V$ задан класс допустимых управлений ${{\mathcal{U}}_{i}}$ для i-го объекта.

Определение 2. Формация называется внутренне устойчивой, если существуют функции ${{\gamma }_{i}} \in \mathcal{K}$, $i \in {{V}_{0}}$ и функция $\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$ такие, что для любых допустимых управлений u_i ∈ ${{\mathcal{U}}_{i}}$, $i \in {{V}_{0}}$, найдутся управления ${{u}_{j}} \in {{\mathcal{U}}_{j}}$, $j \in V{\backslash }{{V}_{0}}$ такие, что при любых начальных значениях ${{{\text{x}}}_{{0i}}}\, \in \,{{R}^{n}}$, $i = 1,2, \ldots ,l$ и любых $t \geqslant 0$ выполняется оценка

где z(t) – матрица ошибок, полученная на решениях уравнений (1) при заданных управлениях ${{u}_{i}} \in {{\mathcal{U}}_{i}}$ и заданных начальных значениях x_i(0) = = ${{{\text{x}}}_{{0i}}} \in {{R}^{n}}$, $i = 1,2, \ldots ,l$.

Здесь и всюду в дальнейшем нормы векторов и матриц считаются евклидовыми.

Для линейных формаций будем рассматривать следующие классы допустимых управлений:

1) если $i \in {{V}_{0}}$, то ${{\mathcal{U}}_{i}} = \mathcal{U}_{i}^{{pr}} = {\text{\{ }}{{u}_{i}}|{{u}_{i}}{\text{:}}\,R_{0}^{1} \to {{R}^{m}}$, u_i – непрерывно};

2) если $i \in V{\backslash }{{V}_{0}}$ и ${{L}_{i}} = {\text{\{ }}{{j}_{{i1}}},\; \ldots ,\;{{j}_{{i{{s}_{i}}}}}{\text{\} }}$, то ${{\mathcal{U}}_{i}} = \mathcal{U}_{i}^{{aff}}$ = = $\{ {{u}_{i}}|{{u}_{i}}{\text{:}}\,{{R}^{{n({{s}_{i}} + 1)}}} \to {{R}^{m}}{\text{\} }}$,

где ${{S}_{i}},{{K}_{{ij}}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, ${{k}_{i}} \in {{R}^{m}}$.

Определение 3. Линейную формацию будем называть линейно внутренне устойчивой (ЛВУ), если свойство из определения 2 выполняется при ${{\mathcal{U}}_{i}} = \mathcal{U}_{i}^{{pr}}$ для $i \in {{V}_{0}}$, и при ${{\mathcal{U}}_{i}} = \mathcal{U}_{i}^{{aff}}$ для $i \in V{\backslash }{{V}_{0}}$.

В кванторном виде это свойство более кратко можно записать следующим образом:

Будем рассматривать еще два свойства линейных формаций:

${{({\text{ЛВУ}})}_{1}}$ – получается из $({\text{ЛВУ}})$ перестановкой кванторов $(\forall {{u}_{i}} \in \mathcal{U}_{i}^{{pr}}$: $i \in {{V}_{0}})$ и $(\exists {{u}_{j}} \in \mathcal{U}_{j}^{{aff}}$: $j \in V{\backslash }{{V}_{0}})$ или в кванторном виде:

${{({\text{ЛВУ}})}_{0}}$ – получается из $({\text{ЛВУ}})$ при нулевых управлениях лидеров, т.е. ${{u}_{i}}(t) \equiv 0$ для всех $i \in {{V}_{0}}$ (при этом в неравенстве (2) второе слагаемое тождественно равно нулю), или в кванторном виде: где z⁰(t) – матрица ошибок, полученная на решениях уравнений (1) при заданных управлениях ${{u}_{j}} \in \mathcal{U}_{j}^{{aff}}$ для $j \in V{\backslash }{{V}_{0}}$, ${{u}_{i}}(t) \equiv 0$ для $i \in {{V}_{0}}$ и заданных начальных значениях ${{x}_{i}}(0) = {{{\text{x}}}_{{0i}}} \in {{R}^{n}},$ i = 1, 2, ..., l.

Очевидно, что

Рассмотрим более подробно граф формации, при этом будем придерживаться терминологии из [15, глава 16].

Во-первых, нетрудно показать, что внутренняя устойчивость формации эквивалентна внутренней устойчивости всех подформаций, определяемых компонентами слабой связности графа G. Поэтому в дальнейшем без ограничения общности будем считать, что граф G – слабо связный.

