1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 491, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 44-46

О ГЛОБАЛЬНЫХ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Н. В. Зайцева 1, *

1 Казанский (Приволжский) федеральный университет
Казань, Россия

* E-mail: n.v.zaiceva@yandex.ru

Поступила в редакцию 06.01.2020
После доработки 06.01.2020
Принята к публикации 14.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для двумерного гиперболического уравнения с дифференциально-разностным оператором, действующим по пространственной переменной, построено однопараметрическое семейство глобальных решений. Доказано, что полученные решения являются классическими при всех значениях вещественного параметра, если вещественная часть символа разностного оператора, входящего в уравнение, положительна. Приведены классы уравнений, для которых указанное условие выполнено.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, дифференциально-разностное уравнение, классическое решение, преобразование Фурье

Интерес к дифференциально-разностным (и, более широко, функционально-дифференциальным) уравнениям обусловлен наличием задач, возникающих в различных приложениях, для описания которых недостаточно классических моделей математической физики, оперирующих только дифференциальными уравнениями (см., например, [1–4] и имеющуюся там библиографию). Для эллиптических дифференциально-разностных уравнений задачи в ограниченных областях изучены к настоящему времени достаточно глубоко и полно (см. там же). В неограниченных областях исследованы задачи для параболических [5] и эллиптических [6–10] дифференциально-разностных уравнений. Гиперболические дифференциально-разностные уравнения изучены для случая, когда операторы сдвига, содержащиеся в уравнении, действуют по переменной $t$ (см. [11, 12]).

В настоящей работе исследуются гиперболические дифференциально-разностные уравнения с операторами сдвига, действующими по пространственным переменным.

В полуплоскости ${{\mathbb{R}}^{1}} \times (0, + \infty )$ рассматривается уравнение

(1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}}(x,t) = {{a}_{1}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}(x - {{h}_{1}},t) + {{a}_{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}(x - {{h}_{2}},t),$
где ${{a}_{j}}$, ${{h}_{j}}$ ($j = 1,2$) – заданные вещественные числа, причем ${{h}_{1}}$ и ${{h}_{2}}$ не связаны никакими условиями соизмеримости.

Поскольку операторы сдвига, подобно дифференциальным операторам, являются мультипликаторами Фурье, для поиска решений уравнения (1) можно использовать классическую операционную схему Гельфанда–Шилова (см., например, [13]). Вообще говоря, указанная схема приводит к решениям в смысле обобщенных функций, однако в данном случае удается показать, что найденные решения являются классическими (гладкими), т.е. являются функциями, у которых все производные, входящие в уравнение (указанные производные понимаются в классическом смысле, т.е. как пределы соответствующих отношений конечных разностей), существуют в каждой точке полуплоскости ${{\mathbb{R}}^{1}} \times (0, + \infty )$ и уравнение (1) выполняется для них в каждой точке этой полуплоскости.

Применив схему Гельфанда–Шилова, приходим к выводу, что гладкие решения уравнения (1) следует искать в виде

(2)
$\begin{gathered} G(x,t;\xi ) = {\text{sin}}\left( {\rho (\xi )\xi t{\text{cos}}\theta (\xi ) + \theta (\xi ) + \xi x} \right){{e}^{{\rho (\xi )\xi tsin\theta (\xi )}}} + \\ \, + sin\left( {\rho (\xi )\xi tcos\theta (\xi ) - \theta (\xi ) - \xi x} \right){{e}^{{ - \rho (\xi )\xi tsin\theta (\xi )}}}, \\ \end{gathered} $
где

(3)
$\rho (\xi ) = \mathop {\left( {a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2{{a}_{1}}{{a}_{2}}cos({{h}_{1}} - {{h}_{2}})\xi } \right)}\nolimits^{1/4} ,$
(4)
$\theta (\xi ) = \frac{1}{2}{\text{arctg}}\frac{{{{a}_{1}}sin{{h}_{1}}\xi + {{a}_{2}}sin{{h}_{2}}\xi }}{{{{a}_{1}}cos{{h}_{1}}\xi + {{a}_{2}}cos{{h}_{2}}\xi }}.$

Отметим, что функция (3) определена корректно при всех вещественных значениях параметров ${{a}_{j}}$, ${{h}_{j}}$ ($j = 1,2$) и $\xi $.

Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение.

Теорема. Функция $G(x,t;\xi ),$ определенная формулой (2), удовлетворяет уравнению (1) при любом вещественном значении параметра $\xi ,$ для которого выполнено неравенство

(5)
${{a}_{1}}cos{{h}_{1}}\xi + {{a}_{2}}cos{{h}_{2}}\xi > 0.$

Если усилить условие теоремы, потребовав выполнения содержащегося в нем неравенства на всей вещественной оси, то получаем следующее утверждение.

Следствие. Если неравенство (5) выполняется для любого вещественного $\xi ,$ то функция G(x, $t;\xi ),$ определенная формулой (2), удовлетворяет уравнению (1) при любом вещественном значении параметра $\xi $.

Отметим, что, если неравенство (5) выполнено, то знаменатель в аргументе арктангенса в формуле (4) не обращается в ноль, а, значит, в условиях теоремы и следствия любое решение, представляемое формулой (2), действительно является гладким.

Дифференциально-разностный оператор, содержащийся в правой части уравнения (1), есть суперпозиция дифференциального оператора $D_{x}^{2}$ и разностного оператора $R$, действующего следующим образом:

$Ru(x,t) = {{a}_{1}}u(x - {{h}_{1}},t) + {{a}_{2}}u(x - {{h}_{2}},t).$

Его символ равен ${{a}_{1}}cos{{h}_{1}}\xi + {{a}_{2}}cos{{h}_{2}}\xi $ – i(a1sinh1ξ + + ${{a}_{2}}sin{{h}_{2}}\xi )$, т.е. неравенство (5) эквивалентно положительности вещественной части символа оператора $R$ (или, что то же самое, символа оператора $R + R{\text{*}}$) в точке $\xi $. Таким образом, условие следствия равносильно условию положительности вещественной части символа (единственного) разностного оператора, содержащегося в уравнении (1), на всей вещественной оси (см. [1, § 8, 9] и [5, раздел 1.6]).

Возникает естественный вопрос о том, для каких уравнений указанное условие положительности вещественной части символа выполняется на всей вещественной оси. В качестве примера таких уравнений можно привести уравнения вида (1), в которых один из сдвигов равен нулю, а модуль коэффициента при оставшемся (единственном) нелокальном слагаемом не превосходит коэффициента при первом слагаемом в правой части, т.е. уравнения вида

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}}(x,t) = {{a}_{1}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}(x,t) + {{a}_{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}(x - h,t),$
где ${\text{|}}{{a}_{2}}{\text{|}} < {{a}_{1}}$. Для уравнений из этого класса символ соответствующего разностного оператора равен ${{a}_{1}} + {{a}_{2}}cosh\xi - {{a}_{2}}isinh\xi $, а значит, условие следствия выполнено.

Другим примером уравнений, для которых функция $G(x,t;\xi )$ определена при всех вещественных значениях параметра $\xi $, являются уравнения вида (1), в которых в ноль обращается не один из сдвигов, а один из коэффициентов в правой части, т.е. уравнения с единственным слагаемым в правой части. Этот случай – особый. Здесь условие положительности вещественной части символа не накладывается, а для существования функции $G(x,t;\xi )$ при любом вещественном значении параметра достаточно положительности (единственного) коэффициента в правой части уравнения. В этом случае уравнение принимает вид

(6)
$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}}(x,t) = a\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}(x - h,t),$
а однопараметрическое семейство его решений – вид

(7)
$\begin{gathered} G(x,t;\xi ) = sin\left[ {\left( {\sqrt a tcos\frac{{h\xi }}{2} + x + \frac{h}{2}} \right)\xi } \right]{{e}^{{\sqrt a \xi tsin\tfrac{{h\xi }}{2}}}} + \\ \, + sin\left[ {\left( {\sqrt a tcos\frac{{h\xi }}{2} - x - \frac{h}{2}} \right)\xi } \right]{{e}^{{ - \sqrt a \xi tsin\tfrac{{h\xi }}{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Если $a > 0$, то, независимо от вещественного значения $h$, функция (7) является гладким (классическим) решением уравнения (6) при любом вещественном значении $\xi $, что проверяется непосредственной подстановкой функции (7) в уравнение (6).

Список литературы

  1. Skubachevskii A.L. Elliptic functional-differential equations and applications. Basel, Boston, B.: Birkhauser, 1997. 294 p.

  2. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. I // Соврем. мат. Фундам. направл. 2007. Т. 26. С. 3–132.

  3. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. II // Соврем. мат. Фундам. направл. 2009. Т. 33. С. 3–179.

  4. Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // Успехи матем. наук. 2016. Т. 71. № 5(431). С. 3–112.

  5. Муравник А.Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши // Соврем. мат. Фундам. направл. 2014. Т. 52. С. 3–143.

  6. Муравник А.Б. О задаче Дирихле в полуплоскости для дифференциально-разностных эллиптических уравнений // Соврем. мат. Фундам. направл. 2016. Т. 60. С. 102–113.

  7. Муравник А.Б. Асимптотические свойства решений задачи Дирихле в полуплоскости для некоторых дифференциально-разностных эллиптических уравнений // Матем. заметки. 2016. Т. 100. № 4. С. 566–576.

  8. Muravnik A. On the half-plane Diriclet problem for differential-difference elliptic equations with several nonlocal terms // Math. Model. Nat. Phenom. 2017. V. 12. № 6. P. 130–143.

  9. Муравник А.Б. Асимптотические свойства решений двумерных дифференциально-разностных эллиптических задач // Соврем. мат. Фундам. направл. 2017. Т. 63. № 4. С. 678–688.

  10. Муравник А.Б. Эллиптические задачи с нелокальным потенциалом, возникающие в моделях нелинейной оптики // Матем. заметки. 2019. Т. 105. № 5. С. 747–762.

  11. Власов В.В., Шматов К.И. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с запаздыванием в гильбертовом пространстве // Тр. МИАН. 2003. Т. 243. С. 127–137.

  12. Власов В.В., Медведев Д.А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории // Соврем. мат. Фундам. направл. 2008. Т. 30. С. 3–173.

  13. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып. 3: Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. 276 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал