1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 491, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 38-43

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА МЕТОДАМИ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Н. М. Евстигнеев 1, *, Н. А. Магницкий 1, **

1 Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление” Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: evstigneevnm@gmail.com
** E-mail: nikmagn@gmail.com

Поступила в редакцию 05.06.2019
После доработки 05.06.2019
Принята к публикации 18.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Данная работа подводит итог результатам, полученным авторами в рамках применения численных методов и методов хаотической динамики к проблеме ламинарно-турбулентного перехода в некоторых задачах динамики жидкости и газа. Были проанализированы следующие задачи: 2D- и 3D-задача А.Н. Колмогорова в периодический области, 3D-задача Релея–Бенара в прямоугольных областях, 3D-задача течения с уступа несжимаемой жидкости, 3D-задачи развития неустойчивостей Релея–Тейлора и Кельвина–Гельмгольца для вязкого идеального газа. Анализ подтвердил развитие неустойчивостей через каскады субкритических и суперкритических бифуркаций. Во всех системах был найден универсальный сценарий перехода к хаосу Фейгенбаума–Шарковского–Магницкого вместе с другими сценариями хаотизации динамических систем.

Ключевые слова: ламинарно-турбулентный переход, хаотическая динамика, численные методы, бифуркационный анализ, уравнения Навье–Стокса

1. ВВЕДЕНИЕ

Будем предполагать, что ламинарно-турбулентный переход (ЛТП) полностью описывается начально-краевой задачей для уравнений Навье–Стокса. В общем виде можно сформулировать следующую задачу.

Задача 1. Пусть задана кусочно-непрерывная область $\Omega \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ с краем $\partial \Omega $, вектор-функция ${\mathbf{g}}$, число T и начальные условия ${{\rho }_{0}}$, ${{{\mathbf{u}}}_{0}}$, E0. Для заданных значений параметра ${{\mu }_{1}} \leqslant \mu \leqslant {{\mu }_{2}}$ найти вектор-функцию скорости ${\mathbf{u}}{\text{:}}\;\Omega \times (0,T] \to {{\mathbb{R}}^{3}}$ и скалярные функции плотности $\rho {\text{:}}\,\Omega \times (0,T] \to \mathbb{R}$, давления $p{\text{:}}\;\Omega \times (0,T] \to \mathbb{R}$ и энергии E: $\Omega \times (0,T] \to \mathbb{R}$, удовлетворяющие уравнениям Навье–Стокса:

(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}[\rho {{u}_{j}}] = 0, \\ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho {{u}_{i}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}[\rho {{u}_{i}}{{u}_{j}} + p{{\delta }_{{ij}}} - 2\mu {{S}_{{ij}}}] = \rho {{g}_{i}}, \\ {\text{\{ }}i,j,k{\text{\} }} = 1,2,3; \\ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho E} \right) + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}[\rho {{u}_{j}}E + {{u}_{j}}p - 2\mu {{u}_{i}}{{S}_{{ij}}}] = \rho {{u}_{k}}{{g}_{k}}, \\ \rho E = \frac{1}{2}\rho {{{\mathbf{u}}}^{2}} + \rho e, \\ p = (\gamma - 1)\left( {E - \frac{1}{2}\rho {{{\mathbf{u}}}^{2}}} \right). \\ \end{gathered} $

Полученные функции проанализировать методами хаотической динамики и определить тип решения в смысле указанных методов. Определить такие ${{\mu }_{ * }}$, что найденные решения терпят бифуркации и построить бифуркационные схемы вплоть до перехода в хаос. Проследить наблюдающиеся сценарии перехода к хаосу.

Здесь ${{S}_{{ij}}} = \tfrac{1}{2}\left( {\tfrac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \tfrac{{\partial {{u}_{j}}}}{{\partial {{x}_{i}}}}} \right) - \tfrac{{{{\delta }_{{ij}}}}}{3}\tfrac{{\partial {{u}_{k}}}}{{\partial {{x}_{k}}}}$, значение динамической вязкости $\mu $ выступает в роли бифуркационного параметра. Заметим, что для случая течения несжимаемой жидкости первое уравнение становится калибровкой вида $\nabla \cdot {\mathbf{u}} = 0$, во втором векторном уравнении постоянная плотность ${{\rho }_{ * }}$ может быть вынесена и $\tfrac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}( - 2\mu {{S}_{{ij}}})$ = $ - \tfrac{\mu }{{{{\rho }_{ * }}}}\Delta u$, третье уравнение сохранения энергии выражается в тождество. Таким образом, тип задачи поменяется на седловую. Во всех задачах мы переходим к безразмерным критериям подобия, которые становятся бифуркационными параметрами.

Будем разделять ЛТП на четыре стадии:

1. Потеря устойчивости основного течения. Основное течение теряет свою устойчивость и образуются вторичные течения. Применяются методы линейной устойчивости, теория слабых нелинейных возмущений, теория косимметрии Юдовича [1], а в сложных случаях численные методы, например, [2].

2. Множественные изменения вторичных течений. Наблюдается каскад изменений вторичных течений (субкритический [3], смешанный [4], суперкритический [5]). На данной стадии превалируют численные методы анализа – методы прямого численного моделирования и методы анализа динамических систем.

3. Кризис вторичных течений. Происходит резкое усложнение многообразия, содержащего решение системы. Кризисы обычно связаны с сильными структурными изменениями фазовых портретов систем и их аттракторов.

4. Возникновение развитой турбулентности. Развитием кризисов множества вторичных течений. Решения характеризуются большой нерегулярностью и невозможностью выделить какие-либо структуры в фазовом пространстве. Применяется теория А.Н. Колмогорова и А.М. Обухова [6], диаграммы Вилда, теория Крейчнана, методы замыкания моментов цепочек Фридмана–Келлера [7].

На первых трех стадиях ЛТП динамика процесса может быть описана с помощью теории динамических систем. Применение методов хаотической нелинейной динамики к вопросу ЛТП требует создания специальных методов численного решения и анализа задач, обладающих большой размерностью. Разработанные на сегодняшний день методы автоматического построения бифуркационных диаграмм не применимы к такого типа задачам, поскольку очень часто опираются на прямые методы работы с матрицами. При численном решении дискретных нелинейных уравнений, аппроксимирующих исходную задачу, требуется высокое разрешение как по пространственным, так и по временным переменным. Как отмечал академик К.И. Бабенко в работе [8], точке в фазовом пространстве может соответствовать очень сложное стационарное решение в физическом. Следовательно, высокая разрешающая способность численного метода необходима даже для описания простейшего решения, являющегося стационарной точкой в фазовом пространстве. Поэтому авторами во всех исследованиях используются высокопроизводительные вычислительные системы на основе множественных графических сопроцессоров.

2. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

Заметим, что впервые динамическая система для начально-краевой задачи уравнений Навье–Стокса была рассмотрена в работе О.А. Ладыженской [9]. Система уравнений (1) численно в общем виде может быть записана как

${{{\mathbf{U}}}_{t}} + {\mathbf{F}}({\mathbf{U}}) = {\mathbf{N}}(\mu ) + {\mathbf{g}},$
где U – вектор дискретных переменных, F(U) – вектор нелинейных членов уравнения и N(μ) – вектор линейных членов уравнения, в которых численно реализованы дифференциальные операторы, учтены краевые условия и, если необходимо, учтена калибровка несжимаемости. Размерность вектора U, с учетом вышесказанного, составляет порядка 60–210 млн в зависимости от задачи. Мы хотим построить бифуркационную диаграмму, зависящую от вектора параметров для системы (2) следующим образом. Пусть начальное решение (соответствующее основному ламинарному течению) известно аналитически или численно. Мы проводим продолжение решения по параметру, определяем точки бифуркации и их тип с помощью анализа линеаризованной системы (2). Вторичные бифурцировавшие решения продолжаются аналогично. В связи со сложностью системы (2) мы должны учитывать существование решений, не связанных с основной ветвью, т.е. необходимо строить дислоцированные бифуркационные диаграммы. Получение полной информации о бифуркациях системы становится невозможной в практическом смысле (при численном анализе), но зная конечное количество значений параметров и классификацию фазовых портретов, можно определить структуру бифуркационной диаграммы между данными точками. Для этого будем использовать следующее

Определение 1. Бифуркационной схемой будем называть запись вида

$\begin{gathered} {{p}_{1}}({{q}_{1}}) \to {{p}_{2}}({{q}_{2}}) \to \ldots \to \\ \to \;{{{\text{\{ }}{{p}_{{n - 1}}} \to {{p}_{n}} \to {{p}_{{n + 1}}} \to \ldots \to {{p}_{{n + m}}}{\text{\} }}}_{N}}({{q}_{a}},{{q}_{b}}) \to \ldots , \\ \end{gathered} $
${{p}_{j}}({{q}_{j}})$ есть указание типа бифуркации или классификация фазового портрета (с точностью до гомеоморфизма) для значения бифуркационного параметра qj, обозначение ${{{\text{\{ }} \ldots {\text{\} }}}_{N}}$ указывает на повторяемость данной последовательности бифуркаций для интервала значений бифуркационных параметров $({{q}_{a}},{{q}_{b}})$.

Данная схема позволяет выделить основные классы эквивалентности системы, не указывая всех значений бифуркационных параметров и всех бифуркационных границ. Схема качественно показывает поведение динамической системы в рамках классов эквивалентности при затруднении построения бифуркацонной диаграммы.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Подведем итог исследованиям ЛТП, приводя полные бифуркационные схемы без учета физической интерпретации результатов, которая дана в соответствующих статьях. Введем следующие обозначения бифуркационных схем: $P$ – устойчивая точка, $_{s}pf$ – субкритическая бифуркация вилки, $p{{f}_{s}}$ – суперкритическая бифуркация вилки, sn – седлоузловая бифуркация, ${{h}_{n}}$ – бифуркация Андронова–Хопфа коразмерности $n$, $_{s}{{h}_{n}}$ – субкритическая ${{h}_{n}}$, $I$ – перемежаемость в смысле Магницкого [10], $Cn$ – предельный цикл периода $n$, ${{C}_{s}}$ – сингулярный предельный цикл, ${{C}_{{sz}}}$ – сингулярный предельный цикл со сформировавшимися бесконечно складчатыми сепаратрисными многообразиями [10], $nTm$ – инвариантный тор размерности $n$, образованный передельными циклами периода $m$, $nT{{m}_{R}}$ – резонансный тор на основе $nTm$, $n{{T}_{s}}$ – сингулярный $nT$, $n{{T}_{{sz}}}$ – $n{{T}_{s}}$ со сформировавшимися бесконечно складчатыми сепаратрисными многообразиями, Ch – хаотическое решение (это решение в фазовом портрете которого невозможно выделить структуры, а в образе Фурье наблюдаемого сигнала нет выделенных частот), … – пропущенный участок каскадов бифуркаций. Отдельные ветви заключаются в квадратные скобки и нумеруются.

Течение А.Н. Колмогорова на 2D-торе [5]. Область $[0;8\pi ] \times [0;2\pi ]$, ${\mathbf{f}} = {{(sin(4y),0)}^{T}}$.

$\begin{gathered} P \to {{{\text{\{ }}p{{f}_{s}} \to P \to \ldots {\text{\} }}}_{4}}(4.983,17.288) \to \left\{ \begin{gathered} 1. \hfill \\ 2. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ 1.\,\,[C1(18,19) \to 2T1(19) \to sn(20.151) \to \\ \to \;2T2(20.16,20.17) \to 2T{{2}_{R}}(20.17) \to \ldots \\ \to \;2T3(20.203) \to 2T{{3}_{R}}(20.205,20.9) \to \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \to \;2T3 \cdot 2(20.9,22) \to Ch.] \\ 2.\,\,[C1(10.1,16) \to 2T1(16) \to sn(16.78) \to \\ \to \;2T2(16.8,18.6) \to 2T4(18.6,18.8) \to \ldots \\ \to \;2T7(20.18) \to 2T5(20.201,20.3) \to \\ \to \;2T{{5}_{R}}(20.3,23.0) \to 2{{T}_{{sz}}}(23.5) \to Ch.] \\ \end{gathered} $

Течение А.Н. Колмогорова на 3D-торе [11].

Область ${{[0;2\pi ]}^{3}}$:

$P \to {{h}_{2}}(12.6) \to 2T1 \to I \to Ch.$

Область $[0;4\pi ] \times {{[0;2\pi ]}^{2}}$:

$\begin{gathered} P \to p{{f}_{s}}(4.219){{ \to }_{s}}{{h}_{1}}(6.012) \to \\ \to C1(6.012,6.08) \to \left\{ \begin{gathered} 1. \hfill \\ 2. \hfill \\ 3. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} 1.\,[C2(6.8) \to C4(6.9) \to \ldots \to {{C}_{s}}(7.69) \to \\ \to \;{{C}_{{sz}}}(7.7) \to I(7.79,7.98) \to \\ \to \;{{{\text{\{ }}C1 \to C2 \to C4 \to \ldots \to {{C}_{s}}{\text{\} }}}_{2}}(8,10.3) \to \\ \to \;I(10.3,10.4) \to C(10.401) \to \ldots \to \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \to \;C3(10.41) \to C3 \cdot 2(10.421) \to \\ \to \ldots \to {{C}_{{sz}}}(10.43,10.7) \to \\ \to {\text{\{ }}C16 \to C8 \to \ldots \to C2 \to C1{\text{\} }}(10.7,11.09) \to \\ \to \;{\text{\{ }}C2 \to C4 \to ... \to C28 \to ... \to \\ \to \;C5 \to C3{\text{\} }}(11.09,11.1) \to \\ \to \;{{C}_{{sz}}}(11.105) \to I(11.11,11.29) \to Ch.] \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} 2.\,{{[}_{s}}pf(6.0806) \to {{h}_{1}}(11.012) \to \\ \to \;C(11.015,11.25) \to {{h}_{1}}(11.25) \to 2T1 \to \\ \to {{h}_{1}}(11.352) \to 3T1 \to 3T{{1}_{R}}(11.4,11.8) \to \\ \to \;3T1(11.8,11.864) \to {{h}_{1}}(11.685) \to \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \to \;4T1 \to 4T{{1}_{R}}(11.685,11.686) \to \\ \to \;Ch(11.69,11.7) \to 2T1(11.705) \to \\ \to \;2T2(11.71) \to 2T5(11.725) \to \\ \to \;2T3(11.76) \to Ch(11.78,11.855) \to \\ 2{{T}_{s}}(11.856) \to 2{{T}_{{sz}}}(11.86,12.05) \to Ch.] \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} 3.\,{{[}_{s}}pf(6.806) \to {{h}_{1}}(7.095) \to C(7.1) \to \\ \to \;{{h}_{1}}(7.202) \to 2T1 \to 3T1(9.4,9.6) \to \\ \to \;3T{{1}_{R}}(9.61,10.2) \to Ch(10.2,10.43) \to \\ \to \;2T1(10.431) \to 2T3(10.45) \to \\ 2T{{3}_{R}}(10.45,10.451) \to 2{{T}_{{sz}}}(10.452,11.84411) \to Ch.] \\ \end{gathered} $

Задача течения с уступа в 3D-прямоугольной области [12]. Область до ступени $[0,2] \times [0,0.9]$ × [0, 3.5] после ступени $[2,12] \times [0,1.5] \times [0,3.5]$, твердые стенки по осям y и z.

$\begin{gathered} P \to p{{f}_{s}}(736) \to {{h}_{1}}(738.95) \to C1(740,850) \to \\ \to \;{{h}_{1}}(849.7) \to 2T1(850,882) \to {{h}_{1}}(882.9) \to \\ \to \;3T1(883,883.8) \to 3T2(883.5,890) \to Ch. \\ \end{gathered} $

Задача конвекции Релея–Бенара в 3D-прямоугольных областях [13]. Бифуркационный параметр – число Рэлея, фиксированный параметр – число Прандтля Pr = 1.

Область $4 \times 4 \times 1$, периодические краевые условия по осям x, y, твердая стенка по оси z.

$\begin{gathered} P \to p{{f}_{s}}(1710) \to \\ \to {{{\text{\{ }}p{{f}_{s}} \to P{\text{\} }}}_{4}}(2432;3001;4832;4844) \to \left\{ \begin{gathered} 1. \hfill \\ 2. \hfill \\ 3. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ 1.\,\,[\{ C1 \to C2 \to C4 \to \ldots \to {{C}_{s}} \to \ldots \to \\ \to I* \to \ldots \to \;C2 \cdot 9 \to C2 \cdot 7 \to \ldots \to C7 \to C5 \to \\ \to C3 \to C3 \cdot 2 \to \ldots \to {{C}_{s}}{{{\text{\} }}}_{4}}(7610.3858,9550) \to Ch. \\ * \to Ch.] \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} 2.\,\,[{{h}_{1}}(4990.37) \to C1(4991,5893) \to \\ \to \;{{h}_{1}}(5893.4) \to 2T1(5894,7180) \to \\ 2T2(7180.5) \to 2T{{2}_{R}}(7421.5623) \to \\ \to \;2T2(7425,8350) \to 2T{{2}_{R}}(8350.0712) \to \\ 2T{{2}_{s}}(8377) \to 2T{{2}_{{sz}}}(8381,8382) \to Ch.] \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} 3.\,\,[{{h}_{1}}(4990.37) \to C1(4991,5893) \to \\ \to \;{{h}_{1}}(5893.4) \to 2T1(5894,7180) \to \\ 2T2(7180.5) \to 2T{{2}_{R}}(7421.5623) \to \\ \to \;2T2(7425,8350) \to 3T1(8527) \to \\ 4T1(8617.7,8619) \to Ch.] \\ \end{gathered} $

Кубическая область 1 × 1 × 1, условия твердой стенки по всем направлениям. Число Прандтля варьируется в зависимости от серии расчетов. Бифуркационный параметр в схемах $\mu $ записан как μ = $Ra \times {{10}^{{ - 5}}}$.

Pr = 1.866

$\begin{gathered} P \to p{{f}_{s}}(0.14345) \to P \to \hfill \\ \to \;{{{\text{\{ }}p{{f}_{s}} \to P \to \} }_{4}}(0.1435,2.5) \to \hfill \\ \to \;{{h}_{1}}(2.503) \to C1 \to {{h}_{1}}(2.67) \to \hfill \\ \to \;2T1 \to 2T2(2.912) \to 2T4(2.913) \to \hfill \\ \to \; \ldots \; \to 2{{T}_{{sz}}}(2.92) \to Ch. \hfill \\ \end{gathered} $

Pr = 1.61

$\begin{gathered} P \to p{{f}_{s}}(0.1432) \to P \to \\ \to {{{\text{\{ }}p{{f}_{s}} \to P \to {\text{\} }}}_{4}}(0.1432,3.015) \to \\ \to \;{{h}_{1}}(3.061) \to C1 \to {{h}_{s}}(3.0652) \to \\ \to \;2T1 \to 2T2(3.069) \to Ch. \\ \end{gathered} $

Pr = 1.354

$\begin{gathered} P \to p{{f}_{s}}(0.14163) \to P \to \\ \to \;{{{\text{\{ }}p{{f}_{s}} \to P \to {\text{\} }}}_{4}}(0.142,2.68) \to \\ {{h}_{1}}(2.681) \to C1 \to C2(2.69,3.005) \to \\ \to \;C4(3.01) \to ... \to C3(3.085) \to {{C}_{{sz}}}(3.0856) \to Ch. \\ \end{gathered} $

Задачи развития неустойчивостей Релея–Тейлора и Кельвина–Гельмгольца [14]. Описываются системой законов сохранения идеального вязкого газа. Область расчета – прямоугольная 8 × 1 × 1, периодические краевые условия по оси z и условия симметрии по оси $y$ в направлении действия гравитации. По оси $x$ формируется слой смешения с разными скоростями (неустойчивость Кельвина–Гельмгольца, обозначена KH), а также с разными плотностями (совместная задача, обозначена RT–KH). Бифуркационный параметр – сжимаемый аналог числа Рейнольдса. Фиксированы число Ричардсона и длина области. Вариация формы входных граничных условий, задающих фазу раздела: фаза раздела зависит только от $y$ (простые условия) или задана некоторой функцией от $y$, $z$ (возмущенные условия).

KH, простые граничные условия:

$\begin{gathered} P \to {{h}_{1}}(997.6) \to C1(1000,1020) \to \\ C2(1020,1022) \to \ldots \to C5(1105) \to \\ \to \ldots \to C11(1140) \to \\ C13(1175) \to \ldots \to C(2500,100000). \\ \end{gathered} $

KH, возмущенные граничные условия:

$\begin{gathered} P \to {{h}_{1}}(422.2) \to C1(423,760) \to \\ {{h}_{1}}(760.12) \to 2T1(761,950) \to \\ 3T1(951,990) \to Ch. \\ \end{gathered} $

RT–KH, простые граничные условия:

$\begin{gathered} P \to {{h}_{1}}(1501) \to C(1501,1700) \to \\ \to \;C2(1700,1754) \to C4(1754) \to \ldots \to \\ \to \;{{C}_{s}}(1790) \to .. \to C5(2402) \to \\ \to \;C3(2417,2435) \to C3 \cdot 2(2435,2480) \to Ch. \\ \end{gathered} $

RT–KH, возмущенные граничные условия:

$\begin{gathered} P \to {{h}_{1}}(10.5) \to {\text{\{ }}C \to C2 \to \\ \to \;C4 \to \ldots \to C2 \to C{\text{\} }}(11,509) \to \\ \to \;{{h}_{1}}(509.8) \to 2T1 \to 3T1(515,520.5) \to \\ \to \;4T1{{(520.5)}^{1}} \to 4{{T}_{{sz}}}(521.2) \to Ch. \\ \end{gathered} $
Рис. 1.

Проекция первого и третьего сечений Пуанкаре тора размерности четыре.

Рис. 2.

Изоповерхности функции плотности в физическом пространстве, соответствующие тору размерности четыре в фазовом пространстве.

Анализ 11фазового портрета при сверхзвуковом течении газа. Обнаружено [15], что при наличии в решении стационарных ударных волн фазовое пространство распадается на не связанные подпространства (прямая сумма подпространств), разделенные границами краевых условий задачи и конфигурацией стационарных ударных волн. В каждом таком подпространстве происходит полностью независимый от других подпространств сценарий ЛТП.

ВЫВОДЫ

Проведены численные исследования некоторых характерных задач ЛТП. Во всех задачах отмечено присутствие универсального сценария Фейгенбаума–Шарковского–Магницкого [10] перехода к хаосу, который может наблюдаться как на предельных циклах, так и на инвариантных торах различной размерности. При этом во всех случаях данный сценарий приводит к формированию сингулярных аттракторов со сформировавшимися бесконечно складчатыми сепаратрисными многообразиями [10]. При развитии неустойчивостей для всех задач характерен эффект мультистабильности решений, когда переход с одной ветви решений на другую может происходить из-за близости траекторий аттракторов в фазовом пространстве. Наблюдаются начальные стадии сценария Ландау–Хопфа (до тора размерности четыре). Также найдены другие сценарии и кризисы, характерные для динамики сложных систем большой размерности. В частности, наблюдается эффект перемежаемости в смысле Магницкого [10] и возникновение резонансов в квазипериодических решениях (phase lock).

Большая часть исходных кодов программ, использованных в данном сообщении, находятся на публичной платформе разработчика GitHub: github.com/evstigneevnm. Авторы просят читателей ссылаться на соответствующие публикации при использовании даных программ в научных целях.

ИСТОЧНИКИ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 18–29–10008 мк и 20–07–00066.

Список литературы

  1. Юдович В.И. // Мат. заметки. 1991. Т. 49. № 5. С. 142–148.

  2. Демьянко К.В., Нечепуренко Ю.М. // ДАН. 2011. Т. 440. № 5.

  3. Mamun C.K, Tuckerman L.S. // Physics of Fluids. 1995. V. 7. P. 80.

  4. Никитин Н.В., Пиманов В.О. // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. V. 157. № 3. Р. 111–116.

  5. Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А., Силаев Д.А. // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 10. С. 1302–1314.

  6. Колмогоров А.Н. // ДАН СССР. 1941. Т. 30. № 4. С. 299–303.

  7. Фурсиков А.В. // ДАН СССР. 1991. 319. № 1. С. 83–87.

  8. Афендиков А.Л., Бабенко К.И. // Математ. моделирование. 1989. Т. 1. № 8. С. 45–74.

  9. Ладыженская О.А. // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1972. Т. 27. С. 91–115.

  10. Магницкий Н.А. Теория динамического хаоса. М.: ЛЕНАЛД, 2011.

  11. Evstigneev N., Magnitskii N. // J. Applied Nonlinear Dynamics. 2017. V. 6. P. 345–353.

  12. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A. / In: Nonlinearity, Bifurcation and Chaos – Theory and Applications: INTECH, 2013. P. 250–280.

  13. Evstigneev N.M. // Open J. Fluid Dyn. 2016. V. 6. P. 496–539.

  14. Evstigneev N.M., Magnitskii N.A. // In: Turbulence Modelling Approaches – Current State, Development Prospects, Applications, INTECH, 2017. P. 29–60.

  15. Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А. // Тр. ИСА РАН. 2012. Т. 62. № 4. С. 85–102.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал