Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 58-61

1. Числовые поля являются естественным источником решеток, т.е. пар (L, b), где L – свободный $\mathbb{Z}$-модуль конечного ранга, а $b:L \times L \to \mathbb{Z}$ – невырожденная симметрическая билинейная форма. А именно, пусть K – числовое поле, n := := $[K:\mathbb{Q}] < \infty ,$ а $\mathcal{O}$ – кольцо всех целых элементов поля K. Пусть $\theta \in {\text{Aut}}K$, ${{\theta }^{2}}$ = id. Тогда отображение ${\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{:}}\,K \times K \to \mathbb{Q}$, ${\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}(x,y): = {\text{Trac}}{{{\text{e}}}_{{K/\mathbb{Q}}}}(x \cdot \theta (y))$ является такой невырожденной симметрической билинейной формой, что если I – ненулевой идеал в $\mathcal{O}$, то $(I,{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}): = (I,{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{{{\text{|}}}_{{I \times I}}})$ – решетка ранга n.

Некоторые замечательные решетки имеют вид $(I,{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$. Например, это так для некоторых решеток корней, решетки Кокстера–Тодда, решетки Лича и некоторых других (см. [2–5]). Это приводит к следующей задаче: определить по заданной решетке, изометрична ли она решетке $(I,{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ для подходящих K, $\theta $, I.

Среди всех ненулевых идеалов кольца $\mathcal{O}$ имеется естественно выделенный, а именно, само $\mathcal{O}$. Это приводит к вопросу о том, какие замечательные решетки изометричны (или, более общо, подобны) решеткам вида $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$.

Мы исследуем здесь, может ли $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ быть подобна решетке корней, в частности, может ли сама $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ быть решеткой корней.

2. Для формулировки наших результатов (теорем 1–7) напомним сначала ряд определений и фактов (см. [5–7]), а также введем обозначения и терминологию.

Ненулевая решетка называется решеткой корней, если она изометрична ортогональной прямой сумме (обозначаемой далее $ \oplus $) решеток, принадлежащих объединению двух бесконечных серий ${{\mathbb{A}}_{\ell }}$ $(\ell \geqslant 1)$, ${{\mathbb{D}}_{\ell }}$ $(\ell \geqslant 4)$ и четырех спорадических решеток ${{\mathbb{Z}}^{1}}$, ${{\mathbb{E}}_{6}}$, ${{\mathbb{E}}_{7}}$, ${{\mathbb{E}}_{8}}$, явное описание которых можно найти в [5, 6]. Все решетки из этого объединения неразложимы (т.е. не представляются в виде ортогональных прямых сумм ненулевых слагаемых). Разложение решетки корней в ортогональную прямую сумму неразложимых решеток (называемых неразложимыми компонентами) однозначно. Мы обозначаем ортогональную прямую сумму $s$ копий решетки (L, b) через ${{(L,b)}^{s}}$; при $(L,b) = {{\mathbb{Z}}^{1}}$ решетка ${{(L,b)}^{s}}$ обозначается через ${{\mathbb{Z}}^{s}}$. Характеризация решеток корней дается фундаментальной теоремой Витта [8, 6 ]: решетка (L, b) является решеткой корней тогда и только тогда, когда форма b положительно определена, а $\mathbb{Z}$-модуль L порожден множеством $\{ x \in L\,|\,b(x,x) = 1$ или 2}. Мы говорим, что (L, b) – решетка корней типа I (соответственно, II), если $\mathbb{Z}$-модуль L порожден множеством $\{ x \in L\,|\,b(x,x) = 1\} $ (соответственно, $\{ x \in L\,|\,b(x,x)$ = 2}); первое эквивалентно изометричности (L, b) и ${{\mathbb{Z}}^{s}}$, а второе – четности (L, b). Если решетка корней (L, b) не относится к этим двум типам, мы говорим, что (L, b) – решетка смешанного типа. Решетка $({{L}_{1}},{{b}_{1}})$ называется подобной решетке $({{L}_{2}},{{b}_{2}})$, если существуют такие ненулевые числа ${{m}_{1}},{{m}_{2}} \in \mathbb{Z}$, что решетки $({{L}_{1}},{{m}_{1}}{{b}_{1}})$ и $({{L}_{2}},{{m}_{2}}{{b}_{2}})$ изометричны. Ненулевая решетка (L, b) называется примитивной, если НОД совокупности чисел $\{ b(x,y)\,|\,x,y \in L\} $ равен 1. Если (L, b) = = $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{\theta }})$, этот НОД равен такому целому положительному числу m, что ${\text{Trac}}{{{\text{e}}}_{{K/\mathbb{Q}}}}(\mathcal{O}) = m\mathbb{Z}$. Решетка корней тогда и только тогда примитивна (соответственно, четна), когда хотя бы одна ее неразложимая компонента не изометрична ${{\mathbb{A}}_{1}}$ (соответственно, каждая ее неразложимая компонента не изометрична ${{\mathbb{Z}}^{1}}$).

3. Теорема 1 дает классификацию таких пар K, $\theta $, что $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ – решетка корней.

Теорема 1. Следующие два свойства пары K, $\theta $ эквивалентны:

(a) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ является решеткой корней;

(b) K, $\theta $ является одной из следующих пар:

(b₁) $K = \mathbb{Q}$, $\theta = {\text{id}}$;

(b₂) $K = \mathbb{Q}(\sqrt { - 3} )$, θ – комплексное сопряжение;

(b₃) $K = \mathbb{Q}(\sqrt { - 1} )$, θ – комплексное сопряжение.

В случаях (b₁), (b₂) и (b₃) решетка $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ изометрична соответственно решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{1}}$, ${{\mathbb{A}}_{2}}$ и $\mathbb{A}_{1}^{2}$.

4. Теорема 2 дает классифицикацию таких пар K, θ, что $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке корней типа I.

Теорема 2. Следующие пять свойств пары $K,\;\theta $ эквивалентны:

(a) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{n}}$;

(b) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке корней $\mathbb{A}_{1}^{n}$;

(c) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ изометрична решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{n}}$;

(d) $(\mathcal{O},2{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ изометрична решетке корней $\mathbb{A}_{1}^{n}$;

(e) существует такое $a \in \mathbb{Z}$, $a > 0$, что $K$ является 2^a-м круговым полем, а θ – комплексным сопряжением при a > 1 и $\theta = {\text{id}}$ при a = 1.

Если эти свойства выполнены, то $n = {{2}^{{a - 1}}}$ и m = n.

Замечание 1. В случае (e), пусть ${{\zeta }_{{{{2}^{a}}}}} \in K$ – примитивный корень степени 2^a из единицы, а ${{x}_{j}}: = \zeta _{{{{2}^{a}}}}^{j}$. Тогда (см. [3], где для d-х круговых полей с $d = {{2}^{a}}$ и 3^b доказано, что $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ – решетка корней, и описаны ее неразложимые компоненты) множество всех неразложимых компонент решетки $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ совпадает с множеством всех ее подрешеток $\mathbb{Z}{{x}_{j}},\;0 \leqslant j \leqslant {{2}^{{a - 1}}} - 1$. Для каждого j значение ${\text{t}}{{{\text{r}}}_{\theta }}{\text{/}}m$ на $({{x}_{j}},{{x}_{j}})$ равно 1.

5. Теорема 3 дает классифицикацию пар K, $\theta $, для которых $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна четной примитивной решетке корней.

Теорема 3. Следующие четыре свойства пары $K,\;\theta $ эквивалентны:

(a) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна четной примитивной решетке корней;

(b) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ является четной примитивной решеткой корней:

(c) $n$ четно и $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ изометрична решетке корней $\mathbb{A}_{2}^{{n/2}}$;

(d) существуют такие $a,b \in \mathbb{Z}$, a > 0, b > 0, что K является ${{2}^{a}}{{3}^{b}}$-м круговым полем, а $\theta $ – комплексным сопряжением.

Если эти свойства выполнены, то $n = {{2}^{a}}{{3}^{{b - 1}}}$ и $m = n{\text{/}}2$.

Замечание 2. В случае (d), пусть ${{\zeta }_{{{{2}^{a}}}}}$ и ${{\zeta }_{{{{3}^{b}}}}} \in K$ – соответственно примитивные корни степеней 2^a и 3^b из единицы, а ${{x}_{{i,j}}}: = \zeta _{{{{2}^{a}}}}^{i}\zeta _{{{{3}^{b}}}}^{j}$. Можно доказать, что множество всех неразложимых компонент решетки $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ совпадает с множеством всех ее подрешеток $\mathbb{Z}{{x}_{{i,j}}} + \mathbb{Z}{{x}_{{i,j + {{3}^{{b - 1}}}}}}$, $0 \leqslant i \leqslant {{2}^{{a - 1}}}$ – 1, $0 \leqslant j \leqslant {{3}^{{b - 1}}}$ – 1. Для всех i, j значение ${\text{t}}{{{\text{r}}}_{\theta }}{\text{/}}m$ на $({{x}_{{i,j}}},{{x}_{{i,j}}})$, $({{x}_{{i,j + {{3}^{{b - 1}}}}}},{{x}_{{i,j + {{3}^{{b - 1}}}}}})$ и $({{x}_{{i,j}}},{{x}_{{i,j + {{3}^{{b - 1}}}}}})$ равно соответственно 2, 2 и –1.

Поскольку теорема 2 дает классификацию пар K, θ, для которых $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна не примитивной решетке корней, объединение теорем 2 и 3 дает классификацию пар K, $\theta $, для которых $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке корней типа II.

6. Следующая группа наших результатов касается подобия решеток $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ решеткам корней смешанного типа. Ниже через μ_K обозначена (циклическая) группа всех корней из единицы в K.

Теорема 4. Если $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке корней смешанного типа, то

(a) $m = n > 1;$

(b) все простые делители числа $n$ разветвлены в расширении полей $K{\text{/}}\mathbb{Q}$ и если простое $p \in \mathbb{Z}$ разветвлено в $K{\text{/}}\mathbb{Q}$, то $p \leqslant n;$ дискриминант расширения $K{\text{/}}\mathbb{Q}$ делится на ${{n}^{n}};$

(c) ${\text{|}}{{\mu }_{K}}{\text{|}} = {{2}^{a}}$ для некоторого $a \in \mathbb{Z}$, a > 0; число ${{2}^{{a - 1}}}$ делит $n$, но не равно ему;

(d) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ изометрична решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{{{{2}^{{a - 1}}}}}} \oplus L$, где L – ненулевая четная решетка корней делящегося на ${{2}^{{a - 1}}}$ ранга, а μ_K = $\{ x \in \mathcal{O}\,|\,({\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ (x, x) = 1}.

Теорема 5. Если $K$ – квадратичное (т.е. n = 2) поле, то следующие два свойства пары $K,\;\theta $ эквивалентны:

(a) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке корней смешанного типа;

(b) либо K изоморфно $\mathbb{Q}(\sqrt 2 )$ и $\theta = {\text{id}}$, либо K изоморфно $\mathbb{Q}(\sqrt { - 2} )$ и $\theta $ – комплексное сопряжение.

Если (a), (b) выполнены, то $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}2)$ изометрична решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{1}} \oplus {{\mathbb{A}}_{1}}$.

Теорема 6. Если K – кубическое (т.е. n = 3) вполне вещественное поле и θ = id, то следующие свойства пары K, θ эквивалентны:

(a) $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке корней смешанного типа;

(b) K – максимальное вполне вещественное подполе 9-го кругового поля.

Если (a), (b) выполнены, то $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}3)$ изометрична решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{1}} \oplus {{\mathbb{A}}_{2}}$.

Следующая группа примеров дает бесконечные серии пар K, $\theta $, для которых $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке корней смешанного типа. Основой конструкции являются круговые поля $\mathbb{Q}({{\zeta }_{d}})$, где ζ_d – примитивный корень степени d из единицы, и их максимальные вполне вещественные подполя $\mathbb{Q}{{({{\zeta }_{d}})}^{ + }}: = \mathbb{Q}({{\zeta }_{d}} + \zeta _{d}^{{ - 1}})$.

Примеры. (1) Пусть $a \in \mathbb{Z}$, $a > 2$, а K = = $\mathbb{Q}{{({{\zeta }_{{{{2}^{a}}}}})}^{ + }}$, θ = id. Тогда (см. [1]) $m = n = {{2}^{{a - 2}}}$ и $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ изометрична решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{1}} \oplus \mathbb{A}_{1}^{{{{2}^{{a - 2}}} - 1}}$.

(2) Пусть $b \in \mathbb{Z}$, $b > 1$, а $K = \mathbb{Q}{{({{\zeta }_{{{{3}^{b}}}}})}^{ + }}$, θ = id. Тогда (см. [3]) $m = n = {{3}^{{b - 1}}}$ и $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ изометрична решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{1}} \oplus \mathbb{A}_{2}^{{({{3}^{{b - 1}}} - 1)/2}}$.

(3) Пусть $a \in \mathbb{Z}$, a > 2, а K = $\mathbb{Q}({{\zeta }_{{{{2}^{a}}}}} - \zeta _{{{{2}^{a}}}}^{{ - 1}})$ ⊂ ⊂ $\mathbb{Q}({{\zeta }_{{{{2}^{a}}}}})$, $\theta $ – комплексное сопряжение (поле K является чисто мнимым квадратичным расширением вполне вещественного поля $\mathbb{Q}{{({{\zeta }_{{{{2}^{{a - 1}}}}}})}^{ + }}$). Тогда (см. [4]) $m = n = {{2}^{{a - 2}}}$ и $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ изометрична решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{1}} \oplus \mathbb{A}_{1}^{{{{2}^{{a - 2}}} - 1}}$.

(4) Пусть $a,b \in \mathbb{Z}$, a > 1, b > 1, а K = = $\mathbb{Q}({{\zeta }_{{{{2}^{a}}}}}){{ \otimes }_{\mathbb{Q}}}\mathbb{Q}{{({{\zeta }_{{{{3}^{b}}}}})}^{ + }}\,{\text{ = }}\mathbb{Q}({{\zeta }_{{{{2}^{a}}}}}({{\zeta }_{{{{3}^{b}}}}} + \zeta _{{{{3}^{b}}}}^{{ - 1}})) \subseteq \mathbb{Q}({{\zeta }_{{{{2}^{a}}{{3}^{b}}}}})$, $\theta $ – комплексное сопряжение. Можно доказать тогда, что $m = n = {{2}^{{a - 1}}}{{3}^{{b - 1}}}$ и $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}}{\text{/}}m)$ изометрична решетке корней ${{\mathbb{Z}}^{{{{2}^{{a - 1}}}}}} \oplus \mathbb{A}_{2}^{{{{2}^{{a - 2}}}({{3}^{{b - 1}}} - 1)}}$.

7. Наш заключительный результат касается вопроса о том может ли $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ быть подобна положительно определенной четной унимодулярной решетке.

Теорема 7. Не существует такой пары K, $\theta $, что решетка $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна положительно определенной четной унимодулярной решетке ранга ≤ 48.

Следствие. Не существует такой пары K, $\theta $, что решетка $(\mathcal{O},{\text{t}}{{{\text{r}}}_{{K,\theta }}})$ подобна решетке Лича.