Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 86-89
О БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЯХ СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОТОРЫХ ИМЕЮТ БЫСТРО УБЫВАЮЩИЕ ХВОСТЫ
Л. В. Розовский *
Санкт-Петербургский государственный химико-фармацевтический университет Минздрава России
Санкт-Петербург, Россия
* E-mail: L_Rozovsky@mail.ru
Поступила в редакцию 13.01.2020
После доработки 13.01.2020
Принята к публикации 13.02.2020
Аннотация
В работе исследуется асимптотическое поведение на бесконечности распределений и плотностей суммы конечного числа независимых случайных величин в случае, когда плотности или хвосты распределений самих случайных величин убывают быстрее, чем плотности или хвосты гамма-распределения.
В работе исследуется асимптотическое поведение на бесконечности плотностей и распределений суммы конечного числа независимых случайных величин Xj в случае, когда хвосты распределений слагаемых или их плотности убывают достаточно быстро и, в частности, при некотором (или любом) λ > 0 удовлетворяют условию Крамера ${{{\mathbf{E}}}^{{\lambda {{X}_{j}}}}} < \infty $.
Согласно терминологии в [1] такие распределения принадлежат классам регулярно экспоненциально и суперэкспоненциально убывающих распределений. Эти классы, в свою очередь, содержатся в заметно более общем классе распределений с так называемыми тонкими хвостами, причем свойства этого класса хорошо изучены (см., например, публикации [3, 5–8] и библиографию в них).
Заметим, что регулярно экспоненциально убывающие распределения с хвостами вида ${{e}^{{ - \lambda t}}}l(t)$, где функция l(t) правильно меняется на бесконечности, мы здесь не рассматриваем, поскольку формулировки результатов и доказательства в этой ситуации разительно отличаются от содержащихся в настоящей работе.
По интересующей же нас проблематике удалось обнаружить лишь несколько результатов. Основные из них будут приведены ниже.
Предложение 1 [2, теорема 2.5]. Пусть Xj, $j = 1,2,...,n$, – независимые случайные величины с функциями распределения Fj и пусть функция $g(x)$ при x > 0 имеет неубывающую положительную производную и, кроме того, $\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{g(x)}}{x} > 0$. Тогда при всех x > 0
Отметим, что эта относительно несложная оценка достаточно точна при больших x (см. [2, (2.50)–(2.52)]), что также косвенно подтверждается теоремой 2 (и замечанием 1(1)) настоящей работы.
Предложение 2 [3, теорема 5]. Пусть независимые неотрицательные случайные величины X и Y имеют общую функцию распределения F(t).
Предположим, что $\bar {F}(t) = 1 - F(t) \sim a{{e}^{{ - \lambda t + \chi (t)}}}$ при t → ∞, где a > 0, и неотрицательная функция $\chi (t)$ при некотором $\rho \in (0,1)$ удовлетворяет условию $\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } \frac{{t\chi {\text{''}}(t)}}{{\chi {\text{'}}(t)}} = \rho - 1$. Тогда
Следующий результат наиболее близок к содержанию сообщения.
Предложение 3 [4, теорема 1B]. Пусть $\xi = \xi (x) > 0$ – некоторая функция, удовлетворяющая условию $\mathop {lim\,sup}\limits_{x \to \infty } \,{\text{|}}\xi {\text{'}}(x){\text{|}} < \infty .$ Будем предполагать, что плотность $p(x)$ удовлетворяет условию
где функции $g(x)$ и $u(x)$ такие, чтоТогда при любом целом $m \geqslant 1$
Заметим, что в случае $\lambda < \infty $ условия на плотность p(x) можно равносильно переформулировать в более естественной форме:
где $\mathop {lim\,inf}\limits_{x \to \infty } \,\frac{{g(x)}}{x} = 0$ (остальные условия не меняются).Приступим к изложению полученных результатов. Введем обозначения.
В дальнейшем Xj, $j = 1,2, \ldots $, обозначают независимые величины с функциями распределения ${{F}_{j}}( \cdot )$; ${{\bar {F}}_{j}}( \cdot ) = 1 - {{F}_{j}}( \cdot )$.
Начнем с обобщения предложения 3, поскольку формулировки в этом случае, как нам кажется, выглядят несколько проще.
Будем предполагать, что функции распределения ${{F}_{j}}(x)$, по крайней мере, при всех достаточно больших значениях аргумента имеют плотности ${{p}_{j}}(x)\left( {\frac{{}}{{}}} \right.$т.е. ${{F}_{j}}(x) - {{F}_{j}}({{x}_{0}})$ = $\int\limits_{{{x}_{0}}}^x \,{{p}_{j}}(y)dy$, $\left. {\frac{{}}{{}}x > {{x}_{0}}} \right)$, такие что
где функции ${{u}_{j}}(x)$ и ${{g}_{j}}(x) > 0$ удовлетворяют условиям и(3)
$\begin{gathered} g_{j}^{{''}}(x + o({{\xi }_{j}})) \sim g_{j}^{{''}}(x), \\ \xi _{j}^{2}g_{j}^{{''}}(x) \to + \infty ,\quad x \to \infty , \\ \end{gathered} $(4)
${\text{|}}{{\xi }_{j}}(x) - {{\xi }_{j}}(y){\text{|}} \leqslant L{\text{|}}x - y{\text{|}},\quad x,y \geqslant {{x}_{0}}.$Согласно (4) функция ${{\xi }_{j}}(x)$ абсолютно непрерывна и ${{\xi }_{j}}(x) = O(x)$ при x → ∞. Кроме того (см. [4, лемма 4]),
Также можно показать, что скорость стремления к нулю правой части соотношения (1) определяется экспонентой.
Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m$ распределения ${{F}_{j}}(x)$ имеют плотности ${{p}_{j}}(x)$, причем для $2 \leqslant j \leqslant m$ при всех достаточно больших x.
Отсюда, в частности, следует, что распределение суммы ${{X}_{1}} + \cdots + {{X}_{m}}$ при $m \geqslant 2$ имеет плотность
${{f}_{m}}(x) = \int\limits_{ - \infty }^\infty \,{{p}_{1}}(x - y)d{\mathbf{P}}({{X}_{2}} + \cdots + {{X}_{m}} < y)$.
Теорема 1. Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m$ выполнены условия (1)–(4) и, кроме того,
Тогда
(6)
${{f}_{m}}(x) \sim \frac{{{{{(2\pi )}}^{{(m - 1)/2}}}}}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^m \,\prod\limits_{j = 1,j \ne i}^m \,g_{j}^{{''}}({{y}_{j}})} }}\prod\limits_{j = 1}^m \,{{p}_{j}}({{y}_{j}}),\quad x \to \infty ,$Теорема 1 доказывается в два этапа: сначала убеждаемся в ее справедливости при m = 2, а затем окончательный результат проверяем по индукции (доказательства следующих ниже теорем 2–4 осуществляются аналогично).
В некоторых случаях уравнения (7) удается разрешить в явном виде.
Замечание 1. Пусть ${{b}_{j}} > 0,\,\,{{c}_{j}}$ – некоторые постоянные, $1 \leqslant j \leqslant m$.
1) если ${{g}_{j}}(x) = {{b}_{j}}g\left( {\frac{{x + {{c}_{j}}}}{{{{b}_{j}}}}} \right)$, то
${{y}_{j}} = {{b}_{j}}\frac{{(x + C)}}{B}$ – cj, где $B = \sum\limits_{i = 1}^m \,{{b}_{j}}$, $C = \sum\limits_{i = 1}^m \,{{c}_{j}}$;
2) если ${{g}_{j}}(x) = {{b}_{j}}{{(x + {{c}_{j}})}^{{1 + \alpha }}}$ ($\alpha > 0$) или же ${{g}_{j}}(x) = \lambda x - {{b}_{j}}{{(x + {{c}_{j}})}^{{1 + \alpha }}}$ ($\lambda > 0$ и $\alpha \in ( - 1,0)$), то
yj = $\frac{{(x + C)b_{j}^{{ - 1/\alpha }}}}{{{{B}_{m}}}}$ – cj, где ${{B}_{m}} = \sum\limits_{j = 1}^m \,b_{j}^{{ - 1/\alpha }}$.
Принимая во внимание замечание 1 (1), видим, что предложение 3 является частным случаем теоремы 1.
Теперь сформулируем аналог теоремы 1 для распределений.
Теорема 2. Предположим, что при $1 \leqslant j \leqslant m$
где функции ${{u}_{j}}(x),{{g}_{j}}(x)$ удовлетворяют условиям (2)–(5), и, кроме того, при $2 \leqslant j \leqslant m$Тогда
Необременительное условие (9) выражает факт, что скорость стремления к нулю правой части соотношения (8) определяется экспонентой.
Заметим, что (9) выполнено, если функция ${{u}_{j}}(x)$ правильно меняется на бесконечности, а также то, что при $\lambda < \infty $ (см. (1.5)) в правой части асимптотики ${{g}_{m}}({{y}_{m}})$ можно заменить на $\lambda $ (а в условии (1.9) убрать множитель $g_{j}^{'}(x)$).
Отметим, что асимптотики больших уклонений в предложении 1 и теореме 2 могут быть существенно точнее оценок, полученных другими методами, скажем, с помощью экспоненциальных неравенств (см. [2, теоремы 1.1–1.3]).
Приведем одно следствие теоремы 2, которое позволяет при m = 2 в некоторых ситуациях заменять точное решение уравнений (7) приближенным.
Положим $\tau (y) = {{g}_{1}}(x - y) + {{g}_{2}}(y)$, $0 < y < x$.
Следствие 1. Пусть при j = 1 и 2 выполнены условия (8), (2)–(4), а также условия (5) с m = 2 и (9) с j = 2. Предположим, что положительная функция $y = y(x)$ при $x \to \infty $ и некотором ${{x}_{0}} > 0$ удовлетворяет условиям
(10)
$\begin{gathered} y,x - y \to \infty , \\ \tau {\text{'}}(y) = o\left( {\mathop {min}\limits_{{{x}_{0}} < u < x - {{x}_{0}}} \tau {\text{''}}(u) \cdot min({{\xi }_{2}}(y),{{\xi }_{1}}(x - y))} \right) \\ \end{gathered} $Тогда
Из следствия 1 при $y = \frac{x}{2}$ вытекает предложение 3, а также еще один результат работы [3], а именно, следствие 4 (заметим, что в формулировке [3, следствие 4] пропущен множитель, зависящий от $k$).
Приведем еще одно следствие теоремы 2 и замечания 1.
Следствие 2. Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m$ выполнено условие (8), в котором ${{g}_{j}}(x) = {{b}_{j}}{{x}^{{1 + \alpha }}}$, ${{b}_{j}} > 0$, $\alpha > 0$, а функция ${{u}_{j}}(x)$ правильно меняется на бесконечности с некоторым показателем ${{\alpha }_{j}}$. Тогда при $x \to \infty $
При α = 1 отсюда следует ожидаемый результат ($x \to \infty $):
Рассмотрим еще один пример. Пусть теперь при $1 \leqslant j \leqslant m$
где aj – некоторые постоянные. Положим A = $\sum\limits_{j = 1}^m \,{{a}_{j}}$.Тогда
Далее приведем утверждения, дополняющие теоремы 1 и 2 в случае, когда $\lambda < \infty $ (см. (5)).
Ниже предполагается, что целое $n \geqslant 1$ и параметр $\tilde {\lambda } \in (\lambda ,\infty )$.
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1 и, кроме того, при $m < j \leqslant m + n$ функции распределения ${{F}_{j}}(x)$ при всех достаточно больших $x$ имеют плотности ${{p}_{j}}(x)$, которые удовлетворяют условию
(11)
$\mathop {lim\,sup}\limits_{x \to \infty } \,{{e}^{{\tilde {\lambda }x}}}{{p}_{j}}(x) < \infty .$Заметим, что из условия (11) (более слабого, чем (1)) следует, что ${\mathbf{E}}{{e}^{{\lambda {{X}_{j}}}}} < \infty $.
Комбинируя теоремы 1 и 3, получим следующий результат.
Следствие 3. Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m + n$ выполнены условия (1)–(4), причем
(12)
${{\lambda }_{1}} = \cdots = {{\lambda }_{m}} = \lambda < \mathop {min}\limits_{m < j \leqslant m + n} {{\lambda }_{j}}.$Тогда имеют место соотношения (6) и
Видим, что теорема 1 вытекает из следствия 3 при n = 0. Другими словами, следствие 3 (в отличие от теоремы 1) позволяет находить асимптотику для ${{f}_{m}}(x)$ при любых ${{\lambda }_{j}}$.
В заключение приведем утверждение, аналогичное теореме 3, для распределений.
Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 2 и, кроме того,
Тогда
Следствие 4. Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m + n$ выполнены условия (8), (2)–(4), а также (12) и (9), $2 \leqslant j \leqslant m$. Тогда (см. (7))
Список литературы
Боровков А.А. Асимптотический анализ случайных блужданий. Быстро убывающие распределения приращений. М.: Физматлит, 2013. 448 с.
Nagaev S.V. // Ann. Probab. 1979. V. 7. № 5. P. 745–789.
Cline D.B.H. // Probability Theory and Related Fields. 1986. V. 72. № 4. P. 529–557.
Розовский Л.В. // Теория вероятн. и ее примен. 2003. Т. 48. № 1. С. 78–103.
Pakes A.G. // J. Appl. Prob. 2004. V. 41. P. 407–424.
Захари С., Фосс С.Г. // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47. № 6. P. 1265–1274.
Фосс С.Г. // Пробл. передачи информ. 2007. Т. 43. № 4. С. 93–108.
Watanabe T. // Probab. Theory Relat. Fields. 2008. V. 142. P. 367–397.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления