Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 490, № 1, стр. 20-23

Интерполяционные задачи для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса

В. В. Волчков 1*, Вит. В. Волчков 1

1 Донецкий национальный университет
Донецк, Украина

* E-mail: valeriyvolchkov@gmail.com

Поступила в редакцию 25.09.2019
После доработки 25.09.2019
Принята к публикации 29.10.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Пусть ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, n ≥ 2, – множество функций $f \in {{L}_{{{\text{loc}}}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ с нулевыми интегралами по всем шарам из ${{\mathbb{R}}^{n}}$ радиуса r. В работе изучаются различные интерполяционные задачи для класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. В случае, когда множество узлов интерполяции является конечным, получено решение кратной интерполяционной задачи при общих предположениях. Для задач с бесконечным множеством узлов найдены достаточные условия разрешимости. Указан также новый пример подмножества ${{\mathbb{R}}^{n}}$, на котором некоторая ненулевая вещественно аналитическая функция класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ равна нулю.

Ключевые слова: интерполяционные задачи, сферические средние, периодичность в среднем

Пусть ${{\mathbb{R}}^{n}}$ – вещественное евклидово пространство размерности $n \geqslant 2$ с евклидовой нормой $|\; \cdot \;|$. Предположим, что $f \in {{L}_{{{\text{loc}}}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и выполнено равенство

(1)
$\int\limits_{|x| \leqslant r} {f(x + y)dx = 0} $
при некотором фиксированном $r > 0$ и всех $y \in {{\mathbb{R}}^{n}}$. Верно ли, что f = 0? Этот вопрос был рассмотрен в 1929 г. известным румынским математиком Д. Помпейю, который утверждал, что при n = 2 ответ является положительным (см., например, обзор [1]). Однако спустя пятнадцать лет Л. Чакалов обнаружил (см. [1]), что доказательство Д. Помпейю содержит ошибку. Более того, он показал, что функция $f({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \sin (\lambda {{x}_{1}})$ имеет нулевые интегралы по всем единичным кругам в ${{\mathbb{R}}^{2}}$, если число $\lambda $ является нулем функции Бесселя ${{J}_{1}}$. Впоследствии выяснилось, что аналогичные примеры ненулевых функций с условием (1) можно построить, используя метод, предложенный И. Радоном еще в 1917 г. Этот метод основан на теореме о среднем для собственных функций оператора Лапласа и может быть распространен на произвольное двухточечно-однородное пространство X (см. [2, часть 2, п. 2.4]). Кроме того, он позволяет строить ненулевые функции на X, имеющие нулевые интегралы по всем сферам фиксированного радиуса.

Обозначим через ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ множество функций $f \in {{L}_{{{\text{loc}}}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, удовлетворяющих (1) при всех y${{\mathbb{R}}^{n}}$. Данный класс функций, а также различные его аналоги и обобщения активно изучались в течение последних пятидесяти лет в работах Ф. Йона, Д. Дельсарта, Д. Смита, Л. Зальцмана, К.А. Беренстейна и других авторов (см. обзоры [1, 3, 4] и монографии [2, 5, 6], содержащие обширную библиографию). Перечислим основные направления в этих исследованиях.

1. Изучение нулевых множеств и соответствующие теоремы единственности для класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ [2, 58]. Данное направление восходит к теореме единственности Ф. Йона [7, гл. 6] для функций с нулевыми сферическими средними.

2. Исследование допустимых ограничений на рост ненулевых функций класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и его аналогов на неограниченных областях (теоремы типа Лиувилля и Фрагмена–Линделефа [2, 511]).

3. Изучение функций с условиями типа (1), в которых r принадлежит заданному двухэлементному множеству [16, 8, 12] (теоремы о двух радиусах). Первым результатом в этом направлении является классическая теорема Д. Дельсарта о характеризации гармонических функций посредством уравнения средних значений, выполненного только для двух радиусов.

4. Описание функций класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ в виде рядов по сферическим гармоникам [2, 5, 6, 13] (аналоги разложений Тейлора и Лорана из теории аналитических функций).

5. Проблема продолжения [2, 5, 6].

6. Теоремы о стирании особенностей [2, 5, 6, 13, 14].

7. Задачи интегральной геометрии о восстановлении функций из заданных классов по известным шаровым средним [1, 36, 15].

8. Аппроксимация функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями специальных функций [2, 5, 6].

9. Изучение аналогов и обобщений класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ на различных однородных пространствах и группах (например, на римановых симметрических пространствах) [16, 12, 14, 15].

В данной работе впервые изучаются интерполяционные задачи для класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. В случае, когда множество узлов интерполяции является конечным, получена теорема о существовании решения кратной интерполяционной задачи при общих предположениях (см. теорему 1 ниже). Дальнейшие результаты работы содержат различные достаточные условия разрешимости интерполяционных задач с бесконечным числом узлов (см. теоремы 2–4). Одним из промежуточных результатов работы является новый пример подмножества ${{\mathbb{R}}^{n}}$, на котором некоторая ненулевая вещественно аналитическая функция класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ равна нулю (см. следствие 2).

ФОРМУЛИРОВКИ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Как обычно, символами $\mathbb{N}$, ${{\mathbb{Z}}_{ + }}$, $\mathbb{C}$ обозначаются соответственно множества натуральных, целых неотрицательных и комплексных чисел. Пусть $\mathbb{Z}_{ + }^{n}$ – множество n-мерных мультииндексов, т.е. векторов $\alpha = ({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{n}}) \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, у которых ${{\alpha }_{j}} \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$ при любом $j \in \left\{ {1,\;2,\; \ldots ,\;n} \right\}.$ Для мультииндекса $\alpha \in \mathbb{Z}_{ + }^{n}$ обозначим через

${{\partial }^{\alpha }} = {{\left( {\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}}} \right)}^{{{{\alpha }_{1}}}}}\; \ldots \;{{\left( {\frac{\partial }{{\partial {{x}_{n}}}}} \right)}^{{{{\alpha }_{n}}}}}$
оператор частного дифференцирования соответствующего порядка.

Рассмотрим теперь кратную интерполяционную задачу для класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ с конечным множеством узлов интерполяции.

Теорема 1. Пусть $s,q \in \mathbb{N}$. Тогда для любого набора попарно различных точек ${{a}_{1}},\; \ldots ,\;{{a}_{q}}$ в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ и любого набора констант

$\begin{gathered} {{b}_{{\alpha ,k}}} \in \mathbb{C}\quad (\alpha = ({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{n}}) \in \mathbb{Z}_{ + }^{n}, \\ {{\alpha }_{1}} + \; \ldots \; + {{\alpha }_{n}} \leqslant s,\,\,\,k = 1, \ldots ,q) \\ \end{gathered} $
существует вещественно аналитическая функция $f \in {{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, удовлетворяющая условиям

(2)
$({{\partial }^{\alpha }}f)\left( {{{a}_{k}}} \right) = {{b}_{{\alpha ,k}}}.$

Из теоремы 1 получаем следующее следствие, которое, в частности, показывает, что решение интерполяционной задачи (2) для класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ не единственно.

Следствие 1. Пусть $s,q \in \mathbb{N}$. Тогда для любого набора попарно различных точек ${{a}_{1}},\; \ldots ,\;{{a}_{q}}$ в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ существует ненулевая вещественно аналитическая функция $f \in {{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, удовлетворяющая условиям

$({{\partial }^{\alpha }}f)\left( {{{a}_{k}}} \right) = 0$
для всех $\alpha \in \mathbb{Z}_{ + }^{n}$, ${{\alpha }_{1}} + \; \ldots \; + {{\alpha }_{n}} \leqslant s$, $k \in \left\{ {1,\; \ldots ,\;q} \right\}$.

Отметим, что в теореме 1 существенно, что в определении класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ рассматривается интегрирование по шарам. Можно показать, что аналог теоремы 1, в котором класс функций определяется наличием нулевых интегралов по всем сдвигам фиксированного многогранника в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, является неверным. Действительно, всякая такая функция класса ${{C}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{n}})$ удовлетворяет некоторому линейному дифференциально-разностному уравнению, связывающему значения функции и ее частных производных в вершинах этого многогранника (см. [5, часть 4, п. 3.2]). Поэтому если взять в качестве узлов интерполяции вершины данного многогранника, то числа ${{b}_{{\alpha ,k}}}$ в условии (2) не могут быть заданы произвольно.

Интерполяционные задачи для класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ с бесконечным множеством узлов интерполяции в общем случае значительно сложнее, чем для конечного множества. Далее получен ряд достаточных условий, при которых решение существует.

Теорема 2. Пусть $\left\{ {{{a}_{k}}} \right\}_{{k = 1}}^{\infty }$последовательность точек в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, такая что

(3)
для всех $\nu \in \mathbb{N}$ и некоторой константы $\lambda $, не зависящей от $\nu $. Тогда для любой последовательности $\left\{ {{{b}_{k}}} \right\}_{{k = 1}}^{\infty }$ комплексных чисел, удовлетворяющей условию
(4)
$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {{{b}_{k}}} \right|} < + \infty ,$
существует вещественно аналитическая функция $f \in {{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, такая что
$f({{a}_{k}}) = {{b}_{k}}$
при всех $k \in \mathbb{N}$.

Из доказательства теоремы 2 можно получить следующий аналог следствия 1.

Следствие 2. Пусть последовательность $\left\{ {{{a}_{k}}} \right\}_{{k = 1}}^{\infty }$ точек в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ удовлетворяет условию (3). Тогда существует ненулевая вещественно аналитическая функция $f \in {{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, такая что $f({{a}_{k}}) = 0$ при любом $k \in \mathbb{N}$.

Следствие 2 дает новый пример подмножества в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, на котором некоторая ненулевая вещественно аналитическая функция класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ обращается в нуль. Такие множества интересны в связи с изучением точных условий в проблеме единственности для класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ (см. [5, часть 2, п. 4]).

Доказательство теоремы 2 использует следующую лемму, представляющую самостоятельный интерес.

Пусть H – гильбертово пространство со скалярным произведением $\left( { \cdot , \cdot } \right)$ и нормой $\left\| {\, \cdot \,} \right\| = \sqrt {( \cdot , \cdot )} $. Для элемента $x \in H$ и непустого множества $E \subset H$ обозначим через $d(x,E)$ расстояние от $x$ до E, т.е.

$d(x,E) = \mathop {\inf }\limits_{y \in E} \left\| {x - y} \right\|.$

Лемма. Пусть ${{f}_{0}},{{f}_{1}},\; \ldots ,\;{{f}_{m}} \in H$, $\left\| {{{f}_{j}}} \right\| = 1$ для всех $j \in \{ 0, \ldots ,m\} $ и

для всех $k \in \left\{ {0,\; \ldots ,\;m} \right\}$ и некоторого α, не зависящего от k. Пусть также Lлинейное подпространство в H, порожденное элементами ${{f}_{1}},\; \ldots ,\;{{f}_{m}}$. Тогда

$d({{f}_{0}},L) > \sqrt {1 - {{\alpha }^{2}}} .$

Рассмотрим теперь аналогичные интерполяционные задачи, в которых условие (4) ослабляется, а множество узлов интерполяции удовлетворяет некоторым другим требованиям, в том числе геометрического характера (а именно, содержится в (n – 1)-мерной гиперплоскости). Введем соответствующие обозначения.

Пусть ${{r}_{0}} = 0$ и $\left\{ {{{r}_{k}}} \right\}_{{k = 1}}^{\infty }$ – строго возрастающая последовательность положительных чисел. Далее будем предполагать, что существует α > 0, такое что

(5)
${{r}_{k}} = \alpha k + o\left( {\frac{k}{{\ln k}}} \right)\quad {\text{при}}\quad k \to \infty .$

Кроме того, предположим, что при всех $k \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство

(6)
${{r}_{{k + 1}}} - {{r}_{k}} \geqslant \exp ( - \psi (k)),$
где $\psi $ – неотрицательная возрастающая функция на $[1, + \infty )$, удовлетворяющая условию

$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\psi (k)}}{k}\left( {1 + \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant m \leqslant 2k} \left| {{{r}_{m}} - \alpha m} \right|} \right) = 0.$

Для $m \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$ обозначим

${{A}_{m}} = \left\{ {x = ({{x}_{1}},\; \ldots ,\;{{x}_{n}}) \in {{\mathbb{R}}^{n}}{\text{:}}\;\left| x \right| = {{r}_{m}},\,{{x}_{n}} = 0} \right\}$.

Теорема 3. Пусть $\left\{ {{{a}_{m}}} \right\}_{{m = 0}}^{\infty }$последовательность точек в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, такая что ${{a}_{m}} \in {{A}_{m}}$ при всех $m \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$. Тогда для любой последовательности $\left\{ {{{b}_{m}}} \right\}_{{m = 0}}^{\infty }$ комплексных чисел, удовлетворяющей условию

$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \frac{{\ln (1 + \left| {{{b}_{m}}} \right|)}}{m} = 0,$
существует вещественно аналитическая функция $f \in {{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, такая что

$f({{a}_{m}}) = {{b}_{m}}$для всех $m \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}.$

Метод доказательства теоремы 3 позволяет получать аналогичные результаты, в которых интерполирующие функции класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ имеют дополнительные ограничения роста на бесконечности. При этом на последовательность $\left\{ {{{r}_{k}}} \right\}_{{k = 0}}^{\infty }$ накладываются соответствующие требования, которые являются более сильными, чем условия (5) и (6). В качестве одного из примеров рассмотрим следующий аналог теоремы 3, в котором интерполирующая функция класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ имеет рост не выше степенного. Вместо условия (5) далее предполагается, что существуют $\alpha ,\beta > 0$, такие что

$\left| {{{r}_{k}} - \alpha k} \right| \leqslant \beta \quad {\text{для}}\,{\text{всех}}\quad k \in \mathbb{N},$
а вместо условия (6) требуется выполнение неравенства
${{r}_{{k + 1}}} - {{r}_{k}} \geqslant {{\left( {k + 1} \right)}^{{ - \gamma }}}$
для всех $k \in \mathbb{N}$ и некоторого $\gamma > 0$, не зависящего от k.

Теорема 4. Пусть $\left\{ {{{a}_{m}}} \right\}_{{m = 0}}^{\infty }$последовательность точек в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, такая что ${{a}_{m}} \in {{A}_{m}}$ при всех $m \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$. Тогда для любой последовательности $\left\{ {{{b}_{m}}} \right\}_{{m = 0}}^{\infty }$ комплексных чисел, такой что

$\left| {{{b}_{m}}} \right| \leqslant {{(m + 2)}^{l}}$
для всех $m \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$ и некоторого l > 0, не зависящего от m, существует вещественно аналитическая функция $f \in {{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, удовлетворяющая условиям:

1) $f({{a}_{m}}) = {{b}_{m}}$ при любом $m \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$;

2) $\left| {f(x)} \right| \leqslant {{(2 + \left| x \right|)}^{q}}$ для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ и некоторого $q > 0$, не зависящего от $x$.

В заключение отметим, что доказательства теорем 1–4 являются конструктивными. Они позволяют построить функции класса ${{V}_{r}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, удовлетворяющие требуемым условиям, в виде рядов по специальным функциям, сходящихся локально равномерно в ${{\mathbb{R}}^{n}}$.

Список литературы

  1. Zalcman L. // Approximation by Solutions of Partial Differential Equations. 1992. P. 185–194.

  2. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces. Basel: Birkhäuser, 2013. 592 p.

  3. Беренстейн К.А., Струппа Д. // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. матем. Фундамент. направления. Т. 54. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 5–111.

  4. Zalcman L. // Contemp. Math. 2001. V. 278. P. 69–74.

  5. Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations. Dordrecht: Kluwer, 2003. 454 p.

  6. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group. L.: Springer, 2009. 671 p.

  7. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: ИЛ, 1958. 158 с.

  8. Smith J.D. // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1972. V. 72. P. 403–416.

  9. Rawat R., Sitaram A. // Israel J. Math. 1995. № 91. P. 307–316.

  10. Thangavelu S. // J. Anal. Math. 1994. V. 63. P. 225–286.

  11. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Физматгиз, 1962. 320 с.

  12. Schneider R. // J. Math. Anal. Appl. 1969. V. 26. P. 381–384.

  13. Волчков В.В. // Матем. сборник. 1997. Т. 188. № 9. С. 13–30.

  14. Волчков Вит.В., Волчкова Н.П. // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 3. С. 543–552.

  15. Berkani M., El Harchaoui, Gay R. // Complex Variables. 2000. V. 43. P. 29–57.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления