Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 86-89

О БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЯХ СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОТОРЫХ ИМЕЮТ БЫСТРО УБЫВАЮЩИЕ ХВОСТЫ

Л. В. Розовский *

Санкт-Петербургский государственный химико-фармацевтический университет Минздрава России
Санкт-Петербург, Россия

* E-mail: L_Rozovsky@mail.ru

Поступила в редакцию 13.01.2020
После доработки 13.01.2020
Принята к публикации 13.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе исследуется асимптотическое поведение на бесконечности распределений и плотностей суммы конечного числа независимых случайных величин в случае, когда плотности или хвосты распределений самих случайных величин убывают быстрее, чем плотности или хвосты гамма-распределения.

Ключевые слова: независимые случайные величины, большие уклонения, быстро убывающие хвосты 

В работе исследуется асимптотическое поведение на бесконечности плотностей и распределений суммы конечного числа независимых случайных величин Xj в случае, когда хвосты распределений слагаемых или их плотности убывают достаточно быстро и, в частности, при некотором (или любом) λ > 0 удовлетворяют условию Крамера ${{{\mathbf{E}}}^{{\lambda {{X}_{j}}}}} < \infty $.

Согласно терминологии в [1] такие распределения принадлежат классам регулярно экспоненциально и суперэкспоненциально убывающих распределений. Эти классы, в свою очередь, содержатся в заметно более общем классе распределений с так называемыми тонкими хвостами, причем свойства этого класса хорошо изучены (см., например, публикации [3, 58] и библиографию в них).

Заметим, что регулярно экспоненциально убывающие распределения с хвостами вида ${{e}^{{ - \lambda t}}}l(t)$, где функция l(t) правильно меняется на бесконечности, мы здесь не рассматриваем, поскольку формулировки результатов и доказательства в этой ситуации разительно отличаются от содержащихся в настоящей работе.

По интересующей же нас проблематике удалось обнаружить лишь несколько результатов. Основные из них будут приведены ниже.

Предложение 1 [2, теорема 2.5]. Пусть Xj, $j = 1,2,...,n$, – независимые случайные величины с функциями распределения Fj и пусть функция $g(x)$ при x > 0 имеет неубывающую положительную производную и, кроме того, $\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{g(x)}}{x} > 0$. Тогда при всех x > 0

$\begin{gathered} {\mathbf{P}}({{X}_{1}} + \cdots + {{X}_{n}} \geqslant x) \leqslant \\ \, \leqslant \prod\limits_{j = 1}^n \,\left( {{{b}_{j}}\left( {\frac{x}{b}} \right) + {{b}_{{gj}}}} \right)\exp \left\{ { - ng\left( {\frac{x}{n}} \right)} \right\}, \\ \end{gathered} $
где

${{b}_{{gj}}} = \int\limits_{0 + }^\infty \,{{e}^{{g(u)}}}{{F}_{j}}(du),\quad {{b}_{j}}(x) = {{e}^{{g(0)}}}\int\limits_{u < 0} \,{{e}^{{g'(x)u}}}{{F}_{j}}(du).$

Отметим, что эта относительно несложная оценка достаточно точна при больших x (см. [2, (2.50)–(2.52)]), что также косвенно подтверждается теоремой 2 (и замечанием 1(1)) настоящей работы.

Предложение 2 [3, теорема 5]. Пусть независимые неотрицательные случайные величины X и Y имеют общую функцию распределения F(t).

Предположим, что $\bar {F}(t) = 1 - F(t) \sim a{{e}^{{ - \lambda t + \chi (t)}}}$ при t → ∞, где a > 0, и неотрицательная функция $\chi (t)$ при некотором $\rho \in (0,1)$ удовлетворяет условию $\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } \frac{{t\chi {\text{''}}(t)}}{{\chi {\text{'}}(t)}} = \rho - 1$. Тогда

${\mathbf{P}}(X + Y \geqslant t) \sim \frac{\lambda }{2}\sqrt {\frac{\pi }{{\rho (1 - \rho )}}} \frac{t}{{{{\chi }^{{1/2}}}(t{\text{/}}2)}}{{\bar {F}}^{2}}(t{\text{/}}2),\quad t \to \infty .$

Следующий результат наиболее близок к содержанию сообщения.

Предложение 3 [4, теорема 1B]. Пусть $\xi = \xi (x) > 0$некоторая функция, удовлетворяющая условию $\mathop {lim\,sup}\limits_{x \to \infty } \,{\text{|}}\xi {\text{'}}(x){\text{|}} < \infty .$ Будем предполагать, что плотность $p(x)$ удовлетворяет условию

$p(x) \sim u(x){{e}^{{ - g(x)}}},\quad x \to \infty ,$
где функции $g(x)$ и $u(x)$ такие, что

$\begin{gathered} \mathop {lim\,sup}\limits_{x \to \infty } \,\frac{{g(x)}}{x} = \lambda > 0,\quad {{\xi }^{2}}g{\text{''}}(x) \to \infty , \\ g{\text{''}}(x + o(\xi )) \sim g{\text{''}}(x), \\ u(x + o(\xi )) \sim u(x),\quad x \to \infty . \\ \end{gathered} $

Тогда при любом целом $m \geqslant 1$

$p{{{\text{*}}}^{m}}(mx) \sim \frac{1}{{\sqrt m }}\mathop {\left( {\frac{{2\pi }}{{g{\text{''}}(x)}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{{m - 1}}{2}} {{p}^{m}}(x),\quad x \to \infty .$

Заметим, что в случае $\lambda < \infty $ условия на плотность p(x) можно равносильно переформулировать в более естественной форме:

$p(x) \sim u(x){{e}^{{ - \lambda x - g(x)}}},\quad x \to \infty ,$
где $\mathop {lim\,inf}\limits_{x \to \infty } \,\frac{{g(x)}}{x} = 0$ (остальные условия не меняются).

Приступим к изложению полученных результатов. Введем обозначения.

В дальнейшем Xj, $j = 1,2, \ldots $, обозначают независимые величины с функциями распределения ${{F}_{j}}( \cdot )$; ${{\bar {F}}_{j}}( \cdot ) = 1 - {{F}_{j}}( \cdot )$.

Начнем с обобщения предложения 3, поскольку формулировки в этом случае, как нам кажется, выглядят несколько проще.

Будем предполагать, что функции распределения ${{F}_{j}}(x)$, по крайней мере, при всех достаточно больших значениях аргумента имеют плотности ${{p}_{j}}(x)\left( {\frac{{}}{{}}} \right.$т.е. ${{F}_{j}}(x) - {{F}_{j}}({{x}_{0}})$ = $\int\limits_{{{x}_{0}}}^x \,{{p}_{j}}(y)dy$, $\left. {\frac{{}}{{}}x > {{x}_{0}}} \right)$, такие что

(1)
${{p}_{j}}(x) \sim {{u}_{j}}(x){{e}^{{ - {{g}_{j}}(x)}}},\quad x \to \infty ,$
где функции ${{u}_{j}}(x)$ и ${{g}_{j}}(x) > 0$ удовлетворяют условиям
(2)
${{u}_{j}}(x + o({{\xi }_{j}})) \sim {{u}_{j}}(x),\quad x \to \infty ,$
и
(3)
$\begin{gathered} g_{j}^{{''}}(x + o({{\xi }_{j}})) \sim g_{j}^{{''}}(x), \\ \xi _{j}^{2}g_{j}^{{''}}(x) \to + \infty ,\quad x \to \infty , \\ \end{gathered} $
при некоторой липшицевской функции ξj = ${{\xi }_{j}}(x)$ > > 0, т.е.

(4)
${\text{|}}{{\xi }_{j}}(x) - {{\xi }_{j}}(y){\text{|}} \leqslant L{\text{|}}x - y{\text{|}},\quad x,y \geqslant {{x}_{0}}.$

Согласно (4) функция ${{\xi }_{j}}(x)$ абсолютно непрерывна и ${{\xi }_{j}}(x) = O(x)$ при x → ∞. Кроме того (см. [4, лемма 4]),

$\begin{gathered} \frac{{{{g}_{j}}(x)}}{x} \uparrow {{\lambda }_{j}}, \\ g_{j}^{'}(x) \uparrow {{\lambda }_{j}}\;\;{\text{при}}\;{\text{некоторых}}\;\;{{\lambda }_{j}} \in (0,\infty ]. \\ \end{gathered} $

Также можно показать, что скорость стремления к нулю правой части соотношения (1) определяется экспонентой.

Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m$ распределения ${{F}_{j}}(x)$ имеют плотности ${{p}_{j}}(x)$, причем для $2 \leqslant j \leqslant m$ при всех достаточно больших x.

Отсюда, в частности, следует, что распределение суммы ${{X}_{1}} + \cdots + {{X}_{m}}$ при $m \geqslant 2$ имеет плотность

${{f}_{m}}(x) = \int\limits_{ - \infty }^\infty \,{{p}_{1}}(x - y)d{\mathbf{P}}({{X}_{2}} + \cdots + {{X}_{m}} < y)$.

Теорема 1. Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m$ выполнены условия (1)–(4) и, кроме того,

(5)
${{\lambda }_{1}} = \cdots = {{\lambda }_{m}} = \lambda \leqslant \infty .$

Тогда

(6)
${{f}_{m}}(x) \sim \frac{{{{{(2\pi )}}^{{(m - 1)/2}}}}}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^m \,\prod\limits_{j = 1,j \ne i}^m \,g_{j}^{{''}}({{y}_{j}})} }}\prod\limits_{j = 1}^m \,{{p}_{j}}({{y}_{j}}),\quad x \to \infty ,$
где функции ${{y}_{j}} = {{y}_{j}}(x)$, $1 \leqslant j \leqslant m$, при всех достаточно больших x удовлетворяют системе уравнений
(7)
$g_{1}^{'}({{y}_{1}}) = \cdots = g_{m}^{'}({{y}_{m}}),$
в которой ${{y}_{1}} + \cdots + {{y}_{m}} = x$ ($g_{j}^{'}(y) = ({{g}_{j}}(y))_{y}^{'}$).

Теорема 1 доказывается в два этапа: сначала убеждаемся в ее справедливости при m = 2, а затем окончательный результат проверяем по индукции (доказательства следующих ниже теорем 2–4 осуществляются аналогично).

В некоторых случаях уравнения (7) удается разрешить в явном виде.

Замечание 1. Пусть ${{b}_{j}} > 0,\,\,{{c}_{j}}$ – некоторые постоянные, $1 \leqslant j \leqslant m$.

1) если ${{g}_{j}}(x) = {{b}_{j}}g\left( {\frac{{x + {{c}_{j}}}}{{{{b}_{j}}}}} \right)$, то

${{y}_{j}} = {{b}_{j}}\frac{{(x + C)}}{B}$cj, где $B = \sum\limits_{i = 1}^m \,{{b}_{j}}$, $C = \sum\limits_{i = 1}^m \,{{c}_{j}}$;

2) если ${{g}_{j}}(x) = {{b}_{j}}{{(x + {{c}_{j}})}^{{1 + \alpha }}}$ ($\alpha > 0$) или же ${{g}_{j}}(x) = \lambda x - {{b}_{j}}{{(x + {{c}_{j}})}^{{1 + \alpha }}}$ ($\lambda > 0$ и $\alpha \in ( - 1,0)$), то

yj$\frac{{(x + C)b_{j}^{{ - 1/\alpha }}}}{{{{B}_{m}}}}$cj, где ${{B}_{m}} = \sum\limits_{j = 1}^m \,b_{j}^{{ - 1/\alpha }}$.

Принимая во внимание замечание 1 (1), видим, что предложение 3 является частным случаем теоремы 1.

Теперь сформулируем аналог теоремы 1 для распределений.

Теорема 2. Предположим, что при $1 \leqslant j \leqslant m$

(8)
${{\bar {F}}_{j}}(x) \sim {{u}_{j}}(x){{e}^{{ - {{g}_{j}}(x)}}},\quad x \to \infty ,$
где функции ${{u}_{j}}(x),{{g}_{j}}(x)$ удовлетворяют условиям (2)–(5), и, кроме того, при $2 \leqslant j \leqslant m$

(9)
$u_{j}^{'}(x) = o({{u}_{j}}(x)g_{j}^{'}(x)),\quad x \to \infty .$

Тогда

$\begin{gathered} {{Q}_{m}}(x) = {\mathbf{P}}({{X}_{1}} + \cdots + {{X}_{m}} \geqslant x) \sim \\ \,\sim \frac{{{{{({{g}_{m}}({{y}_{m}})\sqrt {2\pi } )}}^{{m - 1}}}}}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^m \,\prod\limits_{j = 1,j \ne i}^m \,g_{j}^{{''}}({{y}_{j}})} }}\prod\limits_{j = 1}^m \,{{{\bar {F}}}_{j}}({{y}_{j}}),\quad x \to \infty , \\ \end{gathered} $
где ${{y}_{j}}$решения системы уравнений (7).

Необременительное условие (9) выражает факт, что скорость стремления к нулю правой части соотношения (8) определяется экспонентой.

Заметим, что (9) выполнено, если функция ${{u}_{j}}(x)$ правильно меняется на бесконечности, а также то, что при $\lambda < \infty $ (см. (1.5)) в правой части асимптотики ${{g}_{m}}({{y}_{m}})$ можно заменить на $\lambda $ (а в условии (1.9) убрать множитель $g_{j}^{'}(x)$).

Отметим, что асимптотики больших уклонений в предложении 1 и теореме 2 могут быть существенно точнее оценок, полученных другими методами, скажем, с помощью экспоненциальных неравенств (см. [2, теоремы 1.1–1.3]).

Приведем одно следствие теоремы 2, которое позволяет при m = 2 в некоторых ситуациях заменять точное решение уравнений (7) приближенным.

Положим $\tau (y) = {{g}_{1}}(x - y) + {{g}_{2}}(y)$, $0 < y < x$.

Следствие 1. Пусть при j = 1 и 2 выполнены условия (8), (2)–(4), а также условия (5) с m = 2 и (9) с j = 2. Предположим, что положительная функция $y = y(x)$ при $x \to \infty $ и некотором ${{x}_{0}} > 0$ удовлетворяет условиям

(10)
$\begin{gathered} y,x - y \to \infty , \\ \tau {\text{'}}(y) = o\left( {\mathop {min}\limits_{{{x}_{0}} < u < x - {{x}_{0}}} \tau {\text{''}}(u) \cdot min({{\xi }_{2}}(y),{{\xi }_{1}}(x - y))} \right) \\ \end{gathered} $
и, кроме того, $\frac{{\mathop \tau \nolimits^{'2} (y)}}{{\tau {\text{''}}(y)}} \to k \in [0,\infty ).$

Тогда

$\begin{gathered} {\mathbf{P}}({{X}_{1}} + {{X}_{2}} \geqslant x) \sim \\ \,\sim {{{\bar {F}}}_{1}}(x - y){{{\bar {F}}}_{2}}(y){{e}^{{k/2}}}g_{2}^{'}(y)\sqrt {\frac{{2\pi }}{{\tau {\text{''}}(y)}}} ,\quad x \to \infty . \\ \end{gathered} $

Из следствия 1 при $y = \frac{x}{2}$ вытекает предложение 3, а также еще один результат работы [3], а именно, следствие 4 (заметим, что в формулировке [3, следствие 4] пропущен множитель, зависящий от $k$).

Приведем еще одно следствие теоремы 2 и замечания 1.

Следствие 2. Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m$ выполнено условие (8), в котором ${{g}_{j}}(x) = {{b}_{j}}{{x}^{{1 + \alpha }}}$, ${{b}_{j}} > 0$, $\alpha > 0$, а функция ${{u}_{j}}(x)$ правильно меняется на бесконечности с некоторым показателем ${{\alpha }_{j}}$. Тогда при $x \to \infty $

$\begin{gathered} {{Q}_{m}}(x) \sim {{B}^{{ - 1/2}}}\mathop {\left( {\frac{{2\pi (1 + \alpha )}}{\alpha }} \right)}\nolimits^{\tfrac{{m - 1}}{2}} \mathop {\left( {\frac{x}{B}} \right)}\nolimits^A \times \\ \, \times {{e}^{{ - {{B}^{{ - a}}}{{x}^{{1 + \alpha }}}}}}\prod\limits_{j = 1}^m \,b_{j}^{{ - (1 + 2{{\alpha }_{j}})/(2\alpha )}}{{u}_{j}}(x){{x}^{{ - {{\alpha }_{j}}}}}, \\ \end{gathered} $
где $B = \sum\limits_{j = 1}^m \,b_{j}^{{ - 1/\alpha }}$, $A = \sum\limits_{j = 1}^m \,{{\alpha }_{j}} + \frac{{(1 + \alpha )(m - 1)}}{2}$.

При α = 1 отсюда следует ожидаемый результат ($x \to \infty $):

$\begin{gathered} {{{\bar {F}}}_{j}}(x) \sim 1 - \Phi \left( {\frac{x}{{{{\sigma }_{j}}}}} \right) \Rightarrow \\ \, \Rightarrow {\mathbf{P}}({{X}_{1}} + \cdots + {{X}_{m}} \geqslant x) \sim 1 - \Phi \left( {\frac{x}{\sigma }} \right), \\ \end{gathered} $
где Φ(x) – стандартное гауссовское распределение, ${{\sigma }^{2}} = \sum\limits_{j = 1}^m \,\sigma _{j}^{2}$.

Рассмотрим еще один пример. Пусть теперь при $1 \leqslant j \leqslant m$

${{\bar {F}}_{j}}(x) \sim exp({{a}_{j}}x - {{e}^{x}}),\quad x \to \infty ,$
где aj – некоторые постоянные. Положим A = $\sum\limits_{j = 1}^m \,{{a}_{j}}$.

Тогда

$\begin{gathered} {\mathbf{P}}({{X}_{1}} + \cdots + {{X}_{m}} \geqslant mx) \sim \\ \,\sim \frac{{{{{(2\pi {{e}^{x}})}}^{{(m - 1)/2}}}}}{{\sqrt m }}\exp \{ Ax + m(x - {{e}^{x}})\} ,\quad x \to \infty . \\ \end{gathered} $

Далее приведем утверждения, дополняющие теоремы 1 и 2 в случае, когда $\lambda < \infty $ (см. (5)).

Ниже предполагается, что целое $n \geqslant 1$ и параметр $\tilde {\lambda } \in (\lambda ,\infty )$.

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1 и, кроме того, при $m < j \leqslant m + n$ функции распределения ${{F}_{j}}(x)$ при всех достаточно больших $x$ имеют плотности ${{p}_{j}}(x)$, которые удовлетворяют условию

(11)
$\mathop {lim\,sup}\limits_{x \to \infty } \,{{e}^{{\tilde {\lambda }x}}}{{p}_{j}}(x) < \infty .$
Тогда

$\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{{{f}_{{m + n}}}(x)}}{{{{f}_{n}}(x)}} = \prod\limits_{j = m + 1}^{m + n} \,{\mathbf{E}}{{e}^{{\lambda {{X}_{j}}}}}.$

Заметим, что из условия (11) (более слабого, чем (1)) следует, что ${\mathbf{E}}{{e}^{{\lambda {{X}_{j}}}}} < \infty $.

Комбинируя теоремы 1 и 3, получим следующий результат.

Следствие 3. Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m + n$ выполнены условия (1)–(4), причем

(12)
${{\lambda }_{1}} = \cdots = {{\lambda }_{m}} = \lambda < \mathop {min}\limits_{m < j \leqslant m + n} {{\lambda }_{j}}.$

Тогда имеют место соотношения (6) и

${{f}_{{m + n}}}(x) \sim {{f}_{m}}(x)\prod\limits_{j = m + 1}^{m + n} \,{\mathbf{E}}{{e}^{{\lambda {{X}_{j}}}}},\quad x \to \infty .$

Видим, что теорема 1 вытекает из следствия 3 при n = 0. Другими словами, следствие 3 (в отличие от теоремы 1) позволяет находить асимптотику для ${{f}_{m}}(x)$ при любых ${{\lambda }_{j}}$.

В заключение приведем утверждение, аналогичное теореме 3, для распределений.

Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 2 и, кроме того,

${\mathbf{E}}{{e}^{{\tilde {\lambda }{{X}_{j}}}}} < \infty $ при $m < j \leqslant m + n$.

Тогда

$\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{{{Q}_{{m + n}}}(x)}}{{{{Q}_{n}}(x)}} = \prod\limits_{j = m + 1}^{m + n} \,{\mathbf{E}}{{e}^{{\lambda {{X}_{j}}}}}.$

Следствие 4. Пусть при $1 \leqslant j \leqslant m + n$ выполнены условия (8), (2)–(4), а также (12) и (9), $2 \leqslant j \leqslant m$. Тогда (см. (7))

$\begin{gathered} {{Q}_{{m + n}}}(x) \sim \frac{{{{{(\lambda \sqrt {2\pi } )}}^{{m - 1}}}}}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^m \,\prod\limits_{j = 1,j \ne i}^m \,g_{j}^{{''}}({{y}_{j}})} }} \times \\ \, \times \prod\limits_{j = 1}^m \,{{{\bar {F}}}_{j}}({{y}_{j}})\prod\limits_{j = m + 1}^{m + n} \,{\mathbf{E}}{{e}^{{\lambda {{X}_{j}}}}},\quad x \to \infty . \\ \end{gathered} $

Список литературы

  1. Боровков А.А. Асимптотический анализ случайных блужданий. Быстро убывающие распределения приращений. М.: Физматлит, 2013. 448 с.

  2. Nagaev S.V. // Ann. Probab. 1979. V. 7. № 5. P. 745–789.

  3. Cline D.B.H. // Probability Theory and Related Fields. 1986. V. 72. № 4. P. 529–557.

  4. Розовский Л.В. // Теория вероятн. и ее примен. 2003. Т. 48. № 1. С. 78–103.

  5. Pakes A.G. // J. Appl. Prob. 2004. V. 41. P. 407–424.

  6. Захари С., Фосс С.Г. // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47. № 6. P. 1265–1274.

  7. Фосс С.Г. // Пробл. передачи информ. 2007. Т. 43. № 4. С. 93–108.

  8. Watanabe T. // Probab. Theory Relat. Fields. 2008. V. 142. P. 367–397.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления