Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 42-46

Следующая теорема, характеризующая гауссовское распределение на вещественной прямой, была доказана C.C. Хейде в [1], см. также [2, 13.4.1].

Теорема Хейде. Пусть ξ_j, j = 1, 2,…, n, n ≥ 2, – независимые случайные величины, имеющие распределения μ_j. Пусть a_j, b_j – отличные от нуля вещественные числа, такие что $~{{b}_{i}}a_{i}^{{ - 1}} + {{b}_{j}}a_{j}^{{ - 1}}~ \ne 0~$ для всех i, j. Предположим, что условное распределение линейной формы

при фиксированнойсимметрично.

Тогда все распределения μ_j – гауссовские, возможно вырожденные.

Групповым аналогам теоремы Хейде в случае, когда независимые случайные величины принимают значения в локально компактной абелевой группе X, а коэффициентами линейных форм являются топологические автоморфизмы X, посвящены, в частности, работы [3–12] (см. также [13, гл. VI). Настоящая работа продолжает эти исследования. В ней изучается теорема Хейде на некоторых локально компактных абелевых группах, содержащих элемент порядка 2. Элементы порядка 2 играют особую роль в теореме Хейде. Как показано в сообщении, даже для достаточно просто устроенных групп X наличие в X элемента порядка 2 приводит к тому, что на X существуют негауссовские распределения, которые характеризуются симметрией одной линейной формы от независимых случайных величин при фиксированной второй.

Пусть X – локально компактная абелева группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Обозначим через Aut(X) группу топологических автоморфизмов группы X, а через I – тождественный автоморфизм группы. Обозначим через Y группу характеров группы X, а через (x, y) – значение характера y $ \in Y$ на элементе x ∈ X. Пусть $\mathbb{C}$ – комплексная плоскость. Обозначим через $\mathbb{R}$ группу вещественных чисел, через $\mathbb{Z}$ – группу целых чисел, через $\mathbb{Z}$(2) = {0, 1} – группу вычетов по модулю 2 и через $\mathbb{T}$ = {z $ \in $ $\mathbb{C}$: |z| = 1} – группу вращений окружности.

Через M¹(X) обозначим сверточную полугруппу вероятностных распределений на группе X. Пусть $\mu \in ~$ M¹(X). Обозначим через

характеристическую функцию распределения μ.

Напомним, что распределение γ называется гауссовским [14, гл. IV], если его характеристическая функция представима в виде

где x ∈ X, а φ(y) – непрерывная неотрицательная функция на группе Y, удовлетворяющая уравнению

Обозначим через Γ(X) множество гауссовских распределений на группе X. Обозначим через E_x вырожденное распределение, сосредоточенное в точке x $~ \in $ X, и через m_K – распределение Хаара на компактной подгруппе K группы X. Простейшей локально компактной абелевой группой, на которой существуют невырожденные гауссовские распределения и которая содержит элемент порядка 2, является группа X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2). Вначале мы изучим аналог теоремы Хейде для этой группы.

Пусть X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2). Обозначим через x = (t, k), t $~ \in $ $\mathbb{R}$, k $~ \in \mathbb{Z}$(2), элементы X. Пусть Y – группа характеров группы X. Группа Y топологически изоморфна группе $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2). Обозначим через (s, l), s $~ \in $ $\mathbb{R}$, l $~ \in \mathbb{Z}(2)$, элементы группы Y. Очевидно, что каждый топологический автоморфизм a группы X имеет вид a(t, k) = (c_a t, k), где c_a – ненулевое вещественное число.

Пусть μ – распределение на группе X и μ ∈ ∈ ${\Gamma }$($\mathbb{R}$)∗ M¹ ($\mathbb{Z}$(2)), т.е. $\mu $ = γ∗ω, где γ $ \in {\Gamma }$ ($\mathbb{R}$), ω ∈ ∈ M¹ ($\mathbb{Z}$(2)). Тогда характеристическая функция распределения μ имеет вид

где $\sigma \geqslant {\text{0}}$, β, κ $ \in $ $\mathbb{R}$, |κ| $ \leqslant $ 1. Мы рассмотрим сейчас более широкий класс распределений на группе X, чем класс Γ($\mathbb{R}$)∗M¹($\mathbb{Z}$(2)).

Определение 1. Пусть X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2) и μ ∈ ∈ M¹(X). Пусть $\sigma \geqslant {\text{0}}$, $\sigma ' \geqslant {\text{0,\;}}$ β, β', κ $ \in $ $\mathbb{R}$. Будем говорить, что распределение μ  принадлежит классу Θ, если характеристическая функция $\hat {\mu }$(s, l) представима в виде

где либо 0 <$~\sigma ' < \sigma $ и либо $\sigma = \sigma {\kern 1pt} ',\beta = \beta {\kern 1pt} '$ и |κ| ≤ 1.

Очевидно, что распределения, принадлежащие классу Γ($\mathbb{R}$)∗ M¹($\mathbb{Z}$(2)), в частности, распределения с носителем в $\mathbb{Z}$(2), принадлежат классу Θ. Отметим, что распределения, принадлежащие классу Θ, впервые появились в работе [12] в связи с изучением теоремы Хейде на a-адических соленоидах. В [12] доказано также, что существуют распределения μ ∈ ${\Theta }$, такие что μ ∉ Γ($\mathbb{R}$)∗ M¹($\mathbb{Z}$(2)).

Введем в рассмотрение еще один класс распределений на группе X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2). Пусть μ ∈ M¹(X). Определим распределение ${{\mu }_{\mathbb{R}}} \in {{{\text{M}}}^{1}}$($\mathbb{R}$) по формуле ${{\mu }_{\mathbb{R}}}(E) = \mu (E \times \mathbb{Z}(2))$, где E – борелевское подмножество в $\mathbb{R}$.

Определение 2. Пусть X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2) и $\mu \in ~$ ∈ M¹(X). Будем говорить, что распределение μ принадлежит классу Λ, если ${{\mu }_{\mathbb{R}}}$ ∈ Γ($\mathbb{R}$). Другими словами, если $\hat {\mu }$(s, 0) – характеристическая функция некоторого гауссовского распределения на вещественной прямой, возможно вырожденного.

Очевидно, что все распределения μ ∈ Λ получаются следующим образом. Пусть γ – гауссовское распределение на $\mathbb{R}$ с характеристической функцией $\hat {\gamma }$(s) = ${{e}^{{ - \sigma {{s}^{2}} + i\beta s}}}$, s ∈ $~\mathbb{R}$, где $\sigma \geqslant {\text{0}}$, β $ \in $ $\mathbb{R}$. Пусть γ = = ${{\gamma }^{{\left( 0 \right)}}} + {{\gamma }^{{\left( 1 \right)}}}$, где ${{\gamma }^{{\left( j \right)}}}$ – меры на $\mathbb{R}$. Определим распределение $\mu \in ~$ M¹(X) следующим образом:

где E – борелевское множество в $\mathbb{R}$. Тогда $\mu \in {\Lambda \;}$ и ${{\mu }_{\mathbb{R}}} = \gamma $. Отметим, что классы Θ и Λ являются подполугруппами в M¹(X) и Θ $ \subset $ ${\Lambda \;}$.

Следующее утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Хейде для независимых случайных величин, принимающих значения в группе X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2).

Теорема 1. Пусть X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2). Пусть a_j, b_j, j = 1, 2,…, n, n ≥ 2, – топологические автоморфизмы группы X, такие что ${{b}_{i}}a_{i}^{{ - 1}} + {{b}_{j}}a_{j}^{{ - 1}}~ \ne 0~$ для всех i, j. Пусть ξ_j – независимые случайные величины со значениями в группе X, имеющие распределения μ_j. Предположим, что условное распределение линейной формы

при фиксированнойсимметрично.

Тогда имеет место следующая альтернатива:

1. Все распределения μ_j принадлежат классу Λ, и по крайней мере одно из распределений μ_jпредставимо в виде ${{\mu }_{j}} = {{\gamma }_{j}}*{{m}_{{\mathbb{Z}(2)~}}}$, где ${{\gamma }_{j}} \in {\Gamma }$($\mathbb{R}$).

2. Все распределения μ_j принадлежат классу Θ и имеют не обращающиеся в ноль характеристические функции.

Доказательство теоремы 1 опирается на следующую лемму, которая является частным случаем одного результата Линника–Рао [2, лемма 1.5.1].

Лемма 1. Пусть ε > 0. Рассмотрим уравнение

где |${{s}_{1}}$| < ε, |${{s}_{2}}$| < ε, все числа c_j попарно различны, а ${{\psi }_{j}}$(s) – непрерывные комплекснозначные функции от вещественного переменного s. Тогда функции ${{\psi }_{j}}$(s) являются полиномами в некоторой окрестности нуля.

Пусть X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2) и ${{b}_{j}} \in $ Aut (X), j = 1, 2,…, n. Тогда можно построить распределения ${{\mu }_{j}}$ ∈ M¹(X) либо такие, как в пункте 1, либо такие, как в пункте 2 в теореме 1, которые обладают следующим свойством. Если ξ_j – независимые случайные величины со значениями в группе X, имеющие распределения μ_j, то условное распределение линейной формы ${{L}_{2}}$ = ${{b}_{1}}{{\xi }_{1}}$ + ⋅ ⋅ ⋅ + ${{b}_{n}}{{\xi }_{n}}~$при фиксированной L₁= ${{a}_{1}}{{\xi }_{1}}$ + ⋅ ⋅ ⋅ + ${{a}_{n}}{{\xi }_{n}}~$симметрично. Следовательно, теорема 1 не может быть усилена за счет сужения класса распределений, которые характеризуются симметрией условного распределения линейной формы L₂ при фиксированной L₁.

Теорема Хейде близка к хорошо известной теореме Скитовича–Дармуа, в которой гауссовское распределение на вещественной прямой характеризуется независимостью двух линейных форм от независимых случайных величин (см., например, [12, гл. 3]).

Теорема Скитовича–Дармуа. Пусть ξ_j, j = 1, 2, …, n, n ≥ 2, – независимые случайные величины, имеющие распределения μ_j. Пусть a_j и b_j – отличные от нуля вещественные числа. Предположим, что линейные формы L₁= $~{{a}_{1}}{{\xi }_{1}}$ + ⋅ ⋅ ⋅ + ${{a}_{n}}{{\xi }_{n}}$ и L₂ = $~{{b}_{1}}{{\xi }_{1}}$ + ⋅ ⋅ ⋅ + ${{b}_{n}}{{\xi }_{n}}$ независимы.

Тогда все распределения μ_j – гауссовские, возможно, вырожденные.

Сравним теорему 1 с аналогом теоремы Скитовича–Дармуа для группы $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2) Несложно доказать, что справедливо следующее утверждение.

Теорема Скитовича–Дармуа для группы $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2). Пусть X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2). Пусть ξ_j – независимые случайные величины со значениями в группе X, имеющие распределения μ_j. Пусть a_j, b_j, j = = 1, 2,…, n, n ≥ 2, – топологические автоморфизмы группы X. Предположим, что линейные формы ${{L}_{1}}$ = = ${{a}_{1}}{{\xi }_{1}}$ + ⋅ ⋅ ⋅ + ${{a}_{n}}{{\xi }_{n}}~$ и ${{L}_{2}}$ = ${{b}_{1}}{{\xi }_{1}}$ + ⋅ ⋅ ⋅ + ${{b}_{n}}{{\xi }_{n}}$ независимы.

Тогда все распределения μ_j – гауссовские.

Мы видим, что если на вещественной прямой гауссовские распределения характеризуются как независимостью двух линейных форм от независимых случайных величин, так и симметрией условного распределения одной линейной формы при фиксированной второй, то на группе X = = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}$(2) независимостью двух линейных форм от независимых случайных величин характеризуются только гауссовские распределения, а симметрией условного распределения одной линейной формы при фиксированной второй характеризуется существенно более широкий класс распределений (см. теорему 1).

Пусть X = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{T}$. Элементы группы X будем обозначать через $x = \left( {t,~z} \right),t \in \mathbb{R},z \in \mathbb{T}.~$

Обозначим через G подгруппу в X, порожденную элементом порядка 2. Легко проверить, что каждый топологический автоморфизм α группы X определяется матрицей $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ 0&{~ \pm 1} \end{array}} \right)$, где a, b ∈ $\mathbb{R}~$, $a \ne 0,~$ и α задается формулой $\alpha (t,~z) = (at,~{{e}^{{ibt}}}{{z}^{{ \pm 1}}}$), $t \in \mathbb{R}~$, $z \in \mathbb{T}.~$ Мы будем отождествлять α с соответствующей матрицей $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ 0&{~ \pm 1} \end{array}} \right)$. Пусть α ∈ Aut(X) и α имеет вид α = $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ 0&1 \end{array}} \right)$, где $a \ne 1$. Определим непрерывный мономорфизм $\tau :\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}(2) \to X$ по формуле

Положим $F = {\tau }(\mathbb{R})$. Тогда F – замкнутая подгруппа в X, топологически изоморфная $\mathbb{R}$, и $\tau (\mathbb{Z}(2))$ = G. Следующее утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Хейде для двух независимых случайных величин, принимающих значения в группе $X = \mathbb{R} \times \mathbb{T}~$ в случае, когда $\alpha $ = $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ 0&1 \end{array}} \right)$.

Теорема 2. Пусть $X = \mathbb{R} \times \mathbb{T}$ и $\alpha \in $ Aut(X), где α = $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ 0&1 \end{array}} \right).~$ Пусть ${{\xi }_{1}}$ и ${{\xi }_{{~2}}}$ – независимые случайные величины со значениями в группе X и с распределениями μ₁и μ₂. Предположим, что условное распределение линейной формы ${{L}_{2}}$ = ξ₁ + αξ₂при фиксированной L₁ = ${{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}}~$ симметрично.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если a < 0 и $a \ne - 1,~$ то для распределений ${{\mu }_{j}}$ имеются такие возможности.

1a. Распределения μ_jпредставимы в виде μ_j = = ${{E}_{{{{x}_{{j~}}}}}}\,*\,\tau ({{M}_{j}})$, где ${{x}_{j}} \in X,~$ а M_j – распределения на группе $\mathbb{R} \times \mathbb{Z}$(2), принадлежащие классу Λ, и по крайней мере одно из распределений μ_j представимо в виде ${{\mu }_{j}} = {{E}_{{{{x}_{{j~}}}}}}*{{\gamma }_{j}}*{{m}_{{G~}}}$, где ${{\gamma }_{j}} \in {\Gamma }$($F$).

1б. Распределения μ_jпредставимы в виде μ_j = = ${{E}_{{{{x}_{{j~}}}}}}\,*\,\tau ({{M}_{j}})$, где ${{x}_{j}} \in X,~$ а M_j – распределения на группе $\mathbb{R} \times \mathbb{Z}$(2), принадлежащие классу Θ, и характеристические функции распределений μ_j не обращаются в ноль.

2. Если a = –1, то распределения μ_j имеют вид μ_j = = ${{E}_{{{{x}_{{j~}}}}}}{\text{*}}\,{{{\lambda }}_{j}}$, где ${{x}_{j}} \in X,~$ a ${{{\lambda }}_{j}} \in {{{\text{M}}}^{1}}\left( {F \times G} \right){\text{\;}}$, при этом либо ${{{\lambda }}_{2}} = {{{\lambda }}_{1}}\,{\text{*}}\,{{{\omega }}_{1}}$, либо ${{{\lambda }}_{1}} = {{{\lambda }}_{2}}\,{\text{*}}\,{{{\omega }}_{2}}$, где ω_j ∈ ${{{\text{M}}}^{1}}(G)$.

3. Если a > 0, то носители некоторых сдвигов распределений μ_jсодержатся в G.

Доказательство теоремы 2 опирается на теорему 1 и следующее утверждение, представляющее определенный самостоятельный интерес.

Лемма 2. Пусть $X = \mathbb{R} \times \mathbb{T}$ и α ∈ Aut(X), где α = $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ 0&1 \end{array}} \right).$ Пусть ${{\xi }_{1}}$ и ${{\xi }_{{~2}}}$ – независимые случайные величины со значениями в группе X и с распределениями ${{\mu }_{1}}$ и ${{\mu }_{{~2}}}$. Предположим, что условное распределение линейной формы ${{L}_{2}}$ = ${{\xi }_{1}} + ~\alpha {{\xi }_{{2~}}}$при фиксированной L₁ = ${{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}}~$симметрично. Тогда существуют элементы x₁, ${{x}_{2}} \in X$, такие что если $a \ne 1$, то носители распределений $\mu _{j}^{'} = {{\mu }_{j}}{\text{*}}{{E}_{{ - {{x}_{{j~}}}}}}$ содержатся в подгруппе F × G. Если a = 1, то носители распределений $\mu _{j}^{'}$ содержатся в подгруппе G. Кроме того, если $\xi _{j}^{'}$ – независимые случайные величины со значениями в группе X и с распределениями $\mu _{j}^{'}$, то условное распределение линейной формы $L_{2}^{'}$ = $\xi _{1}^{'} + \alpha \xi _{2}^{'}$ при фиксированной $L_{1}^{'}$ = $\xi _{1}^{'} + \xi _{2}^{'}$ симметрично.

Пусть $X = \mathbb{R} \times \mathbb{T}$ и α ∈ Aut (X), где α = $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ 0&1 \end{array}} \right).~$ Тогда можно построить распределения μ₁, μ₂ ∈ ∈ ${{{\text{M}}}^{1}}(X)$ такие, как в пунктах 1–3 теоремы 2, которые обладают следующим свойством. Если ξ₁ и ξ₂ – независимые случайные величины со значениями в группе X, имеющие распределения μ₁ и μ₂, то условное распределение линейной формы ${{L}_{2}}$ = ${{\xi }_{1}} + ~\alpha {{\xi }_{{2~}}}$ при фиксированной ${{L}_{1}}$ = ${{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}}$ симметрично. Отсюда вытекает, что теорема 2 не может быть усилена за счет сужения класса распределений, которые характеризуются симметрией условного распределения линейной формы L₂ при фиксированной L₁.

Опираясь на теорему 2, можно доказать следующее

Предложение 1. Пусть $X = \mathbb{R} \times \mathbb{T}$. Не существует топологического автоморфизма α группы X, который обладает следующими свойствами:

1. Если ${{\xi }_{1}}$ и ${{\xi }_{{~2}}}$ – независимые случайные величины со значениями в группе X и с распределениями ${{\mu }_{1}}$ и ${{\mu }_{{~2}}}$ с необращающимися в нуль характеристическими функциями, то из симметрии условного распределения линейной формы ${{L}_{2}}$ = ${{\xi }_{1}} + ~\alpha {{\xi }_{{2~}}}$при фиксированной ${{L}_{1}}$ = ${{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}}$ вытекает, что ${{\mu }_{j}} = {{\gamma }_{j}}*{{\rho }_{j}}$, где ${{\gamma }_{j}}~$ – гауссовские распределения на X, a ${{\rho }_{j}} \in {{{\text{M}}}^{1}}\left( G \right)$, j = 1, 2.

2. Существуют независимые случайные величины ${{\xi }_{1}}$ и ${{\xi }_{{~2}}}~$ со значениями в группе X и с распределениями ${{\mu }_{j}} = {{\gamma }_{j}}*{{\rho }_{j}}$, где ${{\gamma }_{j}}~$ – невырожденные гауссовские распределения на X, ${{\rho }_{j}} \in {{{\text{M}}}^{1}}(G)$, j = 1, 2, такие что условное распределение линейной формы ${{L}_{2}}$ = ${{\xi }_{1}} + ~\alpha {{\xi }_{{2~}}}$ при фиксированной ${{L}_{1}}$ = ${{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}}$ симметрично.

Интересно отметить, что если $X = {{\mathbb{T}}^{2}}$, а G – подгруппа в X, порожденная всеми элементами X порядка 2, то такой топологический автоморфизм $\alpha $ группы X существует (см. [5]).

Напомним определение a-адического соленоида ${{{\Sigma }}_{a}}$. Пусть a = (${{a}_{0}},~{{a}_{1}},~ \ldots $) – произвольная бесконечная последовательность целых чисел, где каждое из a_n больше, чем 1. Рассмотрим группу $\mathbb{R} \times {{{\Delta }}_{a}}$, где ${{{\Delta }}_{a}}~$ – группа целых a-адических чисел, и обозначим через B подгруппу группы $\mathbb{R} \times {{{\Delta }}_{a}}$ вида $B = \{ (n,~n{\mathbf{u}}):n \in \mathbb{Z}\} $, где u = (1, 0, …,0,…). Фактор-группа ${{{\Sigma }}_{a}} = \mathbb{R} \times {{{\Delta }}_{a}}{\text{/}}B$ называется a-адическим соленоидом. Группа ${{{\Sigma }}_{a}}~$– компактна, связна и имеет размерность 1 [15, (10.12), (10.13), (24.28)]. Группа характеров группы ${{{\Sigma }}_{a}}$ топологически изоморфна дискретной группе вида

Мы будем отождествлять H_a с группой характеров группы ${{{\Sigma }}_{a}}$. Пусть n – целое число, $n \ne 0$. Обозначим через f_n гомоморфизм ${{f}_{n}}:~{{{\Sigma }}_{a}} \to {{{\Sigma }}_{a}}$, определяемый формулой ${{f}_{n}}x = nx$. Каждый топологический автоморфизм a группы ${{{\Sigma }}_{a}}~$ имеет вид $a = {{f}_{p}}f_{q}^{{ - 1}}$ для некоторых взаимно простых p и q, где ${{f}_{p}},~{{f}_{q}}$ $ \in $ ∈ Aut(${{{\Sigma }}_{a}}$).

Пусть X = $~{{{\Sigma }}_{a}} \times \mathbb{T}$. Элементы группы X будем обозначать через x = (g, z), $g \in {{{\Sigma }}_{a}},z \in \mathbb{T}$. Нетрудно проверить, что каждый топологический автоморфизм $\alpha \in $ Aut (X) определяется матрицей $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ 0&{~ \pm 1} \end{array}} \right)$, где $a$ $ \in $ Aut (${{{\Sigma }}_{a}}$), b $ \in $ ${{H}_{a}}$, и α задается формулой α(g, z) = $(ag,~(g,~b){{z}^{{ \pm 1}}}$), $g \in {{{\Sigma }}_{a}},z \in \mathbb{T}.$ Следующее утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Хейде для двух независимых случайных величин, принимающих значения в группе X = $~{{{\Sigma }}_{a}} \times \mathbb{T}$.

Теорема 3. Пусть $X = {{{\Sigma }}_{a}} \times \mathbb{T}$, где a-адический соленоид ${{{\Sigma }}_{a}}$ не содержит элемента порядка 2. Обозначим через G подгруппу X, порожденную элементом порядка 2. Пусть α – топологический автоморфизм группы X, удовлетворяющий условию

Пусть ξ₁и ξ₂ – независимые случайные величины со значениями в группе X и с распределениями μ₁и μ₂с необращающимися в нуль характеристическими функциями. Предположим, что условное распределение линейной формы ${{L}_{2}}$ = ${{\xi }_{1}} + \alpha {{\xi }_{{2~}}}$ при фиксированной ${{L}_{1}}$ = ${{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}}~$симметрично. Тогда существует непрерывный мономорфизм π: $\mathbb{R}$ × $\mathbb{Z}(2) \to ~$ X, такой, что распределения ${{\mu }_{j}}~$ представимы в виде μ_j = = ${{E}_{{{{x}_{{j~}}}}}}{\text{*}}\,\pi ({{M}_{j}})$, ${{x}_{j}} \in X,~$ а M_j – распределения на группе $\mathbb{R} \times \mathbb{Z}(2)$, принадлежащие классу ${\Theta }$.

Доказательство теоремы 3 опирается на теорему 2 и следующую лемму.

Лемма 3 [11]. Пусть X – локально компактная абелева группа, не содержащая элементов порядка 2. Пусть α – топологический автоморфизм группы X, удовлетворяющий условию

Пусть ${{\xi }_{1}}$ и ${{\xi }_{{~2}}}$ – независимые случайные величины со значениями в группе X и с распределениями μ₁и μ₂с необращающимися в нуль характеристическими функциями. Тогда из симметрии условного распределения линейной формы ${{L}_{2}}$ = ${{\xi }_{1}} + \alpha {{\xi }_{{2~}}}$ при фиксированной ${{L}_{1}}$ = ${{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}}$ вытекает, что μ₁и μ₂ – гауссовские распределения.