Во-вторых, хорошо известно, что ориентированный граф $G = (V,E)$ является бесконтурным тогда и только тогда, когда он допускает перенумерацию вершин с нижней строго треугольной матрицей смежности [15, с. 235, теорема 16.3]. Поэтому с точностью до перенумерации вершин можно считать, что ${{L}_{i}} \subseteq {\text{\{ }}1,2,\; \ldots ,\;i - 1{\text{\} }}$. В частности всегда ${{L}_{1}} = \phi $, т.е. $1 \in {{V}_{0}}$. Также будем считать, что ${{V}_{0}} = {\text{\{ }}1,2,\; \ldots ,\;{{l}_{0}}{\text{\} }}$.

В дальнейшем нам также понадобится функция $p:V \to V$, выбирающая для каждого $i > {{l}_{0}}$ одного из его ведущих. Для определенности будем считать, что это ведущий с наибольшим номером, а если $i \leqslant {{l}_{0}}$, то $p(i) = i$, т.е.

Используя эту функцию, определим рекуррентным образом следующие вектора ${{D}_{i}} \in {{R}^{n}}$, которые также понадобятся нам в дальнейшем:

3. Необходимые условия для свойства ${{({\text{ЛВУ}})}_{0}}$.

Путь для формации выполняется свойство ${{({\text{ЛВУ}})}_{0}}$. Выберем и зафиксируем до конца данного раздела функцию $\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$ и управления для объектов с номерами из $V{\backslash }{{V}_{0}}$, обеспечивающих это свойство, т.е. матрицы ${{S}_{i}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, наборы матриц ${{{\text{\{ }}{{K}_{{ij}}}{\text{\} }}}_{{j \in {{L}_{i}}}}}$, ${{K}_{{ij}}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, и векторы ${{k}_{i}} \in {{R}^{m}}$ такие, что если обозначить $x_{i}^{0}(t,{{{\text{x}}}_{{10}}},\; \ldots ,\;{{{\text{x}}}_{{i0}}})$ – решения задачи Коши для следующей системы дифференциальных уравнений:

с начальными условиями $x_{i}^{0}(0,{{{\text{x}}}_{{10}}},\; \ldots ,\;{{{\text{x}}}_{{i0}}}) = {{{\text{x}}}_{{i0}}}$, $i = 1,\,\,2,\,\, \ldots ,\,\,l$, и, соответственно, ошибки $z_{{i,j}}^{0}(t)$ = = $z_{{i,j}}^{0}(t,{{{\text{x}}}_{{10}}}, \ldots ,{{{\text{x}}}_{{i0}}})$ = $x_{i}^{0}(t,{{{\text{x}}}_{{10}}}, \ldots ,{{{\text{x}}}_{{i0}}})$ – $x_{j}^{0}(t,{{{\text{x}}}_{{10}}}$, ... ..., x_j0) + d_ij, при $(i,j) \in E$, то для всех $t \geqslant 0$ выполняется оценка

Из неравенства (4) получаем следующее

Необходимое условие 1. $\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } z_{{i,j}}^{0}(t) = 0$ при любых ${{x}_{i}}(0) = {{{\text{x}}}_{{i0}}} \in {{R}^{n}}$, $i = 1,2,\; \ldots ,\;l$.

Рассмотрим теперь поведение решений системы (3) при нулевых начальных условиях. Обозначим эти решения $\tilde {x}_{i}^{0}(t) = x_{i}^{0}(t,0,\; \ldots ,\;0)$. Так как очевидно, что $\tilde {x}_{i}^{0}(t) \equiv 0$ при $i = 1,2,\; \ldots ,\;{{l}_{0}}$, то индукцией по $i$ из необходимого условия 1 получаем следующее.

Предложение 1. Для всех $i = 1,2,\; \ldots ,\;l$ существует конечный предел $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \tilde {x}_{I}^{0}(t) = - {{D}_{i}}$, а если $j \in {{L}_{i}}$, то $\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } \tilde {x}_{i}^{0}(t) = - ({{d}_{{ij}}} + {{D}_{j}})$ и, следовательно, ${{d}_{{ij}}} = {{D}_{i}} - {{D}_{j}}$.

Замечание 1. Отметим, что из этого предложения получаем жесткое ограничение на ${{d}_{{ij}}}$ в случае $\left| {{{L}_{i}}} \right| > 1$. Если же $\left| {{{L}_{i}}} \right| = 1$, то ${{L}_{i}} = {\text{\{ }}p(i){\text{\} }}$ и равенство ${{d}_{{ip(i)}}} = {{D}_{i}} - {{D}_{{p(i)}}}$ выполняется по определению D_i.

Получим теперь еще одно необходимое условие для того, чтобы выполнялось свойство ${{({\text{ЛВУ}})}_{0}}$. Для этого при любом ${{{\text{x}}}_{0}} \in {{R}^{n}}$ обозначим ${\text{x}}_{{i0}}^{ * } = {{{\text{x}}}_{0}}$ – D_i, $x_{i}^{ * }(t,{{{\text{x}}}_{0}}) = x_{i}^{0}(t,{\text{x}}_{{10}}^{ * },\; \ldots ,\;{\text{x}}_{{i0}}^{ * })$ и $z_{{i,j}}^{ * }(t,{{{\text{x}}}_{0}})$ = $x_{i}^{ * }(t,{{{\text{x}}}_{0}})$ – ‒ $x_{j}^{ * }(t,{{{\text{x}}}_{0}})$ + d_ij, $i = 1,2,\; \ldots ,\;l$, $(i,j) \in E$. Тогда из равенства d_ij = ${{D}_{i}} - {{D}_{j}}$ следует, что $z_{{i,j}}^{ * }(0,{{{\text{x}}}_{0}})$ = = ${{{\text{x}}}_{0}} - {{D}_{i}} - ({{{\text{x}}}_{0}} - {{D}_{j}})$ + d_ij = 0 и поэтому из неравенства (4) получаем следующее

Необходимое условие 2. $z_{{i,j}}^{ * }(t,{{{\text{x}}}_{0}}) \equiv 0$ при любых ${{{\text{x}}}_{0}} \in {{R}^{n}}$, $t \geqslant 0$, $i,j = 1,2,\; \ldots ,\;l$.

Дифференцируя это тождество по t и после этого подставляя t = 0, получаем следующее утверждение.

Предложение 2. Если $(i,j)$ – ребро графа $G$ ($(i,j) \in E$), то матрицы ${{S}_{i}},{{S}_{j}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, векторы ${{k}_{i}},{{k}_{j}} \in {{R}^{m}}$ и наборы матриц ${{{\text{\{ }}{{K}_{{is}}}{\text{\} }}}_{{s \in {{L}_{i}}}}},$ ${{{\text{\{ }}{{K}_{{j\nu }}}{\text{\} }}}_{{\nu \in {{L}_{j}}}}}$ K_is, ${{K}_{{j\nu }}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:

где для $j \in {{V}_{0}}$ считаем, что ${{S}_{j}} = 0$, $\sum\limits_{\nu \in {{L}_{j}}} {{{K}_{{j\nu }}}} = 0$, ${{k}_{j}}$ = 0.

Из слабой связности графа $G$ и предложения 2 получаем следующие

Предложение 3. Для всех $i = 1,2,\; \ldots ,\;{{l}_{0}}$ все матрицы A_i одинаковы, т.е. ${{A}_{i}} = {{A}_{1}}$, а для $i > {{l}_{0}}$ матрицы ${{S}_{i}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, векторы ${{k}_{i}} \in {{R}^{m}}$ и наборы матриц ${{{\text{\{ }}{{K}_{{is}}}{\text{\} }}}_{{s \in {{L}_{i}}}}}{{K}_{{is}}} \in {{R}^{{m \times n}}}$ удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:

Из необходимых условий 1 и 2 получаем также следующее утверждение о свойствах матриц ${{\tilde {A}}_{i}} = {{A}_{i}}$ + B_iS_i и ${{A}_{1}}$.

Предложение 4. Для всех $i > \;{{l}_{0}},\,\,...,\,\,l$ матрицы ${{\tilde {A}}_{i}} = {{A}_{i}} + {{B}_{i}}{{S}_{i}}$ – гурвицевы и, следовательно, пары матриц $({{A}_{i}},{{B}_{i}})$ – стабилизируемы, а если ${{l}_{0}} > 1$, то и матрица A₁– гурвицева.

Замечание 2. Сделаем несколько замечаний о разрешимости уравнений (5), (6). Обозначая ${{N}_{i}} = {{S}_{i}} + \sum\limits_{s \in {{L}_{i}}} {{{K}_{{is}}}} $ и ${{\tilde {k}}_{i}} = {{k}_{i}} - {{S}_{i}}{{D}_{i}} - \sum\limits_{s \in {{L}_{i}}} {{{K}_{{is}}}} {{D}_{s}}$, получаем, что ${{N}_{i}} \in {{R}^{{m \times n}}}$ и ${{\tilde {k}}_{i}} \in {{R}^{m}}$ являются решениями следующих уравнений:

для всех $i = 1,2,\; \ldots ,\;l$.

Обратно, если ${{N}_{i}} \in {{R}^{{m \times n}}}$ и ${{\tilde {k}}_{i}} \in {{R}^{m}}$ являются решениями предыдущих уравнений, ${{S}_{i}} \in {{R}^{{m \times n}}}$ – любая матрица, а набор матриц ${{{\text{\{ }}{{K}_{{is}}}{\text{\} }}}_{{s \in {{L}_{i}}}}}$, ${{K}_{{is}}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, удовлетворяет соотношению $\sum\limits_{s \in {{L}_{i}}} {{{K}_{{is}}}} $ = ${{N}_{i}} - {{S}_{i}}$, то, полагая ${{k}_{i}} = {{\tilde {k}}_{i}} + {{S}_{i}}{{D}_{i}} + \sum\limits_{s \in {{L}_{i}}} {{{K}_{{is}}}} {{D}_{s}}$, получаем решение уравнений (5), (6).

4. Необходимые и достаточные условия линейной внутренней устойчивости.

Набор условий для наличия свойства ${{({\text{ЛВУ}})}_{0}}$ из предложений 1–4 оказался не только необходимым, но и достаточным. Более точно, верно следующее утверждение.

Теорема. Для линейной формации выполняется свойство линейной внутренней устойчивости тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) для всех $i > {{l}_{0}}$ пары матриц $({{A}_{i}},{{B}_{i}})$ – стабилизируемы, т.е. существуют $(m \times n)$-матрицы S_i такие, что матрицы ${{A}_{i}} + {{B}_{i}}{{S}_{i}}$ – гурвицевы;

2) для всех $i > {{l}_{0}}$ существует $(m \times n)$-матрица N_i и векторы ${{\tilde {k}}_{i}} \in {{R}^{m}}$, удовлетворяющие следующим линейным уравнениям:

3) если $(i,j) \in E$, то ${{d}_{{ij}}} = {{D}_{i}} - {{D}_{j}}$;

4) если ${{l}_{0}} > 1$, то ${{A}_{i}} = {{A}_{1}}$ для всех $i = 1,2,\; \ldots ,\;{{l}_{0}}$ и матрица A₁– гурвицева.

При этом если S_i, N_i и ${{\tilde {k}}_{i}}$ удовлетворяют условиям 1), 2) теоремы, то управления ведомых, обеспечивающие внутреннюю устойчивость, можно выбрать в виде

где набор матриц ${{{\text{\{ }}{{K}_{{is}}}{\text{\} }}}_{{s \in {{L}_{i}}}}}$, ${{K}_{{is}}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, удовлетворяет соотношению $\sum\limits_{s \in {{L}_{i}}} {{{K}_{{is}}}} = {{N}_{i}} - {{S}_{i}}$, а k_i = ${{\tilde {k}}_{i}} + {{S}_{i}}{{D}_{i}}$ + + $\sum\limits_{s \in {{L}_{i}}} {{{K}_{{is}}}} {{D}_{s}}$ независимо от управлений лидеров, т.е. удовлетворяет и свойству ${{({\text{ЛВУ}})}_{1}}$.

Сформулируем ряд следствий из этой теоремы.

Так как все необходимые условия получены из свойства ${{({\text{ЛВУ}})}_{0}}$, то верно следующее утверждение.

Следствие 1. Свойства ${{({\text{ЛВУ}})}_{1}}$, $({\text{ЛВУ}})$ и ${{({\text{ЛВУ}})}_{0}}$ эквивалентны.

Замечание 3. Отметим также, что если перебирать все $(m \times n)$-матрицы S_i, стабилизирующие пары матриц $({{A}_{i}},{{B}_{i}})$ ($i > {{l}_{0}}$), т.е. такие, что матрица ${{A}_{i}} + {{B}_{i}}{{S}_{i}}$ – гурвицева, а также все N_i, ${{\tilde {k}}_{i}}$, являющиеся решениями уравнений (7), (8) и все наборы матриц ${{{\text{\{ }}{{K}_{{is}}}{\text{\} }}}_{{s \in {{L}_{i}}}}}$, ${{K}_{{is}}} \in {{R}^{{m \times n}}}$, удовлетворяющие соотношению $\sum\limits_{s \in {{L}_{i}}} {{{K}_{{is}}}} = {{N}_{i}} - {{S}_{i}}$, то по формуле

получим все управления, при которых выполняется свойство ${{({\text{ЛВУ}})}_{1}}$ (естественно, при выполнении условий 3) и 4) теоремы).

Далее заметим, что в случае, когда у формации больше одного лидера, то в теореме 1 условие 1) является следствием условий 2) и 4), так как можно взять ${{S}_{i}} = {{N}_{i}}$ и, кроме того, при этом можно взять ${{K}_{{is}}} = 0 \in {{R}^{{m \times n}}}$ для всех $i > {{l}_{0}}$, $s \in {{L}_{i}}$. Тогда получаем следующее

Следствие 2. Для линейной формации, имеющей больше одного лидера, выполняется свойство линейной внутренней устойчивости тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) ${{A}_{i}} = {{A}_{1}}$ для всех $i = 1,2,\; \ldots ,\;{{l}_{0}}$ и матрица A₁– гурвицева;

2) выполняются условия условий 2) и 3) теоремы 1.

При этом если N_i и ${{\tilde {k}}_{i}}$ удовлетворяют усло-вию 2) теоремы 1, то управления ведомых, обеспечивающие внутреннюю устойчивость, можно выбрать в виде

независимо от состояний ведущих и управлений лидеров.

Замечание 4. Рассмотрим самую простую среди формаций, имеющих больше одного лидера. Она состоит из трех объектов: 1-й и 2-й – лидеры и ведущие для 3-го. По следствию 2 необходимыми и достаточными условиями ее линейной внутренней устойчивости будут следующие (учитывая, что для этой формации ${{D}_{1}} = {{D}_{2}} = 0$, $p(3)$ = 2 и ${{D}_{3}} = {{d}_{{32}}}$):

1) ${{A}_{2}} = {{A}_{1}}$ и матрица A₁ – гурвицева;

2) существуют решения уравнений ${{B}_{3}}{{N}_{3}}$ = A₁ – A₃ и ${{B}_{3}}{{\tilde {k}}_{3}} = {{A}_{3}}{{d}_{{32}}}$;

3) ${{d}_{{31}}} = {{d}_{{32}}}$.

Однако очевидно, что (необходимое) условие ${{d}_{{31}}} = {{d}_{{32}}}$ невыполнимо и бессмысленно для реальных объектов. Причем можно показать, что подобная коллизия будет возникать в любой формации, имеющей больше одного лидера. Еще одним странным (противоречащим интуиции) фактом является возможность обеспечить внутреннюю устойчивость (в случае ее наличия) управлением, не зависящим от состояний ведущих (как в следствии 2).

Таким образом, данная концепция внутренней устойчивости не подходит для многолидерных формаций. Причиной этого, видимо, является то, что мы пытаемся выдержать заданное расположение ведомого объекта одновременно относительно всех его ведущих (т.е. пытаемся угнаться сразу за несколькими зайцами). Возможно, более приемлемой в данном случае может оказаться концепция внутренней устойчивости из [5], в которой используется некоторое агрегированное отклонение i-го объекта от идеального состояния вида ${{e}_{i}} = \sum\limits_{j \in {{L}_{i}}} {{{P}_{{ij}}}} {{{\text{z}}}_{{i,j}}}$, где P_ij – некоторые матрицы-проекторы, и требуется выполнение оценки вида (2) для вектора, составленного из e_i, $i > {{l}_{0}}$, а не всей матрицы z.

Далее рассмотрим случай формаций, для которых условие 3) теоремы 1 отсутствует. Это формации, граф которых является входящим деревом [15, с. 235], т.е. слабо связным бесконтурным графом, не имеющим полуконтуров, со стоком. Согласно [15, с. 236, теорема 16.4′] у формации с таким графом будет один лидер и, кроме того, у всех остальных объектов будет единственный ведущий, т.е. ${{L}_{i}} = {\text{\{ }}p(i){\text{\} }}$ при $i > 1$. В этом случае условие 3) теоремы 1 всегда выполнено и набор матриц ${{{\text{\{ }}{{K}_{{is}}}{\text{\} }}}_{{s \in {{L}_{i}}}}}$ состоит из одной матрицы ${{K}_{{ip(i)}}}$. Поэтому получаем следующее

Следствие 3. Для линейной формации, граф которой является входящим деревом, выполняется свойство линейной внутренней устойчивости тогда и только тогда, когда выполняются условия 1), 2) теоремы 1.

При этом если S_i, N_i и ${{\tilde {k}}_{i}}$ удовлетворяют условиям 1), 2) теоремы 1, то управления ведомых, обеспечивающие внутреннюю устойчивость, можно выбрать в виде

независимо от управления лидера.