Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 490, № 1, стр. 91-94

В теории оптимального управления и теории дифференциальных игр для обыкновенных дифференциальных систем известны [1–6] различные по форме, но эквивалентные по сути характеризации функции оптимального результата (функции цены), которые взаимно дополняют друг друга. Условно среди них можно выделить два основных подхода. Первый базируется на исследовании производных функции цены по подходящим направлениям. Этот подход приводит к определению функции цены как минимаксного [5] решения соответствующего уравнения Гамильтона–Якоби–Айзекса–Белмана (Г–Я–А–Б). Во втором подходе рассматриваются субградиенты функции цены. В рамках этого подхода функция цены определяется как вязкостное [7] решение уравнения Г–Я–А–Б. Связывает эти два подхода известный результат [8], который можно рассматривать [9] как обобщение на негладкий случай классической теоремы Лагранжа о среднем значении.

В задачах управления и дифференциальных играх для систем с запаздыванием наиболее полным и естественным образом получил развитие первый подход [10–14]. Ниже даны согласованные с конструкциями из [13, 14] результаты, касающиеся развития для систем с запаздыванием второго подхода. При этом, чтобы преодолеть возникающие здесь трудности, приходится рассматривать дифференциальную игру в пространстве кусочно-непрерывных историй движения.

Всюду далее угловые скобки $\langle \cdot , \cdot \rangle $ используем для обозначения скалярного произведения векторов, а двойные скобки $\parallel \cdot \parallel $ – для евклидовой нормы. Функцию $x( \cdot ):[a,b] \mapsto {{\mathbb{R}}^{n}}$ называем кусочно-непрерывной, если она имеет конечное число точек разрыва, все разрывы первого рода, в точках разрыва функция непрерывна справа. Через ${\text{PC}}([a,b]$, ${{\mathbb{R}}^{n}}$) и ${\text{Lip}}([a,b],{{\mathbb{R}}^{n}})$ обозначаем соответственно пространства кусочно-непрерывных и липшицевых функций, действующих из [a, b] в ${{\mathbb{R}}^{n}}$.

Пусть зафиксированы ${{t}_{0}} < \vartheta $ и h > 0. Обозначим ${\text{PC}} = {\text{PC}}([ - h,0],{{\mathbb{R}}^{n}})$, $\mathbb{G} = [{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$ × PC . На пространстве ${\text{PC}}$ рассмотрим нормы

Пусть $(\tau ,z,w( \cdot )) \in \mathbb{G}$. Рассмотрим антагонистическую дифференциальную игру для системы с запаздыванием

с начальными условиями и показателем качества где t – время, $x(t)$ – состояние системы в момент t, $\dot {x}(t) = \frac{{{\text{d}}x(t)}}{{{\text{d}}t}}$, $u(t)$ и $v(t)$ – текущие управляющие воздействия первого и второго игроков соответственно, $\mathbb{U}$ и $\mathbb{V}$ – компакты. Здесь и далее через ${{x}_{t}}( \cdot )$ обозначаем историю движения на отрезке $[t - h$, t]: ${{x}_{t}}(\xi ) = x(t + \xi )$, $\xi \in [ - h,0]$. Первый игрок нацелен минимизировать $\gamma $, второй – максимизировать.

Функции $f = f(t,x,y,u,v) \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, f  ⁰ = f  ⁰(t, x, y, u, $v) \in \mathbb{R}$, $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, $x,y \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $u \in \mathbb{U}$, $v \in \mathbb{V}$, и функционал $\sigma = \sigma (x,r( \cdot )) \in \mathbb{R}$, $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $r( \cdot ) \in {\text{PC}}$ удовлетворяют следующим условиям:

(f₁) функции f и ${{f}^{0}}$ непрерывны;

(f₂) для любого $\alpha > 0$ существует такое λ_f = = ${{\lambda }_{f}}(\alpha )$ > 0, что для любых x, y, x', y' ∈ B(α) = = $\{ x \in {{\mathbb{R}}^{n}}{\kern 1pt} :\;\left\| x \right\| \leqslant \alpha \} $ справедливо неравенство

(f₃) существует такая константа ${{c}_{f}} > 0$, что

(f₄) для любых $s \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ и $\eta \in \mathbb{R}$ имеет место равенство

(σ) для любого α > 0 существует такое λ_σ = = ${{\lambda }_{\sigma }}(\alpha )$ > 0, что для любых $(x,r( \cdot )),(x{\text{'}},r{\text{'}}( \cdot )) \in P(\alpha )$, где

Пусть $\Lambda (\tau ,z,w( \cdot ))$ – множество функций x(·) ∈ ∈ ${\text{PC}}([\tau - h,\vartheta ],{{\mathbb{R}}^{n}})$, удовлетворяющих условию (2) и липшицевых на отрезке $[\tau ,\vartheta ]$. Допустимыми реализациями управляющих воздействий $u(t)$ и $v(t)$ называем измеримые функции $u( \cdot ){\text{:}}\,\,[\tau ,\vartheta ) \mapsto \mathbb{U}$ и $v( \cdot ){\text{:}}\,\,[\tau ,\vartheta ) \mapsto \mathbb{V}$. Пользуясь условиями (f₁)–(f₃), можно показать, что всякая пара таких реализаций $u( \cdot )$ и $v( \cdot )$ порождает единственное движение системы (1), (2) – функцию $x( \cdot ) \in \Lambda (\tau ,z,w( \cdot ))$, почти всюду удовлетворяющую равенству (1).

Следуя подходу [1, 2, 10], стратегиями управления игроков называем отображения U = U(t, x, $r( \cdot ),\varepsilon ) \in \mathbb{U}$ и $V = V(t,x,r( \cdot ),\varepsilon ) \in \mathbb{V},$ $(t,x,r( \cdot )) \in \mathbb{G}$, где ε > 0 – параметр точности [2, с. 68]. Стратегия U, значение ε > 0 и разбиение Δ_δ = {t_j: 0 < ${{t}_{{j + 1}}} - {{t}_{j}} \leqslant \delta ,$ $j = 1,2,...,k,$ ${{t}_{1}} = \tau ,$ ${{t}_{{k + 1}}} = \vartheta \} $ отрезка $[\tau ,\vartheta ]$ образуют закон управления первого игрока $\{ U,\varepsilon ,{{\Delta }_{\delta }}\} $:

В паре с допустимой реализацией управления второго игрока $v( \cdot )$ закон $\{ U,\varepsilon ,{{\Delta }_{\delta }}\} $ однозначно определяет движение системы (1), (2), а значит, и значение $\gamma $ показателя (3). Гарантированный результат стратегии U определяется равенством

Оптимальным гарантированным результатом первого игрока будет

По аналогии определяем гарантированный результат стратегии V

и оптимальный гарантированный результат второго игрока

Из (4)–(7) следует неравенство $\varphi _{u}^{{^{ \circ }}}(\tau ,z,w( \cdot ))\, \geqslant \,$ $ \geqslant \,\varphi _{v}^{{^{ \circ }}}(\tau $, z, w(·)). В случае равенства говорят, что игра (1)–(3) имеет цену

Следуя схемам рассуждений из [2], можно показать, что при условиях (f₁)–(f₄) и $(\sigma )$ равенство (8) действительно достигается.

Рассмотрим функционал $\mathbb{G} \ni (\tau ,z,w( \cdot )) \mapsto \varphi $ = = $\varphi (\tau ,z,w( \cdot )) \in \mathbb{R}$. По аналогии с [13, 14] определим нижнюю и верхнюю правые производные функционала $\varphi $ в точке $(\tau ,z,w( \cdot )) \in \mathbb{G}$, $\tau < \vartheta $, по направлению $l \in {{\mathbb{R}}^{n}}$:

где ${{x}^{l}}( \cdot ) \in \Lambda (\tau ,z,w( \cdot ))$: ${{x}^{l}}(t) = z + l(t - \tau )$, $t \in [\tau ,\vartheta ]$.

Соответственно рассмотрим следующие суб- и супердифференциалы функционала φ:

Обозначим через $\Phi $ множество функционалов $\varphi = \varphi (\tau ,z,w( \cdot )) \in \mathbb{R}$, $(\tau ,z,w( \cdot ))$ ∈ $\mathbb{G}$, которые непрерывны по $\tau $ и удовлетворяют следующему условию Липшица по $(z,w( \cdot ))$: для любого α > 0 найдется такое ${{\lambda }_{\varphi }} = {{\lambda }_{\varphi }}(\alpha ) > 0$, что для всех $\tau \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$ и $(z,w( \cdot )),(z{\kern 1pt} ',w{\kern 1pt} '( \cdot )) \in P(\alpha )$ справедливо неравенство

Следующее утверждение является соответствующим аналогом известных результатов [8, 9] для случая функционалов над пространством кусочно-непрерывных функций.

Теорема 1. Пусть $\varphi \in \Phi $, $(\tau ,z,w( \cdot )) \in \mathbb{G}$, $\tau < \vartheta $ и $L \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ – непустой выпуклый компакт. Пусть выполняется неравенство

Тогда для любого $\delta \in (0,\vartheta - \tau )$ найдутся

такие, что

Обозначим

где константа c_f взята из условия (f₃).

Теорема 1 позволяет получить следующий результат.

Теорема 2. Перечисленные ниже условия эквивалентны:

(а) функционал φ является ценой игры (1)–(3), т.е. для любых $(\tau ,z,w( \cdot )) \in \mathbb{G}$ справедливо соотношение (8);

(б) функционал φ удовлетворяет включению $\varphi \, \in \,\Phi $, дифференциальным неравенствам

и следующему условию на правом конце:

(в) функционал φ удовлетворяет условию (10), включению $\varphi \in \Phi $ и неравенствам

Рассмотренные выше производные по направлениям и суб- и супердифференциалы естественным образом связаны с понятием коинвариантной (ci-) дифференцируемостью [13–15] функцио-налов φ: $\mathbb{G} \mapsto \mathbb{R}$. Функционал $\varphi {\kern 1pt} :\;\mathbb{G} \mapsto \mathbb{R}$ является ci-дифференцируемым в точке (τ, z, $w( \cdot )) \in \mathbb{G}$, τ < ϑ, если существуют такие число $\partial _{{\tau ,w}}^{{{\text{ci}}}}\varphi (\tau ,z,w( \cdot )) \in \mathbb{R}$ и вектор ${{\nabla }_{z}}\varphi (\tau ,z,w( \cdot )) \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, что для любых $y \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $x( \cdot ) \in \Lambda (\tau ,z,w( \cdot ))$ и $t \in [\tau ,\vartheta ]$ выполняется следующее соотношение:

где o(⋅) зависит от тройки $\{ \tau ,z,x( \cdot )\} $ и $\frac{{o(\delta )}}{\delta }$ → 0 при $\delta \to + 0$.

Для ci-дифференцируемых функционалов $\varphi $ имеют место равенства

Поэтому в случае, когда функционал цены игры (1)–(3) оказывается ci-дифференцируемым, неравенства (9) для его производных по направлениям, как и неравенства (11) для его суб- и суперградиентов, обращаются в следующее уравнение типа Г–Я–А–Б:

При этом в общем случае неравенства (9) описывают функционал цены как минимаксное [5] решение этого уравнения, а неравенства (11) – как его вязкостное [7] решение.