Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 81-85

1. НЕЛИНЕЙНЫЙ МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС

Рассмотрим группу из m чистых отраслей, связанных взаимными поставками продукции в качестве производственных факторов (ПФ). Обозначим через $X_{i}^{j}$ объем продукции i-й отрасли, который используется в качестве ПФ в процессе производства в j-й отрасли, а через X ^j = $(X_{1}^{j}, \ldots ,X_{m}^{j})$ – вектор затрат j-й отраслью ПФ, производимых рассматриваемой группой отраслей. Будем также предполагать, что в процессе производства отрасли затрачивают в качестве ПФ первичные ресурсы (n видов), т.е. продукты, не производимые рассматриваемой группой отраслей. Обозначим через ${{l}^{j}} = (l_{1}^{j}, \ldots ,l_{n}^{j})$ вектор затрат j-й отраслью первичных ресурсов, а через ${{F}_{j}}({{X}^{j}},{{l}^{j}})$ – производственную функцию j-й отрасли, т.е. зависимость выпуска j-й отрасли от затрат ПФ. Будем предполагать, что производственные функции отраслей обладают неоклассическими свойствами, т.е. являются вогнутыми, монотонно неубывающими, непрерывными функциями на $R_{ + }^{{m + n}}$, обращающимися в нуле в нуль. Кроме того, будем считать, что ${{F}_{j}}({{X}^{j}},{{l}^{j}})$ являются функциями, положительно однородными первой степени. Будем говорить, что такие функции принадлежат классу ${{\Phi }_{{m + n}}}$.

Обозначим через ${{X}^{0}} = (X_{1}^{0}, \ldots ,X_{m}^{0})$ объемы поставок производимой рассматриваемыми отраслями продукции внешним потребителям. Будем считать, что спрос внешних потребителей описывается с помощью функции полезности ${{F}_{0}}({{X}^{0}}) \in {{\Phi }_{m}}$. Предположим, что предложение первичных ресурсов рассматриваемой группе отраслей ограничено объемами $l = \left( {{{l}_{1}},\; \ldots ,\;{{l}_{n}}} \right) \geqslant 0$, и рассмотрим задачу об оптимальном распределении этих ресурсов между отраслями в целях максимизации функции полезности внешних потребителей при балансовых ограничениях по первичным ресурсам и выпускаемой отраслями продукции:

Будем считать, что рассматриваемая группа отраслей продуктивна, т.е. существуют ${{\hat {X}}^{1}} \geqslant 0$, ... ..., ${{\hat {X}}^{m}} \geqslant 0$, ${{\hat {l}}^{1}} \geqslant 0,\; \ldots ,\;{{\hat {l}}^{m}} \geqslant 0$, такие, что

Нетрудно доказать, что если группа отраслей продуктивна и $l = ({{l}_{1}}, \ldots ,{{l}_{n}}) > 0$, то задача оптимизации (1)–(4) удовлетворяет условиям Слейтера.

Предложение 1 (см. [2]). Для того чтобы набор векторов $\{ {{\hat {X}}^{0}},{{\hat {X}}^{1}}, \ldots ,{{\hat {X}}^{m}},{{\hat {l}}^{1}}, \ldots ,{{\hat {l}}^{m}}\} $, удовлетворяющих ограничениям (2)–(4), являлся решением задачи оптимизации (1)–(4), необходимо и достаточно, чтобы существовали множители Лагранжа ${{p}_{0}} > 0$, q = $({{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{m}}) \geqslant 0$, s = $({{s}_{1}}, \ldots ,{{s}_{n}}) \geqslant 0$ такие, что

Будем интерпретировать множители Лагранжа $q = ({{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{m}})$ к балансовым ограничениям по выпускаемым отраслями продуктам как цены на эти продукты, а множители Лагранжа $s = ({{s}_{1}}, \ldots ,{{s}_{n}})$ к балансовым ограничениям по первичным ресурсам как цены на первичные ресурсы. Тогда соотношение (5) означает, что предложение продукции отраслями и их спрос на производственные факторы текущего пользования определяется из максимизации прибыли при ценах (q, $s$). Соотношение (8) описывает спрос при ценах $q$ репрезентативного рационального конечного потребителя с функцией полезности ${{F}_{0}}({{X}^{0}})$, и, кроме того, ${{p}_{0}} = {{q}_{0}}\left( q \right),$ где функция ${{q}_{0}}\left( q \right)$ является преобразованием Янга функции ${{F}_{0}}({{X}^{0}})$, т.е.

Соотношения (2) и (6), (3) и (7) означают, что цены $q = \left( {{{q}_{1}},\; \ldots ,\;{{q}_{m}}} \right)$ и $s = \left( {{{s}_{1}},\; \ldots ,\;{{s}_{n}}} \right)$ равновесные. Таким образом, оптимальными механизмами распределения являются равновесные рыночные механизмы. Двойственным описанием технологии производства $j$-й отрасли является функция себестоимости

Функция себестоимости ${{q}_{j}}\left( {q,s} \right)$ является преобразованием Янга производственной функции ${{F}_{j}}({{X}^{j}}$, l ^j).

2. ЗАДАЧА ОБ АГРЕГИРОВАННОМ ОПИСАНИИ ГРУППЫ ОТРАСЛЕЙ

Рассмотрим задачу агрегирования межотраслевого баланса (2)–(4) с помощью функции полезности ${{F}_{0}}({{X}^{0}})$. Обозначим через ${{F}^{A}}\left( l \right)$ оптимальное значение функционала в задаче (1)–(4) в зависимости от вектора предложения первичных ресурсов $l$ в правой части балансового ограничения (3). Функция ${{F}^{A}}\left( l \right) \in {{\Phi }_{n}}$ и интерпретируется как агрегированная производственная функция. Агрегированной производственной функции ${{F}^{A}}\left( l \right)$ соответствует двойственная агрегированная функция себестоимости

Функция себестоимости ${{q}_{A}}\left( s \right) \in {{\Phi }_{n}}$, кроме того, справедливо

В силу преобразования Янга производственной функции CES ${{\left( {{{{\left( {\frac{{{{X}_{1}}}}{{{{w}_{1}}}}} \right)}}^{{ - \rho }}} + {{{\left( {\frac{{{{X}_{2}}}}{{{{w}_{2}}}}} \right)}}^{{ - \rho }}} + {{{\left( {\frac{{{{X}_{n}}}}{{{{w}_{n}}}}} \right)}}^{{ - \rho }}}} \right)}^{{ - \frac{1}{\rho }}}}$, где $\rho \in \left[ { - 1,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right]$, ${{w}_{1}} > 0,\; \ldots ,\;{{w}_{n}} > 0$, соответствует CES-функция себестоимости ((s₁w₁)^–σ + + (s₂w₂)^–σ + ${{({{s}_{n}}{{w}_{n}})}^{{ - \sigma }}}{{)}^{{ - \frac{1}{\sigma }}}}$, где $\sigma = - \frac{\rho }{{1 + \rho }}$, а производственной функции Кобба–Дугласа (предельный случай при ρ → 0) ${{F}_{{KD}}}\left( {{{X}_{1}}, \ldots ,{{X}_{n}}} \right)$ = $AX_{1}^{{{{\alpha }_{1}}}} \ldots X_{n}^{{{{\alpha }_{n}}}}$, где A > 0, ${{\alpha }_{1}} > 0,\; \ldots ,\;{{\alpha }_{n}} > 0$, ${{\alpha }_{1}} + \; \ldots \; + {{\alpha }_{n}} = 1$, соответствует функция себестоимости

Теорема 1. Агрегированная функция себестоимости представима в виде

Доказательство теоремы 1 основано на применении теоремы двойственности Фенхеля к задаче оптимизации (1)–(4). Отметим, что формула (10) является обобщенным аналогом известной в выпуклом анализе операции конволюции.

Определение 1. Будем называть задачу (10) двойственной по Янгу к задаче (1)–(4).

Предложение 2. Если множители Лагранжа $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} = \left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }}_{1}},\; \ldots ,\;{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }}_{m}}} \right) \geqslant 0$, $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{s} \geqslant 0$ к задаче (1)–(4) удовлетворяют условиям

3. АГРЕГИРОВАНИЕ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Рассмотрим вопрос об агрегировании межотраслевого баланса (1)–(4). Предположим, что множество номеров отраслей и выпускаемых ими продуктов $\left\{ {1,\; \ldots ,\;m} \right\}$ разбито на непересекающиеся подмножества $\left\{ {{{I}_{\alpha }}\left| {\;\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.} \right\}$. Обозначим Z ^α = = $(X_{j}^{0}\left| {j \in {{I}_{\alpha }}} \right.)$, где $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $. Предположим, что функция полезности внешних потребителей имеет структуру ${{F}_{0}}({{X}^{0}}) = {{G}_{0}}({{G}_{1}}({{Z}^{1}}), \ldots ,{{G}_{\nu }}({{Z}^{\nu }}))$, где функции ${{G}_{\alpha }} \in {{\Phi }_{{\left| {{{I}_{\alpha }}} \right|}}}$, $\alpha = 1, \ldots ,\nu $.

Лемма 1. Пусть ${{G}_{1}}({{Z}^{1}}),\; \ldots ,\;{{G}_{\nu }}({{Z}^{\nu }})$ – положительно однородные, вогнутые, непрерывные функции, принимающие положительные значения при положительных значениях аргументов, а функция ${{G}_{0}}\left( {{{Y}_{1}},\; \ldots ,\;{{Y}_{\nu }}} \right) \in {{\Phi }_{\nu }}$. Пусть функции

Здесь ${{Z}^{\alpha }} = (X_{j}^{0}\left| {\;j \in {{I}_{\alpha }}} \right.)$, ${{p}^{\alpha }} = \left( {{{p}_{j}}\left| {\;j \in {{I}_{\alpha }}} \right.} \right)$, $\alpha $ = = 1, ..., ν.

По лемме 1 функция ${{h}_{0}}({{h}_{1}}({{p}^{1}}), \ldots ,{{h}_{\nu }}({{p}^{\nu }}))$ в силу преобразования Янга будет двойственной к функции ${{F}_{0}}({{X}^{0}}) = {{G}_{0}}({{G}_{1}}({{Z}^{1}}), \ldots ,{{G}_{\nu }}({{Z}^{\nu }}))$.

Рассмотрим вспомогательную задачу

Теорема 2. Пусть

Кроме того, если $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} = ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{\alpha }}\left| {\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.)$ – решение задачи (10), то $\{ {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{\alpha }} = {{h}^{\alpha }}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{\alpha }})\left| {\;\alpha = 1, \ldots ,\nu } \right.\} $ – решение задачи (12).

Теорема 3. Пусть

${{R}^{\alpha }}({{Y}_{1}}, \ldots ,{{Y}_{{\alpha - 1}}},{{Y}_{{\alpha + 1}}}$, ..., Y_ν, l) =

Тогда $\{ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{Y} _{\beta }^{0},\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{Y} _{\beta }^{\alpha },{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{L} }^{\alpha }}\left| {\alpha = 1, \ldots ,\nu ;\beta = 1, \ldots ,\nu } \right.\} $ является решением задачи

Замечание. Агрегированные балансы (13) не зависят от конкретного вида функции ${{G}_{0}}$, описывающей спрос внешнего потребителя. Поэтому конструкцию построения балансов (13) можно рассматривать как агрегирование межотраслевых балансов (2). Будем называть условия (11) из теоремы 2 условиями агрегирования балансов.

4. АГРЕГИРОВАНИЕ В СЛУЧАЕ ФУНКЦИЙ КОББА–ДУГЛАСА

Предположим, что функции F₀(X) = ${{\alpha }_{0}}X_{1}^{{{{\lambda }_{1}}}} \ldots X_{m}^{{{{\lambda }_{m}}}}$, ${{F}_{j}}\left( {X,l} \right) = {{\alpha }_{j}}X_{1}^{{a_{1}^{j}}}\; \ldots \;X_{m}^{{a_{m}^{j}}}l_{1}^{{b_{1}^{j}}}...l_{n}^{{b_{n}^{j}}}$, $j = 1, \ldots ,m$, где

Будем предполагать, что каждая отрасль использует хотя бы один вид первичных ресурсов, т.е.

Рассмотрим матрицы $A = {\text{||}}a_{i}^{j}{\text{||}}_{{j = 1,\; \ldots ,\;m}}^{{i = 1,\; \ldots ,\;m}}$, B = ${\text{||}}b_{k}^{j}{\text{||}}_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}^{{j = 1,\; \ldots ,\;m}}$ и E – единичную матрицу $\left( {m \times m} \right)$. Обозначим ${{a}^{0}} = {\text{(}}a_{1}^{0}, \ldots ,a_{m}^{0}{\text{)*}}$. Поскольку

Следствие 2. Задача

$\max \{ {{q}_{0}}(p)\left| {{{q}_{j}}(p,s)} \right.$ ≥ p_j ≥ 0, j = 1, ..., m}

имеет решение вида ${{p}_{j}} = {{\beta }_{j}}s_{1}^{{c_{1}^{j}}} \ldots s_{n}^{{c_{n}^{j}}}$, $j = 1, \ldots ,m$, где матрица

Агрегированная функция себестоимости и агрегированная производственная функция имеют вид

${{q}_{A}}(s) = \lambda s_{1}^{{{{\gamma }_{1}}}} \ldots s_{n}^{{{{\gamma }_{n}}}}$, ${{F}^{A}}(l) = \mu l_{1}^{{{{\gamma }_{1}}}} \ldots l_{n}^{{{{\gamma }_{n}}}}$,

где γ = ${\text{(}}{{\gamma }_{1}}$, ..., γ_n)* = C*a⁰, причем ${{\gamma }_{1}} + \ldots + {{\gamma }_{n}}$ = 1.

Рассмотрим агрегирование межотраслевого баланса в случае функций Кобба–Дугласа. Как и в разделе 4, предположим, что множество номеров отраслей и выпускаемых ими продуктов $\{ 1, \ldots ,m\} $ разбито на непересекающиеся подмножества $\{ {{I}_{\alpha }}\left| {\alpha = 1} \right.$, ..., ν}. Будем искать агрегирующие функции также в классе функций Кобба–Дугласа

Обозначим через ${{A}_{{\alpha \beta }}} = (a_{i}^{j})_{{j \in {{I}^{\alpha }}}}^{{i \in {{I}^{\beta }}}}$, ${{\lambda }^{\alpha }} = (\lambda _{j}^{\alpha }\left| {j \in {{I}^{\alpha }}} \right.)$, $\alpha = 1, \ldots ,\nu $, а через ${{E}_{{\alpha \alpha }}}$ – единичную матрицу, у которой |I^α| строк.

Следствие 3. Для того чтобы функции (14) удовлетворяли условиям агрегирования балансов (11), необходимо и достаточно, чтобы для любой упорядоченной пары (α, β), где $\alpha = 1, \ldots ,\nu $, $\beta = 1, \ldots ,\nu $, $\beta \ne \alpha $, существовало число ${{\mu }_{{\beta \alpha }}} \geqslant 0$, такое, что выполняется равенство

Замечание. Из (15) следует, что вектор ${{\lambda }^{\alpha }}$ должен быть собственным вектором матрицы $A_{{\beta \alpha }}^{ * }{{({{E}_{{\beta \beta }}} - A_{{\beta \beta }}^{ * })}^{{ - 1}}}A_{{\alpha \beta }}^{ * }{{({{E}_{{\alpha \alpha }}} - A_{{\alpha \alpha }}^{ * })}^{{ - 1}}}$. По теореме Фробениуса–Перрона такой неотрицательный собственный вектор существует. Более того, если ${{\mu }_{{\alpha \beta }}}$ > 0, то неотрицательный вектор λ^β = $\frac{1}{{{{\mu }_{{\alpha \beta }}}}}A_{{\alpha \beta }}^{ * }({{E}_{{\alpha \alpha }}}$ – $A_{{\alpha \alpha }}^{ * }{{)}^{{ - 1}}}{{\lambda }^{\alpha }}$ является собственным вектором матрицы

$A_{{\alpha \beta }}^{ * }({{E}_{{\alpha \alpha }}}$ – $A_{{\alpha \alpha }}^{ * }{{)}^{{ - 1}}}A_{{\beta \alpha }}^{ * }{{({{E}_{{\beta \beta }}} - A_{{\beta \beta }}^{ * })}^{{ - 1}}}$,

при этом выполняются соотношения (13) для пар ($\alpha $, $\beta $) и ($\beta $, $\alpha $).