Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 9-12

В последние годы были получены принципиальные результаты в исследовании явления интегрируемости в биллиардах и изучении свойств таких систем. Так, для ряда важных классов биллиардов оказалась верна гипотеза Биркгофа (как полиномиальная версия [1], см. также [2–4], так и локальная версия [5, 6]). Тем самым, нашла широкое подтверждение глубокая связь между интегрируемостью биллиарда в односвязном пространстве постоянной кривизны и принадлежностью гладких дуг границы к семейству кривых одного из двух типов: софокусных квадрик (в том числе вырожденных) или концентрических окружностей и радиусов (для биллиардов в постоянном магнитном поле, см. [7, 8]).

В то же время В.В. Ведюшкиной в [9] было построено принципиально новое расширение класса интегрируемых биллиардов – класс биллиардных книжек. Движение частицы задается на двумерном CW-комплексе, 2-клетки которого есть плоские столы интегрируемых биллиардов (листы книжки), ограниченные дугами одного и того же семейства кривых. Каждой 1-клетке (гладкой граничной дуге 2-клетки – корешку книжки) приписана перестановка инцидентных ей 2-клеток. Она задает переход частицы с листа на лист после удара о границу.

Системы таких биллиардных книжек обладают слоением Лиувилля. Отметим, что добавление к биллиардам на каждом из листов книжки одинакового подходящего потенциала (в случае квадрик, например, подходит потенциал типа Гука) или постоянного магнитного поля (в случае окружностей) будет сохранять это свойство.

В классе биллиардов на столах-комплексах удалось реализовать топологические инварианты [10] слоений Лиувилля достаточно широкого класса интегрируемых гамильтоновых систем (ИГС) с двумя степенями свободы и их особенностей (например, [9, 11]). Обзор полученных результатов имеется в работе В.В. Ведюшкиной и А.Т. Фоменко [12]. А.Т. Фоменко сформулировал фундаментальную гипотезу о реализации (моделировании) ИГС с помощью интегрируемых биллиардов и выделил классы биллиардов I–VIII (включающие биллиардные книжки, биллиарды с магнитным полем, биллиарды с потенциалом, биллиарды на плоскости Минковского; о свойствах таких систем см. [13–15]).

Раздел C гипотезы посвящен вопросу о лиувиллевой эквивалентности (послойной гомеоморфности слоений Лиувилля) ИГС и биллиарда в подходящих зонах энергии. Напомним, что полный классифицирующий инвариант этого отношения – инвариант Фоменко–Цишанга (меченая молекула) – есть граф с числовыми и буквенными метками, см. [10].

Поскольку справедливость раздела C гипотезы в полном объеме пока не ясна, А.Т. Фоменко поставил вопрос о реализации произвольных значений каждой из “компонент” меченой молекулы по отдельности. Разделы A (доказан в [9]) и B (доказан для важного подкласса атомов без звездочек, об этом см. в [14]) гипотезы предполагают, что каждый буквенный инвариант при вершине (задающий класс послойной гомеоморфности окрестности особого слоя, или 3-атом, см. [10]) и каждая грубая молекула (граф с символами атомов в вершинах, но без числовых меток) реализуются в инвариантах биллиардов.

Оставался открытым вопрос: любые ли значения числовых меток моделируются биллиардными системами? Метки r = p/q ∈ Q mod 1 или r = ∞, и ε = ±1) стоят на ребре молекулы, а метка n ∈ Z – на некоторых специальных подграфах, называемых семьями. Верна следующая

Теорема 1. Любая числовая метка r, ε или n в любой меченой молекуле W ИГС реализуется как одна из меток того же типа в меченой молекуле W* подходящего биллиарда.

Доказательство. 1. Пары r = p/q, ε = 1 и r = p/q, ε = –1 реализуются биллиардной книжкой Ω_{(p, q)} из q листов типа B₀ (см. рис. 1а). Перестановка на выпуклой гиперболической дуге равна σ = (12…q), а на выпуклой эллиптической дуге σ^p. Остальные перестановки тождественны. Грубая молекула имеет тип A–A.

Рис. 1.

а – стол типа B₀, б – листы a, x, b, y, c в проекции на плоскость, в – склейка биллиарда Ω₃ = Ω_3,3.

Пара r = ∞, ε = 1 реализуется биллиардом в круге (на трехмерном ненулевом уровне энергии), а пара r = ∞, ε = –1 – биллиардом в круге при добавлении постоянного магнитного поля (см. [14]). Грубая молекула тоже имеет вид A–A. Тем самым, имеем дополнительный результат.

Утверждение 1. Гипотеза C верна для всех слоений с грубой молекулой A–A: любое такое слоение (задаваемое парой меток r, ε) реализуется как слоение подходящего биллиарда из классов I–VIII.

Замечание 1. Изменение меток (r, ε) при замене ориентации указаны в [10] и зависят от типов атомов (например, 2 атома А) на концах ребра и значения метки r. Реализация меток (r, ε) в других случаях обсуждается ниже.

2. Метка n сопоставляется каждой семье инварианта Фоменко–Цишанга, т.е. связному подграфу из седловых атомов, прообраз которого образует единое расслоение Зейферта. В изученных ранее ИГС и биллиардах типичными значениями метки n были только 0, 1, 2.

Для k ∈ N построим серию биллиардных книжек Ω_k, инвариант Фоменко–Цишанга которых имеет некоторую семью с меткой n = k.

Рассмотрим k экземпляров X₁, …, X_k стола плоского биллиарда внутри эллипса bx² + ay² = ab. Выберем значения b < λ₁ < … < λ_{k– 1} < a, т.е. k – 1 гиперболу, софокусную этому эллипсу. Разрежем столы X₂, …, X_k – 1 по двум гиперболам с параметрами λ_{i– 1} и λ_i, а столы X₁ и X_k – по одной гиперболе λ₁ и λ_k – 1 соответственно. Полученные фрагменты стола X_i обозначим буквами a, x, b, y, c и оснастим индексом i (см. рис. 1б для стола X₂).

Склейка книжки происходит по граничным дугам листов a_i, x_i, b_i, y_i, c_i, лежащих на гиперболах λ₁, …, λ_k – 1. Схематично она указана на рис. 1в для стола Ω₃. Точки пересечения кривых соответствуют дугам склейки (корешкам книжки), а сегменты кривых между ними – листам книжки. Двум ветвям гиперболы с параметром λ_j соответствуют перестановки σ_j, ρ_j, приведенные в табл. 1.

Инвариант Фоменко–Цишанга биллиарда Ω_k содержит семью из k – 1 3-атома C₂ (образующих дерево без разветвлений). Метка n на ней равна k > 0 или –k (в зависимости от ориентации), т.е. принимает любое ненулевое значение. Случай n = 0 реализуется, например, биллиардом в области b_i. Теорема 1 доказана.

Локальная гипотеза А.Т. Фоменко. Развивая результат теоремы 1 и утверждения 1, поставим вопрос о реализации меток вместе с их “носителями”, т.е. “локальный” аналог общей гипотезы C.

Гипотеза. Каждое из нижеперечисленных подмножеств инварианта Фоменко–Цишанга ИГС реализуется как подмножество инварианта Фоменко–Цишанга некоторого интегрируемого биллиарда:

1. (реберный инвариант) ребро с выбранной парой меток (r, ε);

2. (усиление пункта 1) ребро с выбранной парой меток (r, ε) между двумя выбранными атомами;

3. (инвариант семьи) выбранная метка n на некоторой семье;

4. (усиление пункта 3) выбранная метка n на произвольной выбранной семье S;

5. (меченая окрестность семьи). Выбранная семья с выбранной меткой n на ней и выбранными реберными инвариантами (r, ε) на ее внешних ребрах;

6. (меченая окрестность ребра). Две семьи S₁ и S₂ с метками n₁ и n₂, выбранные граничные торы которых соединены ребром с произвольным выбранным реберным инвариантом (r, ε).

Замечание 1. Пункты 1 и 3 вместе составляют доказанную выше теорему 1.

Утверждение 2. В таблице 2 указано, какие случаи из пункта 2 локальной гипотезы уже реализованы биллиардами. Символами V, V₁, V₂обозначены произвольные седловые атомы (атомы B_n и C_n описаны в [11]).

Так, случай r = p/q, ε = 1 и атомов A, B реализуется книжкой из q экземпляров стола x₂ (см. рис. 1б) с перестановками σ и σ^p как у книжки Ω_(p,q). Метка ε здесь от ориентации не зависит.

Теперь рассмотрим раздел 4. Для серии столов Ω_k вид семьи зависел от k, и метка n была равна k. Ее модификация, серия Ω_{k, k – s} строится из Ω_k путем удаления 0 ≤ s ≤ k пар листов a_i1, c_i1 …, a_is, c_is из CW-комплекса и их символов из записи перестановок σ_j, ρ_j. При этом инвариант Фоменко–Цишанга (в том числе вид семьи из k – 1 атома C₂) не меняется, исключая метку n = k – s на этой семье.

В частности, на такой семье сложности 2k – 2 (количество критических окружностей в ее атомах) и валентности 2k (количество граничных торов ее расслоения Зейферта) реализована любая метка |n| ≤ k.

Утверждение 3. На некоторой семье (заданной явно: она состоит из одного атома-вершины типа 3-атома С₂) в классе биллиардных книжек реализуются все значения целочисленной метки n.

Теперь склеим биллиард $\Omega _{k}^{'}$ из k ≥ 0 экземпляров каждой из областей a = a₁ и c = c₁, и двух экземпляров области b = b₁ (занумеруем их верхним индексом). Перестановки σ и ρ на левой и правой ветвях гиперболы λ₁ равны σ₁ = (a¹a²…a^kb¹b²) и ρ₁ = (b¹c¹c²… c^kb²). При всех k инвариант Фоменко–Цишанга содержит одну и ту же семью из одного атома С₂ с меткой n = k.

Следствие. Сложность и валентность семьи, вообще говоря, не ограничивают метку n, реализуемую биллиардами на этой семье.