Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 23-28

Возникновение “странного члена”, зависящего от времени, в процессе усреднения эллиптической задачи с быстро чередующимися условиями неймана и динамическими краевыми условиями, заданными на границе области: критический случай

Ж. И. Диаз 1*, Д. Гомез-Кастро 1, Т. А. Шапошникова 2**, М. Н. Зубова 2

1 Instituto de Mathematica Interdisciplinar, Universitat Complutense
Madrid, Spain

2 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: ji_diaz@mat.ucm.es
** E-mail: shaposh.tan@mail.ru

Поступила в редакцию 10.12.2019
После доработки 10.12.2019
Принята к публикации 11.12.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Работа посвящена выявлению “странного” члена в процессе усреднения эллиптических (и параболических) уравнений при условии, что на некоторых множествах, принадлежащих границе области и имеющих критический “размер”, заданы динамические краевые условия. Рассмотрена задача, в которой динамические краевые условия заданы на объединении подмножеств, принадлежащих внешней границе области, имеющих критический диаметр и расположенных ε-периодически вдоль границы. На оставшейся части границы поставлены однородные условия Неймана. Основная цель этой работы – доказать, что усредненное краевое условие представляет собой условие типа Робина, содержащее нелокальный член, зависящий от следа решения u(x, t) на границе области $\partial \Omega $.

Ключевые слова: усреднение, быстро осциллирующие краевые условия, динамические краевые условия 

Работа посвящена выявлению “странного” члена в процессе усреднения эллиптических (и параболических) уравнений при условии, что на некоторых множествах, принадлежащих границе области и имеющих критический “размер”, заданы динамические краевые условия. В работе [5] изучен случай, в котором динамические краевые условия заданы на границе полостей критического радиуса, ε-периодически перфорированной области. В отличие от случая, когда динамические краевые условия заданы на границе полостей диаметра порядка $\varepsilon $ [1, 7], новое нелокальное слагаемое Hu возникает как член абсорбции в усредненном эллиптическом (или параболическом) уравнении, причем Hu является решением обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от решения усредненной модели $u(x,t)$. Задача, в которой динамические условия поставлены на границе полостей, ε-периодически расположенных вдоль (n – 1)-мерного многообразия, была рассмотрена в [6]. В этом случае нелокальный странный член ${{H}_{u}}(x,t)$ возникает в условиях трансмиссии, заданных на этом многообразии. В сообщении мы рассматриваем ситуацию, в которой динамические краевые условия заданы на объединении подмножеств, принадлежащих внешней границе области, имеющих критический диаметр и расположенных ε-периодически вдоль границы. На оставшейся части границы поставлены однородные условия Неймана. Основная цель этой работы – доказать, что усредненное краевое условие представляет собой условие типа Робина, содержащее нелокальный член, зависящий от следа решения $u(x,t)$ на границе области $\partial \Omega $. Этот результат является обобщением основной теоремы работы [3] на случай динамических краевых условий.

Мы хотели бы подчеркнуть, что одним из наиболее важных шагов в процессе получения странного члена (именно так было названо новое слагаемое в усредненном уравнении в работе Д. Чиоранеску и Ф. Мюрат [2]) является правильный выбор значений параметров, характеризующих радиус перфорации и коэффициент адсорбции в краевом условии.

Результаты этой работы допускают много обобщений. Для более широкого ознакомления с ними, как и с многочисленными другими работами по этой теме, отсылаем читателя к монографии авторов [4].

Пусть $\Omega $ – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{2}} \cap {\text{\{ }}{{x}_{2}}$ > 0} с гладкой границей, состоящей из двух частей $\partial \Omega = {{\Gamma }_{1}} \cup {{\Gamma }_{2}}$, где ${{\Gamma }_{1}}\, = \,\partial \Omega \, \cap \,{\text{\{ }}{{x}_{2}}\, > \,0{\text{\} }}$, ${{\Gamma }_{2}}\, = \,\partial \Omega \, \cap \,{\text{\{ }}{{x}_{2}}$ = = 0} = [–l, l] для некоторого l > 0.

Обозначим ${{Y}_{1}} = \left\{ {({{y}_{1}},0)\,{\text{:}} - \frac{1}{2} < {{y}_{1}} < \frac{1}{2}} \right\}$, ${{\hat {l}}_{0}}$ = = {(y1, 0) : $ - {{l}_{0}} < {{y}_{1}} < {{l}_{0}}{\text{\} }} \subset {{Y}_{1}}$, где ${{l}_{0}} \in \left( {0,\frac{1}{2}} \right)$. Для малого параметра $\varepsilon > 0$ и параметра ${{a}_{\varepsilon }}$, такого, что $0 < {{a}_{\varepsilon }} \ll \varepsilon $, причем ${{a}_{\varepsilon }}$ имеет критическое значение, т.е. ${{a}_{\varepsilon }} = {{C}_{0}}\varepsilon exp\left( { - \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{\varepsilon }} \right)$, ${{C}_{0}},\alpha > 0$, введем множество

${{\tilde {G}}_{\varepsilon }} = \bigcup\limits_{j \in \mathbb{Z}'} {({{a}_{\varepsilon }}{{{\hat {l}}}_{0}} + \varepsilon j)} = \bigcup\limits_{j \in \mathbb{Z}'} {l_{\varepsilon }^{j}} ,$
где $\mathbb{Z}{\text{'}} = \mathbb{Z} \times {\text{\{ }}0{\text{\} }}$ – множество векторов вида $j = ({{j}_{1}},0)$ и ${{j}_{1}} \in \mathbb{Z}$. Положим

${{\Upsilon }_{\varepsilon }}$ = ${\text{\{ }}j \in \mathbb{Z}{\text{'}}$: $\overline {l_{\varepsilon }^{j}} \subset [ - l$ +2ε, l – 2ε] × {0}}.

Введем множества $Y_{\varepsilon }^{j} = \varepsilon {{Y}_{1}}$ + εj, $j \in \mathbb{Z}{\text{'}}$ и

${{l}_{\varepsilon }} = \bigcup\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {l_{\varepsilon }^{j}} .$

Легко видеть, что $\overline {l_{\varepsilon }^{j}} \subset Y_{\varepsilon }^{j}$. Обозначим γε = = ${{\Gamma }_{2}}{\backslash }\overline {{{l}_{\varepsilon }}} $. Заметим, что для произвольного $j \in \mathbb{Z}{\text{'}}$, ${\text{|}}l_{\varepsilon }^{j}{\text{|}} = 2{{a}_{\varepsilon }}{{l}_{0}}$, $\left| {{{l}_{\varepsilon }}} \right| \cong d{{a}_{\varepsilon }}{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$, $d = {\text{const}} > 0$.

В цилиндре ${{Q}_{T}} = \Omega \times (0,T)$ рассмотрим задачу

(1)
$\begin{gathered} - {{\Delta }_{x}}{{u}_{\varepsilon }} = f(x,t),\quad (x,t) \in {{Q}_{T}}, \\ \beta (\varepsilon ){{\partial }_{t}}{{u}_{\varepsilon }} + {{\partial }_{\nu }}{{u}_{\varepsilon }} + \lambda \beta (\varepsilon ){{u}_{\varepsilon }} = \beta (\varepsilon )g(x,t), \\ (x,t) \in {{l}_{\varepsilon }} \times (0,T), \\ {{\partial }_{\nu }}{{u}_{\varepsilon }} = 0,\quad (x,t) \in {{\gamma }_{\varepsilon }} \times (0,T), \\ {{u}_{\varepsilon }}(x,t) = 0,\quad (x,t) \in {{\Gamma }_{1}} \times (0,T), \\ {{u}_{\varepsilon }}(x,0) = 0,\quad x \in {{l}_{\varepsilon }}, \\ \end{gathered} $
где коэффициент $\beta (\varepsilon )$ имеет критическое значение, а именно, $\beta (\varepsilon )\, = \,{\text{exp}}\left( {\frac{{{{\alpha }^{2}}}}{\varepsilon }} \right)$, $\lambda \geqslant 0$, $f \in C([0,T]$; L2(Ω)), ${{\partial }_{t}}f \in {{L}^{2}}(0,T;{{L}^{2}}(\Omega ))$, $g(x,t) \in {{C}^{1}}(\bar {\Omega } \times [0,T])$.

Назовем обобщенным решением начально-краевой задачи (1) функцию ${{u}_{\varepsilon }} \in {{L}^{2}}(0,T$; H1(Ω, Γ1)), такую, что ${{\partial }_{t}}{{u}_{\varepsilon }} \in {{L}^{2}}(0,T;{{H}^{{ - 1/2}}}({{l}_{\varepsilon }},{{\Gamma }_{1}}))$ и для произвольной функции ${v} \in {{L}^{2}}(0,T;{{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}}))$ имеет место интегральное тождество

$\begin{gathered} \beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {{{{\left\langle {{{\partial }_{t}}{{u}_{\varepsilon }},{v}} \right\rangle }}_{{{{l}_{\varepsilon }}}}}} dt + \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } {{u}_{\varepsilon }}\nabla {v}dxdt + \\ \, + \lambda \beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {{{u}_{\varepsilon }}} } {v}d{{x}_{1}}dt = \\ \end{gathered} $
(2)
$ = \beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} g } {v}d{{x}_{1}}dt + \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega f } {v}dxdt,$
где ${{\left\langle {.,.} \right\rangle }_{{{{l}_{\varepsilon }}}}}$ – отношение дуальности пространств ${{H}^{{1/2}}}({{l}_{\varepsilon }},{{\Gamma }_{1}})$ и ${{H}^{{ - 1/2}}}({{l}_{\varepsilon }},{{\Gamma }_{1}})$. Как обычно, через ${{H}^{1}}(\Omega $, Γ1) обозначено замыкание в ${{H}^{1}}(\Omega )$ множества бесконечно дифференцируемых в $\bar {\Omega }$ функций, обращающихся в ноль в окрестности Γ1.

Используя галёркинские приближения, получена

Теорема 1. Задача (1) имеет единственное обобщенное решение ${{u}_{\varepsilon }}$ и для него справедлива оценка

(3)
$\begin{gathered} {{\left\| {{{u}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{{{L}^{2}}(0,T;{{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}}))}}} + \beta (\varepsilon )\left\| {{{u}_{\varepsilon }}} \right\|_{{{{L}^{2}}(0,T;{{L}^{2}}({{l}_{\varepsilon }}))}}^{2} + \\ \, + \beta (\varepsilon )\left\| {{{\partial }_{t}}{{u}_{\varepsilon }}} \right\|_{{{{L}^{2}}(0,T;{{L}^{2}}({{l}_{\varepsilon }}))}}^{2} \leqslant K, \\ \end{gathered} $
где K здесь и далее – положительная постоянная, не зависящая от ε.

Из оценки (3) следует, что по некоторой подпоследовательности (обозначим ее так же, как исходную последовательность) имеем при $\varepsilon \to 0$

(4)
${{u}_{\varepsilon }} \rightharpoonup u\quad {\text{слабо}}\quad {\text{в}}\quad {{L}^{2}}(0,T;{{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}})),$
(5)
${{u}_{\varepsilon }} \rightharpoonup u\quad {\text{слабо}}\quad {\text{в}}\quad {{L}^{2}}(0,T;{{L}^{2}}(\Omega )).$

Основной результат сформулирован в следующем утверждении.

Теорема 2. Пусть ${{u}_{\varepsilon }}$ – обобщенное решение задачи (1). Тогда функция u${{L}^{2}}(0,T;{{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}}))$, определенная в (4), (5), является обобщенным решением нелокальной краевой задачи

(6)
$\begin{gathered} - {{\Delta }_{x}}u = f(x,t),\quad (x,t) \in \Omega \times (0,T), \\ {{\partial }_{\nu }}u + \frac{\pi }{{{{\alpha }^{2}}}}u = {{H}_{u}}(x,t),\quad (x,t) \in {{\Gamma }_{2}} \times (0,T), \\ u(x,t) = 0,\quad (x,t) \in {{\Gamma }_{1}} \times (0,T), \\ \end{gathered} $
где ${{H}_{u}}(x,t)$ – единственное решение задачи Коши для ОДУ

(7)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{H}_{u}}}}{{\partial t}} + \left( {\lambda + \frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{l}_{0}}{{C}_{0}}}}} \right){{H}_{u}} = g(x,t) + \frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{l}_{0}}{{C}_{0}}}}u(x,t), \\ (x,t) \in {{\Gamma }_{2}} \times (0,T), \\ H(x,0) = 0,\quad x \in {{\Gamma }_{2}}. \\ \end{gathered} $

Замечание 1. Для функции $u \in {{L}^{2}}(0,T$; L22)) решение задачи Коши имеет вид

(8)
$\begin{gathered} {{H}_{u}}(x,t) = \frac{\pi }{{{{\alpha }^{2}}}}\int\limits_0^t {\left( {g(x,\tau ) + \frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{l}_{0}}{{C}_{0}}}}u(x,\tau )} \right)} \times \\ \times \;exp\left( { - \left( {\lambda + \frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{l}_{0}}{{C}_{0}}}}} \right)(t - \tau )} \right)d\tau . \\ \end{gathered} $

Доказательство. Введем вспомогательные функции $w_{\varepsilon }^{j}$ и $q_{\varepsilon }^{j}$ как обобщенные решения краевых задач

(9)
$\begin{gathered} \Delta w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in T_{{\varepsilon /4}}^{j}{\backslash }\overline {T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j}} , \\ w_{\varepsilon }^{j} = 1,\quad x \in \partial T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j}, \\ w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in \partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}, \\ \end{gathered} $
(10)
$\begin{gathered} \Delta q_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in T_{{\varepsilon /4}}^{j}{\backslash }\overline {l_{\varepsilon }^{j}} , \\ q_{\varepsilon }^{j} = 1,\quad x \in l_{\varepsilon }^{j}, \\ q_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in \partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}. \\ \end{gathered} $

Здесь $T_{r}^{j}$ – шар радиуса r с центром в точке $(\varepsilon j,0)$. Заметим, что $w_{\varepsilon }^{j}$ и $q_{\varepsilon }^{j}$ являются решениями задач

(11)
$\begin{gathered} \Delta w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in {{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}^{ + }}{\backslash }\overline {T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j}} , \\ w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in \partial T_{{\varepsilon /4}}^{j} \cap {\text{\{ }}{{x}_{2}} > 0{\text{\} }}, \\ w_{\varepsilon }^{j} = 1,\quad x \in \partial T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j} \cap {\text{\{ }}{{x}_{2}} > 0{\text{\} ,}} \\ {{\partial }_{{{{x}_{2}}}}}w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in {\text{\{ }}{{x}_{2}} = 0{\text{\} }} \cap (T_{{\varepsilon /4}}^{j}{\backslash }\overline {T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j}} ), \\ \end{gathered} $
где ${{A}^{ + }} = A \cap {\text{\{ }}{{x}_{2}} > 0{\text{\} }}$, $A \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$,
(12)
$\begin{gathered} \Delta q_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in {{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}^{ + }}, \\ q_{\varepsilon }^{j} = 1,\quad x \in l_{\varepsilon }^{j}, \\ q_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in {{(\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j})}^{ + }}, \\ {{\partial }_{{{{x}_{2}}}}}q_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in (T_{{\varepsilon /4}}^{j} \cap {\text{\{ }}{{x}_{2}} = 0{\text{\} }}){\backslash }\overline {l_{\varepsilon }^{j}} , \\ \end{gathered} $
где $j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}$, $l_{\varepsilon }^{j} = {{a}_{\varepsilon }}{{\hat {l}}_{0}} + \varepsilon j$. Заметим, что

(13)
$w_{\varepsilon }^{j}(x) = \frac{{ln\left( {\tfrac{{4r}}{\varepsilon }} \right)}}{{ln\left( {\tfrac{{4{{a}_{\varepsilon }}}}{\varepsilon }} \right)}}.$

Введем функции

(14)
${{W}_{\varepsilon }}(x) = \left\{ \begin{gathered} w_{\varepsilon }^{j}(x),\quad x \in {{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}^{ + }}{\backslash }\overline {{{{(T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}}^{ + }}} ,\quad j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 1,\quad x \in {{(T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}^{ + }},\quad j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 0,\quad x \in \Omega {\backslash }\overline {{{ \cup }_{{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}}}}{{{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} , \hfill \\ \end{gathered} \right.$
(15)
${{Q}_{\varepsilon }}(x) = \left\{ \begin{gathered} q_{\varepsilon }^{j},\quad x \in {{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}^{ + }},\quad j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 0,\quad x \in \Omega {\backslash }\overline {{{ \cup }_{{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}}}}{{{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Легко видеть, что ${{W}_{\varepsilon }},{{Q}_{\varepsilon }} \in {{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}})$ и ${{W}_{\varepsilon }} \rightharpoonup 0$ слабо в ${{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}})$, если $\varepsilon \to 0$. Для сравнения этих двух функций, используем следующую лемму, доказанную в [3].

Лемма 1. Пусть Wε– функция, определенная в (14), а Qε– определена в (15). Тогда

(16)
${{\left\| {{{W}_{\varepsilon }} - {{Q}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{{{H}^{1}}(\Omega )}}} \leqslant K\sqrt \varepsilon .$

Из интегрального тождества (2) следует, что для произвольной тестовой функции ${v} \in {{L}^{2}}(0,T$; H1(Ω, Γ1)), такой, что ${{\partial }_{t}}{v} \in {{L}^{2}}(0,T;{{L}^{2}}({{l}_{\varepsilon }}))$, выполняется интегральное неравенство

$\beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {{{\partial }_{t}}} } {v}({v} - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt + \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega {\nabla {v}} } \nabla ({v} - {{u}_{\varepsilon }})dxdt + $
$\, + \beta (\varepsilon )\lambda \int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {v} } ({v} - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt \geqslant \beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} g } ({v} - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt + $
(17)
$ + \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega f } ({v} - {{u}_{\varepsilon }})dxdt - \frac{{\beta (\varepsilon )}}{2}\left\| {{v}(x,0)} \right\|_{{{{L}^{2}}({{l}_{\varepsilon }})}}^{2}.$

Для произвольных функций $\eta \, \in \,{{C}^{1}}[0,T]$ и ψ ∈ ∈ ${{C}^{\infty }}(\bar {\Omega })$, обращающейся в ноль в окрестности границы Γ1, введем $\phi (x,t) = \eta (t)\psi (x)$. Пусть ${{H}_{\phi }}(x,t)$ – решение задачи Коши

(18)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {{H}_{\phi }}}}{{\partial t}} + \left( {\lambda + \frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{l}_{0}}{{C}_{0}}}}} \right){{H}_{\phi }} = g(x,t) + \frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{l}_{0}}{{C}_{0}}}}\phi (x,t),} \\ {{{H}_{\phi }}(x,0) = 0.} \end{array}$

Положим ${{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t) = {{H}_{\phi }}(P_{\varepsilon }^{j},t)$. Для $t \in (0,T)$ определим функцию

(19)
$Q_{\phi }^{\varepsilon } = \left\{ \begin{gathered} q_{\varepsilon }^{j}(x)(\phi \,(P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t)),\,\,\,x \in {{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}^{ + }},\,\,\,j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 0,\quad x \in \Omega {\backslash }\overline {{{ \cup }_{{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}}}}{{{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Принимая во внимание оценку (16), получим

(20)
$Q_{\phi }^{\varepsilon } \rightharpoonup 0\quad {\text{слабо}}\quad {\text{в}}\quad {{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}}).$

В неравенстве (17) в качестве тестовой функции возьмем ${v} = \phi (x,t) - Q_{\phi }^{\varepsilon }$. Получим

$\begin{gathered} \beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {({{\partial }_{t}}\phi - {{\partial }_{t}}Q_{\phi }^{\varepsilon })} } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})\,d{{x}_{1}}dt + \\ + \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon })\nabla (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})\,dxdt + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} + \;\lambda \beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {(\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon })} } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt \geqslant \\ \geqslant \;\beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} g } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt + \\ \end{gathered} $
(21)
$\begin{gathered} \, + \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega f } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt - \\ \, - \frac{{\beta (\varepsilon )}}{2}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\left\| {\phi (x,0) - \phi (P_{\varepsilon }^{j},0)} \right\|_{{{{L}^{2}}(l_{\varepsilon }^{j})}}^{2}} . \\ \end{gathered} $

Заметим, что ${{\left. {{{\partial }_{t}}Q_{\phi }^{\varepsilon }(x,t)} \right|}_{{l_{\varepsilon }^{j}}}} = {{\partial }_{t}}\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - ({{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t)){\text{'}}$, если $x \in l_{\varepsilon }^{j}$, $t \in [0,T]$. Поэтому

$\beta (\varepsilon )\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {({{\partial }_{t}}\phi - {{\partial }_{t}}Q_{\phi }^{\varepsilon })(\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt = } } $
$ = \beta (\varepsilon )\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {({{\partial }_{t}}\phi (x,t) - {{\partial }_{t}}\phi (P_{\varepsilon }^{j},t))} } } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt + $
(22)
$ + \;\beta (\varepsilon )\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{l_{\varepsilon }^{j}} {\left( {\frac{d}{{dt}}{{H}_{{\varepsilon ,j}}}} \right)\,} } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt} .$

Легко видеть, что

(23)
$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \beta (\varepsilon )\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {({{\partial }_{t}}\phi (x,t) - {{\partial }_{t}}\phi (P_{\varepsilon }^{j},t)) \times } } } \\ \times \,(\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt = 0. \\ \end{gathered} $

Обозначим

${{I}_{\varepsilon }} \equiv \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon })\nabla (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt.$

Имеем

${{I}_{\varepsilon }} = \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } (\phi - W_{\phi }^{\varepsilon })\nabla (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt + $
$ + \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } (W_{\phi }^{\varepsilon } - Q_{\phi }^{\varepsilon })\nabla (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt,$
где для $t \in [0,T]$

$W_{\phi }^{\varepsilon }(x,t)\, = \,\left\{ \begin{gathered} w_{\varepsilon }^{j}(x)(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t)), \hfill \\ x \in {{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}^{ + }},\quad j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 0,\quad x \in \Omega {\backslash }{{ \cup }_{{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}}}}\overline {{{{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Используя лемму 1, получим

(24)
$\mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } (W_{\phi }^{\varepsilon } - Q_{\phi }^{\varepsilon })\nabla (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt = 0.$

Кроме того, имеем

(25)
$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } \phi \nabla (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt = \\ = \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } \phi \nabla (\phi - u)dxdt. \\ \end{gathered} $

Учитывая определение функции $W_{\phi }^{\varepsilon }$, имеем

$ - \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega {\nabla W_{\phi }^{\varepsilon }\nabla (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt = } } $
$\begin{gathered} = \; - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}{\backslash }\overline {{{{(T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}}^{ + }}} } } } \nabla w_{\varepsilon }^{j} \times \\ \times \nabla [(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))(\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})]dxdt = \\ \end{gathered} $
$ = \; - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} {{{\partial }_{\nu }}} } } w_{\varepsilon }^{j}(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))(\phi - {{u}_{\varepsilon }})dsdt - $
$ - \;\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}}^{ + }}} {{{\partial }_{\nu }}} } } w_{\varepsilon }^{j}(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))(\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dsdt.$

В силу того, что $w_{\varepsilon }^{j}$ является решением задачи (9), получим

(26)
$\begin{gathered} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{{\text{|}}}_{{{{{(\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}}}} = \frac{4}{{ - {{\alpha }^{2}} + \varepsilon ln(4{{C}_{0}})}}, \\ {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{{\text{|}}}_{{{{{(\partial T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}}^{ + }}}}} = \frac{{exp({{\alpha }^{2}}{\text{/}}\varepsilon )}}{{{{C}_{0}}{{\alpha }^{2}} - {{C}_{0}}\varepsilon ln(4{{C}_{0}})}}. \\ \end{gathered} $

Отсюда выводим

$ - \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } W_{\phi }^{\varepsilon }\nabla (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt = $
$ = \frac{4}{{{{\alpha }^{2}}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} {(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))} } (\phi - {{u}_{\varepsilon }})dsdt - } $
(27)
$\begin{gathered} - \;\frac{{\beta (\varepsilon )}}{{{{\alpha }^{2}}{{C}_{0}}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}}^{ + }}} {(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))} } } \times \\ \times \;(\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dsdt + {{\alpha }_{\varepsilon }}, \\ \end{gathered} $
где ${{\alpha }_{\varepsilon }} \to 0$, если $\varepsilon \to 0$.

Из (20)–(27) следует неравенство

$\beta (\varepsilon )\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {\left( {\frac{d}{{dt}}H_{{\varepsilon ,j}}^{{}}\,{\text{ + }}\,\lambda {{H}_{{\varepsilon ,j}}}\,{\text{--}}\,g(P_{\varepsilon }^{j},t)} \right)} } } \,(\phi \,{\text{--}}\,Q_{\phi }^{\varepsilon }\,{\text{--}}\,{{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt - $
$\begin{gathered} - \;\beta (\varepsilon )\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}}^{ + }}} {\frac{1}{{{{C}_{0}}{{\alpha }^{2}}}}} } } (\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - \\ - \;{{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))(\phi - {{u}_{\varepsilon }})dsdt + {{{\hat {\alpha }}}_{\varepsilon }} + \\ \end{gathered} $
$ + \frac{4}{{{{\alpha }^{2}}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} {(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))} } } (\phi - {{u}_{\varepsilon }})dsdt + $
(28)
$\begin{gathered} + \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } \phi \nabla (\phi - {{u}_{\varepsilon }})dxdt \geqslant \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega f } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt, \\ {{{\hat {\alpha }}}_{\varepsilon }} \to 0\,\,{\text{при}}\,\,\varepsilon \to 0. \\ \end{gathered} $

Здесь мы воспользовались тем, что

$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \beta (\varepsilon )\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\left\| {\phi (x,0) - \phi (P_{\varepsilon }^{j},0)} \right\|} _{{{{L}^{2}}(l_{\varepsilon }^{j})}}^{2} = 0. \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} $

В дальнейшем нам потребуется следующая лемма [3].

Лемма 2. Пусть $h \in {{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}})$. Тогда имеет место оценка

(29)
$\begin{gathered} \left| {\frac{{\beta (\varepsilon )\pi }}{{2{{l}_{0}}}}\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} h d{{x}_{1}} - \beta (\varepsilon )\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_{{{{(\partial T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}}^{ + }}} h ds} } \right| \leqslant \\ \leqslant K\sqrt \varepsilon {{\left\| h \right\|}_{{{{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}})}}}. \\ \end{gathered} $

Из оценки (29) вытекает, что при $\varepsilon \to 0$

$\begin{gathered} \left| {\frac{{\beta (\varepsilon )}}{{{{\alpha }^{2}}{{C}_{0}}}}} \right.\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{{{a}_{\varepsilon }}}}^{j})}}^{ + }}} {(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))} } } \times \\ \times \,(\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dsdt - \frac{{\beta (\varepsilon )\pi }}{{2{{\alpha }^{2}}{{C}_{0}}{{l}_{0}}}} \times \\ \end{gathered} $
(30)
$ \times \,\left. {\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{l}_{\varepsilon }}} {(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t)\, - \,{{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))} } } (\phi \, - \,Q_{\phi }^{\varepsilon }\, - \,{{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt} \right|\, \to \,0.$

Учитывая (28)–(30), выводим неравенство

$\beta (\varepsilon )\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{l_{\varepsilon }^{j}} {\left( {\frac{{d{{H}_{{\varepsilon ,j}}}}}{{dt}}} \right.} } \, + \,\lambda {{H}_{{\varepsilon ,j}}}} \, - \,g(P_{\varepsilon }^{j},t)\, - \,\frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{C}_{0}}{{l}_{0}}}}\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) + $
$\begin{gathered} + \;\left. {\frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{C}_{0}}{{l}_{0}}}}{{H}_{{\varepsilon ,j}}}} \right)(\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})d{{x}_{1}}dt + \\ {\kern 1pt} + \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } \phi \nabla (\phi - u)dxdt + \\ \end{gathered} $
$ + \;\frac{4}{{{{\alpha }^{2}}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} {(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))} } (\phi - {{u}_{\varepsilon }})dsdt \geqslant } $
(31)
$ \geqslant \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega f } (\phi - Q_{\phi }^{\varepsilon } - {{u}_{\varepsilon }})dxdt + {{\tilde {\alpha }}_{\varepsilon }},$
где ${{\tilde {\alpha }}_{\varepsilon }} \to 0$, если $\varepsilon \to 0$.

Учитывая, что ${{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t)$ – решение задачи Коши (18), получим, что первая сумма в левой части неравенства (31) равна нулю.

Из доказанного в [3, 6] утверждения имеем

$\mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{4}{{{{\alpha }^{2}}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} {\int\limits_0^T {\int\limits_{{{{(\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j})}}^{ + }}} {(\phi (P_{\varepsilon }^{j},t) - {{H}_{{\varepsilon ,j}}}(t))} } } (\phi - {{u}_{\varepsilon }})dsdt = $
(32)
$ = \;\frac{\pi }{{{{\alpha }^{2}}}}\int\limits_0^T {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} {(\phi (x,t) - {{H}_{\phi }}(x,t))(\phi - u)d{{x}_{1}}dt} } ,$
где функция ${{H}_{\phi }}(x,t)$ определена формулой (8).

Из (31), (32) следует, что u удовлетворяет интегральному неравенству

$\begin{gathered} \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } \phi \nabla (\phi - u)dxdt + \\ + \,\,\frac{\pi }{{{{\alpha }^{2}}}}\int\limits_0^T {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} {(\phi - {{H}_{\phi }})} } (\phi - u)d{{x}_{1}}dt \geqslant \\ \end{gathered} $
(33)
$ \geqslant \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega f } (\phi - u)dxdt.$

Принимая во внимание, что $u$ удовлетворяет неравенству (33), заключаем, что u является обобщенным решением интегрального тождества

$\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega \nabla } u\nabla {v}dxdt + \frac{\pi }{{{{\alpha }^{2}}}}\int\limits_0^T {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} {(u - {{H}_{u}})} } {v}d{{x}_{1}}dt = $
$ = \;\int\limits_0^T {\int\limits_\Omega f } {v}dxdt,$
где ${v}(x,t) = \eta (t)\psi (x)$, $\eta \in {{C}^{1}}[0,T]$, $\psi \in {{C}^{\infty }}(\bar {\Omega })$ и ψ обращается в ноль в некоторой окрестности границы Γ1. Учитывая, что множество функций такого вида всюду плотно в ${{L}^{2}}(0,T;{{H}^{1}}(\Omega ,{{\Gamma }_{1}}))$, выводим, что u – обобщенное решение задачи (6), (7).

Докажем единственность обобщенного решения задачи (6), (7). Пусть ${{u}_{1}}$ и ${{u}_{2}}$ – два обобщенных решения задачи (6), (7). Тогда $w = {{u}_{1}} - {{u}_{2}}$ – обобщенное решение задачи

$\begin{gathered} {{\Delta }_{x}}w = 0,\quad (x,t) \in \Omega \times (0,T), \\ {{\partial }_{\nu }}w + \frac{\pi }{{{{\alpha }^{2}}}}w = {{H}_{w}}(x,t),\quad (x,t) \in {{\Gamma }_{2}} \times (0,T), \\ w(x,t) = 0,\quad (x,t) \in {{\Gamma }_{1}} \times (0,T), \\ \frac{{\partial {{H}_{w}}}}{{\partial t}} + \left( {\lambda + \frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{l}_{0}}{{C}_{0}}}}} \right){{H}_{w}} = \frac{\pi }{{2{{\alpha }^{2}}{{l}_{0}}{{C}_{0}}}}w, \\ (x,t) \in {{\Gamma }_{2}} \times (0,T), \\ {{H}_{w}}(x,0) = 0,\quad x \in {{\Gamma }_{2}}. \\ \end{gathered} $

Так как Hw – решение задачи Коши (7), то для него справедлива оценка

$\int\limits_0^t {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} {{{{\left| {{{H}_{w}}(x,\tau )} \right|}}^{2}}} } d{{x}_{1}}d\tau \leqslant Ct\int\limits_0^t {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} {{{{\left| {w(x,\tau )} \right|}}^{2}}} } d{{x}_{1}}d\tau .$

Из интегрального тождества для функции w имеем

$\int\limits_0^t {\int\limits_\Omega {{{{\left| {\nabla w} \right|}}^{2}}} } dxd\tau \, + \,\frac{\pi }{{{{\alpha }^{2}}}}\int\limits_0^t {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} {{{w}^{2}}} } d{{x}_{1}}d\tau \, = \,\int\limits_0^t {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} w } {{H}_{w}}d{{x}_{1}}d\tau \leqslant $
$ \leqslant \;{{C}_{1}}\sqrt t \int\limits_0^t {\int\limits_{{{\Gamma }_{2}}} {{{w}^{2}}} } d{{x}_{1}}d\tau \leqslant {{C}_{2}}\sqrt t \int\limits_0^t {\int\limits_\Omega {{{{\left| {\nabla w} \right|}}^{2}}} } dxd\tau .$

При $C_{2}^{2}t < 1$ немедленно получаем, что $w \equiv 0$. Далее, применяя итерации по времени, получим, что w = 0 п.в. в $\Omega \times (0,T)$.

Список литературы

  1. Angulano M. // arXiv:1712.01183v1[math.AP]4. Dec 2017.

  2. Cioranescu D., Murat F. / In: A. Cherkaev and R. Kohn (Eds.). Topics in Mathematical Modeling of Composite Materials (P. 4594). N.Y.: Springer Scien Business Media, 1997.

  3. Диаз Ж.И., Гомез-Кастро Д., Подольский А.В., Шапошникова Т.А. // ДAH. 2018. T. 480. № 6. C. 644–649.

  4. Diaz J.I., Gomez-Castro D., Shaposhnikova T.A. Nanocomposite reaction-diffusion processes: anomalous improved homogenization. Series on Nonlinear Analysis and Applicarions. B.: De Gruyter (to appear in 2021).

  5. Diaz J.I., Gomez-Castro D., Shaposhnikova T.A., Zubova M.N. // EJDE. 2019. V. 77. P. 1–13.

  6. Шапошникова Т.А., Зубова М.Н. // ДAH. 2019. T. 486. № 1. C. 12–19.

  7. Timofte C. // Math. Model. and Analysis. 2003. V. 8. № 4. P. 337–350.

  8. Gomez D., Lobo M., Perez E., Sanchez-Palencia E. // Applicable Analysis. 2018. V. 97. № 16. P. 2893–2919.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления