Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 38-41

1. КОПРИСОЕДИНЕННЫЕ ОРБИТЫ

На коалгебре Ли $\mathfrak{g}{\text{*}}$ имеется пуассонова структура [4]. Обозначим через B_p бивектор Пуассона в точке p, а через ${\text{\{ }} \cdot ,\,\, \cdot {\text{\} }}$ соответствующую скобку Пуассона. Коприсоединенные орбиты являются симплектическими слоями этой пуассоновой структуры. Опишем сначала коприсоединенные орбиты общего положения. Для этого приведем полную систему функций Казимира (функций, постоянных на коприсоединенных орбитах).

Каждый элемент $\xi \in \mathfrak{g}$ определяет линейную функцию $\mathfrak{g}{\text{*}}$, которая обозначается тем же символом.

Зафиксируем базисы в слоях алгебры Ли:

Теорема 1. Если ранг свободной трехступенной группы Карно $r \geqslant 3$, то имеются функции Казимира двух типов:

(1) линейные функции из пространства ${{\mathfrak{g}}_{3}}$;

(2) функции из пространства $KerB_{p}^{{12}}$, координаты элементов этого пространства зависят от функций типа (1).

Полный набор независимых функций Казимира в явном виде:

Замечание 1. Функции ${{F}_{i}}$ линейны на совместных линиях уровня функций ${{\zeta }_{i}}$, поэтому при $r \geqslant 3$ коприсоединенные орбиты общего положения являются аффинными подпространствами размерности 2r.

Замечание 2. Среди трехступенных свободных групп Карно исключение для теоремы 1 составляет группа ранга 2 – группа Картана [5]. Здесь помимо функций Казимира типа (1) имеется функция Казимира, квадратичная на поверхностях уровня функций типа (1).

Опишем теперь коприсоединенные орбиты меньших размерностей. Введем для этого следующие обозначения. Будем рассматривать бивектор Пуассона как отображение ${{B}_{p}}{\text{:}}\,\,\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}{\text{*}}$. Пусть $B_{p}^{{12}}$: ${{\mathfrak{g}}_{2}} \to \mathfrak{g}_{1}^{ * }$, где $B_{p}^{{12}}(\eta ) = {{\left. {{{B}_{p}}(\eta )} \right|}_{{{{\mathfrak{g}}_{1}}}}}$ для $\eta \in {{\mathfrak{g}}_{2}}$. Аналогично, $B_{p}^{{11}}{\text{:}}\;{{\mathfrak{g}}_{1}} \to \mathfrak{g}_{1}^{ * }$, где $B_{p}^{{11}}(\xi ) = {{\left. {{{B}_{p}}(\xi )} \right|}_{{{{\mathfrak{g}}_{1}}}}}$ для $\xi \in {{\mathfrak{g}}_{1}}$. Обозначим через ${{\mathfrak{h}}_{1}} \subset {{\mathfrak{g}}_{1}}$ аннулятор подпространства $ImB_{p}^{{12}} \subset \mathfrak{g}_{1}^{ * }$, пусть ${{\mathfrak{h}}_{2}} = Ker{{\left. {B_{p}^{{11}}} \right|}_{{{{\mathfrak{h}}_{1}}}}}$.

Теорема 2. Коприсоединенные орбиты размерностей меньше 2r возникают в случае $rkB_{p}^{{12}} < r$. Такие коприсоединенные орбиты суть совместные поверхности уровня функций трех типов:

(1) линейных функций из пространства ${{\mathfrak{g}}_{3}}$;

(2) функций из пространства $KerB_{p}^{{12}}$, эти функции линейны на совместных поверхностях уровня функций типа (1);

(3) функций вида γ – η, где $\gamma \in {{\mathfrak{h}}_{2}}$ и η ∈ ${{(B_{p}^{{12}})}^{{ - 1}}}B_{p}^{{11}}(\gamma )$, эти функции линейны или квадратичны на совместных поверхностях уровня функций типов (1), (2).

Замечание 3. Размерность коприсоединенной орбиты равна $2r - (dim{{\mathfrak{h}}_{1}} + dim{{\mathfrak{h}}_{2}})$.

2. ДВУМЕРНЫЕ КОПРИСОЕДИНЕННЫЕ ОРБИТЫ

Оказывается, что двумерные коприсоединенные орбиты трехступенных свободных групп Карно устроены так же, как такие орбиты для простейших групп Карно ступеней 2 и 3. Эти простейшие группы суть:

1. Группа Гейзенберга H₃ – двуступенная свободная группа Карно ранга 2, базис ее алгебры Ли: ${{\xi }_{1}}$, ${{\xi }_{2}}$, $\eta = [{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}]$;

2. Группа Энгеля E – трехступенная группа Карно ранга 2, алгебра Ли которой линейно порождается элементами ${{\xi }_{1}}$, ${{\xi }_{2}}$, $\eta = [{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}]$, $\zeta = [{{\xi }_{1}},\eta ]$.

Теорема 3. Пусть $(Ad*G)p \subset \mathfrak{g}{\text{*}}$ есть двумерная коприсоединенная орбита трехступенной свободной группы Карно G. Тогда существует инвариантное аффинное подпространство $\mathcal{A} \subset \mathfrak{g}{\text{*}}$, содержащее орбиту $(Ad*G)p$, на котором действует группа Ли L так, что

(1) L-орбиты в $\mathcal{A}$ совпадают с коприсоединенными G-орбитами;

(2) действие группы L на $\mathcal{A}$ изоморфно коприсоединенному действию группы L;

(3) если $B_{p}^{{12}} = 0$, то $L \simeq {{H}_{3}}$;

(4) если $B_{p}^{{12}} \ne 0$, то $L \simeq E$, где B_p – бивектор Пуассона в точке $p \in \mathfrak{g}{\text{*}}$.

3. ЗАДАЧА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

Пусть G есть трехступенная свободная группа Карно ранга r. Ее алгебра Ли $\mathfrak{g}$ порождена подпространством ${{\mathfrak{g}}_{1}} = span{\text{\{ }}{{\xi }_{1}},\; \ldots ,\;{{\xi }_{r}}{\text{\} }}$. Рассмотрим левоинвариантные векторные поля ${{X}_{i}}(g) = d{{L}_{g}}{{\xi }_{i}}$, $i = 1, \ldots ,r$, где ${{L}_{g}}$ – левый сдвиг на элемент $g \in G$. Пусть $U \subset {{\mathbb{R}}^{r}}$ есть выпуклый компакт, содержащий начало координат внутри. Рассмотрим задачу быстродействия:

Заметим, что при $U = - U$ получаем субфинслерову задачу [2, 3]. В частности, если U – эллипсоид, то задача субриманова [1].

Принцип максимума Понтрягина [6, 7] дает необходимые условия оптимальности. Нормальные экстремальные траектории являются проекциями траекторий гамильтонова векторного поля H на кокасательном расслоении T*G. Соответствующий гамильтониан имеет вид

где функции ${{h}_{i}} = \left\langle { \cdot ,{{X}_{i}}} \right\rangle $ суть линейные на слоях T*G функции спаривания с X_i. Экстремальная траектория, проходящая через единицу группы, определяется своим начальным ковектором – элементом $T_{{{\text{id}}}}^{ * }G = \mathfrak{g}{\text{*}}$. Вертикальная часть гамильтонова векторного поля H задается уравнением

Простейший интегрируемый случай – начальный ковектор экстремальной траектории принадлежит двумерной коприсоединенной орбите. В самом деле, траектория уравнения (2) лежит в пересечении коприсоединенной орбиты и поверхности уровня гамильтониана $H$ (так как гамильтониан является первым интегралом этого уравнения).

4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ НА ДВУМЕРНЫХ КОПРИСОЕДИНЕННЫХ ОРБИТАХ

Предложение 1. Пусть множество управлений $U$ в задаче (1) строго выпукло. Тогда траектории вертикальной части гамильтонова векторного поля (2) с начальными ковекторами из двумерной коприсоединенной орбиты являются регулярными кривыми или неподвижными точками.

В этом случае максимизированный гамильтониан H принципа максимума Понтрягина C¹-гладок на ${{\mathbb{R}}^{r}}{\backslash \{ }0{\text{\} }}$. Вертикальную подсистему гамильтоновой системы можно записать в виде

Вектор $\nabla H$ трансверсален поверхности уровня гамильтонина H^–1(1), а подпространство $Ker{{B}_{p}}$ трансверсально коприсоединенной орбите (Ad*G)p. Если $\nabla H \notin Ker{{B}_{p}}$, то $\Gamma = {{H}^{{ - 1}}}(1)$ ∩ (Ad*G)p – регулярная кривая в окрестности точки p. Если $\nabla H \in Ker{{B}_{p}}$, то из уравнения (3) следует, что p – неподвижная точка.

В качестве следствий получаются следующие обобщения на трехступенные свободные группы Карно результатов Ю.Л. Сачкова [8, 9], полученных для двуступенных свободных групп Карно.

Следствие 1. Пусть множество управлений U строго выпукло, коприсоединенная орбита (Ad*G)p двумерна и $B_{p}^{{12}} = 0$. Рассмотрим нормальные экстремальные траектории задачи (1) с начальными ковекторами на этой орбите. Тогда соответствующие экстремальные управления периодичны или постоянны.

Следствие 2. Пусть множество управлений U строго выпукло и граница его поляры $\partial U^\circ $ класса $W_{\infty }^{2}$. Пусть коприсоединенная орбита $(Ad*G)p$ двумерна и $B_{p}^{{12}} \ne 0$. Рассмотрим нормальные экстремальные траектории задачи (1) с начальными ковекторами на этой орбите. Тогда соответствующие экстремальные управления периодичны, постоянны или асимптотически постоянны.

Суммируя следствия 1, 2, получаем

Следствие 3. Рассмотрим задачу быстродействия (1) на трехступенной свободной группе Карно. Пусть множество управлений U строго выпукло и граница его поляры $\partial U^\circ $ класса $W_{\infty }^{2}$. Тогда экстремальные управления для нормальных экстремальных траекторий с начальными ковекторами на двумерных коприсоединенных орбитах периодичны, постоянны или асимптотически постоянны.

Следствие 4. Рассмотрим экстремальную траекторию с начальным ковектором из двумерной коприсоединенной орбиты и периодическим управлением. Эта траектория не оптимальна после периода управления.