Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 65-67

1. В работе рассматриваются самосопряженные операторы A, порожденные на всей прямой $\mathbb{R}$ формально самосопряженными дифференциальными операциями произвольного четного порядка вида

с вещественными коэффициентами $\left( {\frac{{}}{{}}} \right.$здесь D = $\left. {\frac{d}{{dx}}} \right)$.

Исследуется вопрос о сходимости спектральных разложений, отвечающих таким операторам, в равномерной на $\mathbb{R}$ метрике при минимальных требованиях на коэффициенты в (1).

Хорошо известно, что разложение произвольной функции $f\left( x \right) \in {{L}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$ в интеграл Фурье, которое фактически совпадает со спектральным разложением, отвечающим единственному самосопряженному расширению A₀ операции (1) с тождественно нулевыми коэффициентами (в дальнейшем l₀), сходится к разлагаемой функции в метрике ${{L}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$. Для того чтобы обеспечить его сходимость в более сильной, равномерной на $\mathbb{R}$ метрике, необходимо потребовать от функции f(x) большей гладкости, – например, принадлежности классу Соболева–Лиувилля $L_{2}^{\alpha }\left( \mathbb{R} \right)$ с показателем гладкости $\alpha > \frac{1}{2}$ (см. [1, гл. V; 2]).

Распространение подобных результатов на спектральные разложения, отвечающие общим самосопряженным дифференциальным операторам, является важным направлением исследований спектральной теории.

Одним из широко используемых приемов получения теорем о сходимости является сравнение спектрального разложения для общего оператора с хорошо изученным, более простым разложением, а именно, обоснование равносходимости общего спектрального разложения с разложением в интеграл Фурье (или ряд Фурье), т.е. стремления к нулю разности этих разложений в подходящей метрике.

Для самосопряженных дифференциальных операторов второго порядка с локально суммируемым коэффициентом q₀(x) в (1) теоремы равносходимости спектральных разложений функций $f\left( x \right) \in {{L}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$ в метрике, равномерной на каждом компакте в $\mathbb{R}$, были доказаны в [3, 4]. Эти результаты были перенесены на самосопряженные операторы любого четного порядка в [5] (см. также обзор [6]).

Первые результаты о сходимости спектральных разложений в метрике, равномерной на всей прямой $\mathbb{R}$, появились позже, в работах [7, 8]. Были рассмотрены самосопряженные операторы A, отвечающие операции (1) второго порядка, в которых коэффициент q₀(x) удовлетворяет условию Като

Условие (2) естественно в том смысле, что подобный класс возмущений порождает операторы A, близкие по своим спектральным свойствам к невозмущенным [9].

В настоящей работе равномерная на всей прямой равносходимость установлена для спектральных разложений, отвечающих операциям (1) любого четного порядка 2n, при условии, что все коэффициенты в них принадлежат классу Като (2).

2. Перейдем к точной формулировке и анализу полученных результатов.

Пусть коэффициенты дифференциальной операции (1) вещественны и таковы, что

для всех k = 0, 1, …, n – 1. Так как коэффициенты в (1), вообще говоря, могут не обладать какой-либо дополнительной гладкостью, то определим самосопряженный оператор A через естественно связанную с операцией (1) квадратичную форму. Существование и полуограниченность такого оператора A следует из известных теорем теории возмущений [10, с. 577]. В дальнейшем будем, не ограничивая общности, считать, что построенный таким образом оператор A строго положителен.

Пусть $\left\{ {{{E}_{\lambda }}} \right\}$ – разложение единицы для оператора A, а $\{ E_{\lambda }^{0}\} $ – разложение единицы для невозмущенного оператора A₀.

Теорема 1. Для любой функции $f\left( x \right) \in {{L}_{p}}\left( \mathbb{R} \right)$, $1 \leqslant p \leqslant 2$, справедливо соотношение

Отметим, что в [7] это утверждение было установлено в случае n = 1.

Учитывая известные теоремы вложения и свойство равномерной сходимости разложения в интеграл Фурье, получим следующий результат.

Теорема 2. Для любой функции f(x), принадлежащей классу Соболева–Лиувилля $L_{p}^{\beta }\left( \mathbb{R} \right)$ при $p \in \left( {1,2} \right]$ и $\beta p > 1$, спектральное разложение ${{E}_{\lambda }}f\left( x \right)$ сходится равномерно на всей прямой $\mathbb{R}$.

3. Доказательство теоремы 1 развивает методику В.А. Ильина [7, 11] изучения спектральных разложений.

Ключевым этапом является оценка спектральной функции оператора A с помощью обобщенных собственных функций упорядоченного спектрального представления пространства ${{L}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$ относительно A.

Спектральной функцией $\theta \left( {\lambda ;x,y} \right)$ называют ядро в интегральном представлении действия спектрального проектора E_λ:

Лемма 1. Пусть ${{\theta }_{0}}\left( {\lambda ;x,y} \right) = \frac{{\sin \sqrt[{2n}]{\lambda }\left( {x - y} \right)}}{{\pi \left( {x - y} \right)}}$ – спектральная функция невозмущенного оператора A₀. Тогда при выполнении условий (3) для спектральной функции в (5) равномерно по $\lambda > 0$ выполнена оценка

где $2 \leqslant s \leqslant \infty $.

Отметим, что прежние оценки спектральной функции в [3–5] были получены лишь при условии, что переменная x в (6) изменяется на произвольном компакте K прямой $\mathbb{R}$.

Лемма 2. При выполнении условий (3) равномерно по $x \in \mathbb{R}$ и μ > 0 выполнена оценка

Равномерная на $\mathbb{R}$ оценка (7) приращения спектральной функции оператора A на “диагонали” была получена в [12] для оператора второго порядка. Аналогичные (7) равномерные оценки известны также для многомерного оператора Шрёдингера в ${{\mathbb{R}}^{N}}$ [13, 14].

Техника получения оценок (6) и (7) основана на интегральном представлении обобщенных собственных функций оператора A как решений уравнения $l\left( u \right) = \lambda u$ из класса $W_{{2,{\text{loc}}}}^{n}\left( \mathbb{R} \right)$. Так как в этом представлении интегральные слагаемые содержат производные обобщенных собственных функций до порядка n включительно, то наряду с вытекающей из (7) равномерной оценкой “пачки” из собственных функций были установлены аналогичные оценки для их производных.

Оценка (7) леммы 2 позволяет доказать, что спектральное разложение ${{E}_{\lambda }}f\left( x \right)$ сходится равномерно на $\mathbb{R}$ для всех функций f(x), принадлежащих области определения оператора A^α с любым $\alpha > \frac{1}{{4n}}$. Так как область определения оператора A^1/2 в рассматриваемом нами случае совпадает с $W_{2}^{n}\left( \mathbb{R} \right)$, то теорема 1 получается из оценки леммы 1 стандартными рассуждениями.