Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 73-77
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ АЛГЕБРАХ
А. И. Перов 1, *, И. Д. Коструб 1, **
1 Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия
* E-mail: anperov@mail.ru
** E-mail: ikostrub@yandex.ru
Поступила в редакцию 16.10.2019
После доработки 27.02.2020
Принята к публикации 27.02.2020
Аннотация
В комплексной банаховой алгебре, коммутативность которой не предполагается, рассматриваются линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Предполагается, что соответствующее алгебраическое характеристическое уравнение n-й степени имеет n различных корней, для которых построенная матрица Вандермонда обратима. Доказываются аналоги теорем Сильвестра и Виета, а также изучается контурный интеграл типа Коши.
Основные определения. В комплексной банаховой алгебре $\mathbb{B}$ [1, 2] рассмотрим линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка
(1)
${{{\mathbf{x}}}^{{(n)}}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}{{{\mathbf{x}}}^{{(n - 1)}}} + ... + {{{\mathbf{p}}}_{{n - 1}}}{\mathbf{\dot {x}}} + {{{\mathbf{p}}}_{n}}{\mathbf{x}} = 0$Рассмотрим многочлен n-й степени
(2)
${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda ) \equiv {{\lambda }^{n}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}{{\lambda }^{{n - 1}}} + ... + {{{\mathbf{p}}}_{{n - 1}}}\lambda + {{{\mathbf{p}}}_{n}}:\mathbb{C} \to \mathbb{B},$Матричные многочлены указанного вида встречаются в теории матриц [7, гл. VIII]; они находят приложения в квантовой механике [8, с. 149].
Мы записываем скалярные величины (комплексные числа) обычным шрифтом, а элементы банаховой алгебры $\mathbb{B}$ – полужирным шрифтом. Выражение λ1, где $\lambda $ – комплексное число, а 1 – единица алгебры, следуя Т. Като [9, с. 274], записываем в виде $\lambda .$
Если по методу Эйлера искать решение уравнения (1) в виде ${\mathbf{x}}(t) = {\text{exp}}(t{\mathbf{a}}),$ где ${\mathbf{a}} \in \mathbb{B}$, то мы придем к алгебраическому уравнению n-й степени
(3)
${{{\mathbf{l}}}_{n}}({\mathbf{a}}) \equiv {{{\mathbf{a}}}^{n}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}{{{\mathbf{a}}}^{{n - 1}}} + ... + {{{\mathbf{p}}}_{{n - 1}}}{\mathbf{a}} + {{{\mathbf{p}}}_{n}} = {\mathbf{0}}.$Многочлен ${{{\mathbf{l}}}_{n}}({\mathbf{a}}){\kern 1pt} :\mathbb{B} \to \mathbb{B}$ назовем характеристическим, уравнение (3) – характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими корнями.
Случай n = 2 рассмотрен в заметке [10].
Теорема Сильвестра и тождество Гильберта.
Теорема 1. Спектр любого корня a характеристического уравнения (3) содержится в спектре скалярного характеристического многочлена: $S({\mathbf{a}}) \subseteq S.$
Для матричных уравнений теорема 1 была доказана Сильвестром.
Пусть $\lambda $ и $\mu $ из $R.$ Так как
(4)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) - {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\mu ) = \\ = - (\lambda - \mu ){{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )\sum\limits_{j = 1}^n \,{{{\mathbf{p}}}_{{n - j}}}({{\mu }^{{j - 1}}} + {{\mu }^{{j - 2}}}\lambda + \\ \, + ... + \mu {{\lambda }^{{j - 2}}} + {{\lambda }^{{j - 1}}}){{{\mathbf{r}}}_{n}}(\mu ). \\ \end{gathered} $При n = 1 соотношение (4) хорошо известно под именем тождества Гильберта (см., например, [11, с. 261]); мы сохраним за ним это название и в случае произвольного $n.$
Теорема 2. При произвольных $\lambda $ и $\mu $ из $R$ для резольвенты n-го порядка ${{{\mathbf{r}}}_{n}}$ имеет место тождество (4).
Резольвента n-го порядка. В дальнейшем нам будет полезна формула разложения в степенной ряд
(5)
${{({\mathbf{1}} + {{{\mathbf{p}}}_{1}}\mu + ... + {{{\mathbf{p}}}_{n}}{{\mu }^{n}})}^{{ - 1}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{{\mathbf{c}}}_{k}}{{\mu }^{k}}({\text{|}}\mu {\text{|}} < \rho ),$Здесь порядок сомножителей весьма существеннен (среди чисел ${{i}_{1}},...,{{i}_{s}}$ могут быть повторяющиеся). Если коэффициенты многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ коммутируют, что заведомо имеет место для коммутативной банаховой алгебры [1, 2], то написанное выше выражение принимает более простой вид:
Важность формулы (5) объясняется тем обстоятельством, что она позволяет написать разложение для резольвенты n-го порядка ${{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )$ по обратным степеням параметра $\lambda .$ Действительно,
(6)
${{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{{\mathbf{c}}}_{k}}{{\lambda }^{{ - (n + k)}}}\left( {{\text{|}}\lambda {\text{|}} > \frac{1}{\rho }} \right).$Функция Коши. Решение ${\mathbf{k}}(t){\kern 1pt} :\mathbb{R} \to \mathbb{B}$ уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям ${\mathbf{k}}(0) = 0,{\mathbf{\dot {k}}}(0) = {\mathbf{0}},...,{{{\mathbf{k}}}^{{(n - 2)}}}(0) = {\mathbf{0}}$ и ${{{\mathbf{k}}}^{{(n - 1)}}}(0)$ = 1, называется функцией Коши этого уравнения.
Нетрудно убедиться в том, что функция Коши допускает представление в виде степенного ряда
Теорема 3. Пусть ${{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{n}}$, попарно различные корни характеристического уравнения (3) в рассматриваемом случае, т.е. ${{\lambda }_{j}} \ne {{\lambda }_{k}}$ при $j \ne k.$ Тогда
Последняя сумма представляет собой разделенную разность порядка (n – 1), построенную для функции $exp(t\lambda )$ по узлам ${{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{n}}$ [12].
Вернемся к общему случаю.
Теорема 4. Пусть ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ – попарно различные корни характеристического уравнения (3), причем разности ${{{\mathbf{a}}}_{j}} - {{{\mathbf{a}}}_{k}}$ обратимы при $j \ne k.$ Пусть банахова алгебра $\mathbb{B}$ является коммутативной или, более обобщенно, известно лишь, что эти корни коммутируют. Тогда справедлива формула
(7)
${\mathbf{k}}(t) = \sum\limits_{j = 1}^n \,{{e}^{{t{{{\mathbf{a}}}_{j}}}}}\prod\limits_{1 \leqslant k \leqslant n,k \ne j}^n \,{{({{{\mathbf{a}}}_{j}} - {{{\mathbf{a}}}_{k}})}^{{ - 1}}}.$Алгебраическое отступление. Обозначим через ${{\mathbb{B}}^{n}}$ совокупность столбцов x = col(x1, ... ..., ${{{\mathbf{x}}}_{n}}),$ где ${{{\mathbf{x}}}_{j}}$ из $\mathbb{B}$ при $1 \leqslant j \leqslant n,$ т.е. ${{\mathbb{B}}^{n}} = \mathbb{B} \times ... \times \mathbb{B}$ (n раз). Определим покомпонентно алгебраические операции сложения, умножения на комплексные числа (а также на элементы банаховой алгебры $\mathbb{B}$) и умножения, мы придем к комплексной банаховой алгебре ${{\mathbb{B}}^{n}}$, если введем норму каким-нибудь подходящим образом.
Обозначим через ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}$ совокупность квадратных (n × n)-матриц ${\mathbf{A}} = ({{{\mathbf{a}}}_{{jk}}}),$ где ${{{\mathbf{a}}}_{{jk}}}$ из $\mathbb{B}$ при $1 \leqslant j$, $k \leqslant n$. Определим естественным образом алгебраические операции сложения, умножения на комплексные числа (а также на элементы банаховой алгебры $\mathbb{B}$) и умножения (по правилу строка на столбец), мы придем к комплексной банаховой алгебре ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}$, если введем норму каким-нибудь подходящим образом. Полагая yj = ${{{\mathbf{a}}}_{{j1}}}{{{\mathbf{x}}}_{1}} + ... + {{{\mathbf{a}}}_{{jn}}}{{{\mathbf{x}}}_{n}}$ при $1 \leqslant j,k \leqslant n,$ мы придем к линейному ограниченному оператору ${\mathbf{A}}{\kern 1pt} :{{\mathbb{B}}^{n}} \to {{\mathbb{B}}^{n}}.$
Матрица Вандермонда. В дальнейшем важную роль играет (n × n)-матрица
(8)
${\mathbf{W}} = {\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{1}}&{\mathbf{1}}& \ldots &{\mathbf{1}} \\ {{{{\mathbf{a}}}_{1}}}&{{{{\mathbf{a}}}_{2}}}& \ldots &{{{{\mathbf{a}}}_{n}}} \\ {{\mathbf{a}}_{1}^{2}}&{{\mathbf{a}}_{2}^{2}}& \ldots &{{\mathbf{a}}_{n}^{2}} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{\mathbf{a}}_{1}^{{n - 1}}}&{{\mathbf{a}}_{2}^{{n - 1}}}& \ldots &{{\mathbf{a}}_{n}^{{n - 1}}} \end{array}} \right),$Матрица Вандермонда ${\mathbf{W}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})$ обратима тогда и только тогда, когда обратима разность ${\mathbf{a}} - {\mathbf{b}}.$ При выполнении этого условия обратная матрица имеет вид
Матрица Вандермонда ${\mathbf{W}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}})$ обратима тогда и только тогда, когда обратимы разности a – b, ${\mathbf{b}} - {\mathbf{c}},$ ${\mathbf{c}} - {\mathbf{a}}$ и обратимы $[{\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}],$ [b, c, a] и $[{\mathbf{c}},a,{\mathbf{b}}],$ где $[{\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}] \equiv ({{{\mathbf{a}}}^{2}} - {{{\mathbf{b}}}^{2}})$ – $({{{\mathbf{b}}}^{2}} - {{{\mathbf{c}}}^{2}}){{({\mathbf{b}} - {\mathbf{c}})}^{{ - 1}}}({\mathbf{a}} - {\mathbf{b}})$ и т.д. При выполнении этих условий обратная матрица имеет вид
Теорема 5. Пусть банахова алгебра $\mathbb{B}$ является коммутативной. Тогда для обратимости матрицы Вандермонда ${\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}})$ необходимо и достаточно, чтобы
Возвращаясь к общему случаю, заметим, что условие (9) заведомо будет выполнено, если элементы ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ спектрально разделены [13], т.е.
Сопровождающая матрица Фробениуса. Поставим в соответствие скалярному характеристическому многочлену ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ матрицу из ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}$ – так называемую сопровождающую матрицу Фробениуса
(11)
${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathbf{0}}&{\mathbf{1}}&{\mathbf{0}}& \ldots &{\mathbf{0}}&{\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}}&{\mathbf{0}}&{\mathbf{1}}& \ldots &{\mathbf{0}}&{\mathbf{0}} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {\mathbf{0}}& \ldots & \ldots & \ldots &{\mathbf{0}}&{\mathbf{1}} \\ { - {{{\mathbf{p}}}_{n}}}& \ldots & \ldots & \ldots &{ - {{{\mathbf{p}}}_{2}}}&{ - {{{\mathbf{p}}}_{1}}} \end{array}} \right).$Теорема 6 (сравни с [14, с. 154]). Спектр S скалярного характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ совпадает со спектром $S({\mathbf{A}})$ сопровождающей матрицы Фробениуса, т.е. $S = S({\mathbf{A}}).$
Основная формула. Пусть ${\mathbf{a}}$ из $\mathbb{B}$ есть корень характеристического уравнения (3). Построим вектор из ${{\mathbb{B}}^{n}},$ положив h(a) = col $({\mathbf{1}},{\mathbf{a}},...,{{{\mathbf{a}}}^{{n - 1}}}).$ Тогда ${\mathbf{Ah}}({\mathbf{a}}) = {\mathbf{ah}}({\mathbf{a}}).$ Мы назовем в этом случае a алгебраическим собственным значением оператора A, а h(a) – алгебраическим собственным вектором. Пусть ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ – попарно различные корни характеристического уравнения (4). Так как Ah(aj) = = ${{{\mathbf{a}}}_{j}}{\mathbf{h}}({{{\mathbf{a}}}_{j}})$ при $1 \leqslant j \leqslant n,$ то AW = ${\mathbf{W}}{\text{diag}}({{{\mathbf{a}}}_{1}}$, ..., an), где ${\mathbf{W}} = {\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}})$ – матрица Вандермонда (8). Предполагая матрицу Вандермонда W обратимой, получаем
(12)
${\mathbf{A}} = {\mathbf{W}}{\text{diag}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}){{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}.$Приложение к дифференциальному уравнению. Одно дифференциальное уравнение n-го порядка (1) равносильно системе $n$ дифференциальных уравнений первого порядка ${{{\mathbf{\dot {x}}}}_{1}} = {{{\mathbf{x}}}_{2}},$ ${{{\mathbf{\dot {x}}}}_{2}} = {{{\mathbf{x}}}_{3}},$ …, ${{{\mathbf{\dot {x}}}}_{{n - 1}}} = {{{\mathbf{x}}}_{n}},$ ${{{\mathbf{\dot {x}}}}_{n}} = - {{{\mathbf{p}}}_{n}}{{{\mathbf{x}}}_{1}}$ – ... – p1xn. Запишем эту систему в векторно-матричном виде ${\mathbf{\dot {x}}} = {\mathbf{Ax}}$ $({\mathbf{x}} \in {{\mathbb{B}}^{n}}).$ Мы видим, что матрица A из ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}}$ в точности совпадает со сопровождающей матрицей Фробениуса (11), что и объясняет ее происхождение. Согласно формуле (12) мы можем написать
(13)
${\mathbf{k}}(t) = \sum\limits_{j = 1}^n \,{{e}^{{t{{{\mathbf{a}}}_{j}}}}}{{{\mathbf{c}}}_{{jn}}},$Теоремы Сильвестра (продолжение) и Виета. Рассмотрим резольвенту $(\lambda {\mathbf{E}}$ – ‒ A)–1 матрицы A при $\lambda $ из $R({\mathbf{A}}),$ где A – это матрица (11) из ${{\mathbb{B}}^{{n \times n}}},$ $R({\mathbf{A}})$ из $\mathbb{C}$ – ее резольвентное множество. Согласно формуле (12) получаем
Поэтому
(14)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{(\lambda {\mathbf{E}} - {\mathbf{A}})}}^{{ - 1}}} = {\mathbf{W}}{\text{diag}}({{{(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{1}})}}^{{ - 1}}},...,{{{(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{n}})}}^{{ - 1}}}){{{\mathbf{W}}}^{{ - 1}}}} \\ {\left( {\lambda \in R = R({\mathbf{A}}) = \bigcap\limits_{j = 1}^n \,R({{{\mathbf{a}}}_{j}})} \right).} \end{array}$Из (14) вытекает
Мы доказали теорему Сильвестра (ср. с [15, с. 441, задача 155]).
Теорема 7. Спектр $S$ скалярного характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}(\lambda )$ совпадает с объединением спектров характеристических корней ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ (при этом напомним, что нами было сделано серьезное предположение о спектральной разделенности ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ (10) и об обратимости матрицы Вандермонда (8) ${\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}})$).
Полагая ${\mathbf{A}} = ({{{\mathbf{a}}}_{{jk}}}),$ где $1 \leqslant j,k \leqslant n,$ из формулы (12) получаем ${{{\mathbf{a}}}_{{jk}}} = \sum\limits_{s = 1}^n \,{\mathbf{a}}_{s}^{j}{{{\mathbf{c}}}_{{sk}}},$ где, напомним, C = = $({{{\mathbf{c}}}_{{jk}}})$ = W–1. Поэтому
(16)
$ - {{{\mathbf{p}}}_{j}} = {{{\mathbf{a}}}_{{n,n + 1 - j}}} = \sum\limits_{s = 1}^n \,{\mathbf{a}}_{s}^{n}{{{\mathbf{c}}}_{{s,n + 1 - j}}}\quad (1 \leqslant j \leqslant n).$Мы выразили коэффициенты характеристического многочлена ${{{\mathbf{l}}}_{n}}({\mathbf{a}})$ через его корни ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}.$ Назовем формулы (16) некоммутативными формулами Виета.
Теорема 8. В условиях теоремы 7 справедливы некоммутативные формулы Виета.
Во многих вопросах оказывается полезной следующая явная формула:
(17)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda ) = \sum\limits_{j = 1}^n \,{{(\lambda - {{{\mathbf{a}}}_{j}})}^{{ - 1}}}{{{\mathbf{c}}}_{{jn}}} \\ \left( {\lambda \in R = R({\mathbf{A}}) = \bigcap\limits_{j = 1}^n \,R({{{\mathbf{a}}}_{j}})} \right). \\ \end{gathered} $Основная теорема. Рассмотрим контурный интеграл
(18)
$\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,f(\lambda ){{{\mathbf{r}}}_{n}}(\lambda )d\lambda ,$Пусть $\mathbb{B}(G)$ – совокупность всех тех x из $\mathbb{B},$ спектр $S({\mathbf{x}})$ которых лежит в $G;$ это множество открыто. Продолжим $f(\lambda )$ с $G$ на $\mathbb{B}(G),$ положив
(19)
$f({\mathbf{x}}) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\partial \sigma } \,f(\lambda ){{(\lambda - {\mathbf{x}})}^{{ - 1}}}d\lambda ,$Согласно формуле (17) находим
Теорема 9. Пусть корни ${{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}}$ спектрально разделены, т.е. выполнено условие (10). Пусть матрица Вандермонда (8) ${\mathbf{W}}({{{\mathbf{a}}}_{1}},...,{{{\mathbf{a}}}_{n}})$ обратима. Тогда справедлива формула
Список литературы
Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 448 с.
Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.
Перов А.И., Коструб И.Д. Об ограниченных решениях слабо нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений $n$-го порядка // Cиб. мат. журн. 2016. Т. 57. № 4. С. 830–849.
Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.
Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 440 с.
Kurbatov V.G., Kurbatova I.V. Computation of Green’s Function of the Bounded Solutions Problem, Comput. Methods Appl. Math. 2017. https://doi.org/10.1515/cmam-2017-0042
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 581 с.
Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение. М.: ИЛ, 1960. 172 с.
Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
Перов А.И., Коструб И.Д. Об одном квадратном уравнении. Scientific Light. Wroclaw. 2019. V. 1. № 26. P. 33–34.
Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.
Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Физматгиз, 1959. 400 с.
Далецкий Ю.Л. Об одном линейном уравнении относительно элементов нормированного кольца // УМН. 1959. Т. 14. Вып. 1(85). С. 165-168.
Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975. 320 с.
Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. 476 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления