Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 11-14
Об устойчивости непрерывных продолжений отображений относительно оператора Немыцкого
А. В. Арутюнов 1, *, С. Е. Жуковский 1, **
1 Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: arutyunov@cs.msu.ru
** E-mail: s-e-zhuk@yandex.ru
Поступила в редакцию 06.02.2020
После доработки 06.02.2020
Принята к публикации 15.02.2020
Аннотация
Исследовано понятие устойчивости непрерывных продолжений отображений относительно суперпозиционного оператора Немыцкого. Получены достаточные условия такой устойчивости относительно оператора Немыцкого. Существенность соответствующих предположений проиллюстрирована примерами.
Пусть X – банахово пространство с нормой ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{X}}$, $(Y,{{\rho }_{Y}})$ – метрическое пространство с метрикой ${{\rho }_{Y}}$, Σ – хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство и задано непрерывное отображение $f{\text{:}}\;X \times \Sigma \to Y$. Пусть C – заданное непустое замкнутое подмножество Σ.
Для непрерывного отображения $\varphi {\text{:}}\;\Sigma \to X$ его сужение на C обозначим через ${{\varphi }_{C}}$. Определим оператор Немыцкого (оператор суперпозиции) $\mathcal{N}$, положив $\mathcal{N}(\varphi )(\sigma ) = f(\varphi (\sigma ),\sigma )$. Он ставит в соответствие непрерывному отображению φ: $\Sigma \to X$ непрерывное отображение $\mathcal{N}$(φ): $\Sigma \to Y$. Аналогично определяется оператор $\mathcal{N}$ для непрерывных отображений $\varphi {\text{:}}\;C \to X$.
Обычную норму в пространстве непрерывных ограниченных отображений $\varphi {\text{:}}\;\Sigma \to X$ обозначим через ||⋅||, и точно также через ||⋅|| обозначим норму для непрерывных ограниченных отображений, действующих из C в X. Обычную метрику в пространстве непрерывных ограниченных отображений, действующих из Σ в Y, будем обозначать через ρ, и точно также через ρ будем обозначать метрику для непрерывных ограниченных отображений, действующих из C в Y. Такое одинаковое обозначение нормы и метрики для отображений, определенных как на $\Sigma ,$ так и на C, к путанице не приведет.
В силу теоремы о непрерывном продолжении, вытекающей из теоремы Майкла (см. [1; 2, п. 1.4]) о непрерывном селекторе, произвольное непрерывное отображение, заданное на C, можно непрерывно продолжить на Σ. В связи с этим зададимся вопросом, существует ли такое продолжение, которое устойчиво относительно оператора Немыцкого. А именно, пусть дано непрерывное отображение ${{\varphi }^{0}}{\text{:}}\;\Sigma \to X$. Спрашивается, верно ли, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого непрерывного отображения φ: $C \to X$, для которого
(1)
${\text{||}}\varphi - \varphi _{C}^{0}{\text{||}} < \delta ,\quad \rho (\mathcal{N}(\varphi ),\mathcal{N}(\varphi _{C}^{0})) < \delta ,$(2)
${\text{||}}\hat {\varphi } - {{\varphi }^{0}}{\text{||}} < \varepsilon ,\quad \rho (\mathcal{N}(\hat {\varphi }),\mathcal{N}({{\varphi }^{0}})) < \varepsilon .$Эта проблема имеет самостоятельный интерес, а также возникает в задаче о продолжении неявной функции, заданной на замкнутом подмножестве $C \subset \Sigma $. Поясним последнее сказанное.
Рассмотрим уравнение $f(x,\sigma ) = 0$ относительно неизвестного x ∈ X и параметра $\sigma \in \Sigma $. При каждом значении параметра $\sigma $ надо решить это уравнение относительно $x$, т.е. найти такое непрерывное отображение $\varphi {\text{:}}\;\Sigma \to X$, что $f(\varphi (\sigma ),\sigma )$ = 0 $\forall \sigma \in \Sigma $. Отметим, что последнее означает, что $\mathcal{N}(\varphi ) = 0$. При этом отображение $\varphi $ называется неявной функцией. В предположении, что X, Y – гильбертовы пространства, отображение f удов-летворяет естественным предположениям гладкости по переменной x, и линейный оператор $\tfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(x$, σ) сюръективен, причем равномерно по всем x, σ, доказательство существования неявной функции, удовлетворяющей некоторым априорным оценкам приведено в [3].
Задача о продолжении неявной функции состоит в следующем. Пусть задана неявная функция φ0. Возьмем произвольное непрерывное отображение $\varphi {\text{:}}\;C \to X$, которое является неявной функцией на множестве C, т.е. $f(\varphi (\sigma ),\sigma ) = 0$ $\forall \sigma \in C$. Надо найти условия, которые гарантируют следующее: для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что если для сужения φ0 на C выполняется ${\text{||}}\varphi - \varphi _{C}^{0}{\text{||}}$ < δ, то у отображения φ существует такое непрерывное продолжение $\hat {\varphi }$, что $\hat {\varphi }$ также является неявной функцией и ${\text{||}}\hat {\varphi } - {{\varphi }^{0}}{\text{||}} < \varepsilon $.
При выводе этих условий как раз и возникает потребность ответить на поставленный выше вопрос, используя оценки, полученные в [3]. В общем случае, как показывает описанный ниже пример, ответ на этот вопрос отрицательный. В то же время справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть дано непрерывное отображение ${{\varphi }^{0}}{\text{:}}\;\Sigma \to X$. Предположим, что для него выполнено следующее предположение о равномерной по σ непрерывности отображения $f( \cdot ,\sigma )$ в точках графика отображения φ0. А именно, для произвольного ε > 0 существуют такие (зависящие от ε) окрестность O множества C и число δ > 0, что имеет место
(3)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rho }_{Y}}(f(x,\sigma ),f({{\varphi }^{0}}(\sigma ),\sigma )) \leqslant \varepsilon } \\ {\forall \sigma \in O{\backslash }C,\quad \forall x{\text{:}}\quad {\text{||}}x - {{\varphi }^{0}}(\sigma ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{X}} \leqslant \delta .} \end{array}$Тогда для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого непрерывного отображения φ: $C \to X$, для которого выполняются условия (1), существует его непрерывное продолжение $\hat {\varphi }$, удовлетворяющее неравенствам (2).
Доказательство. Зафиксируем произвольное ε > 0. Возьмем соответствующие ему окрестность $O$ множества $C$ и число δ > 0 так, что $\delta $ < ε и для них имеет место (3). Возьмем произвольное непрерывное отображение $\varphi {\text{:}}\;C \to X$, для которого имеет место ${\text{||}}\varphi _{C}^{0} - \varphi {\text{||}} \leqslant \delta $. Для отображения φ построим такое его непрерывное продолжение ${{\hat {\varphi }}^{1}}$ на $\Sigma $, что ${\text{||}}{{\varphi }^{0}} - {{\hat {\varphi }}^{1}}{\text{||}} \leqslant \delta $.
Действительно, для $\sigma \in C$ положим $\Delta (\sigma ) = \varphi (\sigma )$ – – φ0(σ). Очевидно, отображение Δ непрерывно на C и $\left\| \Delta \right\| \leqslant \delta $. Поэтому в силу теоремы о непрерывном продолжении, вытекающей из теоремы Майкла (см. [1; 2, п. 1.4]), у отображения Δ существует такое непрерывное продолжение $\hat {\Delta }$ на Σ, что ${\text{||}}\hat {\Delta }{\text{||}} \leqslant \delta $. Положим ${{\hat {\varphi }}^{1}} = {{\varphi }^{0}} + \hat {\Delta }$. Очевидно, ${{\hat {\varphi }}^{1}}$ является искомым продолжением φ.
Положим ${{C}_{2}} = \Sigma {\backslash }O.$ Тогда множество C2 замкнуто и $C \cap {{C}_{2}} = \phi $. По теореме Дьедонне (см. [4]) хаусдорфово паракомпактное пространство Σ нормально. Поэтому в силу большой леммы Урысона на Σ существует такая непрерывная скалярная функция θ, что
Положим
Тогда
(4)
$\begin{gathered} \hat {\varphi }(\sigma ) = {{{\hat {\varphi }}}^{1}}(\sigma ) = \varphi (\sigma )\quad \forall \sigma \in C, \\ \hat {\varphi }(\sigma ) = {{\varphi }^{0}}(\sigma )\quad \forall \sigma \in {{C}_{2}} \\ \end{gathered} $Следовательно, имеет место
Отсюда в силу (3) получаем, что
В то же время в силу (4) имеем $f(\hat {\varphi }(\sigma ),\sigma )$ = = f (φ0(σ), σ) $\forall \sigma \in C \cup {{C}_{2}}$. Поэтому в результате получаем, что $\rho (f(\hat {\varphi }),f({{\varphi }^{0}})) \leqslant \varepsilon $. Отсюда, учитывая (5) и то, что $\delta \leqslant \varepsilon $, получаем, что построенное продолжение $\hat {\varphi }$ отображения φ является искомым.
В общем случае предположение о равномерной непрерывности (3) в теореме 1 существенно и его опустить нельзя. Это показывает следующий
Пример 1. Пусть $X = Y = \Sigma = \mathbb{R}$, $C = \mathbb{N}$ – множество натуральных чисел, $f{\text{:}}\;X \times \Sigma \to Y$ – гладкая функция такая, что
Зафиксируем произвольное δ > 0. Выберем $n \in \mathbb{N}$ такое, что $2{{e}^{{ - n}}} < \delta $. Определим на C функцию φ, положив $\varphi (\sigma ): = 0$ при $\sigma \in C$, $\sigma < n$, и $\varphi (\sigma ): = 2{{e}^{{ - \sigma }}}$ при $\sigma \in C$, $\sigma \geqslant n$. Тогда по построению $\mathcal{N}(\varphi )(\sigma ) \equiv 0$ и, значит,
Непосредственно проверяется, что для произвольной функции $\hat {\varphi }:\Sigma \to X$, являющейся непрерывным продолжением φ, имеет место $\rho (\mathcal{N}(\hat {\varphi })$, $\mathcal{N}({{\varphi }^{0}}))$ ≥ 1, и, значит, второе неравенство в (2) нарушается при ε = 1.
Замечание 1. Из приведенного доказательства вытекает, что для построенного в теореме продолжения $\hat {\varphi }$ также имеет место $\varphi (\sigma ) = {{\varphi }^{0}}(\sigma )$ .
Замечание 2. Предположение (3) выполняется, если существуют окрестность O множества C и число
Лемма 1. Предположим, что множество C компактно. Пусть задан произвольный компакт $K \subset X$. Тогда для любого ε > 0 существуют такие (зависящие от ε и K) окрестность O множества C и $\delta > 0$, что
Доказательство. Пусть задан компакт K ⊂ X. Зафиксируем ε > 0. Возьмем произвольные ${{x}_{0}} \in K$, ${{\sigma }_{0}} \in C$. Покажем, что для них существуют окрестность $O({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})$ точки σ0 и число $\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}) > 0$ такие, что для любых $x \in K$, $\xi \in X$, $\sigma \in \Sigma $, для которых
(6)
$\begin{gathered} {{\left\| {\xi - x} \right\|}_{X}} < \delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}), \\ {{\left\| {x - {{x}_{0}}} \right\|}_{X}} < \delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}),\quad \sigma \in O({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}), \\ \end{gathered} $Действительно, в силу непрерывности отображения f в точке $({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})$ существуют такие окрестность $O({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})$ точки σ0 и число $\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}) > 0$, что для любых $\xi $, $\sigma $, для которых
Для $\xi $, x, σ, удовлетворяющих (6), очевидно, имеем $\left\| {\xi - {{x}_{0}}} \right\| \leqslant 2\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})$. Поэтому для указанных $\xi $, σ выполняется (8). Следовательно, в силу (8) имеет место
Таким образом, (7) доказано.
По прежнему x0 считаем фиксированным. Рассмотрим семейство множеств ${\text{\{ }}O({{x}_{0}},\sigma ),\sigma \in C{\text{\} }}$. Оно является открытым покрытием компакта C. Выбирая из этого открытого покрытия конечное подпокрытие, будем считать, что
Положим $\delta ({{x}_{0}}) = min{\text{\{ }}\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{i}}),i = 1,2$, ..., m}. Для построенных открытого множества $O({{x}_{0}}) \supset C$ и $\delta ({{x}_{0}}) > 0$ получаем, что (7) выполняется для всех $\sigma \in O({{x}_{0}})$ и $x \in K$, $\xi \in X$ таких, что ${{\left\| {\xi - x} \right\|}_{X}}$ < δ(x0), ${{\left\| {x - {{x}_{0}}} \right\|}_{X}} < \delta ({{x}_{0}})$.
В X рассмотрим открытый шар
OX(x, δ) = $\left\{ {\xi \in X{\text{:}}\;{\text{||}}\xi - x{\text{||}} < \delta } \right\}.$
Семейство множеств {OX(x, $\delta (x)),x \in K{\text{\} }}$ является открытым покрытием компакта K. Выбирая из этого открытого покрытия конечное подпокрытие, будем считать, что W = = $\bigcup\limits_{i = 1}^l {{{O}_{X}}} ({{x}_{i}},\delta ({{x}_{i}})) \supset K$ для некоторых ${{x}_{i}} \in K$, i = 1, 2, ..., l. Положим $\delta = min{\text{\{ }}\delta ({{x}_{i}}),i = 1,2$, ..., l}, O = = $\bigcap\limits_{i = 1}^l O ({{x}_{i}})$.
Очевидно, множество O открыто, $O \supset C$, δ > 0 и в силу проведенных построений и (7) имеет место
Таким образом, построенные $O$ и $\delta > 0$ являются искомыми.
Следствие 1. Пусть множество C компактно. Тогда для любого непрерывного отображения φ0: $\Sigma \to X$ предположение о равномерной непрерывности (3) выполняется.
Действительно, пусть дано непрерывное отображение ${{\varphi }^{0}}{\text{:}}\;\Sigma \to X$. Положим $K = {{\varphi }^{0}}(C)$. Тогда K – компакт как образ компакта при непрерывном отображении. Поэтому предположение о равномерной непрерывности (3) вытекает из леммы 1.
Из леммы 1 и теоремы 1 вытекает следующее
Следствие 2. Предположим, что множество C компактно. Пусть $K \subset X$ – компакт. Тогда для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любых непрерывных отображений φ1, φ2: $C \to X$, для которых либо ${{\varphi }_{1}}(C) \subset K$ либо ${{\varphi }_{2}}(C) \subset K$ и имеет место
Список литературы
Michael E. Continuous selections. I // Annals of Mathematics. 1956. V. 63. № 2. P. 361–382.
Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005.
Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Применение методов обыкновенных дифференциальных уравнений для глобальных теорем об обратной функции // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 4. С. 452–463.
Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления