Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 65-69

1. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ

Понятия и факты из книг [1] и [2] далее используются без объяснений. При этом отображение локально выпуклого пространства (ЛВП) в ЛВП называется дифференцируемым, если оно дифференцируемо по Гато.

Симплектическое ЛВП – это набор $(E,I),$ где E – это вещественное ЛВП, $I{\kern 1pt} :E\,{\text{'}} \to E$ – инъективное линейное непрерывное отображение наделенного топологией Макки сопряженного к E пространства $E\,{\text{'}}$ в E такое, что $I{\text{*}} = - I.$ При этом предполагается, что $E\,{\text{''}}$ отождествлено с E.

Гамильтонова система – это набор $(E,I,H),$ где $(E,I)$ – это симплектическое ЛВП и $H$ – определенная на плотном векторном подпространстве E₀ пространства E, дифференцируемая вдоль E₀ (см. [3]) функция, называемая функцией Гамильтона. Уравнением Гамильтона для такой системы называется уравнение $z{\text{'}}(t) = I(H\,{\text{'}}(z(t)))$ относительно функции z, определенной на отрезке вещественной прямой и принимающей значения в E. Классическое уравнение Шрёдингера является уравнением Гамильтона некоторой гамильтоновой системы; роль фазового пространства здесь играет овеществление гильбертова пространства чистых состояний квантовой системы.

Далее предполагается, что ${{E}_{0}} = E$ и что E – это ортогональная сумма изоморфных гильбертовых пространств Q и $P,$ отождествляемая с произведением $Q \times P.$ При этом Q и P называются соответственно конфигурационным пространством и пространством импульсов, и предполагается, что P отождествлено с сопряженным к Q пространством; отображение $I$ определяется равенством $I(p,q) = (q, - p).$

Пример 1. Если $E$ реализовано как комплексное пространство функций или последовательностей, то роль Q может играть вещественное подпространство всех функций (или, соответственно, последовательностей) из $E,$ которые принимают вещественные значения, а роль $P$ –вещественное подпространство всех функций с нулевой вещественной частью. В случае пространства состояний электромагнитного поля в качестве Q можно выбрать пространство определенных на ${{\mathbb{R}}^{3}}$ функций, значениями которых являются напряженности электрического поля, а в качестве $P$ – пространство определенных на ${{\mathbb{R}}^{3}}$ функций, значениями которых являются напряженности магнитного поля.

Определение 1. Для каждого вещественного $\hbar > 0$  скобкой Пуассона c параметром $\hbar $ упорядоченной пары дифференцируемых числовых функций f и $g$ на $E$ называется функция на E, обозначаемая символом ${{\{ f,g\} }_{{I,\hbar }}}$ и задаваемая равенством ${{\{ f,g\} }_{{I,\hbar }}}(z)$ = $\hbar (f\,{\text{'}}(z)$, $I{{(g{\text{'}}(z))}_{{E\,{\text{'}},E}}}$, где для всех пар $(\ell ,z) \in E\,{\text{'}} \times E$ ${{(\ell ,z)}_{{E\,{\text{'}},E}}} = \ell (z).$ Алгеброй Пуассона с параметром $\hbar $ на симплектическом пространстве $(E,I)$ называется векторное пространство $\mathcal{P}$ всех комплекснозначных непрерывных цилиндрических полиномов f на E, наделенное билинейной операцией умножения ${{\{ \cdot , \cdot \} }_{{I,\hbar }}}$.

Эту алгебру будем называть также алгеброй классических наблюдаемых и обозначать символом $(\mathcal{P},{{\{ \cdot , \cdot \} }_{{I,\hbar }}})$, а пространство $\mathcal{P}$ будем иногда обозначать символами P, $\mathcal{P}(E)$ и $\mathcal{P}(E,I).$ Алгеброй Гейзенберга называется подалгебра алгебры Пуассона, порождаемая всеми линейными функционалами из этой алгебры.

Определение 2. Квантованием по Шрёдингеру с параметром $\hbar $ симплектического пространства $(E,I)$ называется комплексно линейное отображение $f \mapsto \hat {f}$ пространства $\mathcal{P}(E,I)$ в пространство нормальных линейных операторов в подходящем гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, состоящем из определенных на Q комплекснозначных функций, обладающее следующими свойствами (ср. [8]):

1) вещественные полиномы переходят в самосопряженные операторы;

2) некоторое пространство $\mathcal{S}(Q)$ всюду бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на $Q,$ инвариантное относительно умножения на цилиндрические непрерывные полиномы и относительно изометрических в $Q$ замен переменных, является плотным в пространстве $\mathcal{H}$;

3) сужение скалярного произведения пространства $\mathcal{H}$ на $\mathcal{S}(Q) \times \mathcal{S}(Q)$ является инвариантным относительно изометрических в Q замен переменных;

4) если $f \in \mathcal{P}$, причем $f(q,p) = g(q)$ и g – комплекснозначный полином на $Q,$ то

5) если $f(q,p) = \prod\limits_{j = 1}^n {p({{q}_{j}})} $ для всех $(q,p) \in Q \times P,$ где $n \in \mathbb{N}$ и ${{q}_{j}} \in Q,$ то

Отметим, что это квантование не обладает свойствами квантования, определенного Дираком в [7]; тем не менее для всех $(f,g) \in E\,{\text{'}} \times E\,{\text{'}}$ справедливо равенство $[\hat {f},\hat {g}] = i{{\widehat {\{ f,g\} }}_{{I,\hbar }}},$ где слева стоит коммутатор операторов f и g (он определяется как замыкание определенного на пересечении областей определения операторов $\hat {f}\hat {g}$ и $\hat {g}\hat {f}$ обычного коммутатора операторов $\hat {f}$ и $\hat {g}$).

Собщение посвящено построению квантования по Шрёдингеру.

2. ОБОБЩЕННАЯ МЕРА ЛЕБЕГА

Обобщенной мерой на множестве M называется (непрерывный) линейный функционал на некотором векторном пространстве определенных на M комплекснозначных функций, называемых пробными функциями этой обобщенной меры. Если $F$ – пространство таких пробных функций, $\varphi \in F$ и $\mu :F \to \mathbb{C}$ – обобщенная мера, то в соответствии с традицией, принятой в теории обобщенных функций, вместо $\mu (\varphi )$ будут использоваться символы $\int\limits_M {\varphi (x)\mu (dx)} $ и $\int {\varphi (x)\mu (dx)} $, а также $\int {\varphi \mu } $. Обобщенная мера $\mu $ называется неотрицательной, если она принимает неотрицательные значения на неотрицательных пробных функциях.

При определении неотрицательной обобщенной меры, которую мы будем называть обобщенной мерой Лебега на Q и обозначать символом ${{\lambda }_{Q}},$ роль пространства пробных функций будет играть описываемое ниже нормированное пространство ${{C}_{1}}(Q).$ Пусть функция g на Q определяется равенством $g(q) = {{e}^{{ - \pi {{{\left\| q \right\|}}^{2}}}}}$, и для каждого конечномерного подпространства K пространства Q символ $\lambda (K)$ обозначает стандартную меру Лебега на K, ${{P}_{K}}$ – ортогональный проектор на подпространство $K,$ действующий в пространстве $Q,$ ${{P}_{{{{K}^{ \bot }}}}} = \mathop {{\text{id}}}\nolimits_Q - {{P}_{K}},$ ${{C}_{1}}(K,\mathbb{C})$ – пространство всех непрерывных комплекснозначных функций на $K,$ произведения которых на полиномы являются ограничен-ными   функциями, ${{C}_{{1,K}}}(Q)$ = $\{ (\psi \circ {{P}_{K}})(g \circ {{P}_{{{{K}^{ \bot }}}}})$: $\psi \in {{C}_{1}}(K,\mathbb{C})\} $ и C₁(Q) = $\bigcup\limits_{K \subset Q} {{{C}_{{1,K}}}(Q)} $. Пусть еще λ_Q – это линейный функционал на C₁(Q), определяемый так: если f = $(\psi \circ {{P}_{K}})(g \circ {{P}_{{{{K}^{ \bot }}}}}),$ где $\psi \in {{C}_{1}}(K,\mathbb{C})$ (ψ является сужением f на K), то $\int\limits_Q {f(q){{\lambda }_{Q}}(dq)} $ = = $\int\limits_K {\psi (x)\lambda (K)(dx)} $ (это определение корректно). Фактически интегрирование по обобщенной мере Лебега использовалось в работах Фейнмана [13, 14], который в то время не знал о теореме Андре Вейля.

Пусть ${{M}_{1}}$ и ${{M}_{2}}$ – множества, J – биективное отображение ${{M}_{1}}$ на ${{M}_{2}},$ и ${{\mu }_{1}}$ – обобщенная мера на ${{M}_{1}}$ с пространством ${{F}_{1}}$ пробных функций. Образом меры ${{\mu }_{1}}$ относительно отображения J называется линейный функционал ${{\mu }_{1}} \circ {{J}^{{ - 1}}}$ на комплексном линейном пространстве ${{F}_{2}}$ всех функций вида $\varphi \circ {{J}^{{ - 1}}}$ ($\varphi \in {{F}_{1}}$), определяемый равенством

В частности, λ_P – образ меры λ_Q относительно гильбертова изоморфизма между $Q$ и $P$ (${{C}_{1}}(P)$ – пространство пробных функций для λ_P).

Мера μ₁ называется инвариантной относительно J, если ${{M}_{2}} = {{M}_{1}},$ ${{F}_{2}} = {{F}_{1}}$ и ${{\mu }_{1}} \circ {{J}^{{ - 1}}} = {{\mu }_{1}}.$ В частности, мера λ_Q инвариантна относительно изометрий в $Q$ – сдвигов и ортогональных операторов.

Всюду далее символ J_h обозначает оператор умножения на число $\sqrt h $ (h > 0) в пространстве $Q,$ а символ ${{C}_{h}}(Q)$ – пространство пробных функций обобщенной меры ${{\lambda }_{Q}} \circ J_{h}^{{ - 1}}.$ Тогда функция ${{g}_{h}},$ определяемая равенством $g \circ J_{h}^{{ - 1}},$ является элементом ${{C}_{h}}(Q),$ при этом ${{g}_{1}} = g$ и g_h(q) = = ${{({{g}_{1}}(q))}^{{1/h}}} = {{e}^{{ - \tfrac{{\pi {{{\left\| q \right\|}}^{2}}}}{h}}}} = {{e}^{{ - \tfrac{{2\pi }}{h}\tfrac{{{{{\left\| q \right\|}}^{2}}}}{2}}}} = {{e}^{{ - \tfrac{{{{{\left\| q \right\|}}^{2}}}}{{2\hbar }}}}}$ ($q \in Q$), где $\hbar = \tfrac{h}{{2\pi }}$. Отметим, что пространства ${{C}_{h}}(Q)$ инвариантны относительно умножения на непрерывные ограниченные цилиндрические комплекснозначные функции и относительно операции комплексного сопряжения.

Комплексно сопряженная функция $\bar {\varphi }$ к функции $\varphi \in {{C}_{h}}(Q)$ также является элементом пространства ${{C}_{h}}(Q)$, и произведение двух элементов пространства ${{C}_{h}}(Q)$ является элементом пространства ${{C}_{{\tfrac{h}{2}}}}(Q)$. Поэтому равенство (φ₁, φ₂)_h = = $\int\limits_Q {{{\varphi }_{1}}(q){{{\bar {\varphi }}}_{2}}(q){{\lambda }_{Q}} \circ J_{{h/2}}^{{ - 1}}(dq)} $ определяет (эрмитово) скалярное произведение на пространстве ${{C}_{h}}(Q).$ Пополнение пространства ${{C}_{h}}(Q) \equiv {{C}_{{2\pi \hbar }}}(Q)$ относительно нормы, порожденной этим скалярным произведением, обозначается символом ${{\mathcal{H}}_{\hbar }},$ так что ${{\mathcal{H}}_{\hbar }} = {{L}_{2}}({{\lambda }_{Q}} \circ J_{{h/2}}^{{ - 1}});$ это гильбертово пространство будет играть роль пространства $\mathcal{H}$ в конструкции $\hbar $-квантования симплектического пространства $(Q \times Q{\text{'}},I)$ по Шрёдингеру (с параметром $\hbar $).

Пусть ${{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$ – подпространство в ${{C}_{h}}(Q)$, состоящее из всех таких функций $f \in {{C}_{h}}(Q)$, в представлении которых вида  f = $({{f}_{K}} \circ {{P}_{K}})({{g}_{h}} \circ {{P}_{{{{K}^{ \bot }}}}}) \in {{C}_{h}}(Q)$ с конечномерным подпространством $K \subset Q$ функция ${{f}_{K}} \equiv f{{{\text{|}}}_{K}}$ принадлежит обычному комплексному пространству $S(K;\mathbb{C})$ Шварца на K. Таким образом, подпространство ${{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$ в ${{C}_{h}}(Q)$ состоит из всех таких функций, сужение каждой из которых на каждое конечномерное подпространство K в Q принадлежит пространству Шварца $S(K;\mathbb{C})$. Отметим, что если Q сепарабельно, то пространство ${{\mathcal{H}}_{\hbar }}$ также сепарабельно (а его подпространство ${{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$ плотно). Скалярное произведение в пространстве ${{\mathcal{H}}_{\hbar }}$ является инвариантным относительно изометрий пространства Q; это вытекает из инвариантности мер ${{\lambda }_{Q}} \circ J_{{h/2}}^{{ - 1}}$ и поляризационного тождества. Стоит отметить, что элементы пространства ${{\mathcal{S}}_{1}}(Q)$ могут считаться обобщенными плотностями цилиндрических мер, а также – в естественном смысле – плотностями этих цилиндрических мер относительно обобщенной меры ${{\lambda }_{Q}}$.

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ${{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$

Определение  3.  Для  каждого  $c \in {{\mathbb{R}}^{1}}{\backslash }\{ 0\} $ c-преобразованием Фурье называется отображение пространства ${{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$ в пространство функций на P, обозначаемое символом $F_{{q \to p}}^{c}$ и определяемое равенством

Аналогично определяется отображение $F_{{p \to q}}^{c},$ переводящее элементы из ${{\mathcal{S}}_{h}}(P)$ в функции на $Q.$

Теорема 1. При каждом $\hbar > 0$ оператор $F_{{q \to p}}^{\hbar }$ отображает пространство ${{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$ в ${{\mathcal{S}}_{h}}(P)$ биективно, причем ${{(F_{{q \to p}}^{\hbar })}^{{ - 1}}}$ = $F_{{p \to q}}^{{ - \hbar }};$ после отождествления пространств Q и P функция g_h переводится этой биекцией в себя, а сама биекция продолжается до унитарного оператора в ${{\mathcal{H}}_{\hbar }}$ (эта теорема не противоречит результатам работ [11], [12], где при других условиях доказывается, что аналогичного отображения не существует).

Замечание 1. Функция g_h играет роль вакуумного вектора для фоковского представления канонических коммутационных соотношений (гомоморфизма комплексной алгебры Гейзенберга) в пространстве ${{\mathcal{H}}_{\hbar }}$ в смысле книги [6].

Далее $h( = 2\pi \hbar ) > 0.$ С помощью введенного в теореме 1 бесконечномерного преобразования Фурье можно определить псевдодифференциальные операторы, действующие в пространстве функций на бесконечномерном пространстве с помощью таких же формул, что и в конечномерном случае.

Определение 4. Псевдодифференциальным оператором (ПДО) с символом Вейля $f \in \mathcal{P}(E)$ называется отображение $\hat {f}$ пространства ${{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$ в пространство функций на Q, определяемое так:

Определение 5. Для каждого $\tau \in [0,1]$ ПДО с τ-символом $f \in \mathcal{P}(E)$ называется отображение ${{\hat {f}}_{\tau }}$ пространства ${{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$ в пространство функций на $Q,$ определяемое так:

Если $\tau = \tfrac{1}{2},$ то определение 5 совпадает с определением 4.

Теорема 2. Каково бы ни было $\tau \in [0,1],$ ПДО ${{\hat {f}}_{\tau }}$ отображает пространство ${{\mathcal{S}}_{h}}$ в себя и является дифференциальным оператором конечного порядка с частными производными с коэффициентами из пространства непрерывных цилиндрических полиномов на $Q.$ Именно, ПДО ${{\hat {f}}_{\tau }}$ является конечной линейной комбинацией с комплексными коэффициентами операторов, задаваемых следующим образом: для каждого конечного набора элементов $\{ {{p}_{1}},...,{{p}_{n}}\} \subset P$ (=Q') и каждого конечного набора элементов $\{ {{q}_{1}},...,{{q}_{m}}\} \subset Q$ функция $\psi \in {{\mathcal{S}}_{h}}(Q)$ отображается в функцию

Теорема 3 (ср. [10]). Пусть $f \in \mathcal{P}(E)$ принимает вещественные значения. Тогда

1) оператор $\hat {f}$ в пространстве ${{\mathcal{S}}_{{2\pi \hbar }}}(Q)$ является симметричным относительно скалярного произведения, порожденного в ${{\mathcal{S}}_{{2\pi \hbar }}}(Q)$ скалярным произведением пространства ${{\mathcal{H}}_{\hbar }}$;

2) оператор $\hat {f}$ является существенно самосопряженным в гильбертовом пространстве ${{\mathcal{H}}_{\hbar }}$.

Замечание 2. Отображение, сопоставляющее функции f замыкание в ${{\mathcal{H}}_{\hbar }}$ оператора $\hat {f}$, является квантованием по Шрёдингеру с параметром $\hbar .$ Сужение этого отображения на алгебру Гейзенберга является фоковским (см. [6]) представлением канонических коммутационных соотношений в пространстве ${{\mathcal{H}}_{\hbar }}$ с вакуумным вектором, определяемым равенством ${{g}_{{2\pi \hbar }}}( \cdot ) = {{e}^{{\tfrac{{ - {{{\left\| \cdot \right\|}}^{2}}}}{{2\hbar }}}}}$, т.е. гомоморфизмом алгебры Гейзенберга, причем гомоморфизмом будет и сужение на подалгебру полиномов степени не выше 2 в алгебре Пуассона.

Эти утверждения проверяются путем непосредственных вычислений.

Замечание 3. Функцию ${{g}_{h}} \equiv {{g}_{{2\pi \hbar }}}$ можно назвать плотностью гауссовской обобщенной меры ${{\gamma }_{h}}(d \cdot ) = {{g}_{h}}( \cdot ){{\lambda }_{Q}} \circ J_{h}^{{ - 1}}(d \cdot )$ относительно обобщенной меры ${{\lambda }_{Q}} \circ J_{h}^{{ - 1}}.$ При $h = 1$ ($\hbar = {{(2\pi )}^{{ - 1}}}$) такую гауссовскую обобщенную меру ${{\gamma }_{1}}$ можно отождествить с центрированной цилиндрической гауссовской [15] мерой G со скалярным корреляционным оператором ${{(2\pi )}^{{ - 1}}}{\text{i}}{{{\text{d}}}_{Q}}$ следующим образом: интеграл от всякой ограниченной цилиндрической непрерывной функции $f{\kern 1pt} :Q \to \mathbb{R}$ по цилиндрической мере G (по всему пространству Q) совпадает со значением обобщенной меры ${{\gamma }_{1}}$ на пробной функции  f.