Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 18-20

1. Пусть A – невырожденная квадратная матрица порядка $n$ над полем F характеристики ${\text{char}}F \ne 2$. В матричном пространстве ${{M}_{n}}(F)$ множество, задаваемое соотношением

можно рассматривать как алгебраическое многообразие. Еще в конце XIX в. А. Восс (см. [1]) показал, что размерность этого многообразия равна разности размерностей двух линейных подпространств: централизатора матрицы ${{A}^{{ - \top }}}A$ и подпространства

Напомним, что централизатором квадратной матрицы называется множество всех коммутирующих с ней матриц.

Цель настоящего сообщения – перенести формулу Восса на случай комплексных матриц с другим типом инволюции, а именно матричным сопряжением вместо транспонирования. Вместо (1) будем рассматривать множество

$\mathcal{M}$ не является комплексным многообразием, но может рассматриваться как вещественное, и в этом качестве нас будет интересовать его размерность.

Мы будем называть множество $\mathcal{M}$ конгруэнтным централизатором матрицы $A$ по той причине, что оно представляет собой аналог обычного централизатора в том случае, когда группа $G{{L}_{n}}({\mathbf{C}})$ действует на матричном пространстве ${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$ конгруэнциями вместо подобий.

2. Вещественную размерность множества $\mathcal{M}$ можно вычислить как размерность касательного пространства в любой точке этого множества, например, в точке $X = {{I}_{n}}$. Дифференциал оператора $F(X) = X{\kern 1pt} {\text{*}}AX$ имеет вид

Поэтому искомая размерность дается размерностью множества $\mathcal{N}$ решений матричного уравнения

или, полагая здесь $X = {{I}_{n}}$, уравнения

Это множество является вещественным линейным подпространством, размерность которого найдена в [2]. Чтобы привести соответствующую формулу, нам придется напомнить некоторые факты, связанные с *-конгруэнтными преобразованиями, т.е. преобразованиями вида

где P – произвольная невырожденная матрица. (Такие преобразования называются в дальнейшем просто конгруэнтными или конгруэнциями.)

3. Каноническая форма невырожденной матрицы A относительно конгруэнций представляет собой блочно-диагональную матрицу с диагональными блоками двух типов. Это, во-первых, ганкелевы матрицы вида

где ${\text{|}}\lambda {\text{|}} = 1$, а индекс q указывает порядок матрицы, и, во-вторых, блоки четной размерности

Здесь ${{J}_{r}}(\mu )$ – жорданова клетка с числом $\mu $ на главной диагонали, а относительно $\mu $ можно без ограничения общности считать, что ${\text{|}}\mu {\text{|}} > 1$.

Предположим, что матрица $A$ имеет каноническую форму

Тогда вещественная размерность c множества решений уравнения (3) выражается формулой

где

Во второй сумме участвуют лишь пары (i, j), соответствующие числам ${{\lambda }_{i}}$ и ${{\lambda }_{j}}$ таким, что ${{\lambda }_{i}} = \pm {{\lambda }_{j}}$. Слагаемое c₂ в формуле (7) дается аналогичным выражением

В сумме ${\kern 1pt} \sum '{\kern 1pt} '$ учитываются только пары $(i,j)$, отвечающие блокам ${{H}_{{2{{r}_{i}}}}}$ и ${{H}_{{2{{r}_{j}}}}}$ с одинаковыми числами ${{\mu }_{i}}$ и ${{\mu }_{j}}$.

Замечание. Наше описание суммы ${\kern 1pt} \sum '$ в формуле (8) немного отличается от соответствующего описания в [2]. Дело в том, что канонические блоки первого типа, используемые в [2], имеют несколько иной вид, чем наши матрицы ${{\Delta }_{q}}$.

4. Вернемся к уравнению (3). Перепишем его в виде

Отсюда

Подставляя это выражение в (10), получаем

или

Таким образом, множество $\mathcal{N}$ решений уравнения (3) содержится в централизаторе $\mathcal{L}$ матрицы

называемой коквадратом матрицы A. Однако $\mathcal{N}$ есть лишь собственное подмножество этого централизатора. Действительно, множество $\mathcal{K}$ решений уравнения тоже вложено в централизатор $\mathcal{L}$. (Это проверяется такими же выкладками, как выше.)

Очевидно, что вещественные линейные подпространства $\mathcal{N}$ и $\mathcal{K}$ имеют только тривиальное пересечение. Кроме того,

В самом деле, заменой $Z = iV$ уравнение (11) превращается в

т.е. в уравнение (10). Мы покажем теперь, что размерность централизатора $\mathcal{L}$ дается формулой

5. Если матрица A подвергается конгруэнции

то т.е. коквадрат матрицы A претерпевает подобие. Неудивительно поэтому, что каноническая форма матрицы A и жорданова форма ее коквадрата тесно связаны друг с другом.

Для матрицы A с канонической формой W (см. (6)) жорданова форма коквадрата ${{C}_{A}}$ имеет вид

Централизатор коквадрата C_J подобен централизатору C_A и, следовательно, имеет ту же размерность. Для матрицы (12) эту размерность легко определить, следуя [3, глава VIII, теорема 1]. В результате получаются формулы типа (7)–(9), а именно

Здесь

где пары (i, j), участвующие в формировании суммы $\sum {\kern 1pt} '$, соответствуют жордановым клеткам, для которых $\lambda _{i}^{2} = \lambda _{j}^{2}$. Для слагаемого d₂ имеем

В сумме $\sum {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ учитываются лишь пары (i, j), отвечающие одинаковым числам ${{\mu }_{i}}$ и ${{\mu }_{j}}$. Число ${{d}_{3}}$ показывает размерность прямой суммы в третьей строке формулы (12). Поскольку структура этой суммы полностью тождественна структуре прямой суммы во второй строке, то ${{d}_{3}} = {{d}_{2}}$.

Таким образом, число d совпадает с числом $c$ из формулы (7). Однако централизатор любой комплексной матрицы есть комплексное линейное подпространство. Поэтому d указывает комплексную размерность подпространства $\mathcal{L}$, а его вещественная размерность вдвое больше. Это и дает нужное соотношение $di{{m}_{R}}\mathcal{L} = 2di{{m}_{R}}\mathcal{N}$. Поскольку вещественные подпространства $\mathcal{N}$ и $\mathcal{K}$ пересекаются только по нулю, то в ${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$, рассматриваемом как вещественное пространство размерности 2n², имеет место равенство

Отсюда выводим

Это равенство есть обобщение формулы Восса из [1] на случай комплексных матриц и *-конгруэнтных преобразований.

6. В заключение мы проиллюстрируем формулу (14) одним любопытным частным случаем. Пусть A – невырожденная эрмитова (n × n)-матрица, не являющаяся знакоопределенной, т.е. оба ее индекса инерции $p$ и $q$ отличны от нуля. Коквадрат всякой эрмитовой матрицы есть единичная матрица I_n: ${{A}^{ - }}{\kern 1pt} {\text{*}}A = {{A}^{{ - 1}}}A = {{I}_{n}}$. Поэтому централизатор $\mathcal{L}$ матрицы C_A совпадает со всем пространством ${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$ и $di{{m}_{R}}\mathcal{L} = 2{{n}^{2}}$.

Соотношение (11) описывает так называемые A-эрмитовы матрицы Z. Название связано с тем, что эти матрицы играют роль эрмитовых операторов в пространстве ${{{\mathbf{C}}}^{n}}$ с индефинитной метрикой, задаваемой матрицей A. Переписав (11) в виде

замечаем, что $H = AZ$ есть обычная эрмитова матрица. Следовательно, вещественные подпространства A-эрмитовых и эрмитовых матриц имеют одну и ту же размерность n². Теперь формула (14) показывает, что размерность вещественного многообразия $\mathcal{M}$ также равна n². Соотношение $X{\kern 1pt} {\text{*}}AX = A$, задающее $\mathcal{M}$, описывает унитарные операторы в указанной A-индефинитной метрике.

Рассматривая $\mathcal{M}$ как группу, можно было бы иначе прийти к тому же выводу о размерности, установив изоморфное соответствие между $\mathcal{M}$ и псевдоунитарной группой U(p, q).