Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 49-53

1. Введение. В настоящей работе изучается система Дирака

где ${\mathbf{y}} = {\text{col}}({{y}_{1}}(x),{{y}_{2}}(x))$, функции P(x), $Q(x) \in {{L}_{1}}(0,\pi )$, с двухточечными краевыми условиями где коэффициенты ${{a}_{{ij}}}$ являются произвольными комплексными числами, а строки матрицы линейно независимы. Оператор $\mathbb{L}{\mathbf{y}} = B{\mathbf{y}}{\text{'}} + V{\mathbf{y}}$ рассматривается как линейный оператор в пространстве $\mathbb{H} = {{L}_{2}}(0,\pi ) \oplus {{L}_{2}}(0,\pi )$ с областью определения $D(\mathbb{L}) = \{ {\mathbf{y}} \in W_{1}^{1}[0,\pi ]:L{\mathbf{y}} \in \mathbb{H}$, ${{U}_{j}}({\mathbf{y}}) = 0$ (j = = 1, 2)}.

Задачи на собственные значения для оператора $\mathbb{L}$ с краевыми условиями (2) исследовались во многих работах. В [1] было установлено, что система корневых функций задачи (1), (2) с регулярными краевыми условиями полна в $\mathbb{H}$. Регулярные задачи Дирака с потенциалами $V \in {{L}_{2}}(0,\pi )$ были изучены П. Джаковым и Б.С. Митягиным [2–10], причем в [8] ими было получено доказательство теоремы о безусловной базисности со скобками соответствующей системы корневых функций. Значительно более сложный случай, когда потенциал $V(x) \in {{L}_{1}}(0,\pi )$, был исследован А.М. Савчуком и А.А. Шкаликовым в [11], где было установлено, что система корневых функций задачи (1), (2) с усиленно регулярными краевыми условиями образует базис Рисса в $\mathbb{H}$ и базис Рисса со скобками в $\mathbb{H}$ в случае регулярных, но не усиленно регулярных краевых условий. Другим способом аналогичные результаты о базисности Рисса системы корневых функций задачи (1), (2) с усиленно регулярными краевыми условиями для потенциала $V(x) \in {{L}_{1}}(0,\pi )$ были получены А.А. Луневым и М.М. Маламудом в [12, 13] и о базисности Рисса со скобками в случае регулярных, но не усиленно регулярных краевых условий, в [13], а также А.М. Савчуком и И.В. Садовничей в [14] (более подробные ссылки можно найти в [13, с. 778]).

Однако для регулярных, но не усиленно регулярных краевых условий (кроме частного случая периодических и антипериодических условий, которые были исследованы в [2–10], если функции $P(x),Q(x) \in {{L}_{2}}(0,\pi )$), все перечисленные работы оставляют открытым вопрос, образует ли система корневых функций обычный базис Рисса, а не базис Рисса со скобками. Основная цель настоящей работы заключается в исследовании этой проблемы.

2. Характеристический определитель и спектр. Обозначим

фундаментальную матрицу решений уравнения (1) с краевыми условиями $E(0,\lambda ) = I$, где I – единичная матрица. Обозначим также A_ij определитель, составленный из i-го и j-го столбцов матрицы A.

Методом оператора преобразования в [12] было показано, что характеристический определитель $\Delta (\lambda )$ задачи (1), (2) может быть приведен к виду

где функция является характеристическим определителем задачи а функции ${{r}_{j}}(t) \in {{L}_{1}}(0,\pi )$, j = 1, 2.

Определение 1. Краевые условия (2) называются  регулярными, если

и  усиленно регулярными, если дополнительно имеет место неравенство

Определение 2. Краевые условия (2) называются регулярными, но неусиленно регулярными, если условие (4) выполнено, а (5) не выполнено, т.е.

Хорошо известно, что собственные значения $\lambda _{k}^{0}$ оператора ${{L}_{0}}{\mathbf{y}} = B{\mathbf{y}}{\kern 1pt} '$ с регулярными краевыми условиями образуют две серии:

где z₁ и z₂ являются корнями квадратного уравнения а значения ветви логарифма фиксируются в полосе $ - \pi < {\text{Im}}z \leqslant \pi $. В [11–14] было показано, что собственные значения λ_k задачи (1), (2) с регулярными краевыми условиями удовлетворяют асимптотическому соотношению где $\lambda _{k}^{0}$ являются собственными значениями соответствующей невозмущенной задачи (3).

Далее мы будем рассматривать задачу (1), (2) только с регулярными, но не усиленно регулярными краевыми условиями. Легко видеть, что в этом случае

и спектр состоит из попарно сближающихся собственных значений $n \in \mathbb{Z}$, ${{\varepsilon }_{{n,j}}} \to 0$ при $n \to \pm \infty $. Если при всех n, таких что ${\text{|}}n{\text{|}} > {{n}_{0}}$, ${{\lambda }_{{n,1}}} = {{\lambda }_{{n,2}}}$, то спектр называется асимптотически кратным. Если при всех n, таких что ${\text{|}}n{\text{|}} > {{n}_{0}}$, ${{\lambda }_{{n,1}}} \ne {{\lambda }_{{n,2}}}$, то спектр называется асимптотически простым.

Для изучения указанного выше класса задач целесообразно разделить краевые условия (2), удовлетворяющие (4) и (6), на два подкласса:

(a) ${{A}_{{13}}} = {{A}_{{24}}} = 0$;

(b) ${\text{|}}{{A}_{{13}}}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}{{A}_{{24}}}{\text{|}} > 0$.

Эти два случая следует рассматривать отдельно.

3. Основные результаты.

Случай (a). Краевые условия (a) называются условиями периодического типа [8]. Условия периодического типа эквивалентны условиям, задаваемым матрицей

где $a \ne 0$. Если a = –1, то краевые условия (7) являются периодическими, если a = 1, то антипериодическими. В [8] было показано, что для задачи (3) с условиями периодического типа все собственные значения двойные и все соответствующие корневые подпространства состоят из двух собственных функций.

Запишем задачу (1), (2) с условиями периодического типа в более обозримой форме

Пусть $a = r{{e}^{{i\varphi }}},$ $ - \pi < \varphi \leqslant \pi $. Обозначим τ₀ = = $\tfrac{{\varphi + \pi }}{\pi } + \tfrac{{i{\text{ln}}r}}{\pi }$. Тогда задача (8) имеет две серии собственных значений

где $n \in \mathbb{Z}$, ${{\varepsilon }_{{n,j}}} \to 0$ при ${\text{|}}n{\text{|}} \to \infty $, j = 1, 2. Сопряженная задача имеет вид

Пусть ${{\lambda }_{{n,j}}}$ является простым собственным значением задачи (8), а ${{{\mathbf{y}}}_{{n,j}}}(x) = {\text{col}}(y_{{n,j}}^{{[1]}}(x),y_{{n,j}}^{{[2]}}(x))$ – соответствующая собственная функция. Легко видеть, что

где ${\text{|}}{{\alpha }_{{n,j}}}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}{{\beta }_{{n,j}}}{\text{|}} > 0$. Всюду в дальнейшем без потери общности будем предполагать, что корневые функции, соответствующие кратному собственному значению, образуют ортонормированный базис в соответствующем корневом подпространстве. Пусть T обозначает множество тех номеров $n$, для которых ${{\lambda }_{{n,1}}} \ne {{\lambda }_{{n,2}}}$. В [11, 13, 14] было показано, что двумерные подпространства S_n, соответствующие сближающимся собственным значениям ${{\lambda }_{{n,1}}}$ и ${{\lambda }_{{n,2}}}$, образуют блок-базис Рисса в $\mathbb{H}$, следовательно, если T конечно, то, согласно [15, с. 414–415] система корневых функций $\{ {{{\mathbf{y}}}_{{n,j}}}(x)\} $ является базисом Рисса в $\mathbb{H}$.

Лемма 1. Пусть множество T бесконечно. Система собственных и присоединенных функций задачи (8) является базисом Рисса в $\mathbb{H}$ тогда и только тогда, когда существуют постоянные ${{C}_{1}},{{C}_{2}} > 0$, такие что для всех достаточно больших $\left| n \right|\;(n \in T)$

Лемма 2. Пусть множество T бесконечно. Система собственных и присоединенных функций задачи (8) является базисом Рисса в $\mathbb{H}$ тогда и только тогда, когда существуют постоянные ${{C}_{1}},{{C}_{2}} > 0$, такие что для всех достаточно больших $\left| n \right|\;(n \in T)$

При дополнительных предположениях на гладкость коэффициентов P(x) и Q(x) условие (9) может быть проверено. В [1, гл. 1] система Дирака была рассмотрена в форме

где

В частности, при условии $p(x),r(x) \in W_{2}^{1}(0,\pi )$ были установлены асимптотические формулы для элементов ${{y}_{{ij}}}(x,\lambda )$ фундаментальной матрицы решений $Y(x,\lambda )$ уравнения

с краевыми условиями $Y(0,\lambda ) = I$. Отсюда стандартными рассуждениями (см., например, [1, гл. 1, § 4]) могут быть получены асимптотические формулы для функций ${{e}_{{ij}}}(\pi ,\lambda )$ при ${\text{|}}\lambda {\text{|}} \to \infty $, ${\text{|Im}}\lambda {\text{|}}$ < C.

Теорема 1. Пусть $P(x),Q(x) \in W_{2}^{1}(0,\pi )$. Система собственных и присоединенных функций задачи (8) образует базис Рисса в $\mathbb{H}$, если

Замечание 1. При выполнении условия (10) спектр задачи (8) асимптотически простой.

Обозначим через Ψ множество пар функций $(P(x),Q(x)) \in {{L}_{1}}(0,\pi ) \oplus {{L}_{1}}(0,\pi )$, таких что система корневых функций задачи (8) является базисом Рисса в $\mathbb{H}$, $\overline \Psi = ({{L}_{1}}(0,\pi ) \oplus {{L}_{1}}(0,\pi )){\backslash }\Psi $.

Теорема 2. Множества Ψ и $\overline \Psi $ всюду плотны в ${{L}_{1}}(0,\pi ) \oplus {{L}_{1}}(0,\pi )$.

Случай (b). Этот случай содержит много краевых условий, например, условия, определенные матрицами

где $a \ne 0,$ $b \ne 0$.

В [8] было показано, что для задачи (3) с краевыми условиями, не являющимися условиями периодического типа, все собственные значения двойные и все соответствующие корневые подпространства состоят из одной собственной функции и одной присоединенной функции.

Теорема 3. Если краевые условия не являются условиями периодического типа, то система собственных и присоединенных функций задачи (1), (2) образует базис Рисса в $\mathbb{H}$ тогда и только тогда, когда спектр является асимптотически кратным.

Используя асимптотику функций ${{e}_{{ij}}}(\pi ,\lambda )$, можно установить следующее утверждение.

Теорема 4. Если $P(x),Q(x) \in W_{2}^{1}(0,\pi )$ и

то спектр задачи (1), (2) асимптотически простой.

Следствие 1. При выполнении условий теоремы 4 система корневых функций задачи (1), (2) не является базисом в $\mathbb{H}$.

Обозначим через $\Upsilon $ множество пар функций $(P(x),Q(x)) \in {{L}_{1}}(0,\pi ) \oplus {{L}_{1}}(0,\pi )$, таких что система корневых функций задачи (1), (2) образует базис Рисса в $\mathbb{H}$, $\overline \Upsilon = ({{L}_{1}}(0,\pi ) \oplus {{L}_{1}}(0,\pi )){\backslash }\Upsilon $.

Теорема 5. Множество $\overline \Upsilon $ всюду плотно в ${{L}_{1}}(0,\pi ) \oplus {{L}_{1}}(0,\pi )$.

Замечание 2. Построение потенциалов, обеспечивающих асимптотическую кратность спектра, связано с решением соответствующих обратных задач, исследование которых осуществляется другими методами.