Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 11-14

Об устойчивости непрерывных продолжений отображений относительно оператора Немыцкого

А. В. Арутюнов 1*, С. Е. Жуковский 1**

1 Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: arutyunov@cs.msu.ru
** E-mail: s-e-zhuk@yandex.ru

Поступила в редакцию 06.02.2020
После доработки 06.02.2020
Принята к публикации 15.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследовано понятие устойчивости непрерывных продолжений отображений относительно суперпозиционного оператора Немыцкого. Получены достаточные условия такой устойчивости относительно оператора Немыцкого. Существенность соответствующих предположений проиллюстрирована примерами.

Ключевые слова: оператор Немыцкого, устойчивость, теоремы о продолжении непрерывных отображений

Пусть X – банахово пространство с нормой ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{X}}$, $(Y,{{\rho }_{Y}})$ – метрическое пространство с метрикой ${{\rho }_{Y}}$, Σ – хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство и задано непрерывное отображение $f{\text{:}}\;X \times \Sigma \to Y$. Пусть C – заданное непустое замкнутое подмножество Σ.

Для непрерывного отображения $\varphi {\text{:}}\;\Sigma \to X$ его сужение на C обозначим через ${{\varphi }_{C}}$. Определим оператор Немыцкого (оператор суперпозиции) $\mathcal{N}$, положив $\mathcal{N}(\varphi )(\sigma ) = f(\varphi (\sigma ),\sigma )$. Он ставит в соответствие непрерывному отображению φ: $\Sigma \to X$ непрерывное отображение $\mathcal{N}$(φ): $\Sigma \to Y$. Аналогично определяется оператор $\mathcal{N}$ для непрерывных отображений $\varphi {\text{:}}\;C \to X$.

Обычную норму в пространстве непрерывных ограниченных отображений $\varphi {\text{:}}\;\Sigma \to X$ обозначим через ||⋅||, и точно также через ||⋅|| обозначим норму для непрерывных ограниченных отображений, действующих из C в X. Обычную метрику в пространстве непрерывных ограниченных отображений, действующих из Σ в Y, будем обозначать через ρ, и точно также через ρ будем обозначать метрику для непрерывных ограниченных отображений, действующих из C в Y. Такое одинаковое обозначение нормы и метрики для отображений, определенных как на $\Sigma ,$ так и на C, к путанице не приведет.

В силу теоремы о непрерывном продолжении, вытекающей из теоремы Майкла (см. [1; 2, п. 1.4]) о непрерывном селекторе, произвольное непрерывное отображение, заданное на C, можно непрерывно продолжить на Σ. В связи с этим зададимся вопросом, существует ли такое продолжение, которое устойчиво относительно оператора Немыцкого. А именно, пусть дано непрерывное отображение ${{\varphi }^{0}}{\text{:}}\;\Sigma \to X$. Спрашивается, верно ли, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого непрерывного отображения φ: $C \to X$, для которого

(1)
${\text{||}}\varphi - \varphi _{C}^{0}{\text{||}} < \delta ,\quad \rho (\mathcal{N}(\varphi ),\mathcal{N}(\varphi _{C}^{0})) < \delta ,$
существует такое его непрерывное продолжение $\hat {\varphi }$, что

(2)
${\text{||}}\hat {\varphi } - {{\varphi }^{0}}{\text{||}} < \varepsilon ,\quad \rho (\mathcal{N}(\hat {\varphi }),\mathcal{N}({{\varphi }^{0}})) < \varepsilon .$

Эта проблема имеет самостоятельный интерес, а также возникает в задаче о продолжении неявной функции, заданной на замкнутом подмножестве $C \subset \Sigma $. Поясним последнее сказанное.

Рассмотрим уравнение $f(x,\sigma ) = 0$ относительно неизвестного xX и параметра $\sigma \in \Sigma $. При каждом значении параметра $\sigma $ надо решить это уравнение относительно $x$, т.е. найти такое непрерывное отображение $\varphi {\text{:}}\;\Sigma \to X$, что $f(\varphi (\sigma ),\sigma )$ = 0 $\forall \sigma \in \Sigma $. Отметим, что последнее означает, что $\mathcal{N}(\varphi ) = 0$. При этом отображение $\varphi $ называется неявной функцией. В предположении, что X, Y – гильбертовы пространства, отображение f удов-летворяет естественным предположениям гладкости по переменной x, и линейный оператор $\tfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(x$, σ) сюръективен, причем равномерно по всем x, σ, доказательство существования неявной функции, удовлетворяющей некоторым априорным оценкам приведено в [3].

Задача о продолжении неявной функции состоит в следующем. Пусть задана неявная функция φ0. Возьмем произвольное непрерывное отображение $\varphi {\text{:}}\;C \to X$, которое является неявной функцией на множестве C, т.е. $f(\varphi (\sigma ),\sigma ) = 0$ $\forall \sigma \in C$. Надо найти условия, которые гарантируют следующее: для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что если для сужения φ0 на C выполняется ${\text{||}}\varphi - \varphi _{C}^{0}{\text{||}}$ < δ, то у отображения φ существует такое непрерывное продолжение $\hat {\varphi }$, что $\hat {\varphi }$ также является неявной функцией и ${\text{||}}\hat {\varphi } - {{\varphi }^{0}}{\text{||}} < \varepsilon $.

При выводе этих условий как раз и возникает потребность ответить на поставленный выше вопрос, используя оценки, полученные в [3]. В общем случае, как показывает описанный ниже пример, ответ на этот вопрос отрицательный. В то же время справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть дано непрерывное отображение ${{\varphi }^{0}}{\text{:}}\;\Sigma \to X$. Предположим, что для него выполнено следующее предположение о равномерной по σ непрерывности отображения $f( \cdot ,\sigma )$ в точках графика отображения φ0. А именно, для произвольного ε > 0 существуют такие (зависящие от ε) окрестность O множества C и число δ > 0, что имеет место

(3)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rho }_{Y}}(f(x,\sigma ),f({{\varphi }^{0}}(\sigma ),\sigma )) \leqslant \varepsilon } \\ {\forall \sigma \in O{\backslash }C,\quad \forall x{\text{:}}\quad {\text{||}}x - {{\varphi }^{0}}(\sigma ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{X}} \leqslant \delta .} \end{array}$

Тогда для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого непрерывного отображения φ: $C \to X$, для которого выполняются условия (1), существует его непрерывное продолжение $\hat {\varphi }$, удовлетворяющее неравенствам (2).

Доказательство. Зафиксируем произвольное ε > 0. Возьмем соответствующие ему окрестность $O$ множества $C$ и число δ > 0 так, что $\delta $ < ε и для них имеет место (3). Возьмем произвольное непрерывное отображение $\varphi {\text{:}}\;C \to X$, для которого имеет место ${\text{||}}\varphi _{C}^{0} - \varphi {\text{||}} \leqslant \delta $. Для отображения φ построим такое его непрерывное продолжение ${{\hat {\varphi }}^{1}}$ на $\Sigma $, что ${\text{||}}{{\varphi }^{0}} - {{\hat {\varphi }}^{1}}{\text{||}} \leqslant \delta $.

Действительно, для $\sigma \in C$ положим $\Delta (\sigma ) = \varphi (\sigma )$ – – φ0(σ). Очевидно, отображение Δ непрерывно на C и $\left\| \Delta \right\| \leqslant \delta $. Поэтому в силу теоремы о непрерывном продолжении, вытекающей из теоремы Майкла (см. [1; 2, п. 1.4]), у отображения Δ существует такое непрерывное продолжение $\hat {\Delta }$ на Σ, что ${\text{||}}\hat {\Delta }{\text{||}} \leqslant \delta $. Положим ${{\hat {\varphi }}^{1}} = {{\varphi }^{0}} + \hat {\Delta }$. Очевидно, ${{\hat {\varphi }}^{1}}$ является искомым продолжением φ.

Положим ${{C}_{2}} = \Sigma {\backslash }O.$ Тогда множество C2 замкнуто и $C \cap {{C}_{2}} = \phi $. По теореме Дьедонне (см. [4]) хаусдорфово паракомпактное пространство Σ нормально. Поэтому в силу большой леммы Урысона на Σ существует такая непрерывная скалярная функция θ, что

$\begin{gathered} \theta (\sigma ) = 0 \Leftrightarrow \sigma \in C,\quad \theta (\sigma ) = 1 \Leftrightarrow \sigma \in {{C}_{2}}, \\ 0 \leqslant \theta (\sigma ) \leqslant 1\quad \forall \sigma . \\ \end{gathered} $

Положим

$\hat {\varphi }(\sigma ) = {{\hat {\varphi }}^{1}}(\sigma )(1 - \theta (\sigma )) + {{\varphi }^{0}}(\sigma )\theta (\sigma ),\quad \sigma \in \Sigma .$

Тогда

(4)
$\begin{gathered} \hat {\varphi }(\sigma ) = {{{\hat {\varphi }}}^{1}}(\sigma ) = \varphi (\sigma )\quad \forall \sigma \in C, \\ \hat {\varphi }(\sigma ) = {{\varphi }^{0}}(\sigma )\quad \forall \sigma \in {{C}_{2}} \\ \end{gathered} $
и, кроме того,

$\begin{gathered} {\text{||}}\hat {\varphi }(\sigma ) - {{\varphi }^{0}}(\sigma ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{X}} = \\ = (1 - \theta (\sigma )){\text{||}}{{{\hat {\varphi }}}^{1}}(\sigma ) - {{\varphi }^{0}}(\sigma ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{X}} \leqslant \delta \quad \forall \sigma \in \Sigma . \\ \end{gathered} $

Следовательно, имеет место

(5)
${\text{||}}\hat {\varphi } - {{\varphi }^{0}}{\text{||}} \leqslant \delta .$

Отсюда в силу (3) получаем, что

${{\rho }_{Y}}(f(\hat {\varphi }(\sigma ),\sigma ),f({{\varphi }^{0}}(\sigma ),\sigma )) \leqslant \varepsilon \quad \forall \sigma \in O{\backslash }C.$

В то же время в силу (4) имеем $f(\hat {\varphi }(\sigma ),\sigma )$ = = f 0(σ), σ) $\forall \sigma \in C \cup {{C}_{2}}$. Поэтому в результате получаем, что $\rho (f(\hat {\varphi }),f({{\varphi }^{0}})) \leqslant \varepsilon $. Отсюда, учитывая (5) и то, что $\delta \leqslant \varepsilon $, получаем, что построенное продолжение $\hat {\varphi }$ отображения φ является искомым.

В общем случае предположение о равномерной непрерывности (3) в теореме 1 существенно и его опустить нельзя. Это показывает следующий

Пример 1. Пусть $X = Y = \Sigma = \mathbb{R}$, $C = \mathbb{N}$ – множество натуральных чисел, $f{\text{:}}\;X \times \Sigma \to Y$ – гладкая функция такая, что

$f(0,\sigma ) = f(2{{e}^{{ - \sigma }}},\sigma ) = 0,\quad f({{e}^{{ - \sigma }}},\sigma ) \geqslant 1\quad \forall \sigma \in \Sigma $
(например, функция f (x, σ) = ${{e}^{{2\sigma }}}x(2{{e}^{{ - \sigma }}} - x)$, $x \in X$, $\sigma \in \Sigma $, обладает такими свойствами). Возьмем ${{\varphi }^{0}}(\sigma ) \equiv 0$, $\sigma \in \Sigma $.

Зафиксируем произвольное δ > 0. Выберем $n \in \mathbb{N}$ такое, что $2{{e}^{{ - n}}} < \delta $. Определим на C функцию φ, положив $\varphi (\sigma ): = 0$ при $\sigma \in C$, $\sigma < n$, и $\varphi (\sigma ): = 2{{e}^{{ - \sigma }}}$ при $\sigma \in C$, $\sigma \geqslant n$. Тогда по построению $\mathcal{N}(\varphi )(\sigma ) \equiv 0$ и, значит,

$\left\| {\varphi - {{\varphi }_{0}}} \right\| = 2{{e}^{{ - n}}} < \delta ,\quad \rho (\mathcal{N}(\varphi ),\mathcal{N}({{\varphi }^{0}})) = 0.$

Непосредственно проверяется, что для произвольной функции $\hat {\varphi }:\Sigma \to X$, являющейся непрерывным продолжением φ, имеет место $\rho (\mathcal{N}(\hat {\varphi })$, $\mathcal{N}({{\varphi }^{0}}))$ ≥ 1, и, значит, второе неравенство в (2) нарушается при ε = 1.

Замечание 1. Из приведенного доказательства вытекает, что для построенного в теореме продолжения $\hat {\varphi }$ также имеет место $\varphi (\sigma ) = {{\varphi }^{0}}(\sigma )$ .

Замечание 2. Предположение (3) выполняется, если существуют окрестность O множества C и число

$r > {{r}_{0}} = sup\{ {\text{||}}{{\varphi }^{0}}(\sigma ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{X}},\sigma \in O{\backslash }C\} $
такие, что для любого $\varepsilon > 0$ существует δ > 0, для которого

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\left\| {f({{x}_{2}},\sigma ) - f({{x}_{1}},\sigma )} \right\|}}_{Y}} \leqslant \varepsilon } \\ {\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}{\text{:}}\,\,\,{{{\left\| {{{x}_{1}}} \right\|}}_{X}} \leqslant r,\,\,\,{{{\left\| {{{x}_{2}} - {{x}_{1}}} \right\|}}_{X}} \leqslant \delta ,\,\,\,\forall \sigma \in O{\backslash }C.} \end{array}$

Лемма 1. Предположим, что множество C компактно. Пусть задан произвольный компакт $K \subset X$. Тогда для любого ε > 0 существуют такие (зависящие от ε и K) окрестность O множества C и $\delta > 0$, что

${{\rho }_{Y}}(f(\xi ,\sigma ),f(x,\sigma )) \leqslant \varepsilon $
$\forall x \in K,\quad \xi \in X{\text{:}}\;{{\left\| {\xi - x} \right\|}_{X}} \leqslant \delta \quad \forall \sigma \in O{\backslash }C.$

Доказательство. Пусть задан компакт K ⊂ X. Зафиксируем ε > 0. Возьмем произвольные ${{x}_{0}} \in K$, ${{\sigma }_{0}} \in C$. Покажем, что для них существуют окрестность $O({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})$ точки σ0 и число $\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}) > 0$ такие, что для любых $x \in K$, $\xi \in X$, $\sigma \in \Sigma $, для которых

(6)
$\begin{gathered} {{\left\| {\xi - x} \right\|}_{X}} < \delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}), \\ {{\left\| {x - {{x}_{0}}} \right\|}_{X}} < \delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}),\quad \sigma \in O({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}), \\ \end{gathered} $
выполняется

(7)
${{\rho }_{Y}}(f(\xi ,\sigma ),f(x,\sigma )) < \varepsilon .$

Действительно, в силу непрерывности отображения f в точке $({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})$ существуют такие окрестность $O({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})$ точки σ0 и число $\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}) > 0$, что для любых $\xi $, $\sigma $, для которых

${{\left\| {\xi - {{x}_{0}}} \right\|}_{X}} < 2\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}),\quad \sigma \in O({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}),$
выполняется

(8)
${{\rho }_{Y}}(f(\xi ,\sigma ),f({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})) < \frac{\varepsilon }{2}.$

Для $\xi $, x, σ, удовлетворяющих (6), очевидно, имеем $\left\| {\xi - {{x}_{0}}} \right\| \leqslant 2\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})$. Поэтому для указанных $\xi $, σ выполняется (8). Следовательно, в силу (8) имеет место

${{\rho }_{Y}}(f(\xi ,\sigma ),f(x,\sigma )) \leqslant $
$ \leqslant \;{{\rho }_{Y}}(f(\xi ,\sigma ),f({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}})) + {{\rho }_{Y}}(f({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}),f(x,\sigma )) < \varepsilon .$

Таким образом, (7) доказано.

По прежнему x0 считаем фиксированным. Рассмотрим семейство множеств ${\text{\{ }}O({{x}_{0}},\sigma ),\sigma \in C{\text{\} }}$. Оно является открытым покрытием компакта C. Выбирая из этого открытого покрытия конечное подпокрытие, будем считать, что

$\begin{gathered} O({{x}_{0}}) = \bigcup\limits_{i = 1}^m O ({{x}_{0}},{{\sigma }_{i}}) \supset C \\ {\text{для некоторых}}\quad {{\sigma }_{i}} \in C,\quad i = 1,2, \ldots ,m. \\ \end{gathered} $

Положим $\delta ({{x}_{0}}) = min{\text{\{ }}\delta ({{x}_{0}},{{\sigma }_{i}}),i = 1,2$, ..., m}. Для построенных открытого множества $O({{x}_{0}}) \supset C$ и $\delta ({{x}_{0}}) > 0$ получаем, что (7) выполняется для всех $\sigma \in O({{x}_{0}})$ и $x \in K$, $\xi \in X$ таких, что ${{\left\| {\xi - x} \right\|}_{X}}$ < δ(x0), ${{\left\| {x - {{x}_{0}}} \right\|}_{X}} < \delta ({{x}_{0}})$.

В X рассмотрим открытый шар

OX(x, δ) = $\left\{ {\xi \in X{\text{:}}\;{\text{||}}\xi - x{\text{||}} < \delta } \right\}.$

Семейство множеств {OX(x, $\delta (x)),x \in K{\text{\} }}$ является открытым покрытием компакта K. Выбирая из этого открытого покрытия конечное подпокрытие, будем считать, что W = = $\bigcup\limits_{i = 1}^l {{{O}_{X}}} ({{x}_{i}},\delta ({{x}_{i}})) \supset K$ для некоторых ${{x}_{i}} \in K$, i = 1, 2, ..., l. Положим $\delta = min{\text{\{ }}\delta ({{x}_{i}}),i = 1,2$, ..., l}, O = = $\bigcap\limits_{i = 1}^l O ({{x}_{i}})$.

Очевидно, множество O открыто, $O \supset C$, δ > 0 и в силу проведенных построений и (7) имеет место

$\begin{gathered} {{\rho }_{Y}}(f(\xi ,\sigma ),f(x,\sigma )) < \varepsilon \quad \forall \xi \in X, \\ \forall x \in K{\text{:}}\;{{\left\| {\xi - x} \right\|}_{X}} < \delta ,\quad \forall \sigma \in O. \\ \end{gathered} $

Таким образом, построенные $O$ и $\delta > 0$ являются искомыми.

Следствие 1. Пусть множество C компактно. Тогда для любого непрерывного отображения φ0: $\Sigma \to X$ предположение о равномерной непрерывности (3) выполняется.

Действительно, пусть дано непрерывное отображение ${{\varphi }^{0}}{\text{:}}\;\Sigma \to X$. Положим $K = {{\varphi }^{0}}(C)$. Тогда K – компакт как образ компакта при непрерывном отображении. Поэтому предположение о равномерной непрерывности (3) вытекает из леммы 1.

Из леммы 1 и теоремы 1 вытекает следующее

Следствие 2. Предположим, что множество C компактно. Пусть $K \subset X$компакт. Тогда для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любых непрерывных отображений φ1, φ2: $C \to X$, для которых либо ${{\varphi }_{1}}(C) \subset K$ либо ${{\varphi }_{2}}(C) \subset K$ и имеет место

$\left\| {{{\varphi }_{1}} - {{\varphi }_{2}}} \right\| \leqslant \delta ,\quad \rho (\mathcal{N}({{\varphi }_{1}}),\mathcal{N}({{\varphi }_{2}})) \leqslant \delta ,$
существуют такие их непрерывные продолжения ${{\hat {\varphi }}_{1}}$, ${{\hat {\varphi }}_{2}}$, что

$\left\| {{{{\hat {\varphi }}}_{1}} - {{{\hat {\varphi }}}_{2}}} \right\| < \varepsilon ,\quad \rho (\mathcal{N}({{\hat {\varphi }}_{1}}),\mathcal{N}({{\hat {\varphi }}_{2}})) < \varepsilon .$

Список литературы

  1. Michael E. Continuous selections. I // Annals of Mathematics. 1956. V. 63. № 2. P. 361–382.

  2. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005.

  3. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Применение методов обыкновенных дифференциальных уравнений для глобальных теорем об обратной функции // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 4. С. 452–463.

  4. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления