Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 75-78

Асимптотический закон распределения простых чисел q, удовлетворяющих при фиксированных $0 < \alpha $, σ < 1 условию $\{ {{q}^{\alpha }}\} < \sigma $, был установлен И.М. Виноградовым [1] с помощью метода тригонометрических сумм. Именно, он доказал, что остаточный член R(x) в формуле

не превосходит по порядку ${{X}^{{1 - \vartheta \left( \alpha \right) + {\varepsilon }}}}$, где ε > 0 – сколь угодно малое фиксированное число,

Впоследствии этот результат неоднократно уточнялся рядом авторов; в их числе А. Балог, Г. Харман, С.А. Гриценко. Аналогичные результаты для случая нецелого α > 1 были получены И.М. Виноградовым в [2] и впоследствии уточнялись в работах Д. Лейтмана, Е.П. Голубевой, О.М. Фоменко, Р. Бейкера, Г.А. Колесника, М.Е. Чанги и др. Наилучшая оценка R(X) при $\frac{1}{2} \leqslant \alpha < 1$ принадлежит С.А. Гриценко [3]:

В [3] также показано, что в случае $\alpha = \frac{1}{2}$ можно положить $\vartheta \left( \alpha \right) = \frac{1}{5}$. Метод, примененный в [3], восходит к Ю.В. Линнику [4, 5]; он опирается на так называемую ‘‘явную формулу’’ для функции Чебышева ψ(x) и плотностные теоремы для нулей дзета-функции Римана.

Для решения задач с простыми числами p, принадлежащими некоторой бесконечной последовательности $\mathbb{E}$, необходимо иметь аналог теоремы Бомбьери–Виноградова, т.е. оценку вида

где B > 0 – сколь угодно большая постоянная, а $Q = {{X}^{{\theta - {\varepsilon }}}}$, $0 < \theta < 1$. Продвижение в исходных задачах напрямую связано с величиной θ, именуемой “уровнем распределения’’ последовательности $\mathbb{E}$: чем выше уровень распределения, тем точнее оказывается результат.

Примером служит задача о существовании бесконечной последовательности пар соседних простых чисел из $\mathbb{E}$, расстояние между которыми не превосходит некоторой постоянной (аналог простых близнецов). Ряд общих утверждений о малых расстояниях между простыми числами из подмножеств целых чисел, для которых выполнен аналог теоремы Бомбьери–Виноградова, доказан Ж. Бенатаром [6] и Дж. Майнардом [7].

Пусть далее $\mathbb{E}$ – множество натуральных чисел n, удовлетворяющих условию $\{ {{n}^{\alpha }}\} < \sigma .$ Как показал Д.И. Толев [8], в случае $\alpha = \frac{1}{2}$ уровень распределения θ последовательности $\mathbb{E}$ оказывается не меньшим $\frac{1}{4}$. С.А. Гриценко и Н.А. Зинченко [9] было доказано, что можно положить $\theta = \frac{1}{3}$. Этот результат остается наилучшим на сегодняшний день.

Доказательство неравенств вида (1) сводится к получению верхней оценки тригонометрической суммы по простым вида

Оценку нужного вида дает следующая

Теорема 1. Пусть $0 < \alpha < 1,0 < \varepsilon < \frac{1}{3}$, D > 1 – произвольные фиксированные числа, $X \geqslant {{X}_{0}}(\alpha ,\varepsilon ,D)$, $Q = {{X}^{{\frac{1}{3} - \varepsilon }}}$, и пусть c – целое число с условием $1 \leqslant c \leqslant {{({\text{ln}}X)}^{D}}$. Тогда для суммы

справедлива оценка $T \ll {{X}^{{1\, - \,\frac{{{{\varepsilon }^{3}}}}{{10\,{{\alpha }^{2}}}}}}},$ где постоянная в знаке $ \ll $ зависит от ε и D.

Таким образом, при любом $0 < \alpha < 1$ можно положить $\theta = \frac{1}{3}$. В частности, при $\frac{1}{2} \leqslant \alpha < 1~$ отсюда получается теорема Гриценко–Зинченко.

Использование теоремы 1 наряду с методом решета А. Сельберга, модифицированным Дж. Майнардом [10], приводит к следующим результатам:

Теорема 2. Пусть $m \geqslant 1$ – фиксированное целое число, ${{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}, \ldots $ – все простые числа из множества $\mathbb{E}$, занумерованные в порядке возрастания. Тогда существует бесконечная последовательность чисел n, для которых

Набор целых чисел ${{h}_{1}} < {{h}_{2}} < \ldots < {{h}_{k}}$ называется допустимым, если для любого простого p найдется a такое, что ${{h}_{i}}\, \not\equiv \,a~({\text{mod}}~p)$ для всех i, $1 \leqslant i \leqslant k$. Доказательство теоремы 2 основано на изучении сумм S типа

Здесь ${{\chi }_{{\mathbb{E} \cap \mathbb{P}}}}$ – характеристическая функция простых из $\mathbb{E}$, $\left\{ {{{h}_{1}}, \ldots ,{{h}_{k}}} \right\}$ – фиксированный допустимый набор, ρ > 0 – постоянная, ${{\omega }_{n}}$ – некоторые неотрицательные числа. Несложно видеть, что утверждение теоремы 2 следует из оценки вида S > 0, отвечающей значению $\rho = m$. Выполнение этого неравенства гарантирует существование бесконечного множества пар простых чисел из $\mathbb{E}$, отличающихся не более чем на диаметр допустимого набора, т.е. на величину $\mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant k} ({{h}_{j}} - {{h}_{i}}).$ Получение оценки S > 0 в формуле (2) сводится к подбору оптимальных весов ${{\omega }_{n}}$, для которых сумма

при $X \to + \infty $ превосходит величину ρS₁, где

Следуя работе Дж. Майнарда [10], мы выбираем веса ω_n в виде

где

Здесь W обозначает произведение всех простых чисел p, не превосходящих $\ln \ln \ln X~$ (так что $W \leqslant {{(\ln \ln X)}^{2}}~$ при достаточно больших X), а $F({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{k}})$ – фиксированная кусочно-дифференцируемая функция, равная нулю всюду, кроме, быть может, множества

Положим ${{\omega }_{n}} = 0$ во всех случаях, кроме $n \equiv {{\nu }_{0}}$ $({\text{mod}}W)$, для фиксированного ν₀, выбранного так, что $\left( {{{\nu }_{0}} + {{h}_{i}},W} \right) = 1$ для всех i. Это ограничение не является ключевым в построении, но позволяет избежать некоторых технических сложностей. Также положим ${{\lambda }_{{{{d}_{1}}, \ldots ,{{d}_{k}}}}}$ = 0 в случае $\left( {\mathop \prod \limits_{i = 1}^k {{d}_{i}},W} \right)$ > 1.

Применяя рассуждения, подобные тем, что использовались в работе Дж. Майнарда [10], получаем следующие формулы:

где

Ключевым отличием от доказательства Дж. Майнарда при выводе формулы (4) является использование теоремы 1 вместо теоремы Бомбьери–Виноградова. Коэффициент σ в главном члене в (3) и (4) отражает тот факт, что доля как всех целых, так и простых чисел из множества $\mathbb{E}$ асимптотически равна σ.

Так исходная задача сводится к поиску функции F, удовлетворяющей указанным ограничениям и дающей максимум отношения

Пусть ${{M}_{k}} = \mathop {\sup }\limits_F {{L}_{k}}\left( F \right)$. Докажем существование бесконечного множества целых n таких, что по крайней мере $\left\lceil {\frac{{\theta {{M}_{k}}}}{2}} \right\rceil $ из чисел n + h_i $(1 \leqslant i \leqslant k)$ являются простыми. Тогда при $m < \left\lceil {\frac{{\theta {{M}_{k}}}}{2}} \right\rceil $ из этого будет следовать справедливость неравенства

Положим $R = {{X}^{{\frac{\theta }{2} - \varepsilon }}}$. По определению M_k, найдется функция F₀ такая, что

Тогда

Таким образом, если $\rho = \frac{{\theta {{M}_{k}}}}{2} - \delta $ для некоторого δ, то выбрав $\varepsilon = \varepsilon \left( \delta \right)$ достаточно малым, получим, что для бесконечного числа целых n по крайней мере [ρ + 1] чисел из набора $n + {{h}_{{i~}}},~~i = 1,~ \ldots ,~k,$ являются простыми. В силу того, что $\left\lfloor {\rho + 1} \right\rfloor = \left\lceil {\frac{{\theta {{M}_{k}}}}{2}} \right\rceil $ при достаточно малом δ, получаем требуемое.

Оценим величину $\mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant k} \left( {{{h}_{j}} - {{h}_{i}}} \right)$. Она равна диаметру некоторого допустимого множества из k чисел, где $\frac{{\theta {{M}_{k}}}}{2} > 1$. Значит, достаточно найти минимальное k, удовлетворяющее условию ${{M}_{k}} > 6m.$ Проводя вычисления, аналогичные приведенным в [10], получаем неравенство

для $k \geqslant 527.$ В соответствии с этим выберем k из условия $k \geqslant 390{{m}^{2}}{{e}^{{6m}}}$, а в качестве допустимого множества возьмем конечную подпоследовательность простых $\{ {{p}_{{\pi \left( k \right) + 1}}}, \ldots ,{{p}_{{\pi \left( k \right) + k}}}\} .$ Легко видеть, что такой выбор дает допустимое множество в силу того, что, с одной стороны, ни один элемент не сравним с нулем по модулям $p \leqslant k,$ с другой стороны, указанное множество не пробегает полной системы вычетов по модулю любого простого p > k из-за недостаточного числа элементов. Тогда при $k \geqslant 98716$. Далее, используя оценку p_n < $n(\ln n$ + + lnlnn + 8) при n = $1.1 \cdot 390{{m}^{2}}{{e}^{{6m}}}$, найдем

Для малых значений m оценку можно уточнить. Например, при m = 1 положим $k = 157337$. Тогда ${{M}_{k}} > 6$ и

Аналогично, при m = 2 выберем $k\, = \,157629323$. Тогда M_k > 12