Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 38-42

Известно, что формула коплощади является криволинейным аналогом теоремы Фубини, согласно которой меру множества можно вычислить через меры пересечения этого множества с плоскостями меньшей размерности. В классическом анализе формула коплощади активно применяется для решения задач о свойствах экстремальных поверхностей, в теории потоков, алгебраической геометрии, геометрической теории меры и др. В недавней работе [1] она была впервые установлена для базового случая, когда мера подмножества группы Карно глубины два выражалась (с учетом коэффициента коплощади) через сублоренцевы меры его пересечения со множествами уровня C¹-гладкой функции. Кроме того, в [1] установлено условие пространственноподобия поверхностей уровня в терминах горизонтального градиента. В настоящей работе рассмотрены вектор-функции, определенные на группах Карно произвольной глубины и принимающие значения в ${{\mathbb{R}}^{{\tilde {n}}}}$, $\tilde {n} \geqslant 1$. Кроме того, при рассмотрении множеств уровня сублоренцева структура вводится в многомерном виде: если субриманов дифференциал отображения невырожден на $\tilde {n}$ горизонтальных полях, то квадрат длины вдоль n^– из них отрицателен, где $1 \leqslant {{n}^{ - }} \leqslant \tilde {n}$. В связи с усложнением структуры прообраза и образа потребовалось установить некоторые новые свойства субриманова дифференциала отображения, кроме того, при ${{n}^{ - }} > 1$ обнаружена новая характеристика, не возникающая в базовом случае. Напомним, что сублоренцевы структуры являются неголономным обобщением геометрии Минковского (см., например, [2]), они и их приложения в физике стали исследоваться недавно [3–6]. Вопрос о формуле коплощади данного типа на таких структурах до настоящего времени оставался открытым.

Приведем необходимые определения.

Определение 1 (см., например, [7]). Группой Карно называется связная односвязная стратифицированная группа Ли $\mathbb{G}$, алгебра Ли V которой градуирована, т. е., представляется в виде V = $\mathop \oplus \limits_{k = 1}^M {{V}_{k}}$, $[{{V}_{1}},{{V}_{k}}] = {{V}_{{k + 1}}}$, $k = 1, \ldots ,M - 1$, $[{{V}_{1}},{{V}_{M}}]$ = {0}. Если базисное поле X_l принадлежит V_k, то его степень ${\text{deg}}{{X}_{l}}$ равна k, $l = 1, \ldots ,N$, $k = 1, \ldots ,M$. Число M называется глубиной группы $\mathbb{G}$.

Обозначение 1. Обозначим топологическую размерность группы $\mathbb{G}$ символом N, а базисные векторные поля – ${{X}_{1}},\; \ldots ,\;{{X}_{N}}$.

Групповая операция определяется формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа.

Опишем субриманов аналог расстояния между точками.

Определение 2 (см. также [8]). Пусть

w = ${\text{exp}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{{w}_{i}}} {{X}_{i}}} \right)({v})$, ${v},w \in \mathbb{G}$.

Зададим величину ${{d}_{2}}({v},w)$ следующим образом:

Множество $\left\{ {w \in \mathbb{G}{\text{:}}\;{{d}_{2}}({v},w) < r} \right\}$ называется шаром относительно d₂ радиуса r > 0 с центром в точке ${v}$ и обозначается символом ${\text{Bo}}{{{\text{x}}}_{2}}({v},r)$.

Хаусдорфова размерность $\mathbb{G}$ относительно d₂ равна $\sum\limits_{k = 1}^M k dim{{V}_{k}}$, и обозначается символом $\nu $.

Определение 3. Значение субримановой меры для $A \subset \mathbb{G}$ равно

где точная нижняя грань берется по всем покрытиям множества A.

Определение 4 ([9, 10]). Отображение $\varphi {\text{:}}\,\,U \to \tilde {\mathbb{G}}$, $U \subset \mathbb{G}$, где $\mathbb{G}$ и $\tilde {\mathbb{G}}$ – произвольные группы Карно, hc-дифференцируемо в точке $x \in U$, если существует горизонтальный гомоморфизм ${{\mathcal{L}}_{x}}{\text{:}}\,\,\mathbb{G} \to \tilde {\mathbb{G}}$ такой, что

${{d}_{2}}(\varphi (w),{{\mathcal{L}}_{x}}\langle w\rangle )$ = o(d₂(x, w)), $U \ni w \to x$.

Теорема 1 [9, 10]. Если φ – вектор-функция класса C¹, определенная на группе Карно, то она непрерывно hc-дифференцируема всюду. Ее hc-дифференциал ${{D}_{H}}\varphi $ равен $({{X}_{1}}\varphi , \ldots ,{{X}_{{dim{{V}_{1}}}}}\varphi $, 0, …, 0).

Предположение 1. Будем рассматривать отображение $\varphi {\text{:}}\;\Omega \to {{\mathbb{R}}^{{\tilde {n}}}}$ класса ${{C}^{1}}$, где $\Omega \subset \mathbb{G}$ – открытое множество, $\tilde {n} < dim{{V}_{1}}$, и ${\text{rank}}{{D}_{H}}\varphi (x) = \tilde {n}$ в каждой точке x.

Для описания сублоренцевой структуры на $\mathbb{G}$ введем квадрат сублоренцева расстояния между точками. Так как для определения меры нам нужна система шаров, то определять само расстояние нет необходимости.

Определение 5 (см. общий случай в [11]). Пусть $w = exp\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{{w}_{i}}} {{X}_{i}}} \right)({v})$, ${v},w \in \mathbb{G}$. Пусть еще ${{n}^{ - }} \in [1,\tilde {n}]$. Зададим величину $\mathfrak{d}_{2}^{2}({v},w)$ следующим образом:

Множество $\{ w \in \mathbb{G}{\text{:}}\;\mathfrak{d}_{2}^{2}({v},w) < {{r}^{2}}\} $ называется шаром относительно $\mathfrak{d}_{2}^{2}$ радиуса r > 0 с центром в точке ${v}$ и обозначается символом ${\text{Bo}}{{{\text{x}}}_{{\mathfrak{d}_{2}^{2}}}}({v},r)$.

Квадрат сублоренцевой длины вектора $\sum\limits_{i = 1}^N {{{w}_{i}}} {{X}_{i}}(x)$, $x \in \mathbb{G}$, определяется аналогично.

Определение 6 [2]. Если квадрат длины вектора положителен, то он называется пространственноподобным, если отрицателен, то  времениподобным, а если нулевой, то светоподобным. Если все касательные векторы поверхности пространственноподобны, то такая поверхность называется пространственноподобной.

Следующее понятие обобщает соответствующее классическое.

Определение 7 [11]. Пусть ${v} \in \mathbb{G}$. Множество

называется световым конусом с центром в точке ${v}$.

Заметим, что для C¹-гладких поверхностей S классическое понятие пространственноподобия можно заменить на следующее свойство: если ${v} \in S$, то эта поверхность локально лежит вне светового конуса с центром в этой точке, за исключением ${v}$. Чтобы корректно ввести понятие сублоренцевой меры Хаусдорфа на множествах уровня вектор-функции φ с выбранной системой шаров, нужно, чтобы пересечение шара с поверхностью было ограниченным, а пространственноподобие поверхности гарантирует это свойство. С учетом результата, аналогичного [12, свойство 2.17], для корректной постановки задачи о формуле коплощади вектор-функция φ должна удовлетворять следующим требованиям.

Предположение 2. Будем изучать отображения $\varphi {\text{:}}\;\Omega \to {{\mathbb{R}}^{{\tilde {n}}}}$ класса C¹, где $\Omega \subset \mathbb{G}$ – открытое множество, такие, что всюду на Ω длины строк ${{(D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi )}^{{ - 1}}}({{D}_{H}}{\backslash }D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi )$ не превосходят $\tfrac{1}{{\tilde {n}}} - c$, c > 0. Здесь $D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi (x)$ – часть матрицы ${{D}_{H}}\varphi (x)$, состоящая из первых $\tilde {n}$ столбцов, $x \in \Omega $. В этом предположении нам важно, чтобы $D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi (x)$ содержала n^– столбцов, соответствующих отрицательному квадрату расстояния.

Из [12] вытекает

$det(D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi (D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi ){\text{*}}$ –

‒ $({{D}_{H}}{\backslash }D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi )({{D}_{H}}{\backslash }D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi ){\text{*}})$ ≥ $\hat {с}$, $\hat {c} > 0$.

Определение 8. Фиксируем $x \in \mathbb{G}$. Отображение ${{\theta }_{x}}{\text{:}}\,\,({{w}_{1}},\; \ldots ,\;{{w}_{N}}) \mapsto exp\left( {\sum\limits_{j = 1}^N {{{w}_{j}}} {{X}_{j}}} \right)(x)$, где $({{w}_{1}},\; \ldots ,\;{{w}_{N}})$ ∈ ${{\mathbb{R}}^{N}}$, называется координатами первого рода относительно x.

С помощью перехода в координаты первого рода относительно x и применений рассуждений, аналогичных использованным при доказательстве [12, Свойство 2.17, Теорема 2.25] и [1], выводим следующее утверждение.

Теорема 2. Поверхности уровня вектор-функции φ, удовлетворяющей условиям предположений 1 и 2, пространственноподобны.

Введем понятие сублоренцевой меры для подмножеств поверхностей уровня.

Определение 9. Пусть $z \in {{\mathbb{R}}^{{\tilde {n}}}}$. Значение сублоренцевой меры для $A \subset {{\varphi }^{{ - 1}}}(z)$ равно

где точная нижняя грань берется по всем покрытиям множества A.

Ключевым вопросом при выводе сублоренцевой формулы коплощади является анализ метрических свойств множеств уровня. Опишем основные идеи и специфику доказательства. Фиксируем точку x, проходящее через нее множество уровня ${{\varphi }^{{ - 1}}}(\varphi (x))$ и сублоренцев шар ${\text{Bo}}{{{\text{x}}}_{{\mathfrak{d}_{2}^{2}}}}(x,r)$ с центром в этой точке, и вычислим ${{\mathcal{H}}^{{N - \tilde {n}}}}$-меру пересечения шара и множества. Из результатов [13], а также [12], следует, что она с точностью до множителя 1 + o(1) выражается через меру пересечения касательной плоскости и шара, которая равна

где $o(1) \to 0$ при r → 0. Из непосредственных вычислений вытекает, что где $({{D}_{H}}{\backslash }D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi (x))$ – матрица, состоящая из dimV₁ – $\tilde {n}$ столбцов, начиная с $(\tilde {n} + 1)$-го. В силу предположения 2, по теореме о неявной функции для $\sum\limits_{j = 1}^{dim{{V}_{1}}} {{{w}_{j}}} {{X}_{j}}(x) \in ker{{D}_{H}}\varphi (x)$ имеем

Из результатов для пересечений отображений-графиков с сублоренцевыми шарами (см., например, [12]) следует, что

где g – риманов тензор, и $o(1) \to 0$ при r → 0, а матрица ${{(D_{H}^{{SL}}\varphi (x))}^{{ - 1}}}$ равна $E_{{{{n}^{ - }}}}^{ - } \cdot {{(D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi (x))}^{{ - 1}}}$, где $E_{n}^{ - }$ – диагональная матрица, первые n элементов которой равны –1, а остальные равны +1, $n \in [0,\tilde {n}]$. Остается сравнить определители матриц вида ${{E}_{p}} + B{\text{*}}A{\text{*}}\hat {A}B$ и ${{E}_{q}} + \hat {A}BB{\text{*}}A{\text{*}}$, где $p = dim{{V}_{1}} - \tilde {n}$ и $q = \tilde {n}$ – размерности единичных матриц, а $\hat {A} = E_{n}^{ - }A$. Пусть p > q. Тогда для B*A* существует ортогональная матрица O такая, что $OB{\text{*}}A{\text{*}}$ представимо, как объединение матрицы ранга $q{\text{'}} \leqslant q$ и $p - q{\text{'}}$ строк, состоящих из нулей. Кроме того, существует ортогональная матрица $O{\text{'}}$ такая, что только первые $q{\text{'}}$ строк $OB{\text{*}}A{\text{*}}O{\text{'}}$ ненулевые. Заметим, что $\hat {A}BO{\text{*}}$ совпадает с объединением матрицы ранга $q{\text{'}}$ и  столбцов, состоящих из нулей. Следовательно, полагая под знаком эквивалентности ~ равен-ство         определителей, получаем E_p + + $B{\text{*}}A{\text{*}}\hat {A}B \sim {{E}_{p}} + OB{\text{*}}A{\text{*}}O{\text{'}}(O{\text{'}}){\text{*}}\hat {A}BO{\text{*}}$, где последняя – диагональная матрица, состоящая из блока вида ${{E}_{{q'}}} + {{A}_{1}}{{A}_{2}}$ размерности $q{\text{'}}$ и единичного, а ${{E}_{q}} + \hat {A}BB{\text{*}}A{\text{*}}$ ~ ${{E}_{q}} + (O{\text{'}}){\text{*}}\hat {A}BO{\text{*}}OB{\text{*}}A{\text{*}}O{\text{'}}$, где последняя – блочно-нижнетреугольная квадратная матрица, диагональный блок размерности $q{\text{'}}$ которого совпадает с ${{E}_{{q'}}}$ + A₂A₁, а второй диагональный блок также единичный. Здесь A₁ и A₂ – матрицы размерности $q{\text{'}}$, причем A₁ обратима. Так как можем заменить основной множитель в правой части (1) на величину

Домножая числитель и знаменатель на ${{(det(D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi (x)(D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi (x)){\text{*))}}}^{{{\text{1/2}}}}}$, выводим равенство (2) соотношению

и поэтому где $o(1) \to 0$ при r → 0 равномерно по точкам из окрестности x ∈ Ω.

Теорема 3. Для отображения $\varphi \in {{C}^{1}}(\Omega ,{{\mathbb{R}}^{{\tilde {n}}}})$, определенного на открытом множестве $\Omega \subset \mathbb{G}$ группы Карно $\mathbb{G}$ такого, что всюду на Ω длины строк ${{(D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi )}^{{ - 1}}}({{D}_{H}}{\backslash }D_{H}^{{\tilde {n}}}\varphi )$ не превосходят $\tfrac{1}{{\tilde {n}}} - c$, с > 0, справедлива формула коплощади

Следствие 1. Если ${{n}^{ - }} = \tilde {n}$, то формула коплощади имеет вид

Следствие 2. Утверждения теоремы 3 и следствия 1 справедливы и для вектор-функций, определенных на классах пространств Карно–Каратеодори (см. определение, например, в [14, 15]). Определения 2–9 повторяются почти дословно с очевидными изменениями; результаты о субримановой дифференцируемости установлены в [10].