Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 62-64

1. БОРДМАНОВСКИЕ ОСОБЕННОСТИ И ОБЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Все рассматриваемые многообразия по умолчанию считаются бесконечно гладкими и без края. Отображения между многообразиями предполагаются бесконечно гладкими, если не оговорено противное. Мы фиксируем пару многообразий M, N размерности $n > 1$. В разделе 5 мы предполагаем n = 2, а в разделе 6 – n = 3.

Мы будем использовать бордмановскую классификацию особенностей (см., например, [1, гл. 1, § 2]). Возьмем отображение $f{\text{:}}\,M \to N$. Для последовательности целых чисел $I = {{i}_{1}},{{i}_{2}}, \ldots ,{{i}_{k}}$, такой что $n \geqslant {{i}_{1}} \geqslant {{i}_{2}} \geqslant \ldots \geqslant {{i}_{k}} \geqslant 0$, в множестве критических точек отображения f определяется подмножество ${{\Sigma }^{I}}(f)$. Его можно определить как прообраз некоторого подмногообразия ${{\Sigma }^{I}} \subset {{J}^{k}}(M,N)$ в пространстве k-струй. Поскольку особенности типа Σ^I для k > n мы рассматривать не будем, положим k = n.

Многообразия Бордмана Σ^I для всевозможных последовательностей индексов образуют разбиение множества $\Sigma \subset {{J}^{k}}(M,N)$ всех критических струй. Это разбиение не является стратификацией [2, с. 48]. Однако поскольку ${{\Sigma }^{I}} \subset {{J}^{k}}(M$, N) суть полуалгебраические подмножества, можно выбрать стратификацию Σ, которая будет подразбиением бордмановского разбиения (см. [3]). Отображения $f{\text{:}}\,M \to N$, струйные расширения которых трансверсальны выбранной стратификации Σ, мы будем называть общими.

Для общего отображения f множество его критических точек $\Sigma (f) = {{j}^{r}}{{(f)}^{{ - 1}}}(\Sigma )$ является стратифицированным подмножеством в M. Любой страт $C \subset \Sigma (f)$ целиком лежит в некотором Σ^I(f), причем из соображений размерности последовательность I должна иметь ноль на конце. Поэтому ограничение $f{{{\text{|}}}_{C}}$ является иммерсией $C \to N$.

2. СОГЛАСОВАННЫЕ СИСТЕМЫ РОСТКОВ

Мы собираемся изучать отображения с заданными особенностями в фиксированном замкнутом подмножестве $S \subset M$.

Пусть имеется набор открытых множеств ${{U}_{i}}\, \subset \,M$, такой что $S \subset \bigcup {{{U}_{i}}} $, и набор n-мерных многообразий V_i (где $i = 1,2, \ldots $ пробегает фиксированный, возможно, бесконечный набор индексов). Пусть задан набор общих отображений ${{\varphi }_{i}}{\text{:}}\,\,{{U}_{i}} \to {{V}_{i}}$, для которых $\bigcup {\Sigma ({{\varphi }_{i}}) = S} $.

Набор $\{ {{\varphi }_{i}}\} $ называется локально согласованным, если для любых i, j ростки ${{\varphi }_{i}}$ и ${{\varphi }_{j}}$ в каждой точке $x \in {{U}_{i}} \cap {{U}_{j}}$ $L$-эквивалентны (это означает, что для некоторых окрестностей $U \ni x$ и $V \ni {{\varphi }_{i}}(U)$, таких что $U \subset ({{U}_{i}} \cap {{U}_{j}})$ и $V \subset {{V}_{i}}$, найдется вложение $\beta {\text{:}}\,\,V \to {{V}_{j}}$, для которого $\beta \circ {{\varphi }_{i}}{{{\text{|}}}_{U}} = {{\varphi }_{j}}{{{\text{|}}}_{U}}$).

Поскольку отображения φ_i общие, на S определена стратификация, т.е. оно обязательно является стратифицированным подмножеством в M.

3. СКРУЧЕННОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ

Для локально согласованного набора $\{ {{\varphi }_{i}}\} $ мы строим следующее векторное расслоение $E \to M$ ранга n. Сперва положим ${{U}_{0}} = {{V}_{0}} = M{\backslash }S$ и φ₀ = = ${\text{Id}}:{{U}_{0}} \to {{V}_{0}}$. Если мы дополним набор $\{ {{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}}$, ...} отображением φ₀, он останется локально согласованным.

Для каждого $i = 0,1, \ldots $ возьмем векторное расслоение ${{E}_{i}} \to {{U}_{i}}$, равное $\varphi _{i}^{*}(T{{V}_{i}})$. Поскольку набор $\{ {{\varphi }_{i}}\} $ локально согласован, для любых i, j и точки $x\, \in \,{{U}_{i}}\, \cap \,{{U}_{j}}$ имеется изоморфизм слоев dβ : ${{E}_{i}}{{{\text{|}}}_{x}}\, \to \,{{E}_{j}}{{{\text{|}}}_{x}}$, где β – отображение, устанавливающее L-эквивалентность ростков ${{\varphi }_{i}}$ и ${{\varphi }_{j}}$ в x. Этот изоморфизм слоев не зависит от выбора E, и, следовательно, задан глобальный изоморфизм Ψ_{i, j} : ${{E}_{i}}{{{\text{|}}}_{{{{U}_{i}} \cap {{U}_{j}}}}}\, \to \,{{E}_{j}}{{{\text{|}}}_{{{{U}_{i}} \cap {{U}_{j}}}}}$. Расслоение E получается склейкой расслоений E_i при помощи ${{\Psi }_{{i,j}}}$, $i,j = 0,1, \ldots $

4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Пусть S, $\{ {{\varphi }_{i}}\} $ и E определены как выше. Будем говорить, что отображение $f\,{\text{'}}:M \to N$ имеет заданные особенности, если $\Sigma (f\,{\text{'}}) = S$ и для любого i ростки $f\,{\text{'}}$ и ${{\varphi }_{i}}$ в любой точке $x \in {{U}_{i}}$ будут L-эквивалентны.

Следующая теорема обобщает h-принцип Я.М. Элиашберга для отображений со складками [4].

Теорема 1. Непрерывное отображение f: $M\, \to \,N$ гомотопно общему отображению $f\,{\text{'}}$, имеющему заданные особенности, если и только если расслоения E и $f{\text{*}}(TN)$ изоморфны.

Доказательство теоремы 1 см. в [5, § 4.3]. Для доказательства существенно, что S – стратифицированное подмножество в M и для любого страта $C \subset S$ и любого i ограничение ${{\varphi }_{i}}{{{\text{|}}}_{{C \cap {{U}_{i}}}}}$ является иммерсией. Также мы используем теорему Я.М. Элиашберга, поэтому существенно, что подмножество $S$, в котором ${{\varphi }_{i}}$ имеют складки, непусто.

5. ПРИЛОЖЕНИЯ В РАЗМЕРНОСТИ 2

Пусть M, N – связные замкнутые поверхности. Ниже мы сформулируем обобщение теоремы, доказанной Я.М. Элиашбергом в случае ориентируемого N, см. [4]. Мы выводим это обобщение из теоремы 1, вычисляя характеристические классы расслоения E.

Особенности общих отображений $M \to N$ суть складки и сборки. Пусть $C \subset M$ – замкнутое 1-подмногообразие, $P \subset C$ – дискретное подмножество. Для каждой точки $p \in P$ выберем вектор единичной нормали к C, называемый характеристическим вектором. Выбор характеристического вектора определяет общий p-росток, имеющий сборку в p и складки в C рядом с $p$, с точностью до эквивалентности (образ характеристического вектора будет направлен “наружу” сборки).

Если $[C] = 0$, то C ограничивает два двумерных подмногообразия с краем ${{M}_{ + }},{{M}_{ - }} \subset M$. Обозначим через ${{n}_{ + }}$, соответственно ${{n}_{ - }}$, число точек P, характеристический вектор которых направлен наружу ${{M}_{ + }}$, соответственно наружу ${{M}_{ - }}$.

Теорема 2. Отображение $f{\text{:}}\,M \to N$ гомотопно отображению с множеством складок $C{\backslash }P$ и множеством сборок P с заданными характеристическими векторами, если и только если выполнены следующие условия:

1) $[C] = {{w}_{1}}(M) + f{\text{*}}{{w}_{1}}(N)$,

2) $[P] = {{w}_{2}}(M) + f{\text{*}}{{w}_{2}}(N)$,

3) если $[C] = 0$, то

$\left| {\chi ({{M}_{ + }}) - \chi ({{M}_{ - }}) - {{n}_{ + }} + {{n}_{ - }}} \right|$ = $\left| {degf \cdot \chi (N)} \right|$.

Здесь degf – степень отображения (возможно, неориентируемых) многообразий. Она определяется как степень индуцированного отображения в старших когомологиях с коэффициентами в ориентирующем пучке. Последнее отображение определено, если $f{\text{*}}{{w}_{1}}(N) = {{w}_{1}}(M)$. Поэтому если [C] = 0, то степень degf определена, поскольку выполнено условие $[C] = {{w}_{1}}(M) + f{\text{*}}{{w}_{1}}(N)$.

Из теоремы 2 мы получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Отображение $M \to N$ с множеством складок $C{\backslash }P$ и множеством сборок $P$ с заданными характеристическими векторами существует, если и только если выполнены следующие условия:

1) $[P] = {{[C]}^{2}}$;

2) если ${{w}_{1}}(N) = 0$, то $[C] = {{w}_{1}}(M)$;

3) если $[C] = 0$, то найдется $d \in Z$, такое что $\left| {\chi ({{M}_{ + }}) - \chi ({{M}_{ - }}) - {{n}_{ + }} + {{n}_{ - }}} \right|$ = $\left| {d \cdot \chi (N)} \right|$ и χ(M) ≤ ≤ ${\text{|}}d{\text{|}} \cdot \chi (N)$; при этом, если M ориентируемо и N неориентируемо, то d должно быть четным;

4) если $[C] \ne 0$, ${{w}_{1}}(M) \ne 0$ и ${{[C]}^{2}} \ne {{w}_{2}}(M)$, то ${{w}_{2}}(N) \ne 0$ и $\chi (N) > \chi (M)$.

Доказательство теорем 2 и 3 изложено в [6].

6. ПРИЛОЖЕНИЯ В РАЗМЕРНОСТИ 3

Пусть теперь $M,N$ – замкнутые трехмерные многообразия. Тогда аналог теоремы 2 будет выглядеть даже проще, поскольку векторные расслоения ранга 3 над M классифицируются своими классами Штифеля–Уитни.

Особенности общих отображений $M \to N$ суть складки, сборки и ласточкины хвосты. Возьмем произвольное замкнутое 2-подмногообразие $S \subset M$, замкнутое 1-подмногообразие $C \subset S$ и дискретное подмножество $P \subset C$.

Теорема 4. Непрерывное отображение $f{\text{:}}\,\,M \to N$ гомотопно общему отображению $f{\kern 1pt} '$, такому что ${{\Sigma }^{1}}(f\,{\text{'}}) = S$, ${{\Sigma }^{{1,1}}}(f\,{\text{'}}) = C$ и ${{\Sigma }^{{1,1,1}}}(f\,{\text{'}}) = P$, если и только если выполнены следующие условия:

1) $[S] = {{w}_{1}}(M) + f{\text{*}}{{w}_{1}}(N)$,

2) $[C] = {{w}_{2}}(M) + f{\text{*}}{{w}_{1}}(N) \cdot [S] + f{\text{*}}{{w}_{2}}(N)$,

3) для каждой компоненты $C{\text{'}} \subset C$ мы имеем $[C\,{\text{'}}\,] \cdot [S] \equiv {\text{|}}P \cap C\,{\text{'|}}mod2$.

Последнее условие нужно, чтобы на $C{\backslash }P$ существовало поле характеристических векторов (образы которых будут направлены “наружу” сборок). Более точно, если это условие выполнено, то таких полей существует ровно два – и общее отображение $f{\kern 1pt} '$ строится для каждого из них. Доказательство теоремы 4 см. в [5, § 5].