Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 5-10

1. СУПЕРРЕФЛЕКСИВНЫЕ БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Определения, приведенные ниже, являются фундаментальными в теории суперрефлексивных банаховых пространств [10].

Определение 1. Пусть $\varepsilon > 0$. Нормированное пространство Y называют ε-финитно представимым в нормированном пространстве X, если для каждого конечномерного подпространства ${{Y}_{n}} \subset Y$ найдется подпространс-тво   той же размерности ${{X}_{n}} \subset X$ такое, что $d({{X}_{n}},{{Y}_{n}}) \leqslant 1 + \varepsilon $.

Здесь $d({{X}_{n}},{{Y}_{n}}) = inf\{ {\text{||}}T{\text{||}} \cdot \,{\text{||}}{{T}^{{ - 1}}}{\text{||}}\} $ — дистанция Банаха–Мазура, где нижняя граница берется по всем изоморфизмам между X_n и Y_n.

Определение 2. Пространство Y называется финитно представимым в пространстве X, если оно ε-финитно представимо при любом ε > 0.

Определение 3. Банахово пространство X называется суперрефлексивным, если любое банахово пространство Y, финитно представимое в X, является рефлексивным.

2. О СУПЕРРЕФЛЕКСИВНОСТИ ПРОСТРАНСТВ БЕСОВА $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$

Определение 4 [6, 7]. Пространством Бесова $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ относительно “канонической” нормы назовем банахово пространство вида

где $ - \infty < s < + \infty $, $1 < p < \infty $, $1 < q < \infty $, ${\text{\{ }}{{\varphi }_{j}}{\text{\} }}_{{j = 0}}^{\infty }$ ∈ ∈ $S({{\mathbb{R}}^{n}})$ – специальная система функций на множестве комплекснозначных быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций, определенных на ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $S{\text{'}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ – пространство медленно растущих обобщенных функций, сопряженное к $S({{\mathbb{R}}^{n}})$.

Имеет место следующая

Теорема 1. Пространства Бесова $(B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ||·||_{p, q, s}) являются равномерно выпуклыми и равномерно гладкими банаховыми пространствами. В этих пространствах выполняются неравенства типа Кларксона, а для модулей выпуклости ${{\delta }_{{p,q,s}}}(\varepsilon )$ и гладкости ${{\rho }_{{p,q,s}}}(\tau )$ имеют место представления:

a) $\mathop {\left( {\left\| {u + {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{q} + \left\| {u - {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{q}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} \leqslant {{2}^{{\tfrac{1}{q}}}}\mathop {\left( {\left\| u \right\|_{{p,q,s}}^{{q{\text{'}}}} + \left\| {v} \right\|_{{p,q,s}}^{{q{\text{'}}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{q'}}} ;$

где $1 < p \leqslant 2$, $p{\text{'}} \leqslant q < + \infty ;$

б) $\mathop {\left( {\left\| {u + {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{{p{\text{'}}}} + \left\| {u - {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{{p{\text{'}}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{p{\text{'}}}}} \leqslant {{2}^{{\tfrac{1}{{p{\text{'}}}}}}}\mathop {\left( {\left\| u \right\|_{{p,q,s}}^{p} + \left\| {v} \right\|_{{p,q,s}}^{p}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} ;$

где $1 < p \leqslant 2$, $p \leqslant q \leqslant p{\text{';}}$

в) $\mathop {\left( {\left\| {u + {v}} \right\|} \right._{{p,q,s}}^{{q{\text{'}}}}\left. { + \left\| {u - {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{{q{\text{'}}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{q'}}} \leqslant {{2}^{{\tfrac{1}{{q{\text{'}}}}}}}\mathop {\left( {\left\| u \right\|_{{p,q,s}}^{q} + \left\| {v} \right\|_{{p,q,s}}^{q}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} ;$

где $1 < p \leqslant 2$, $1 < q \leqslant p$;

г) $\mathop {\left( {\left\| {u + {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{q} + \left\| {u - {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{q}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} \leqslant {{2}^{{\tfrac{1}{q}}}}\mathop {\left( {\left\| u \right\|_{{p,q,s}}^{{q{\text{'}}}} + \left\| {v} \right\|_{{p,q,s}}^{{q{\text{'}}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{q'}}} ;$

где $2 \leqslant p < + \infty $, $p \leqslant q < + \infty $;

д) $\mathop {\left( {\left\| {u + {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{p} + \left\| {u - {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{p}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} \leqslant {{2}^{{\tfrac{1}{p}}}}\mathop {\left( {\left\| u \right\|_{{p,q,s}}^{{p{\text{'}}}} + \left\| {v} \right\|_{{p,q,s}}^{{p{\text{'}}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{p'}}} ;$

где $2 \leqslant p < + \infty $, $p{\text{'}} \leqslant q \leqslant p$;

е) $\mathop {\left( {\left\| {u + {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{{q'}} + \left\| {u - {v}} \right\|_{{p,q,s}}^{{q{\text{'}}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{q'}}} \leqslant {{2}^{{\tfrac{1}{{q'}}}}}\mathop {\left( {\left\| u \right\|_{{p,q,s}}^{q} + \left\| {v} \right\|_{{p,q,s}}^{q}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} ;$

где $2 \leqslant p < + \infty $, $1 < q \leqslant p{\text{'}}$.

Из теоремы 1 вытекают следствия.

Следствие 1. Пространства Бесова $(B_{{p',q'}}^{{ - s}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ||·||_{p', q', –s}), сопряженные к пространствам $(B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ||·||_{p, q, s}), также являются равномерно выпуклыми и равномерно гладкими банаховыми пространствами относительно норм ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{p',q', - s}}}$ – дуальных “каноническим” нормам.

Следствие 2. Пространства Бесова $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и $B_{{p',q'}}^{{ - s}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ являются суперрефлексивными при $ - \infty < s < \infty $, $1 < p < + \infty $, $1 < q < + \infty $.

3. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА

В пространствах $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ существует бесконечное множество норм, эквивалентных “каноническим”. Многочисленные примеры таких норм приведены в [6, 8].

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть задана пара пространств Бесова $\left( {B_{{{{p}_{1}},{{q}_{1}}}}^{{{{s}_{1}}}}({{\mathbb{R}}^{n}}),{{{\left| {\, \cdot \,} \right|}}_{{{{p}_{1}},{{q}_{1}},{{s}_{1}}}}}} \right)$ и $\left( {B_{{{{p}_{2}},{{q}_{2}}}}^{{{{s}_{2}}}}({{\mathbb{R}}^{k}})} \right.$, $\left. {{{{\left\| {\left| {\, \cdot \,} \right|} \right\|}}_{{{{p}_{2}},{{q}_{2}},{{s}_{2}}}}}} \right)$, где ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{{{{p}_{1}},{{q}_{1}},{{s}_{1}}}}}$ и ${{\left\| {\left| {\, \cdot \,} \right|} \right\|}_{{{{p}_{2}},{{q}_{2}},{{s}_{2}}}}}$ – произвольные нормы, эквивалентные “каноническим” нормам с соответствующими параметрами, n, k – любые натуральные числа.

Существует множество мощности континуума, состоящее из линейных компактных операторов A: $B_{{{{p}_{1}},{{q}_{1}}}}^{{{{s}_{1}}}}({{\mathbb{R}}^{n}}) \to B_{{{{p}_{2}},{{q}_{2}}}}^{{{{s}_{2}}}}({{\mathbb{R}}^{k}})$, у которых последовательности аппроксимационных чисел ${\text{\{ }}{{\alpha }_{m}}(A){\text{\} }}$ эквивалентны наперед заданным монотонным положительным нуль-последовательностям {λ_m}.

Операторы A представляются в виде

где u – произвольный элемент из $B_{{{{p}_{1}},{{q}_{1}}}}^{{{{s}_{1}}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ${{f}_{m}}(u) \in (B_{{p_{1}^{'},q_{1}^{'}}}^{{ - {{s}_{1}}}}({{\mathbb{R}}^{n}}))$, g_m – фиксированная последовательность элементов из $B_{{{{p}_{2}},{{q}_{2}}}}^{{{{s}_{2}}}}({{\mathbb{R}}^{k}})$.

Таким образом, среди компактных операторов, действующих между произвольными парами суперрефлексивных пространств Бесова, имеются такие, которые не являются ни ядерными, ни p-абсолютно суммирующими (при произвольном p > 0), и, напротив, имеются такие, у которых последовательности аппроксимационных чисел α_m, поперечников Колмогорова d_m и Гельфанда g_m являются быстро убывающими числовыми последовательностями [6].

Следствие 3. Не существует таких линейных компактных операторов между $B_{{{{p}_{1}},{{q}_{1}}}}^{{{{s}_{1}}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и $B_{{{{p}_{2}},{{q}_{2}}}}^{{{{s}_{2}}}}({{\mathbb{R}}^{k}})$, у которых последовательности аппроксимационных чисел α_m(A) не стремятся к нулю.

Вместе с тем, существует множество мощности континуума, состоящее из линейных компактных операторов A: $B_{{{{p}_{1}},{{q}_{1}}}}^{{{{s}_{1}}}}({{\mathbb{R}}^{n}}) \to B_{{{{p}_{2}},{{q}_{2}}}}^{{{{s}_{2}}}}({{\mathbb{R}}^{k}})$, у которых последовательности аппроксимационных чисел α_m, поперечников Колмогорова d_m и Гельфанда ${{g}_{m}}$ стремятся к нулю сколь угодно медленно.

4. О ФИНИТНОЙ ПРЕДСТАВИМОСТИ ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВ l ^ω В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$

Приведем теорему о финитной представимости рефлексивных лебеговых пространств l ^ω ($1 < \omega < \infty $), суммируемых числовых последовательностей в пространствах Бесова. Факт финитной представимости банахова пространства X в $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ будем обозначать $X \ll B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$.

Теорема 3. В пространствах Бесова $(B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, || · ||_{p, q, s}) финитно представимыми являются следующие l ^ω-пространства:

а) $1 < p \leqslant 2$, $p{\text{'}} \leqslant q < + \infty $, ${{l}^{\omega }} \ll B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$,  при $\omega \in [q{\text{'}},2] \cup {\text{\{ }}q{\text{\} }}$;

б) $1 < p \leqslant 2$, $p \leqslant q \leqslant p{\text{'}}$, ${{l}^{\omega }} \ll B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, при $\omega \in [p,2] \cup {\text{\{ }}p{\text{'\} }}$;

в) $1 < p \leqslant 2$, $1 < q \leqslant p{\kern 1pt} '$, ${{l}^{\omega }} \ll B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, при $\omega \in [q,2] \cup {\text{\{ }}q{\text{'\} }}$;

г) $2 \leqslant p < + \infty $, $p \leqslant q < + \infty $, ${{l}^{\omega }} \ll B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, при $\omega \in [q{\text{'}},2] \cup {\text{\{ }}q{\text{\} }}$;

д) $2 \leqslant p < + \infty $, $p{\text{'}} \leqslant q \leqslant p$, ${{l}^{\omega }} \ll B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, при $\omega \in [p{\text{'}},2] \cup {\text{\{ }}p{\text{\} }}$;

е) $2 \leqslant p < + \infty $, $1 < q \leqslant p{\text{'}}$, ${{l}^{\omega }} \ll B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, при $\omega \in [p,2] \cup {\text{\{ }}q{\text{'\} }}$.

Прежде чем сформулировать результат о финитной представимости банаховых пространств применительно, например, к пункту а) теоремы 3, приведем

Определение 5 [14]. Норма ненулевого элемента некоторого банахова пространства X называется F ^k-гладкой ($k \geqslant 1$ – натуральное), если она равномерно дифференцируема по Фреше k раз, но не (k + 1) раз. Если норма является F ^k-гладкой при всех натуральных k, то она равномерно дифференцируема по Фреше бесконечное число раз.

Утверждение 1. Пусть $1\, < \,p\, \leqslant \,2$, $p{\text{'}} \leqslant q < \infty $, X – некоторое рефлексивное банахово пространство, финитно представимое в $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$.

Если $2 < q < \infty $, $1 < p < 2$, то нормы произвольных ненулевых элементов из X и X* являются F⁽¹⁾-глад-кими. 

Если q = 2,  $1 < p < 2$, то нормы произвольных ненулевых элементов из X и X* являются соответственно ${{F}^{{(k)}}}$- ($k = 1,2,\; \ldots $) и F⁽¹⁾-гладкими.

Если q = 2, $p = 2$, то нормы произвольных ненулевых элементов из X и X* являются ${{F}^{{(k)}}}$-гладкими при всех натуральных k.

5. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА В СУПЕРРЕФЛЕКСИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА

Приведем результат, справедливый для произвольных норм, эквивалентных “каноническим” нормам на пространствах Бесова $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$. Отметим, что эти нормы не обязаны быть  равномерно выпуклыми, равномерно гладкими, строго выпуклыми.

Теорема 4. Пусть Δ – сколь угодно малое положительное число. В пространствах $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ относительно произвольных норм ${\text{|}}\, \cdot \,{{{\text{|}}}_{{p,q,s}}}$, эквивалентным “каноническим” выполняются неравенства типа Пруса–Смарзевского [11]:

а) $1 < p \leqslant 2$, $p{\text{'}} \leqslant q < + \infty $,

б) $1 < p \leqslant 2$, $p \leqslant q \leqslant p{\text{'}}$,

в) $1 < p \leqslant 2$, $1 < q \leqslant p$,

г) $2 \leqslant p < + \infty $, $p \leqslant q < + \infty $,

д) $2 \leqslant p < + \infty $, $p{\text{'}} \leqslant q < p$,

е) $2 \leqslant p < + \infty $, $1 < q \leqslant p{\text{'}}$,

Здесь u, ${v}$ – произвольные элементы из $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, M_i – константы, зависящие от параметров пространства и выбора Δ, но не зависящие от u, ${v}$, ω_k(t, Δ) = $t{{(1 - t)}^{{k + \Delta }}} + {{t}^{{k + \Delta }}} \cdot (1 - t)$, $t \in (0,1)$.

Как известно, свойство суперрефлексивности банаховых пространств допускает характеризацию и в терминах базисов Шаудера [12, 13].

Теорема 5. В каждом из суперрефлексивных пространств $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и $B_{{p',q'}}^{{ - s}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ существуют множества мощности континуума как попарно неэквивалентных условных, так и безусловных нормированных базисов Шаудера.

Пусть ${\text{\{ }}{{\varphi }_{i}}{\text{\} }}$ и ${\text{\{ }}{{\psi }_{i}}{\text{\} }}$ – безусловные нормированные базисы Шаудера в $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и $B_{{p',q'}}^{{ - s}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ соответственно, причем ${\text{\{ }}{{\psi }_{i}}{\text{\} }}$ – сопряженная система к ${\text{\{ }}{{\varphi }_{i}}{\text{\} }}$ [7]. Известно, что каждому базису соответствует некоторая положительная постоянная – константа Гринблюма [13]. В пространствах Бесова $B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ эти константы, вообще говоря, зависят от параметров s, p, q, n и, конечно, от самого базиса. Обозначим их соответственно через ${{D}_{\varphi }}$ и ${{d}_{\psi }}$.

Пусть a_m – последовательность коэффициентов разложения произвольного элемента $u \in B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$ по базису {φ_i}.

Теорема 6. В пространствах Бесова $(B_{{p,q}}^{s}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ||·||_{p, q, s}) выполняются неравенства типа Джеймса–Гурария:

где K_φ, ${{L}_{\psi }}$ — некоторые константы, $l \in (1,lo{{g}_{\lambda }}2)$, $t \in (1,lo{{g}_{\mu }}2)$, а параметры λ и μ определяются так:

а) $1 < p \leqslant 2$, $p{\text{'}} \leqslant q < + \infty $,

$\lambda = 2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\frac{{{{D}_{\varphi }}}}{2}} \right)}\nolimits^q } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} $, μ = $2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{d}_{\psi }}}}{2}} \right)}\nolimits^{q'} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{q'}}} $;

б) $1 < p \leqslant 2$, $p \leqslant q \leqslant p{\text{'}}$,

$\lambda = 2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{D}_{\varphi }}}}{2}} \right)}\nolimits^{p'} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{p'}}} $, μ = $2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{d}_{\psi }}}}{2}} \right)}\nolimits^p } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} $;

в) $1 < p \leqslant 2$, $1 < q \leqslant p$,

$\lambda = 2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{D}_{\varphi }}}}{2}} \right)}\nolimits^{q'} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{q'}}} $, μ = $2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{d}_{\psi }}}}{2}} \right)}\nolimits^q } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} $;

г) $2 \leqslant p < + \infty $, $p \leqslant q < + \infty $,

$\lambda = 2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{D}_{\varphi }}}}{2}} \right)}\nolimits^q } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} $, μ = $2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{d}_{\psi }}}}{2}} \right)}\nolimits^{q'} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{q'}}} $;

д) $2 \leqslant p < + \infty $, $p{\text{'}} \leqslant q < p$,

$\lambda = 2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{D}_{\varphi }}}}{2}} \right)}\nolimits^p } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} $, μ = $2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{d}_{\psi }}}}{2}} \right)}\nolimits^{p'} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{p'}}} $;

е) $2 \leqslant p < + \infty $, $1 < q \leqslant p{\text{'}}$,

$\lambda = 2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{D}_{\varphi }}}}{2}} \right)}\nolimits^{q'} } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{q'}}} $, μ = $2\mathop {\left( {1 - \mathop {\left( {\tfrac{{{{d}_{\psi }}}}{2}} \right)}\nolimits^q } \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} $.

Другие неравенства для норм, справедливые в произвольных суперрефлексивных банаховых пространствах, были рассмотрены в [15].