Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 490, № 1, стр. 63-66

Анализ спектра вещественных и комплексных волн в открытых волноведущих структурах менее развит по сравнению с теорией экранированных волноводов, которая входит во многие учебники и монографии по электромагнетизму. Диэлектрический слой (ДС) является одной из наиболее хорошо изученных волноведущих структур в электродинамике [1–6]. Фактически ДС является самым простым волноводом (с геометрической точки зрения), и его дисперсионное уравнение (ДУ) можно записать в явном виде. С другой стороны, такая структура широко используется на практике (плоские оптические волноводы – линзы). Однако до сих пор нет точных доказательств наличия (или отсутствия) бесконечного числа вещественных или комплексных собственных волн, распространяющихся в ДС.

Актуальной задачей при изучении волноводов является классификация волн, существующих в структуре. В сообщении доказано, что в ДС нет поверхностных комплексных ТЕ-волн и бесконечно много комплексных вытекающих ТЕ-волн.

Рассмотрим трехмерное пространство ${{\mathbb{R}}^{3}}$ с декартовой системой координат $Oxyz$. Пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{1}} \equiv {\text{const}}$, ${{\varepsilon }_{1}} > 0$. Рассматриваются электромагнитные волны, распространяющиеся через диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами $x < - h$ и $x > h$. Волновод заполнен однородным материалом с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{2}} > {{\varepsilon }_{1}}$. Среда предполагается изотропной и немагнитной.

Задача о нормальных TE-поляризованных волнах ДС состоит в отыскании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла в виде бегущей волны, т.е. с зависимостью ${{e}^{{i\gamma z}}}$ от координаты z, вдоль которой структура регулярна. Поле поляризованной волны может быть представлено при помощи скалярной функции u := ${{E}_{y}}(x)$ (поля не зависят от y).

Имеем следующую задачу на собственные значения для касательной составляющей u [1–6]: найти $\gamma \in \mathbb{C}$ такие, что существуют нетривиальные решения дифференциального уравнения

где причем должны быть удовлетворены следующие условия: ограниченность энергии поля в любом конечном объеме волновода, непрерывность касательных составляющих полей на границе раздела сред $x = - h$ и x = hи условие на бесконечности.

Принята следующая классификация волн [1–6]. По параметру γ-постоянной распространения:

1) распространяющаяся волна характеризуется параметром γ таким, что $\operatorname{Im} \gamma = 0$;

2) затухающая волна характеризуется параметром γ таким, что $\operatorname{Re} \gamma = 0$;

3) комплексная волна характеризуется параметром γ таким, что $\operatorname{Re} \gamma \operatorname{Im} \gamma \ne 0$.

По условию на бесконечности:

1) поверхностная волна удовлетворяет условию: $u(x) \to 0$, $\left| x \right| \to \infty $;

2) вытекающая волна удовлетворяет условию: $u(x) \to \infty $, $\left| x \right| \to \infty $.

По симметрии поля:

1) четная волна удовлетворяет условию:

$u( - x)$ = u(x);

2) нечетная волна удовлетворяет условию:

$u( - x)$ = –u(x).

Решение уравнения (1) при $ - h < x < h$ имеет вид $u(x;\lambda ) = sin\lambda x$ для нечетных волн и $u(x;\lambda )$ = = cosλx для четных волн, где ${{\lambda }^{2}} = {{\varepsilon }_{2}} - {{\gamma }^{2}}$ и $\lambda $ – новый (комплексный) спектральный параметр.

При $x < - h$ и x > h имеем для нечетных волн

и для четных волн где ${{\varepsilon }^{2}} = {{\varepsilon }_{2}} - {{\varepsilon }_{1}} > 0.$ В приведенных решениях квадратный корень $\sqrt {{{\varepsilon }^{2}} - {{\lambda }^{2}}} $ – это двузначная комплексная функция.

Дисперсионные уравнения имеют вид [1–6]: для нечетных волн

и для четных

Поверхностные волны. Для поверхностных волн имеем

в силу условий на бесконечности.

Распространяющиеся поверхностные волны.

Утверждение 1. Пусть $\lambda = \alpha $, $\alpha \in \mathbb{R}$, и выполнено (6). Если $m - \frac{1}{2} < \frac{{\epsilon h}}{\pi } \leqslant m + \frac{1}{2}$, то существуют $m \geqslant 1$ ненулевых положительных (и $m$ ненулевых отрицательных) корней уравнения (4). Если $0 < \frac{{\epsilon h}}{\pi } \leqslant \frac{1}{2}$, то уравнение (4) не имеет корней.

Утверждение 2. Пусть λ = α, $\alpha \in \mathbb{R}$, и выполнено (6). Если $m - 1 < \frac{{\epsilon h}}{\pi } \leqslant m$, то существуют $m \geqslant 1$ ненулевых положительных (и $m$ ненулевых отрицательных) корней уравнения (5).

Затухающие поверхностные волны.

Утверждение 3. Пусть $\lambda = i\beta $, $\beta \in \mathbb{R}$, и выполнено (6). Тогда уравнения (4) и (5) не имеют ненулевых решений.

Комплексные поверхностные нечетные волны. Пусть $\lambda = \alpha + i\beta $, $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$.

Перепишем уравнение (4)

Взяв квадраты от правой и левой частей в (7), получим $si{{n}^{2}}\lambda h = \frac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{{\epsilon }^{2}}}},$ следовательно,

Предположим, что первое уравнение (8) имеет решение ${{\lambda }_{m}} = {{\alpha }_{m}} + i{{\beta }_{m}}$. Тогда $sin{{\lambda }_{m}}h = \frac{{{{\lambda }_{m}}}}{\epsilon }$ и из (7) получаем ${\text{Re}}\sqrt {{{\epsilon }^{2}} - \lambda _{m}^{2}} $ = $ - {\text{Re}}{{\lambda }_{m}}{\text{ctg}}{{\lambda }_{m}}h$ = $ - \epsilon \operatorname{Re} {\text{cos}}{{\lambda }_{m}}h$ = = $ - \epsilon cos{{\alpha }_{m}}hch{{\beta }_{m}}h$ > 0, следовательно $cos{{\alpha }_{m}}h < 0.$ С другой стороны, $\operatorname{Im} \;sin{{\lambda }_{m}}h = \operatorname{Im} \frac{{{{\lambda }_{m}}}}{\epsilon },$ следовательно, $cos{{\alpha }_{m}}h = {{\beta }_{m}}{{\epsilon }^{{ - 1}}}{\text{s}}{{{\text{h}}}^{{ - 1}}}{{\beta }_{m}}h$ > 0. Получаем противоречие, позволяющее сделать вывод, что первое уравнение (8) не имеет решения λ_m, удовлетворяющего условию $\operatorname{Re} \sqrt {{{\epsilon }^{2}} - \lambda _{m}^{2}} > 0$.

Повторяя приведенные выше рассуждения для второго уравнения (8), получаем тот же вывод. Таким образом, справедлива следующая

Теорема 1. Пусть $\lambda = \alpha + i\beta $, $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Тогда уравнение (4) при условии (6) не имеет решений.

Комплексные поверхностные четные волны. Повторяя приведенные выше рассуждения для уравнения (5), получаем, что справедлива следующая

Теорема 2. Пусть $\lambda = \alpha + i\beta $, $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Тогда уравнение (5) при условии (6) не имеет решений.

Замечание 1. Таким образом, мы показали, что нет комплексных поверхностных четных и нечетных ТЕ-поляризованных волн, нет затухающих поверхностных четных и нечетных ТЕ-поляризованных волн, существует конечное число распространяющихся поверхностных четных и нечетных ТЕ-поляризованных волн, удовлетворяющих условию (6).

Вытекающие волны. Для вытекающих волн имеем

в силу условий на бесконечности. Это условие определяет вытекающие волны.

Распространяющиеся вытекающие волны.

Утверждение 4. Пусть $\lambda = \alpha $, $\alpha \in \mathbb{R}$, и выполнено (9). Пусть $z_{0}^{{(j)}}$ $j$-й положительный корень уравнения ${\text{tg}}z = z$ такой, что $z_{0}^{{(j)}} < z_{0}^{{(j + 1)}}$, $j = 1,$ 2, ..., и $b_{0}^{{(j)}} = \sqrt {{{{(z_{0}^{{(j)}})}}^{2}} + 1} $. Уравнение (4) не имеет решений при $0 < \epsilon h \leqslant 1$ и $\frac{\pi }{2} \leqslant \epsilon h < b_{0}^{{(1)}}$. Если $\epsilon h = b_{0}^{{(n)}}$, то существует $n \geqslant 1$ ненулевых положительных (и $n$ ненулевых отрицательных) корней уравнения (4). Если $b_{0}^{{(n)}} < \epsilon h < \frac{{\pi (2n + 1)}}{2}$, то существует n + 1, $n \geqslant 1$ ненулевых положительных (и n + 1 ненулевых отрицательных) корней уравнения (4). Если $\frac{{\pi (2n + 1)}}{2} \leqslant \epsilon h < b_{0}^{{(n + 1)}}$, то существует $n \geqslant 1$ ненулевых положительных (и n ненулевых отрицательных) корней уравнения (4).

Утверждение 5. Пусть $\lambda = \alpha $, $\alpha \in \mathbb{R}$ и выполнено (9). Пусть $z_{0}^{{(j)}}$ j-й положительный корень уравнения ${\text{ctg}}z = z$ такой, что $z_{0}^{{(j)}} < z_{0}^{{(j + 1)}}$, $j = 1,2$, ... и $b_{0}^{{(j)}} = \sqrt {{{{(z_{0}^{{(j)}})}}^{2}} + 1} $. Уравнение (5) не имеет решений при $0 < \epsilon h < b_{0}^{{(1)}}$. Если $\epsilon h = b_{0}^{{(n)}}$, то существует $n \geqslant 1$ ненулевых положительных (и $n$ ненулевых отрицательных) корней уравнения (5). Если $b_{0}^{{(n)}} < \epsilon h$ < πn, то существует $n + 1$, $n \geqslant 1$ ненулевых положительных (и $n + 1$ ненулевых отрицательных) корней уравнения (5). Если $\pi n \leqslant \epsilon h < b_{0}^{{(n + 1)}}$, то существует $n \geqslant 1$ ненулевых положительных (и $n$ ненулевых отрицательных) корней уравнения (5).

Затухающие вытекающие волны.

Утверждение 6. Пусть $\lambda = i\beta $, $\beta \in \mathbb{R}$, и выполнено (9). Тогда уравнение (4) имеет два ненулевых решения, если $\epsilon h < 1$. Если $\epsilon h \geqslant 1$, то уравнение (4) не имеет ненулевых решений.

Утверждение 7. Пусть $\lambda = i\beta $, $\beta \in \mathbb{R}$, и выполнено (9). Тогда уравнение (5) не имеет ненулевых решений.

Комплексные вытекающие нечетные волны. Введем в рассмотрение следующую функцию: $f(z): = zsin({{z}^{{ - 1}}})$, где $z = {{\lambda }^{{ - 1}}}{{h}^{{ - 1}}}$. Функция f(z) имеет изолированную существенно особую точку z = 0. Пусть $a: = \epsilon h > 0$; рассмотрим уравнения $f(z) = {{a}^{{ - 1}}}$ и $f(z) = - {{a}^{{ - 1}}}$. Из теоремы Пикара (см. [7]) следует, что одно из этих уравнений имеет бесконечно много корней ${{z}_{k}}$ (${{z}_{k}} \ne 0$), ${{z}_{k}} \to \infty $, $k \to \infty $ в окрестности z = 0. Действительно, по теореме Пикара, может существовать только одно исключительное значение A такое, что уравнение $f(z) = A$ не будет иметь бесконечного числа корней.

Рассмотрим первое уравнение $sin({{z}^{{ - 1}}}) = {{a}^{{ - 1}}}{{z}^{{ - 1}}}$. Тогда

Взяв вещественную часть $cos({{z}^{{ - 1}}})$, мы получим ${\text{Recos}}({{z}^{{ - 1}}})\, = \,{\text{cos}}(z{\text{'}}{{\left| z \right|}^{{ - 2}}}){\text{ch}}(z{\text{''}}{{\left| z \right|}^{{ - 2}}})$, $z\, = \,z{\text{'}}\, + \,iz{\text{''}}$ ($z{\text{''}} \ne 0$ поскольку нет вещественных решений уравнения $z{\text{sin}}({{z}^{{ - 1}}}) = {{a}^{{ - 1}}}$ при $\left| z \right| < {{a}^{{ - 1}}}$). Так как $ch(z{\text{''}}{{\left| z \right|}^{{ - 2}}}) > 0$, получаем $sign\operatorname{Re} {\text{cos}}({{z}^{{ - 1}}}) = sign{\text{cos}}(z{\text{'}}{{\left| z \right|}^{{ - 2}}})$. С другой стороны, взяв мнимую часть от выражения $sin({{z}^{{ - 1}}})$, получаем

Следовательно, $sign\operatorname{Re} \,cos({{z}^{{ - 1}}}) > 0$. В соответствии с условием (9) мы получаем

т.е. мы должны выбрать знак корня в формуле (10) следующим образом: cos(z^–1) = $ - \sqrt {1 - {{a}^{{ - 2}}}{{z}^{{ - 2}}}} $ для того, что бы выполнить условие ${\text{signRe}}\,{\text{cos}}({{z}^{{ - 1}}})$ > 0.

Пусть z_k – корень уравнения $f(z) = {{a}^{{ - 1}}}$; тогда $sin(z_{k}^{{ - 1}}) = {{a}^{{ - 1}}}z_{k}^{{ - 1}}$, $cos(z_{k}^{{ - 1}}) = - \sqrt {1 - {{a}^{{ - 2}}}z_{k}^{{ - 2}}} $. Далее

Таким образом получаем, что уравнение

имеет решение ${{\lambda }_{k}} = z_{k}^{{ - 1}}{{h}^{{ - 1}}}.$

Аналогично рассматривая уравнение $f(z)$ = –a^–1, приходим к такому же выводу.

Поскольку одно из уравнений $f(z) = {{a}^{{ - 1}}}$ или $f(z) = - {{a}^{{ - 1}}}$ имеет бесконечно много корней в окрестности z = 0, получаем, что уравнение (4) также имеет бесконечное число корней, которые стремятся к бесконечности при условии (9).

Теорема 3. Пусть $\lambda = \alpha + i\beta $, $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Тогда уравнение (4) при условии (9) имеет бесконечно много корней, которые стремятся к бесконечности.

Комплексные вытекающие четные волны. Повторяя приведенные в предыдущем пункте рассуждения для уравнения (5), получаем, что справедлива следующая

Теорема 4. Пусть $\lambda = \alpha + i\beta $, $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Тогда уравнение (5) при условии (9) имеет бесконечно много корней, которые стремятся к бесконечности.

Замечание 2. Таким образом, мы показали, что существует бесконечное число комплексных вытекающих четных и нечетных ТЕ-поляризованных волн, существует не более конечного числа распространяющихся вытекающих четных и нечетных ТЕ-поляризованных волн, не существует затухающих вытекающих четных и нечетных (или существует пара нечетных) ТЕ-поляризованных волн, удовлетворяющих условию (9).

Следующая таблица 1 объединяет все результаты, представленные в данной работе, и отвечает на вопрос, какие волны существуют в диэлектрическом слое.

Близкие результаты о существовании бесконечного множества вытекающих волн для цилиндрической структуры (линии Губо) получены в [8].