Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 27-30

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе рассматриваются волновые уравнения в ${{\mathbb{R}}^{d}}$ ($d \geqslant 3$ и нечетно) с постоянными или переменными коэффициентами вида

и с начальными условиями (при t = 0)

Здесь ${{\partial }_{j}} \equiv \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}$, $u(x,t) \in \mathbb{R}$. Предполагается, что коэффициенты уравнения достаточно гладкие, причем при $\left| x \right| > {{R}_{0}}$ уравнение (1) имеет вид $\ddot {u}(x,t) = \Delta u(x,t)$; ${{a}_{0}}\left( x \right) \geqslant 0$, и матрица $({{a}_{{ij}}}(x))$ положительно определена при всех $x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$. Кроме того, требуется выполнение так называемого условия неловушечности (см. условие D в [1, с. 234]), заключающегося в уходе на бесконечность при $t \to \infty $ всех лучей уравнения (1).

Предполагается, что начальные данные Y₀(x) = = $({{u}_{0}}(x),{{{v}}_{0}}(x))$ являются измеримой случайной функцией с распределением μ₀. Мы полагаем, что корреляционные функции начальной меры μ₀

имеют вид $Q_{0}^{{ij}}(x,y) = q_{0}^{{ij}}(\bar {x},\bar {y},\tilde {x} - \tilde {y})$, где $\bar {x}$ = (x₁, ..., x_k), $\tilde {x} = \left( {{{x}_{{k + 1}}}, \ldots ,{{x}_{d}}} \right)$, $x = \left( {\bar {x},\tilde {x}} \right),$ $y = \left( {\bar {y},\tilde {y}} \right) \in {{\mathbb{R}}^{d}}$ с некоторым $k \in \left\{ {1, \ldots ,d} \right\}$. Кроме того, где области D_n определяются следующим образом:

Здесь ${{\mathcal{N}}^{k}} = \{ {\mathbf{n}} = ({{n}_{1}}, \ldots ,{{n}_{k}}){\text{:}}\,~{{n}_{j}} \in \left\{ {1;2} \right\},~\forall j\} $, a – некоторое фиксированное число, a > 0. Другими словами, условие (3) означает, что случайная функция Y₀(x) в случае, когда ${{( - 1)}^{{{{n}_{j}}}}}{{x}_{j}}$ > a для всех $j = 1$, ..., k, равна, вообще говоря, различным трансляционно-инвариантным случайным процессам Y_n(x) c распределениями μ_n. Наконец, предполагается, что мера μ₀ обладает конечной средней плотностью энергии,

Через μ_t, $t \in \mathbb{R}$, обозначим распределение решений

Главная цель работы – доказать слабую сходимость мер ${{\mu }_{t}}$:

Аналогичная сходимость справедлива при $t \to - \infty $, так как рассматриваемая система обратима по времени. В работе эти результаты применяются в частном случае, когда волновые уравнения имеют постоянные коэффициенты, а распределения μ_n являются гиббсовскими мерами с температурами ${{T}_{{\mathbf{n}}}} > 0$. Однако гиббсовские меры имеют сингулярные корреляционные функции и не удовлетворяют условию (5). Поэтому вводятся гауссовские случайные процессы Y_n, соответствующие мерам μ_n, и рассматриваются “сглаженные” меры $\mu _{{\mathbf{n}}}^{\theta }$ как распределения свёрток ${{Y}_{{\mathbf{n}}}}*\theta $, где $\theta \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{d}})$. Меры $\mu _{{\mathbf{n}}}^{\theta }$ удовлетворяют условию (5). Обозначим через $\mu _{t}^{\theta }$ распределение свёртки $Y\left( t \right) * \theta $. Тогда слабая сходимость мер $\mu _{t}^{\theta } \to \mu _{\infty }^{\theta }$ при $t \to \infty $ вытекает из сходимости (6). Отсюда следует сходимость ${{\mu }_{t}} \to {{\mu }_{\infty }}$ при $t \to \infty $ в силу произвольности функции $\theta $. В случае волновых уравнений с постоянными коэффициентами получены явные формулы для ковариации предельной меры μ_∞. Это позволяет вычислить координаты предельной плотности потока энергии ${{{\mathbf{J}}}_{\infty }} = (J_{\infty }^{1}, \ldots ,J_{\infty }^{d})$ и получить, что $J_{\infty }^{l} = 0$, если $l = k + 1, \ldots ,d$, и

Здесь суммирование берется по всем ${{n}_{j}} \in \left\{ {1,~2} \right\}$ с j ≠ l, а числа ${{c}_{l}} = + \infty $. Эта бесконечность связана с “ультрафиолетовой расходимостью”. В случае сглаженных мер $\mu _{\infty }^{\theta }$ поток энергии J_∞ имеет конечное значение. Кроме того, все числа c_l > 0, если функция θ(x) – осесимметрична относительно всех координатных осей и не равна тождественно нулю.

В настоящее время существует большое количество работ, посвященных изучению сходимости к неравновесным состояниям для различных дискретных и непрерывных систем, см. обзорные статьи [2, 3]. Например, для бесконечной одномерной цепочки гармонических осцилляторов результаты, аналогичные (6), были получены в работе [4]. Для многомерных гармонических кристаллов сходимость (6) и формула (7) были доказаны в работах [5, 6]. Для непрерывных систем, описываемых волновыми уравнениями, результаты (6) и (7) были доказаны в [7] в частном случае, когда k = 1 (см. условие (3)). Таким образом, в данной работе построен более общий по сравнению с [7] класс неравновесных стационарных состояний μ_∞, при которых в изучаемой модели имеется ненулевой поток тепла. Перейдем к более подробному описанию результатов.

2. ГЛАВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На уравнение (1) накладываются следующие условия A1–A3.

A1. ${{a}_{{ij}}}(x) = {{\delta }_{{ij}}} + {{b}_{{ij}}}(x),$

где ${{b}_{{ij}}}\left( x \right) \in D \equiv C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{d}})$, δ_ij – символ Кронекера.

A2. ${{a}_{0}}\left( x \right) \in D$, ${{a}_{0}}\left( x \right) \geqslant 0$ и выполнено условие гиперболичности, т.е. существует α > 0 такое, что

A3. Условие неловушечности: для (x(0), ξ(0)) ∈ ∈ ${{\mathbb{R}}^{d}} \times {{\mathbb{R}}^{d}}$ с $\xi \left( 0 \right) \ne 0$ справедлива сходимость $\left| x \right| \to \infty $ при $t \to \infty $, где (x(t), ξ(t)) – решение гамильтоновой    системы $\dot {x}(t) = {{\nabla }_{\xi }}H$(x(t), ξ(t)), $\dot {\xi }(t) = - {{\nabla }_{x}}H$(x(t), ξ(t)).

В частности, условие A3 выполнено в случае постоянных коэффициентов, т.е. когда ${{a}_{{ij}}}(x) \equiv {{\delta }_{{ij}}}$ и ${{a}_{0}}(x) \equiv 0$, так как в этом случае $\dot {\xi }(t) \equiv 0$ и x(t) = = $\xi (0)t$ + x(0).

Начальные данные ${{Y}_{0}} = (Y_{0}^{0},Y_{0}^{1}) \equiv \left( {{{u}_{0}},{{{v}}_{0}}} \right)$ задачи (1) принадлежат фазовому пространству $\mathcal{H}$. По определению, $\mathcal{H} = H_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{d}}) \oplus H_{{{\text{loc}}}}^{0}({{\mathbb{R}}^{d}})$ – пространство Фреше пар ${{Y}_{0}} = ({{u}_{0}}(x),{{{v}}_{0}}(x))$ действительных функций u₀(x) и ${{{v}}_{0}}(x)$ с локальными энергетическими полунормами

Утверждение. Пусть выполнены условия A1–A3. Тогда для любых начальных данных ${{Y}_{{0{\text{\;}}}}} \in \mathcal{H}$ существует, и притом единственное, решение $Y(t) \in C(\mathbb{R};\mathcal{H})$ задачи Коши (1), (2). Оператор U(t): ${{Y}_{0}} \to Y(t)$ непрерывен на $\mathcal{H}$ для любых $t \in \mathbb{R}$.

Выберем функцию $\zeta \left( x \right) \in D$ с $\zeta \left( 0 \right) \ne 0$. Обозначим через $H_{{{\text{loc}}}}^{s}({{\mathbb{R}}^{d}})$, $s \in \mathbb{R}$, локальные пространства Соболева, т.е. пространства Фреше распределений $u \in D'({{\mathbb{R}}^{d}})$ с локальными полунормами

где ${{\Lambda }^{s}}{v} = F_{{\xi \to x}}^{{ - 1}}({{\left\langle \xi \right\rangle }^{s}}{\hat {v}}\left( \xi \right))$, $\left\langle \xi \right\rangle = \sqrt {{{{\left| \xi \right|}}^{2}} + 1} $ и ${\hat {v}} = F{v}$ – преобразование Фурье обобщенной функции медленного роста ${v}$. Если ψ ∈ D, то Fψ(x) = = $\int {{{e}^{{i\xi \cdot x}}}} \psi (x)dx$. По определению, ${{\mathcal{H}}^{s}}$ = $H_{{{\text{loc}}}}^{{1 + s}}({{\mathbb{R}}^{d}})$ $ \oplus $ $ \oplus $ $H_{{{\text{loc}}}}^{s}({{\mathbb{R}}^{d}})$, $s \in \mathbb{R}$.

Обозначим через μ₀ вероятностную борелевскую меру на $\mathcal{H}$, которая является распределением функции Y₀, через $\mathbb{E}$ – интеграл по мере μ₀, а через ${{Q}_{0}}(x,y) = (Q_{0}^{{ij}}(x,y))$ – ее корреляционную матрицу. Предполагается, что $\mathbb{E}({{Y}_{0}}(x))$ = 0, $\mathbb{E}({\text{|}}{{Y}_{0}}(x){{{\text{|}}}^{2}}) \leqslant C$ < ∞ , корреляционные функции $Q_{0}^{{ij}}(x$, y) удовлетворяют условию (3), где через q_n(x – y) = $(q_{{\mathbf{n}}}^{{ij}}(x - y))$ обозначаются корреляционные матрицы некоторых трансляционно-инвариантных мер μ_n с нулевым средним на пространстве $\mathcal{H}$. Наконец, мера μ₀ удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания типа Ибрагимова, см. условие S4 в [7]. Это условие означает, вообще говоря, что Y₀(x) и Y₀(y) слабо зависимы, когда $\left| {x - y} \right| \to \infty $.

Определение. μ_t, $t \in \mathbb{R}$, – борелевская вероятностная мера на $\mathcal{H}$, которая является распределением решения Y(t), т.е. μ_t(B) = = ${{\mu }_{0}}(U( - t)B)$, $\forall B \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, где через $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ обозначается борелевская σ-алгебра в $\mathcal{H}$.

Теорема. Пусть выполнены условия A1–A3, а также все условия, наложенные на меру μ₀. Тогда:

1) корреляционные функции мер μ_t сходятся к пределу при $t \to \infty $;

2) для любого ε > 0 имеет место сходимость (6) на пространстве ${{\mathcal{H}}^{{ - \varepsilon }}}$, т.е. для любого непрерывного ограниченного функционала f(Y) на пространстве ${{\mathcal{H}}^{{ - \varepsilon }}}$ справедлива сходимость

При этом предельная мера μ_∞является гауссовской мерой, сосредоточенной на пространстве $\mathcal{H}$.

Доказательство теоремы основано на технике работы [5], где аналогичные результаты доказаны для дискретных моделей, так называемых гармонических кристаллов, а также на методе работы [7], где теорема доказана в частном случае, когда k = 1.

Пусть теперь u(x, t) – случайное решение задачи (1) с постоянными коэффициентами, т.е. когда ${{a}_{{ij}}}\left( x \right) \equiv {{\delta }_{{ij}}}$ и ${{a}_{0}}\left( x \right) \equiv 0$. Тогда средняя плотность потока  энергии равна J(x, t) = $ - \mathbb{E}(\dot {u}(x,t)\nabla u(x,t))$. В   пределе при $t \to \infty $ получаем J(x, t) → → $~{{{\mathbf{J}}}_{\infty }} = \nabla q_{\infty }^{{10}}\left( 0 \right)$, где ${{q}_{\infty }}(x) = (q_{\infty }^{{ij}}(x))$ – корреляционная матрица меры μ_∞. Применим полученные результаты к частному случаю, когда μ_n являются гиббсовскими мерами, соответствующими различным температурам ${{T}_{{\mathbf{n}}}} > 0$. Для изучаемой модели гиббсовскую меру g_T можно определить как гауссовскую меру с нулевым средним и корреляционной матрицей вида

где через T обозначается температура, T > 0, $\mathcal{E}(x)$ – фундаментальное решение оператора Лапласа, т.е. $\Delta \mathcal{E}(x) = \delta (x)$, $x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$, δ(x) – δ-функция Дирака. В случае, когда ${{\mu }_{{\mathbf{n}}}} \equiv {{{\text{g}}}_{{{{T}_{{\mathbf{n}}}}}}}$ – гиббсовские меры с температурами T_n, ${\mathbf{n}} \in {{\mathcal{N}}^{k}}$, справедлива формула (7), где (формально) ${{c}_{l}} = {{(2\pi )}^{{ - d}}}\mathop \smallint \limits_{{{\mathbb{R}}^{d}}}^{} \frac{{\left| {{{\xi }_{l}}} \right|}}{{\left| \xi \right|}}d\xi $, $l = 1,2$, ..., k. Таким образом, доказано, что существуют неравновесные состояния (или вероятностные предельные меры μ_∞), при которых в изучаемой модели имеется ненулевой поток тепла.

Рассмотрим частный случай формулы (7). Пусть k = 1 и ${{\mu }_{n}} = {{{\text{g}}}_{{{{T}_{n}}}}}$, n = 1; 2. Тогда модель (1) можно представить как “систему + два резервуара”, где резервуары состоят из “точек модели” (т.е. решений Y(x, t)) с координатами $x \in {{D}_{1}} = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$: x₁ < –a} и $x \in {{D}_{2}} = \{ {{x}_{1}} > a\} $. В начальный момент времени резервуары имеют гиббсовские распределения с температурами T_n. Из формулы (7) вытекает, что в этом случае предельная плотность потока энергии равна ${{{\mathbf{J}}}_{\infty }} = - \left( {{{c}_{1}}\left( {{{T}_{2}} - {{T}_{1}}} \right),0, \ldots ,0} \right)$, где ${{c}_{1}} = + \infty $. В случае сглаженных предельных мер $\mu _{\infty }^{\theta }$ значение c₁ конечно и положительно, что соответствует Второму закону термодинамики, т.е. тепло передается от “горячего” резервуара к “холодному”.

В заключение отметим, что все результаты остаются верны для волновых уравнений в ${{\mathbb{R}}^{d}}$ с четным d ≥ 4, что является обобщением работы [8] на более общий класс начальных мер.