Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 53-56

ВВЕДЕНИЕ

На ${{Q}_{T}} = \Omega \times [0,T]$, где $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{n}},$ n = 2, 3, область с достаточно гладкой границей $\partial \Omega $ и T > 0, рассматривается следующая начально-краевая задача:

Здесь ${v}$ – вектор-функция скорости движения частицы среды, u – вектор-функция модифицированной скорости движения частицы среды, $\theta (t,x)$ – функция температуры среды, p – функция давления, f – функция плотности внешних сил, g – источник внешнего тепла, α > 0 – скалярный параметр, $\mu ( \cdot ) > 0$ – коэффициент вязкости среды, χ > 0 – коэффициент теплопроводности, ${{u}_{0}}$ и ${{\theta }_{0}}$ – начальные скорость и температура. Через $\mathcal{E} = ({{\mathcal{E}}_{{ij}}}({v})),$ ${{\mathcal{E}}_{{ij}}}({v}) = \tfrac{1}{2}\left( {\tfrac{{\partial {{{v}}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \tfrac{{\partial {{{v}}_{j}}}}{{\partial {{x}_{i}}}}} \right),$ $i,j = 1,2,...,n,$ обозначается тензор скоростей деформации.

Изучаемая начально-краевая задача с постоянной вязкостью называется альфа-моделью системы Навье–Стокса и, по-видимому, является одной из первых детально изученных альфа-моделей (см. [1]). В [2] доказано существование и единственность слабого решения для данной модели с постоянной вязкостью, а также построен глобальный аттрактор для порождаемой этим решением соответствующей полугруппы.

Рассмотрение системы (1)–(5) с вязкостью, зависящей от температуры, приводит к появлению уравнения баланса энергии, что существенно осложняет исследуемую задачу (см. обзорную статью [3]). А именно, появляется параболическое уравнение с коэффициентами из соболевских пространств и правой частью из ${{L}_{1}}({{Q}_{T}})$. Существование слабых решений данной параболической задачи доказано в [4]. На основе полученного результата удалось доказать разрешимость в слабом смысле ряда термо-моделей неньютоновской гидродинамики (см. [5–7]). Частный случай для изучаемой начально-краевой задачи, а именно, альфа-модель Лере с вязкостью, зависящей от температуры, был рассмотрен в работе [8]. В данном сообщении на основе разработанного подхода доказывается существование слабых решений для альфа-модели системы Навье–Стокса с вязкостью, зависящей от температуры.

Для формулировки слабого решения рассматриваемой задачи введем шкалу пространств ${{V}^{\beta }}$, $\beta \in R$ (см. [9, § 4.2]). Для этого рассмотрим проектор Лере $P{\kern 1pt} :{{L}_{2}}(\Omega ) \to {{V}^{0}}$ (V⁰ – замыкание $\mathcal{V} = \{ u \in C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{n}}$, divu = 0} по норме ${{L}_{2}}(\Omega )$) и оператор $A = - P\Delta $, определенный на D(A) = V ² = = ${{H}^{2}}(\Omega ) \cap {{V}^{1}}$ (${{V}^{1}}$ – замыкание $\mathcal{V}$ по норме ${{H}^{1}}(\Omega )$). Этот оператор может быть продолжен в V ⁰ до замкнутого оператора, который является самосопряженным положительным оператором с компактным обратным. Пусть 0 < ${{\lambda }_{1}} \leqslant {{\lambda }_{2}} \leqslant \ldots \leqslant {{\lambda }_{k}} \leqslant $ ... – собственные значения оператора A. В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении компактных операторов, собственные функции {e_j} оператора A образуют ортонормированный базис в V ⁰. Обозначим через ${{E}_{\infty }} = \left\{ {u = \sum\limits_{j = 1}^\infty {{{u}_{j}}{{e}_{j}}{\kern 1pt} :{{u}_{j}} \in \mathbb{R}} } \right\}$ множество конечных линейных комбинаций, составленных из e_j, и определим пространство V ^β, $\beta \in \mathbb{R}$, как пополнение ${{E}_{\infty }}$ по норме

В [9, Лемма 4.5] показано, что на пространстве V ^β, $\beta > - \frac{1}{2}$, норма (6) эквивалентна норме ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{{{H}^{\beta }}(\Omega )}}}$ пространства ${{H}^{\beta }}(\Omega )$. Через ${{V}^{{ - \beta }}} = ({{V}^{\beta }}){\text{*}}$, $\beta \in \mathbb{N}$, мы будем обозначать сопряженное пространство к V ^β. Кроме того, из определения шкалы пространств V ^β следует, что оператор $A{\kern 1pt} :{{V}^{\beta }} \to {{V}^{{\beta - 2}}}$ непрерывно обратим.

Введем пространства, в котором будет доказана разрешимость изучаемой задачи: W₁ = = $\{ u \in {{L}_{2}}(0,T;{{V}^{2}}) \cap {{L}_{\infty }}(0,T;{{V}^{1}}),$ $u{\text{'}} \in {{L}_{2}}(0,T;{{V}^{{ - 2}}})\} $ и ${{W}_{2}} = \{ \theta {\text{:}}\,\,\theta \in {{L}_{p}}(0,T;\,\,W_{p}^{1}(\Omega )),\,\,\,\,\theta {\text{'}} \in {{L}_{1}}(0,T;$  $W_{p}^{{ - 1}}(\Omega )),$ $1 < p < + \infty \} .$

Определение 1. Слабым решением задачи (1)–(5) называется пара $(u,\theta )$, где $u \in {{W}_{1}}$ и $\theta \in {{W}_{2}},$ удовлетворяющая при всех $\varphi \in {{V}^{2}}$, $\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ и почти всех $t \in [0,T]$ соотношениям

и начальным условиям $u{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{u}_{0}}$ и $\theta {{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{\theta }_{0}}.$ Здесь J = PI, где P – проектор Лере, а I – тождественный оператор.

Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. Пусть функция $\mu \in {{C}^{2}}( - \infty , + \infty )$ и $0 < \mu (\theta ) \leqslant M$ для всех $\theta \in {{W}_{2}}$, f ∈ ${{L}_{p}}(0,T;{{V}^{{ - 1}}})$, $g \in {{L}_{1}}(0,T;H_{p}^{{ - 2(1 - 1/p)}}(\Omega ))$, ${{u}_{0}} \in {{V}^{1}}$, ${{\theta }_{0}} \in W_{p}^{{1 - 2/p}}(\Omega )$. Тогда при $1 < p < \frac{4}{3}$ для $n = 2$ и для $1 < p < \frac{{10}}{9}$ при n = 3 существует слабое решение задачи (1)–(5).

Доказательство теоремы 1 основано на последовательном применение аппроксимационно-топологического подхода к задачам гидродинамики и на итерационном процессе, и поэтому проводится поэтапно. На первом этапе устанавливается разрешимость задачи (1)–(5) при фиксированном $\theta \in {{W}_{2}}$. Затем устанавливается разрешимость задачи (1)–(5) с заданной $u \in {{W}_{1}}$. Далее описывается итерационный процесс, состоящий в последовательном решении вышеприведенных задач, и, наконец, доказывается сходимость последовательных приближений к решению задачи (1)–(5).

ЭТАП 1

Рассмотрим начально-краевую задачу (1)–(5) при фиксированной $\theta \in {{W}_{2}}$. Получим следующую начально-краевую задачу:

Слабое решение задачи (9)–(11) определим как функцию $u \in {{W}_{1}}$, удовлетворяющую (7) и начальному условию $u{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{u}_{0}}$.

Для данной задачи справедлива следующая

Теорема 2. Пусть функция $\mu \in {{C}^{2}}( - \infty , + \infty )$ и $0 < \mu (\theta ) \leqslant M$ для всех $\theta \in {{W}_{2}}$, $f \in {{L}_{2}}(0,T;{{V}^{{ - 1}}}),$ ${{u}_{0}} \in {{V}^{1}},$ $\theta \in {{W}_{2}}$. Тогда задача (9)–(11) имеет по крайней мере одно слабое решение $u \in {{W}_{1}}$, для которого справедлива оценка

ЭТАП 2

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу при фиксированных $\hat {\theta } \in {{W}_{2}}$ и $u \in {{W}_{1}}$:

Слабое решение задачи (13), (14) определим как $\theta \in {{W}_{2}}$, удовлетворяющую тождеству (8) и начальному условию $\theta {{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{\theta }_{0}}$.

Для начально-краевой задачи (13), (14) справедлива

Теорема 3. Пусть $g \in {{L}_{1}}(0,T;H_{p}^{{ - 2(1 - 1/p)}}(\Omega ))$, ${{\theta }_{0}} \in W_{p}^{{1 - 2/p}}(\Omega )$, $\hat {\theta } \in {{W}_{2}}$, $u \in {{W}_{1}}$. Тогда при $1 < p < \frac{4}{3}$ для n = 2 и при $1 < p < \frac{{10}}{9}$ для n = 3 задача (13), (14) имеет по крайней мере одно слабое решение и справедлива оценка

ЭТАП 3

Рассмотрим последовательность $({{u}^{n}},{{\theta }^{n}}),$ $n = 0$, 1, 2, ..., определяемую следующим образом. Пусть u⁰ и ${{\theta }^{0}}$ означают начальные значения u₀ и ${{\theta }_{0}}$ для u и $\theta $ из (11) и (14) соответственно. Пусть $({{u}^{n}},{{\theta }^{n}})$ известны. Тогда вначале находится ${{u}^{{n + 1}}}$ как слабое решение задачи

затем при найденном ${{u}^{{n + 1}}}$ находится ${{\theta }^{{n + 1}}}$ как слабое решение задачи

Отметим, что слабым решением задачи (16)–(18) называется функция ${{u}^{{n + 1}}} \in {{W}_{1}}$, удовлетворяющая соотношению (7) и начальному условию ${{u}^{{n + 1}}}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}}$ = u₀, а слабым решением задачи (19), (20) называется функция ${{\theta }^{{n + 1}}} \in {{W}_{2}}$, удовлетворяющая соотношению (8) и начальному условию ${{\theta }^{{n + 1}}}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}}$ = θ₀.

Разрешимость задачи (16)–(18) следует из теоремы 2. При найденной функции ${{u}^{{n + 1}}}$ выполнены все требования теоремы 3. Отсюда следует, что задача (19), (20) также разрешима.

ЭТАП 4

Рассмотрим теперь последовательность (uⁿ, ${{\theta }^{n}})$, $n = 1,2$, ..., где ${{u}^{n}}$ – решение задачи (16)–(18), а θⁿ – решение задачи (19), (20). Изучим вопрос о сходимости последовательности $({{u}^{n}},{{\theta }^{n}})$. Рассмотрим последовательность $\{ {{\theta }^{n}}\} $.

Лемма 1. Последовательность $\{ {{\theta }^{n}}\} $ относительно компактна в ${{L}_{p}}(0,T;$ ${{L}_{p}}(\Omega ))$, где p удовлетворяет условиям теоремы 3.

Рассмотрим теперь uⁿ. В силу оценки (12) можно считать (без ограничения общности), что uⁿ слабо сходится в ${{L}_{2}}(0,T;{{V}^{2}})$, а $\frac{{\partial {{{v}}^{n}}}}{{\partial t}}$ слабо сходится в ${{L}_{2}}(0,T;{{V}^{{ - 2}}})$. В силу теоремы Симона [10] (при необходимости переходя к подпоследовательностям) ${{u}^{n}} \to u$ сильно в $C([0,T],{{L}_{4}}(\Omega ))$ и ${{u}^{n}} \to u$ сильно в ${{L}_{2}}([0,T],{{V}^{1}})$. Следовательно, в равенстве (7) в каждом слагаемом можно перейти к пределу. Получим, что предельная функция $u \in {{W}_{1}}$ будет удовлетворять равенству (7) и, следовательно, будет являться слабым решением задачи (16), (17).

Покажем, что полученное при предельном переходе $\theta \in {{W}_{2}}$ является слабым решением задачи (13), (14). Так как ${{\theta }^{n}}$ является решением задачи (19), (20), для него справедливо равенство (8). Рассмотрим бесконечно дифференцируемую по t и x на ${{Q}_{T}}$ функцию $\psi (t,x)$, удовлетворяющую условиям $\psi (0, \cdot ) = \psi (T, \cdot ) = 0$ и $\psi {{{\text{|}}}_{{[0,T] \times \partial \Omega }}} = 0$. Положив в (8) $\theta = {{\theta }^{n}},u = {{u}^{n}}$ и умножив на $\psi (t,x)$, а затем проинтегрировав на [0, T] и упростив, получим

Из сильной сходимости ${{u}^{n}}$ в ${{L}_{2}}(0,T;{{V}^{1}})$ и ${{\theta }^{n}}$ в ${{L}_{p}}(0,T;$ ${{L}_{p}}(\Omega ))$ и слабой сходимости uⁿ к u в $C([0,T]$; V^–1) и ${{\theta }^{n}}$ к $\theta $ в ${{L}_{p}}(0,T;W_{p}^{1}(\Omega ))$, где p удовлетворяет условиям теоремы 3, следует возможность предельного перехода во всех слагаемых в (21). Из последнего равенства в силу произвольности $\psi $ вытекает справедливость соотношения (8).

Это и завершает доказательство теоремы 1.