Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 73-77

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ АЛГЕБРАХ

А. И. Перов 1*, И. Д. Коструб 1**

1 Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия

* E-mail: anperov@mail.ru
** E-mail: ikostrub@yandex.ru

Поступила в редакцию 16.10.2019
После доработки 27.02.2020
Принята к публикации 27.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В комплексной банаховой алгебре, коммутативность которой не предполагается, рассматриваются линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Предполагается, что соответствующее алгебраическое характеристическое уравнение n-й степени имеет n различных корней, для которых построенная матрица Вандермонда обратима. Доказываются аналоги теорем Сильвестра и Виета, а также изучается контурный интеграл типа Коши.

Ключевые слова: банахова алгебра, дифференциальные уравнения высшего порядка, алгебраическое характеристическое уравнение, матрица Вандермонда, теоремы Сильвестра и Виета, контурный интеграл типа Коши

DOI: 10.31857/S2686954320020174

Основные определения. В комплексной банаховой алгебре $\mathbb{B}$ [1, 2] рассмотрим линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка

(1)
${{{\mathbf{x}}}^{{(n)}}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}{{{\mathbf{x}}}^{{(n - 1)}}} + ... + {{{\mathbf{p}}}_{{n - 1}}}{\mathbf{\dot {x}}} + {{{\mathbf{p}}}_{n}}{\mathbf{x}} = 0$
с постоянными коэффициентами (p0 = 1). Такие уравнения возникают, например, при изучении дифференциальных уравнений высшего порядка в конечномерных (матричные дифференциальные уравнения [3]) или в бесконечномерных (банаховых) пространствах (операторные дифференциальные уравнения [4]). В качестве возможных приложений можно назвать теорию малых колебаний в физике [5].

Рассмотрим многочлен n-й степени

(2)
${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda ) \equiv {{\lambda }^{n}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}{{\lambda }^{{n - 1}}} + ... + {{{\mathbf{p}}}_{{n - 1}}}\lambda + {{{\mathbf{p}}}_{n}}:\mathbb{C} \to \mathbb{B},$
играющий исключительно важную роль во всей развиваемой нами теории. Назовем этот многочлен (за неимением лучшего) скалярным характеристическим многочленом. Все значения λ из $\mathbb{C}$, для которых элемент ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ обратим, образуют, по определению, резольвентное множество R многочлена (2). R есть непустое неограниченное открытое множество в $\mathbb{C}$. Определенная на этом множестве функция ${{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) \equiv {\mathbf{l}}_{n}^{{ - 1}}(\lambda ){\text{:}}\,R \to \mathbb{B}$ называется резольвентой n-го порядка [6]. Дополнение S = $\mathbb{C}{\backslash }R$ называется спектром скалярного характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda );$ это есть непустое ограниченное замкнутое множество в $\mathbb{C}$.

Матричные многочлены указанного вида встречаются в теории матриц [7, гл. VIII]; они находят приложения в квантовой механике [8, с. 149].

Мы записываем скалярные величины (комплексные числа) обычным шрифтом, а элементы банаховой алгебры $\mathbb{B}$ – полужирным шрифтом. Выражение λ1, где $\lambda $ – комплексное число, а 1 – единица алгебры, следуя Т. Като [9, с. 274], записываем в виде $\lambda .$

Если по методу Эйлера искать решение уравнения (1) в виде ${\mathbf{x}}(t) = {\text{exp}}(t{\mathbf{a}}),$ где ${\mathbf{a}} \in \mathbb{B}$, то мы придем к алгебраическому уравнению n-й степени

(3)
${{{\mathbf{l}}}_{n}}({\mathbf{a}}) \equiv {{{\mathbf{a}}}^{n}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}{{{\mathbf{a}}}^{{n - 1}}} + ... + {{{\mathbf{p}}}_{{n - 1}}}{\mathbf{a}} + {{{\mathbf{p}}}_{n}} = {\mathbf{0}}.$

Многочлен ${{{\mathbf{l}}}_{n}}({\mathbf{a}}){\kern 1pt} :\mathbb{B} \to \mathbb{B}$ назовем характеристическим, уравнение (3) – характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими корнями.

Случай n = 2 рассмотрен в заметке [10].

Теорема Сильвестра и тождество Гильберта.

Теорема 1. Спектр любого корня a характеристического уравнения (3) содержится в спектре скалярного характеристического многочлена: $S({\mathbf{a}}) \subseteq S.$

Для матричных уравнений теорема 1 была доказана Сильвестром.

Пусть $\lambda $ и $\mu $ из $R.$ Так как

$\begin{gathered} {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) - {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\mu ) = {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ){\text{\{ }}{{{\mathbf{l}}}_{n}}(\mu ) - {\mathbf{l}}(\lambda ){\text{\} }}{{{\mathbf{r}}}_{n}}(\mu ) = \\ \, = {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )\sum\limits_{j = 1}^n \,{{{\mathbf{p}}}_{{n - j}}}({{\mu }^{j}} - {{\lambda }^{j}}){{{\mathbf{r}}}_{n}}(\mu ), \\ \end{gathered} $
то

(4)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) - {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\mu ) = \\ = - (\lambda - \mu ){{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )\sum\limits_{j = 1}^n \,{{{\mathbf{p}}}_{{n - j}}}({{\mu }^{{j - 1}}} + {{\mu }^{{j - 2}}}\lambda + \\ \, + ... + \mu {{\lambda }^{{j - 2}}} + {{\lambda }^{{j - 1}}}){{{\mathbf{r}}}_{n}}(\mu ). \\ \end{gathered} $

При n = 1 соотношение (4) хорошо известно под именем тождества Гильберта (см., например, [11, с. 261]); мы сохраним за ним это название и в случае произвольного $n.$

Теорема 2. При произвольных $\lambda $ и $\mu $ из $R$ для резольвенты n-го порядка ${{{\mathbf{r}}}_{n}}$ имеет место тождество (4).

Резольвента  n-го порядка. В дальнейшем нам будет полезна формула разложения в степенной ряд

(5)
${{({\mathbf{1}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}\mu + ... + {{{\mathbf{p}}}_{n}}{{\mu }^{n}})}^{{ - 1}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{{\mathbf{c}}}_{k}}{{\mu }^{k}}({\text{|}}\mu {\text{|}} < \rho ),$
где ${{{\mathbf{c}}}_{k}}$ из $\mathbb{B}$, а $\rho $ ($0 < \rho < \infty $) есть радиус сходимости написанного степенного ряда. При $k = 0$ мы получаем ${{{\mathbf{c}}}_{0}} = 1.$ Приведем формулу для остальных коэффициентов этого разложения:

${{{\mathbf{c}}}_{k}} = \sum\limits_{s = 1}^\infty \,\sum\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {1 \leqslant {{i}_{1}} \leqslant n,...,1 \leqslant {{i}_{s}} \leqslant n,} \\ {{{k}_{1}} \geqslant 0,...,{{k}_{s}} \geqslant 0,} \\ {{{i}_{1}}{{k}_{1}} + ... + {{i}_{s}}{{k}_{s}} = k} \end{array}} \,{{( - 1)}^{{{{k}_{1}} + ... + {{k}_{s}}}}}{\mathbf{p}}_{{{{i}_{1}}}}^{{{{k}_{1}}}}...{\mathbf{p}}_{{{{i}_{s}}}}^{{{{k}_{s}}}}.$

Здесь порядок сомножителей весьма существеннен (среди чисел ${{i}_{1}},...,{{i}_{s}}$ могут быть повторяющиеся). Если коэффициенты многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ коммутируют, что заведомо имеет место для коммутативной банаховой алгебры [1, 2], то написанное выше выражение принимает более простой вид:

${{{\mathbf{c}}}_{k}} = \sum\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {{{k}_{1}} \geqslant 0,...,{{k}_{n}} \geqslant 0,} \\ {1{{k}_{1}} + ... + n{{k}_{n}} = k} \end{array}} \,{{( - 1)}^{{{{k}_{1}} + ... + {{k}_{n}}}}}\frac{{({{k}_{1}} + ... + {{k}_{n}})!}}{{{{k}_{1}}!...{{k}_{n}}!}}{\mathbf{p}}_{1}^{{{{k}_{1}}}}...{\mathbf{p}}_{n}^{{{{k}_{n}}}}.$

Важность формулы (5) объясняется тем обстоятельством, что она позволяет написать разложение для резольвенты n-го порядка ${{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )$ по обратным степеням параметра $\lambda .$ Действительно,

$\begin{gathered} {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) = {{({{\lambda }^{n}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}{{\lambda }^{{n - 1}}} + ... + {{{\mathbf{p}}}_{n}})}^{{ - 1}}} = \\ \, = {{\lambda }^{{ - n}}}{{({\mathbf{1}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}\mu + ... + {{{\mathbf{p}}}_{n}}{{\mu }^{n}})}^{{ - 1}}} = {{\lambda }^{{ - n}}}\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{{\mathbf{c}}}_{k}}{{\mu }^{k}} \\ \end{gathered} $
(мы считаем, что $\lambda \ne 0$ и $\mu = 1{\text{/}}\lambda $). Поэтому

(6)
${{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{{\mathbf{c}}}_{k}}{{\lambda }^{{ - (n + k)}}}\left( {{\text{|}}\lambda {\text{|}} > \frac{1}{\rho }} \right).$

Функция Коши. Решение ${\mathbf{k}}(t){\kern 1pt} :\mathbb{R} \to \mathbb{B}$ уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям ${\mathbf{k}}(0) = 0,{\mathbf{\dot {k}}}(0) = {\mathbf{0}},...,{{{\mathbf{k}}}^{{(n - 2)}}}(0) = {\mathbf{0}}$ и ${{{\mathbf{k}}}^{{(n - 1)}}}(0)$ = 1, называется функцией Коши этого уравнения.

Нетрудно убедиться в том, что функция Коши допускает представление в виде степенного ряда

${\mathbf{k}}(t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{{\mathbf{c}}}_{k}}\frac{{{{t}^{{n + k - 1}}}}}{{(n + k - 1)!}}\quad ( - \infty < t < + \infty ),$
коэффициенты ${{{\mathbf{c}}}_{k}}$ которого взяты из разложения (5). Она допускает представление в виде контурного интеграла
${\mathbf{k}}(t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,{{e}^{{t\lambda }}}{{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )d\lambda ,$
где контур $\partial \sigma $ лежит в резольвентном множестве R и охватывает спектр S скалярного характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda ).$ В простейшем случае, когда в роли банаховой алгебры $\mathbb{B}$ выступает поле комплексных чисел $\mathbb{C}$, написанный выше интеграл принимает вид

$k(t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,\frac{{{{e}^{{t\lambda }}}}}{{{{\lambda }^{n}} + {{p}_{1}}{{\lambda }^{{n - 1}}} + ... + {{p}_{n}}}}d\lambda .$

Теорема 3. Пусть ${{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{n}}$, попарно различные корни характеристического уравнения (3) в рассматриваемом случае, т.е. ${{\lambda }_{j}} \ne {{\lambda }_{k}}$ при $j \ne k.$ Тогда

$k(t) = \sum\limits_{j = 1}^n \,\frac{{{{e}^{{t{{\lambda }_{j}}}}}}}{{({{\lambda }_{j}} - {{\lambda }_{1}})...({{\lambda }_{j}} - {{\lambda }_{{j - 1}}})({{\lambda }_{j}} - {{\lambda }_{{j + 1}}})...({{\lambda }_{j}} - {{\lambda }_{n}})}}.$

Последняя сумма представляет собой разделенную разность порядка (n – 1), построенную для функции $exp(t\lambda )$ по узлам ${{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{n}}$ [12].

Вернемся к общему случаю.

Теорема 4. Пусть ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ – попарно различные корни характеристического уравнения (3), причем разности ${{{\mathbf{a}}}_{j}} - {{{\mathbf{a}}}_{k}}$ обратимы при $j \ne k.$ Пусть банахова алгебра $\mathbb{B}$ является коммутативной или, более обобщенно, известно лишь, что эти корни коммутируют. Тогда справедлива формула

(7)
${\mathbf{k}}(t) = \sum\limits_{j = 1}^n \,{{e}^{{t{{{\mathbf{a}}}_{j}}}}}\prod\limits_{1 \leqslant k \leqslant n,k \ne j}^n \,{{({{{\mathbf{a}}}_{j}} - {{{\mathbf{a}}}_{k}})}^{{ - 1}}}.$

Алгебраическое отступление. Обозначим через ${{\mathbb{B}}^{n}}$ совокупность столбцов x = col(x1, ... ..., ${{{\mathbf{x}}}_{n}}),$ где ${{{\mathbf{x}}}_{j}}$ из $\mathbb{B}$ при $1 \leqslant j \leqslant n,$ т.е. ${{\mathbb{B}}^{n}} = \mathbb{B} \times ... \times \mathbb{B}$ (n раз). Определим покомпонентно алгебраические операции сложения, умножения на комплексные числа (а также на элементы банаховой алгебры $\mathbb{B}$) и умножения, мы придем к комплексной банаховой алгебре ${{\mathbb{B}}^{n}}$, если введем норму каким-нибудь подходящим образом.

Обозначим через ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}$ совокупность квадратных (n × n)-матриц ${\mathbf{A}} = ({{{\mathbf{a}}}_{{jk}}}),$ где ${{{\mathbf{a}}}_{{jk}}}$ из $\mathbb{B}$ при $1 \leqslant j$, $k \leqslant n$. Определим естественным образом алгебраические операции сложения, умножения на комплексные числа (а также на элементы банаховой алгебры $\mathbb{B}$) и умножения (по правилу строка на столбец), мы придем к комплексной банаховой алгебре ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}$, если введем норму каким-нибудь подходящим образом. Полагая yj = ${{{\mathbf{a}}}_{{j1}}}{{{\mathbf{x}}}_{1}} + ... + {{{\mathbf{a}}}_{{jn}}}{{{\mathbf{x}}}_{n}}$ при $1 \leqslant j,k \leqslant n,$ мы придем к линейному ограниченному оператору ${\mathbf{A}}{\kern 1pt} :{{\mathbb{B}}^{n}} \to {{\mathbb{B}}^{n}}.$

Матрица Вандермонда. В дальнейшем важную роль играет (n × n)-матрица

(8)
${\mathbf{W}} = {\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{1}}&{\mathbf{1}}& \ldots &{\mathbf{1}} \\ {{{{\mathbf{a}}}_{1}}}&{{{{\mathbf{a}}}_{2}}}& \ldots &{{{{\mathbf{a}}}_{n}}} \\ {{\mathbf{a}}_{1}^{2}}&{{\mathbf{a}}_{2}^{2}}& \ldots &{{\mathbf{a}}_{n}^{2}} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{\mathbf{a}}_{1}^{{n - 1}}}&{{\mathbf{a}}_{2}^{{n - 1}}}& \ldots &{{\mathbf{a}}_{n}^{{n - 1}}} \end{array}} \right),$
которая (по вполне понятным причинам) называется матрицей Вандермонда. Здесь ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ – произвольный набор элементов из $\mathbb{B}$ и $n \geqslant 2.$ Матрица Вандермонда W обратима, если существует такая (n × n)-матрица ${\mathbf{C}} = ({{{\mathbf{c}}}_{{jk}}})$ из ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}},$ для которой ${\mathbf{WC}} = {\mathbf{E}}$ и ${\mathbf{CW}} = {\mathbf{E}},$ где ${\mathbf{E}} = {\text{diag}}(1,...,1)$ есть единичная матрица в ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}.$

Матрица Вандермонда ${\mathbf{W}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})$ обратима тогда и только тогда, когда обратима разность ${\mathbf{a}} - {\mathbf{b}}.$ При выполнении этого условия обратная матрица имеет вид

$\begin{gathered} {{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{({\mathbf{b}} - {\mathbf{a}})}}^{{ - 1}}}{\mathbf{b}}}&{\, - \,{{{({\mathbf{b}} - {\mathbf{a}})}}^{{ - 1}}}} \\ { - \,{{{({\mathbf{b}} - {\mathbf{a}})}}^{{ - 1}}}{\mathbf{a}}}&{{{{({\mathbf{b}} - {\mathbf{a}})}}^{{ - 1}}}} \end{array}} \right) = \\ \, = {{({\mathbf{b}} - {\mathbf{a}})}^{{ - 1}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{b}}&{ - 1} \\ { - {\mathbf{a}}}&1 \end{array}} \right). \\ \end{gathered} $

Матрица Вандермонда ${\mathbf{W}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}})$ обратима тогда и только тогда, когда обратимы разности ab, ${\mathbf{b}} - {\mathbf{c}},$ ${\mathbf{c}} - {\mathbf{a}}$ и обратимы $[{\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}],$ [b, c, a] и $[{\mathbf{c}},a,{\mathbf{b}}],$ где $[{\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}] \equiv ({{{\mathbf{a}}}^{2}} - {{{\mathbf{b}}}^{2}})$$({{{\mathbf{b}}}^{2}} - {{{\mathbf{c}}}^{2}}){{({\mathbf{b}} - {\mathbf{c}})}^{{ - 1}}}({\mathbf{a}} - {\mathbf{b}})$ и т.д. При выполнении этих условий обратная матрица имеет вид

$\begin{gathered} {{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{[{\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}]}}^{{ - 1}}}}&0&0 \\ 0&{{{{[{\mathbf{b}},{\mathbf{c}},{\mathbf{a}}]}}^{{ - 1}}}}&0 \\ 0&0&{{{{[{\mathbf{c}},{\mathbf{a}},{\mathbf{b}}]}}^{{ - 1}}}} \end{array}} \right) \times \\ \, \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \,{{{\mathbf{b}}}^{2}} + ({{{\mathbf{c}}}^{2}} - {{{\mathbf{a}}}^{2}}){{{({\mathbf{c}} - {\mathbf{a}})}}^{{ - 1}}}{\mathbf{b}}}&{\,\, - \,({{{\mathbf{b}}}^{2}} - {{{\mathbf{c}}}^{2}}){{{({\mathbf{b}} - {\mathbf{c}})}}^{{ - 1}}}}&{\mathbf{1}} \\ { - \,{{{\mathbf{c}}}^{2}} + ({{{\mathbf{a}}}^{2}} - {{{\mathbf{b}}}^{2}}){{{({\mathbf{a}} - {\mathbf{b}})}}^{{ - 1}}}{\mathbf{c}}}&{\,\, - \,({{{\mathbf{c}}}^{2}} - {{{\mathbf{a}}}^{2}}){{{({\mathbf{c}} - {\mathbf{a}})}}^{{ - 1}}}}&{\mathbf{1}} \\ { - \,{{{\mathbf{a}}}^{2}} + ({{{\mathbf{b}}}^{2}} - {{{\mathbf{c}}}^{2}}){{{({\mathbf{b}} - {\mathbf{c}})}}^{{ - 1}}}{\mathbf{a}}}&{\,\, - \,({{{\mathbf{a}}}^{2}} - {{{\mathbf{b}}}^{2}}){{{({\mathbf{a}} - {\mathbf{b}})}}^{{ - 1}}}}&{\mathbf{1}} \end{array}} \right). \\ \end{gathered} $

Теорема 5. Пусть банахова алгебра $\mathbb{B}$ является коммутативной. Тогда для обратимости матрицы Вандермонда ${\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}})$ необходимо и достаточно, чтобы

$разность\,{{{\mathbf{a}}}_{j}} - {{{\mathbf{a}}}_{k}}\,была\,обратима\,при\,j \ne k.$

Возвращаясь к общему случаю, заметим, что условие (9) заведомо будет выполнено, если элементы ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ спектрально разделены [13], т.е.

(10)
$S({{{\mathbf{a}}}_{j}}) \cap S({{{\mathbf{a}}}_{k}}) = 0\quad {\text{при}}\quad j \ne k.$

Сопровождающая матрица Фробениуса. Поставим в соответствие скалярному характеристическому многочлену ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ матрицу из ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}$ – так называемую сопровождающую матрицу Фробениуса

(11)
${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{0}}&{\mathbf{1}}&{\mathbf{0}}& \ldots &{\mathbf{0}}&{\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}}&{\mathbf{0}}&{\mathbf{1}}& \ldots &{\mathbf{0}}&{\mathbf{0}} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {\mathbf{0}}& \ldots & \ldots & \ldots &{\mathbf{0}}&{\mathbf{1}} \\ { - {{{\mathbf{p}}}_{n}}}& \ldots & \ldots & \ldots &{ - {{{\mathbf{p}}}_{2}}}&{ - {{{\mathbf{p}}}_{1}}} \end{array}} \right).$

Теорема 6 (сравни с [14, с. 154]). Спектр S скалярного характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ совпадает со спектром $S({\mathbf{A}})$ сопровождающей матрицы Фробениуса, т.е. $S = S({\mathbf{A}}).$

Основная формула. Пусть ${\mathbf{a}}$ из $\mathbb{B}$ есть корень характеристического уравнения (3). Построим вектор из ${{\mathbb{B}}^{n}},$ положив h(a) = col $({\mathbf{1}},{\mathbf{a}},...,{{{\mathbf{a}}}^{{n - 1}}}).$ Тогда ${\mathbf{Ah}}({\mathbf{a}}) = {\mathbf{ah}}({\mathbf{a}}).$ Мы назовем в этом случае a алгебраическим собственным значением оператора A, а h(a) – алгебраическим собственным вектором. Пусть ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ – попарно различные корни характеристического уравнения (4). Так как Ah(aj) = = ${{{\mathbf{a}}}_{j}}{\mathbf{h}}({{{\mathbf{a}}}_{j}})$ при $1 \leqslant j \leqslant n,$ то AW = ${\mathbf{W}}{\text{diag}}({{{\mathbf{a}}}_{1}}$, ..., an), где ${\mathbf{W}} = {\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}})$ – матрица Вандермонда (8). Предполагая матрицу Вандермонда W обратимой, получаем

(12)
${\mathbf{A}} = {\mathbf{W}}{\text{diag}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}){{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}.$

Приложение к дифференциальному уравнению. Одно дифференциальное уравнение n-го порядка (1) равносильно системе $n$ дифференциальных уравнений первого порядка ${{{\mathbf{\dot {x}}}}_{1}} = {{{\mathbf{x}}}_{2}},$ ${{{\mathbf{\dot {x}}}}_{2}} = {{{\mathbf{x}}}_{3}},$ …, ${{{\mathbf{\dot {x}}}}_{{n - 1}}} = {{{\mathbf{x}}}_{n}},$ ${{{\mathbf{\dot {x}}}}_{n}} = - {{{\mathbf{p}}}_{n}}{{{\mathbf{x}}}_{1}}$ – ... – p1xn. Запишем эту систему в векторно-матричном виде ${\mathbf{\dot {x}}} = {\mathbf{Ax}}$ $({\mathbf{x}} \in {{\mathbb{B}}^{n}}).$ Мы видим, что матрица A из ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}$ в точности совпадает со сопровождающей матрицей Фробениуса (11), что и объясняет ее происхождение. Согласно формуле (12) мы можем написать

${{e}^{{t{\mathbf{A}}}}} = {{e}^{{t{\mathbf{WD}}{{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}}}} = {\mathbf{W}}{{e}^{{t{\mathbf{D}}}}}{{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}} = {\mathbf{W}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}^{{t{{{\mathbf{a}}}_{1}}}}}}& \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots &{{{e}^{{t{{{\mathbf{a}}}_{n}}}}}} \end{array}} \right){{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}},$
где, краткости ради, положили ${\mathbf{D}} = {\text{diag}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}).$ Далее, нетрудно видеть, что функция Коши для дифференциального уравнения (1) имеет вид
(13)
${\mathbf{k}}(t) = \sum\limits_{j = 1}^n \,{{e}^{{t{{{\mathbf{a}}}_{j}}}}}{{{\mathbf{c}}}_{{jn}}},$
где в качестве коэффициентов фигурируют элементы n-го (последнего) столбца матрицы C = ${{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}.$

Теоремы Сильвестра (продолжение) и Виета. Рассмотрим резольвенту $(\lambda {\mathbf{E}}$ – ‒ A)–1 матрицы A при $\lambda $ из $R({\mathbf{A}}),$ где A – это матрица (11) из ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}},$ $R({\mathbf{A}})$ из $\mathbb{C}$ – ее резольвентное множество. Согласно формуле (12) получаем

$\begin{gathered} \lambda {\mathbf{E}} - {\mathbf{A}} = \lambda {\mathbf{E}} - {\mathbf{WD}}{{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}} = {\mathbf{W}}(\lambda {\mathbf{E}} - {\mathbf{D}}){{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}} = \\ \, = {\mathbf{W}}{\text{diag}}(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{1}},...,\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{n}}){{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $

Поэтому

(14)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{(\lambda {\mathbf{E}} - {\mathbf{A}})}}^{{ - 1}}} = {\mathbf{W}}{\text{diag}}({{{(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{1}})}}^{{ - 1}}},...,{{{(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{n}})}}^{{ - 1}}}){{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}} \\ {\left( {\lambda \in R = R({\mathbf{A}}) = \bigcap\limits_{j = 1}^n \,R({{{\mathbf{a}}}_{j}})} \right).} \end{array}$

Из (14) вытекает

(15)
$S = S({\mathbf{A}}) = \bigcup\limits_{j = 1}^n \,S({{{\mathbf{a}}}_{j}}).$

Мы доказали теорему Сильвестра (ср. с [15, с. 441, задача 155]).

Теорема 7. Спектр $S$ скалярного характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ совпадает с объединением спектров характеристических корней ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ (при этом напомним, что нами было сделано серьезное предположение о спектральной разделенности ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ (10) и об обратимости матрицы Вандермонда (8) ${\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}})$).

Полагая ${\mathbf{A}} = ({{{\mathbf{a}}}_{{jk}}}),$ где $1 \leqslant j,k \leqslant n,$ из формулы (12) получаем ${{{\mathbf{a}}}_{{jk}}} = \sum\limits_{s = 1}^n \,{\mathbf{a}}_{s}^{j}{{{\mathbf{c}}}_{{sk}}},$ где, напомним, C = = $({{{\mathbf{c}}}_{{jk}}})$ = W–1. Поэтому

(16)
$ - {{{\mathbf{p}}}_{j}} = {{{\mathbf{a}}}_{{n,n + 1 - j}}} = \sum\limits_{s = 1}^n \,{\mathbf{a}}_{s}^{n}{{{\mathbf{c}}}_{{s,n + 1 - j}}}\quad (1 \leqslant j \leqslant n).$

Мы выразили коэффициенты характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}({\mathbf{a}})$ через его корни ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}.$ Назовем формулы (16) некоммутативными формулами Виета.

Теорема 8. В условиях теоремы 7 справедливы некоммутативные формулы Виета.

Во многих вопросах оказывается полезной следующая явная формула:

(17)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) = \sum\limits_{j = 1}^n \,{{(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{j}})}^{{ - 1}}}{{{\mathbf{c}}}_{{jn}}} \\ \left( {\lambda \in R = R({\mathbf{A}}) = \bigcap\limits_{j = 1}^n \,R({{{\mathbf{a}}}_{j}})} \right). \\ \end{gathered} $

Основная теорема. Рассмотрим контурный интеграл

(18)
$\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,f(\lambda ){{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )d\lambda ,$
где $f(\lambda ){\kern 1pt} :G \to \mathbb{C}$ (кусочно) аналитическая функция, заданная на открытом множестве $G,$ содержащем весь спектр $S$ скалярного характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda ),$ а контур $\partial \sigma ,$ лежащий в открытом множестве $R \cap G,$ охватывает спектр $S.$

Пусть $\mathbb{B}(G)$ – совокупность всех тех x из $\mathbb{B},$ спектр $S({\mathbf{x}})$ которых лежит в $G;$ это множество открыто. Продолжим $f(\lambda )$ с $G$ на $\mathbb{B}(G),$ положив

(19)
$f({\mathbf{x}}) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,f(\lambda ){{(\lambda - {\mathbf{x}})}^{{ - 1}}}d\lambda ,$
где контур $\partial \sigma $ лежит в открытом множестве $R({\mathbf{x}}) \cap G$ и окружает спектр $S({\mathbf{x}})$ элемента ${\mathbf{x}}.$ (Мы сохранили для продолжения прежнее обозначение.)

Согласно формуле (17) находим

$\begin{gathered} \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,f(\lambda ){{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )d\lambda = \\ = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,f(\lambda )\sum\limits_{j = 1}^n \,{{(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{j}})}^{{ - 1}}}{{{\mathbf{c}}}_{{jn}}}d\lambda = \\ = \sum\limits_{j = 1}^n \,\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,f(\lambda ){{(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{j}})}^{{ - 1}}}{{{\mathbf{c}}}_{{jn}}}d\lambda = \sum\limits_{j = 1}^n \,f({{{\mathbf{a}}}_{j}}){{{\mathbf{c}}}_{{jn}}} \\ \end{gathered} $
(последнее – в силу формулы (19)).

Теорема 9. Пусть корни ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ спектрально разделены, т.е. выполнено условие (10). Пусть матрица Вандермонда (8) ${\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}})$ обратима. Тогда справедлива формула

(20)
$\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma }^{} {f(\lambda )} {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )d\lambda = \sum\limits_{j = 1}^n \,f({{{\mathbf{a}}}_{j}}){{{\mathbf{c}}}_{{jn}}}.$

Список литературы

  1. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 448 с.

  2. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.

  3. Перов А.И., Коструб И.Д. Об ограниченных решениях слабо нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений $n$-го порядка // Cиб. мат. журн. 2016. Т. 57. № 4. С. 830–849.

  4. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.

  5. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 440 с.

  6. Kurbatov V.G., Kurbatova I.V. Computation of Green’s Function of the Bounded Solutions Problem, Comput. Methods Appl. Math. 2017. https://doi.org/10.1515/cmam-2017-0042

  7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 581 с.

  8. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение. М.: ИЛ, 1960. 172 с.

  9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

  10. Перов А.И., Коструб И.Д. Об одном квадратном уравнении. Scientific Light. Wroclaw. 2019. V. 1. № 26. P. 33–34.

  11. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

  12. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Физматгиз, 1959. 400 с.

  13. Далецкий Ю.Л. Об одном линейном уравнении относительно элементов нормированного кольца // УМН. 1959. Т. 14. Вып. 1(85). С. 165-168.

  14. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975. 320 с.

  15. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. 476 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления