Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 99-103
КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ В ГАЗАХ
А. Г. Кушнер 1, 2, *, В. В. Лычагин 3, **, М. Д. Рооп 1, 3, ***
1 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия
2 Московский педагогический государственный университет
Москва, Россия
3 Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: kushner@physics.msu.ru
** E-mail: valentin.lychagin@uit.no
*** E-mail: mihail_roop@mail.ru
Поступила в редакцию 27.03.2020
После доработки 14.04.2020
Принята к публикации 06.06.2020
Аннотация
Решается задача оптимального управления термодинамическими процессами для идеального газа. Термодинамическое состояние задается как лежандрово многообразие в контактном пространстве. С помощью принципа максимума Понтрягина на этом многообразии находится оптимальная траектория (термодинамический процесс), при которой максимизируется работа, совершаемая газом. Показано, что в случае идеального газа соответствующая гамильтонова система является вполне интегрируемой, и приводится ее решение в квадратурах.
Проблема оптимального управления является важной при решении ряда практических задач газовой динамики, фильтрации газов в пористых средах, когда с помощью внешних воздействий можно регулировать термодинамический процесс, в котором участвует среда. При этом естественно прежде всего рассмотреть случай, когда среди всех процессов находится тот, при котором максимизируется работа, совершаемая газом. В отличие от работ [1], в которых предлагаются методы управления неравновесными термодинамическими процессами, мы ограничимся равновесной термодинамикой. Наш подход основан на геометрической формулировке термодинамики, восходящей к работам [2–4] и, как показано в работе [5], тесно связанной с теорией измерений. Представление термодинамического состояния газа как лежандрова подмногообразия в термодинамическом контактном пространстве, а также тот факт, что неотрицательность дисперсии измерений экстенсивных термодинамических величин приводит к римановым структурам на этом многообразии [5], позволяет применить принцип максимума Понтрягина к задаче нахождения такой кривой на лежандровом многообразии, которая реализует максимум функционала работы. Такая постановка задачи в случае идеального газа приводит к интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системе, и тем самым задача оптимального управления допускает точное решение.
1. ТЕРМОДИНАМИКА
Рассмотрим контактное пространство $({{\mathbb{R}}^{5}},\theta )$ с координатами ($s$, $e$, ${v}$, p, $T$), обозначающими соответственно удельные энтропию, внутреннюю энергию и объем, давление и температуру, на котором контактная структура задана дифференциальной 1-формой
Под термодинамическим состоянием будем понимать максимальное интегральное многообразие L формы θ, т.е. лежандрово многообразие, что физически означает выполнение первого начала термодинамики на L. Выбор в качестве координат на L экстенсивных переменных ($e$, ${v}$), а также условие ${{\left. \theta \right|}_{L}} = 0$ приводят к тому, что L можно задать с помощью функции $\sigma (e,{v})$:
(1)
$L\, = \,\left\{ {(s,e,{v},p,T)\, \in \,{{\mathbb{R}}^{5}}|s\, = \,\sigma (e,{v}),T\, = \,\frac{1}{{{{\sigma }_{e}}}},p\, = \,\frac{{{{\sigma }_{{v}}}}}{{{{\sigma }_{e}}}}} \right\}.$На лежандровом многообразии L определена дифференциальная квадратичная форма [5]
где $ \cdot $ означает симметрическое произведение. Допустимые термодинамические состояния соответствуют тем областям на L, где форма $\kappa $ отрицательно определена, а значения формы $ - \kappa (Y,Y)$, где $Y$ – векторное поле на L, в этих областях являются суммарной дисперсией величин ($e$, ${v}$), измеряемых в соответствующих точках на L в направлении Y.Под термодинамическим процессом будем понимать контактный диффеоморфизм Φ : ${{\mathbb{R}}^{5}} \to {{\mathbb{R}}^{5}}$, сохраняющий лежандрову поверхность L. С инфинитезимальной точки зрения, преобразование $\Phi $ есть сдвиг вдоль траекторий векторного поля Xf. Общий вид контактного векторного поля Xf :
Тогда в силу (1) соотношение ${{f}_{1}} = {{f}_{2}} = {{f}_{3}} = 0$ задает лежандрово многообразие L, а ограничения ${{Y}_{j}}$ соответствующих векторных полей ${{X}_{{{{f}_{j}}}}}$ на L имеют вид
Выберем ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$ в качестве базиса модуля векторных полей на L. Тогда искомый термодинамический процесс $l \subset L$ будет интегральной кривой векторного поля $Y = {{u}_{1}}{{Y}_{1}} + {{u}_{2}}{{Y}_{2}}$, где коэффициенты $u = ({{u}_{1}},{{u}_{2}})$ играют роль управляющих параметров. Для того чтобы задать область допустимых управлений, ограничим относительную дисперсию измерений вектора $(e,{v})$ положительным числом δ, т.е. предположим, что выполнено соотношение
что приводит к неравенствуТаким образом, для фиксированной точки $a \in L$ граница $\partial U$ множества допустимых управлений $U$ представляет собой эллипс с центром в этой точке, причем длина полуосей эллипса, вообще говоря, зависит от этой точки.
Введем форму работы $\omega = pd{v}$. Тогда функционал качества $J = \int\limits_l^{} \omega $ будет иметь вид
где $t \in [0,\bar {t}]$ – параметр на кривой $l$. Значение параметра t = 0 соответствует начальной точке, а значение $t = \bar {t}$ — конечной.Пусть ${{Y}^{{(1)}}}(x,u)$ и ${{Y}^{{(2)}}}(x,u)$ – коэффициенты векторного поля Y:
Тогда постановка задачи имеет следующий вид:
где $x = {{(e,{v})}^{Т}}$, $F(x,u) = \mathop {({{Y}^{{(1)}}}(x,u),{{Y}^{{(2)}}}(x,u))}\nolimits^Т $.Гамильтониан для задачи (2) имеет вид
2. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Для идеального газа лежандрова поверхность L задана следующими уравнениями состояния:
Дифференциальная квадратичная форма $\kappa $ имеет вид
Векторные поля ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$ для идеального газа имеют следующий вид:
Следовательно, область допустимых управлений $U$ задана как
Коммутатор векторных полей ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$:
Дуальный базис порожден дифференциальными 1-формами
По теореме Ли–Бьянки [6, 7] форма ${{\omega }_{2}}$ точна и является внешним дифференциалом функции q1 = $nR\mathop {\left( {2e} \right)}\nolimits^{ - 1} $. Ограничение формы ${{\omega }_{1}}$ на кривую $nR\mathop {(2e)}\nolimits^{ - 1} $ = C1 также является точной формой с потенциалом ${{q}_{2}} = - {{C}_{1}}ln{v} + {{C}_{2}}$. Выберем $({{q}_{1}},{{q}_{2}})$ в качестве новых координат на L. Обратное преобразование задается в виде
(3)
$e = \frac{{nR}}{{2{{q}_{1}}}},\quad {v} = exp\left( { - \frac{{{{q}_{2}}}}{{{{q}_{1}}}}} \right).$Тогда векторные поля ${{Y}_{1}}$ и ${{Y}_{2}}$ примут более простой вид:
Гамильтониан задачи (2) в случае идеального газа примет следующий вид:
Поскольку гамильтониан $H(q,\lambda ,u)$ линеен по ${{u}_{1}}$ и ${{u}_{2}}$, то он экстремален на границе $\partial U$ области управления U. Следовательно, выбрав $\tau $ в качестве параметра на $\partial U$, можно записать:
Тогда гамильтониан $H(q,\lambda ,u)$ примет вид
(4)
$\begin{gathered} H(q,\lambda ,\tau ) = \\ = \;\frac{{\sqrt {2nR\delta } {{q}_{1}}({{q}_{1}}{{\lambda }_{1}} + {{q}_{2}}{{\lambda }_{2}}){\text{sin}}\tau + \sqrt {R\delta } n(q_{1}^{2}{{\lambda }_{2}} - R){\text{cos}}\tau }}{{2q_{1}^{2}}}. \\ \end{gathered} $Для нахождения точек максимума гамильтониана требуется решить уравнение $\tfrac{{\partial H}}{{\partial \tau }} = 0$, которое эквивалентно
Следовательно, точки максимума гамильтониана задаются формулой
Подставляя корни $\tau {\text{*}}(q,\lambda )$ в (4), получим, что на оптимальной траектории гамильтониан имеет вид
(5)
$H(q,\lambda ) = \frac{1}{{2q_{1}^{2}}}\sqrt {nR\delta (nq_{1}^{4}\lambda _{2}^{2} + 2q_{1}^{4}\lambda _{1}^{2} + 4q_{1}^{3}{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} + 2q_{1}^{2}q_{2}^{2}\lambda _{2}^{2} - 2Rnq_{1}^{2}{{\lambda }_{2}} + {{R}^{2}}n)} .$Соответствующая гамильтонова система имеет вид
(6)
$\dot {q} = \frac{{\partial H}}{{\partial \lambda }},\quad \dot {\lambda } = - \frac{{\partial H}}{{\partial q}},$Теорема 1. Гамильтонова система (6) обладает интегралом $G(q,\lambda ) = {{q}_{1}}{{\lambda }_{2}}$, который находится в инволюции с гамильтонианом $H(q,\lambda )$, т.е. $[G,H]$ = 0, где [G, H] — скобка Пуассона на фазовом пространстве, определенная формулой
Таким образом, гамильтонова система (6) интегрируема по Лиувиллю.
3. РЕШЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ
Многообразие $M \subset {{\mathbb{R}}^{4}}(q,\lambda )$, на котором лежат фазовые траектории гамильтоновой системы (6), задается уровнями ${{H}_{1}} = {\text{const}}$ и ${{H}_{2}} = {\text{const}}$ ее интегралов:
Для нахождения явных решений системы (6) мы применяем метод введения переменных действие–угол [8], в которых гамильтонова система принимает наиболее простой вид. Однако прежде проанализируем многообразие $M$. Выберем $({{q}_{1}},{{q}_{2}})$ в качестве координат на $M$. Тогда при неотрицательных $D = 2R\delta n(4H_{1}^{2}q_{1}^{4} - \delta R{{n}^{2}}{{(R - {{H}_{2}}{{q}_{1}})}^{2}})$
Заметим, что D является полиномом четвертой степени по ${{q}_{1}}$. Поскольку D может менять знак в зависимости от значений ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$, а многообразие $M$ определено там, где $D \geqslant 0$, то в зависимости от числа вещественных корней полинома D многообразие M может иметь различное, но не превышающее трех, число компонент связности. В случае, когда полином $D$ имеет четыре различных вещественных корня, $M$ трехсвязно, если D имеет два различных вещественных корня, то $M$ двусвязно, если у D единственный вещественный корень или вещественных корней нет, то многообразие $M$ односвязно.
Теорема 2. Многообразие $M$ имеет три компоненты связности, если значения интегралов ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$ удовлетворяют неравенству
В остальных случаях многообразие $M$ двусвязно.
Множество $\Sigma $ особенностей проекции $M$ на плоскость $({{q}_{1}},{{q}_{2}})$ задано как $\Sigma = \cup {{\Sigma }_{j}}$, где
Таким образом, для заданной начальной точки $({{q}^{{(0)}}},{{\lambda }^{{(0)}}}) \in M$ областью достижимости являются все точки, принадлежащие той же компоненте связности, что и $({{q}^{{(0)}}},{{\lambda }^{{(0)}}})$.
В качестве базиса модуля векторных полей на $M$ выберем два гамильтоновых поля XH и XG, где
Наша задача состоит в том, чтобы найти две замкнутые формы ${{\varkappa }_{1}}$ и ${{\varkappa }_{2}}$ на M, дуальные к векторным полям XH и XG. Тогда их потенциалы ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ будут служить углами, а интегралы $H(q,\lambda )$ и $G(q,\lambda )$, записанные в терминах углов, – действиями.
Теорема 3. Переменные типа угол имеют следующий вид:
(7)
$\begin{gathered} {{\Omega }_{1}} = \pm \int {\frac{{4{{H}_{1}}q_{1}^{2}d{{q}_{1}}}}{{\sqrt D }}} , \\ {{\Omega }_{2}} = \frac{{{{q}_{2}}}}{{{{q}_{1}}}} \pm \int {\frac{{{{n}^{2}}R\delta (R - {{H}_{2}}{{q}_{1}})d{{q}_{1}}}}{{{{q}_{1}}\sqrt D }}} . \\ \end{gathered} $Гамильтонова система (6) эквивалентна системе
Таким образом, решение гамильтоновой системы (6) в части переменных (q1, q2) выглядит следующим образом:
где ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ задаются соотношениями (7), а ${{\alpha }_{1}}$ и ${{\alpha }_{2}}$ – константы, определяемые с помощью условий на правом и левом концах кривой $l$. С помощью обратного преобразования (3) можно записать решение (8) в терминах исходных термодинамических переменных ($e$, ${v}$).Траектории гамильтоновой системы, отвечающие начальной точке $T = 0.25$, ${v} = 0.78$ и различным конечным точкам, в случае одноатомного газа (n = 3) представлены на рис. 1. Этим траекториям отвечают процессы перевода термодинамической системы из начального состояния в конечные.
Список литературы
Розоноэр Л.И., Цирлин А.М. Оптимальное управление термодинамическими процессами // АиТ. 1983. № 1. С. 70–79; № 2. С. 88–101; № 3. С. 50–64.
Gibbs J.W. A Method of Geometrical Representation of the Thermodynamic Properties of Substances by Means of Surfaces. Transactions of the Connecticut Academy. 1873. P. 382–404.
Mrugala R. Geometrical formulation of equilibrium phenomenological thermodynamics // Reports on Mathematical Physics. 1978. V. 14. P. 419–427.
Ruppeiner G. Riemannian Geometry in Thermodynamic Fluctuation Theory // Reviews of Modern Physics. 1995. V. 67. № 3. P. 605–659.
Lychagin V. Contact Geometry, Measurement and Thermodynamics / In: Nonlinear PDEs, their geometry and applications. Cham: Birkhauser, 2019.
Бочаров А.В., Вербовецкий А.М. и др. / Под ред. А.М. Виноградова, И.С. Красильщика. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. М.: Факториал пресс, 2005.
Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V. Contact Geometry and Non-linear Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 2007.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2003.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления