Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 61-64

Работа посвящена выводу формулы коплощади на двуступенчатых сублоренцевых структурах. Мы рассматриваем модельный случай, когда на группе Карно выделено одно горизонтальное базисное векторное поле, квадрат длины вдоль которого отрицателен, а в качестве отображения берется функция. Формула коплощади активно применяется в современном анализе для решения задач о свойствах экстремальных поверхностей, в теории потоков, алгебраической геометрии, геометрической теории меры и др. В последнее время эта формула была обобщена на широкий класс структур: ее разные варианты были установлены на спрямляемых метрических пространствах и в неголономной геометрии, на пространствах Карно–Каратеодори. Сублоренцевы структуры являются неголономным обобщением геометрии Минковского (см., например, [1]), они и их приложения в физике стали исследоваться недавно [2–5]. Вопрос о формуле коплощади в сублоренцевой геометрии до настоящего времени оставался открытым.

Приведем необходимые определения.

Определение 1 (см., например, [6]). Двуступенчатой группой Карно называется связная односвязная стратифицированная группа Ли $\mathbb{G}$, алгебра Ли V которой градуирована, т.е. представляется в виде $V = {{V}_{1}} \oplus {{V}_{2}}$, $[{{V}_{1}},{{V}_{1}}] = {{V}_{2}}$, $[{{V}_{1}},{{V}_{2}}] = {\text{\{ }}0{\text{\} }}$. Если базисное поле принадлежит ${{V}_{1}}$, то  его  степень равна единице и оно называется горизонтальным. В противном случае степень равна двум. Размерность ${{V}_{i}}$ в каждой точке будем обозначать символом $dim{{V}_{i}}$, i = 1, 2.

Групповая операция определяется формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа.

Опишем субриманов аналог расстояния между точками.

Определение 2 (см. также [7]). Пусть

w = $exp\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{{w}_{i}}} {{X}_{i}}} \right)({v})$, ${v},w \in \mathbb{G}$.

Зададим величину ${{d}_{2}}({v},w)$ следующим образом:

Множество ${\text{\{ }}w \in \mathbb{G}{\text{:}}\;{{d}_{2}}({v},w) < r{\text{\} }}$ называется шаром относительно ${{d}_{2}}$ радиуса r > 0 с центром в точке ${v}$ и обозначается символом ${\text{Bo}}{{{\text{x}}}_{2}}({v},r)$.

Хаусдорфова размерность $\mathbb{G}$ относительно d₂ равна $dim{{V}_{1}} + 2dim{{V}_{2}}$ и обозначается символом $\nu $.

Определение 3. Значение субримановой меры для $A \subset \mathbb{G}$ равно

где $N = dim{{V}_{1}} + dim{{V}_{2}}$ — топологическая размерность $\mathbb{G}$, а точная нижняя грань берется по всем покрытиям множества A шарами.

Определение 4 [8, 9]. Отображение φ: $U \to \tilde {\mathbb{G}}$, $U \subset \mathbb{G}$, где $\mathbb{G}$ и $\tilde {\mathbb{G}}$ – произвольные группы Карно, hc-дифференцируемо в точке $x \in U$, если существует горизонтальный гомоморфизм ${{\mathcal{L}}_{x}}{\text{:}}\,\,\mathbb{G} \to \tilde {\mathbb{G}}$ такой, что ${{d}_{2}}(\varphi (w),{{\mathcal{L}}_{x}}\langle w\rangle )$ = = o(d₂(x, w)), $U \ni w \to x$.

Теорема 1 [8, 9]. Если φ – функция класса ${{C}^{1}}$, определенная на группе Карно, то она непрерывно hc-дифференцируема всюду. Ее hc-дифференциал ${{\nabla }_{H}}\varphi $ равен (X₁φ, …, ${{X}_{{dim{{V}_{1}}}}}\varphi ,0, \ldots ,0)$.

Для описания сублоренцевой структуры на $\mathbb{G}$ введем квадрат сублоренцева расстояния между точками. Так как для определения меры нам нужна система шаров, то определять само расстояние нет необходимости.

Определение 5 (см. общий случай в [10]). Пусть $w = exp\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{{w}_{i}}} {{X}_{i}}} \right)({v})$, ${v},w \in \mathbb{G}$. Зададим величину $\mathfrak{d}_{2}^{2}({v},w)$ следующим образом:

Множество $\{ w \in \mathbb{G}{\text{:}}\;\mathfrak{d}_{2}^{2}({v},w) < {{r}^{2}}\} $ называется шаром относительно $\mathfrak{d}_{2}^{2}$ радиуса $r > 0$ с центром в точке ${v}$ и обозначается символом ${\text{Bo}}{{{\text{x}}}_{{\mathfrak{d}_{2}^{2}}}}({v},r)$.

Квадрат сублоренцевой длины вектора $\sum\limits_{i = 1}^N {{{w}_{i}}} {{X}_{i}}(x)$, $x \in \mathbb{G}$, определяется аналогично.

Определение 6 [1]. Если квадрат длины вектора положителен, то он называется пространственноподобным, если отрицателен, то времениподобным, а если нулевой, то светоподобным. Если все касательные векторы поверхности пространственноподобны, то такая поверхность называется пространственноподобной.

Следующее понятие обобщает соответствующее классическое.

Определение 7 [10]. Пусть ${v} \in \mathbb{G}$. Множество

называется световым конусом с центром в точке ${v}$.

Заметим, что для C¹-гладких поверхностей S классическое понятие пространственноподобия можно заменить на следующее свойство: если ${v} \in S$, то эта поверхность локально лежит вне светового конуса с центром в этой точке, за исключением ${v}$. Чтобы корректно ввести понятие сублоренцевой меры Хаусдорфа на множествах уровня функции $\varphi $ с выбранной системой шаров, нужно, чтобы пересечение шара с поверхностью было ограниченным, а пространственноподобие поверхности гарантирует это свойство. Для этого нужно, чтобы градиент лежал строго внутри светового конуса. Таким образом, для корректной постановки задачи о формуле коплощади функция $\varphi $ должна удовлетворять следующим требованиям.

Предположение 1. Будем рассматривать функцию $\varphi {\text{:}}\;\Omega \to \mathbb{R}$ класса C¹, где $\Omega \subset \mathbb{G}$ – открытое множество, такую, что всюду на $\Omega $ верно

Определение 8. Фиксируем ${v} \in \mathbb{G}$. Отображение ${{\theta }_{{v}}}{\text{:}}\,\,({{w}_{1}}, \ldots ,{{w}_{N}}) \mapsto exp\left( {\sum\limits_{j = 1}^N {{{w}_{j}}} {{X}_{j}}} \right)({v})$, где $({{w}_{1}}, \ldots ,{{w}_{N}}) \in {{\mathbb{R}}^{N}}$, называется координатами первого рода относительно ${v}$.

С помощью перехода в координаты первого рода относительно фиксированной точки легко убедиться, то градиент будет лежать строго внутри светового конуса, а поверхность уровня, проходящая через эту точку, – снаружи, за исключением самой точки. Из сформулированного условия вытекает также невырожденность $\nabla \varphi $ и ${{\nabla }_{H}}\varphi $.

Теорема 2. Поверхности уровня функции $\varphi $, удовлетворяющей условиям предположения 1, пространственноподобны.

Определение 9. Пусть $z \in \mathbb{R}$. Значение сублоренцевой меры для $A \subset {{\varphi }^{{ - 1}}}(z)$ равно

где точная нижняя грань берется по всем покрытиям множества A шарами.

Введем следующее

Обозначение 1. Положим $\nabla _{H}^{ - }\varphi = {{X}_{1}}\varphi $ и $\nabla _{H}^{ + }\varphi = ({{X}_{2}}\varphi ,\; \ldots ,\;{{X}_{{dim{{V}_{1}}}}}\varphi )$.

Опишем основной результат сообщения – сублоренцеву формулу коплощади для функций – и основные идеи вывода. Доказательство основано на получении формулы из классической и подсчете производной сублоренцевой меры $\mathcal{H}_{{SL}}^{{\nu - 1}}$ по “римановой” мере ${{\mathcal{H}}^{{N - 1}}}$ на множествах уровня. Для этого фиксируется точка ${v}$, проходящее через нее множество уровня и сублоренцев шар ${\text{Bo}}{{{\text{x}}}_{{\mathfrak{d}_{2}^{2}}}}({v},r)$ с центром в этой точке, и вычисляется ${{\mathcal{H}}^{{N - 1}}}$-мера пересечения шара и множества. Из результатов [11], а также [12], следует, что она равна

где $o(1) \to 0$ при r → 0. Заметим, что в силу предположения 1 на производные φ, по теореме о неявной функции для $\sum\limits_{j = 1}^{dim{{V}_{1}}} {{{w}_{j}}} {{X}_{j}}({v}) \in {\text{ker}}{{\nabla }_{H}}\varphi ({v}) \cap {{V}_{1}}({v})$ имеем

Тогда по результатам для отображений-графиков (см., например, [12]) выводим

где $o(1) \to 0$ при r → 0. Отсюда следует, что где g – риманов тензор и $o(1) \to 0$ при r → 0.

Теорема 3. Пусть $\mathbb{G}$ – двуступенчатая группа Карно. Для $\varphi \in {{C}^{1}}(\Omega ,\mathbb{R})$, где $\Omega \subset \mathbb{G}$ – открытое множество, и $\left\langle {\nabla _{H}^{ - }\varphi ,\nabla _{H}^{ - }\varphi } \right\rangle \geqslant \left\langle {\nabla _{H}^{ + }\varphi ,\nabla _{H}^{ + }\varphi } \right\rangle + c$ всюду на $\Omega $, c > 0, справедлива формула коплощади