Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 13-17

Доказана теорема о сохранении, при изменении числового параметра, существования нулей у параметрического семейства многозначных $(\alpha ,\beta )$-поисковых функционалов на открытом подмножестве метрического пространства. Доказательство основано на одной из версий каскадного принципа поиска нулей функционалов, предложенных в [1, 2].

Из этого основного результата выводится ряд следствий о сохранении существования на заданном открытом подмножестве прообразов замкнутого подпространства метрического пространства-образа при действии параметрического семейства многозначных отображений, о сохранении существования точек совпадения, общих неподвижных точек конечного набора параметрических семейств многозначных отображений. Подобные задачи о сохранении существования неподвижных точек и совпадений рассматривались в [3] для семейств многозначных отображений упорядоченных множеств.

Кроме того, в работе вводится новое понятие пары многозначных отображений типа Замфиреску. Получена теорема о существовании совпадений у такой пары отображений, обобщающая результаты [4], а также теорема о сохранении существования совпадений у параметрического семейства пар многозначных отображений типа Замфиреску при изменении числового параметра.

В качестве простого частного случая из полученных результатов следует известная теорема о сохранении существования неподвижных точек так называемого сжимающего семейства многозначных отображений М. Фригон и А. Гранаса [5, 6].

Приведем необходимые обозначения. Пусть $(X,d),(Y,\rho )$ – метрические пространства. Будем обозначать $C(X)$ – совокупность непустых замкнутых подмножеств X, $CB(X)$ – совокупность непустых замкнутых ограниченных подмножеств X. Для любых непустых подмножеств $A,B$ множества X

обозначает расстояние между подмножествами, расстояние от точки a до подмножества B, отклонение подмножества A от подмножества B, расстояние Хаусдорфа между подмножествами A и $B$ обозначается

Через $B(a,r) = \{ x \in X\,{\text{|}}\,d(a,x) \leqslant r\} $ обозначается замкнутый шар радиуса r > 0 с центром в точке $a \in X$. Две стрелочки $ \rightrightarrows $ обозначают многозначное отображение. Символом $ \subset $ ($ \subseteq $) будем обозначать отношение строгого (нестрогого) включения.

Общей неподвижной точкой многозначных отображений ${{F}_{k}}{\kern 1pt} :\;X \rightrightarrows X$, $1 \leqslant k \leqslant m$, называется точка $x \in X$ такая, что $x \in \bigcap\limits_{k = 1}^m {F(x)} $. Точкой совпадения отображений ${{F}_{k}}{\kern 1pt} :\;X \rightrightarrows Y$, $1 \leqslant k \leqslant m$, называется такая точка $x \in X$, что $\bigcap\limits_{k = 1}^m {F(x)} \ne \phi .$ Множество таких точек обозначается ${\text{Coin}}({{F}_{1}},...,{{F}_{m}})$.

Следующие понятия введены в [1, 2].

Пусть $\Phi {\kern 1pt} :\;X \rightrightarrows {{\mathbb{R}}_{ + }}$ – многозначный функционал. График Graph(Φ) := $\{ (x,c) \in X \times {{\mathbb{R}}_{ + }}\,{\text{|}}\,c \in \Phi (x)\} $ функционала Φ называется {0}-полным, если всякая фундаментальная последовательность {(x_n, ${{c}_{n}})\} \subseteq {\text{Graph}}(\Phi )$ такая, что ${{c}_{n}} \to 0$, сходится к некоторому элементу $(\xi ,0) \in {\text{Graph}}(\Phi )$, т.е. $0 \in \Phi (\xi )$, другими словами

График ${\text{Graph}}(\Phi )$ называется {0}-замкнутым, если для всякой последовательности {(x_n, c_n)} ⊆ ⊆  ${\text{Graph}}(\Phi )$, сходящейся к некоторому элементу (ξ, 0), верно, что $(\xi ,0) \in {\text{Graph}}(\Phi )$, т.е. $\xi \in {\text{Nil}}(\Phi )$. Фундаментальность и сходимость последовательностей элементов графика рассматриваются относительно метрики $D{\kern 1pt} :\;{{(X \times {{\mathbb{R}}_{ + }})}^{2}} \to {{\mathbb{R}}_{ + }}$, где

Следующее понятие есть небольшая модификация понятия, введенного в [2]. Пусть $(X,d)$ – метрическое пространство, $Y \subseteq X$, $0 \leqslant \beta < \alpha $. Многозначный функционал $\Phi {\kern 1pt} :\;Y \rightrightarrows {{\mathbb{R}}_{ + }}$ называется $(\alpha ,\beta )$-поисковым на Y, если для любой точки $x \in Y$ и любого значения $c \in \Phi (x)$ существует точка $x{\kern 1pt} ' \in X$, для которой $d(x,x{\kern 1pt} ') \leqslant \frac{1}{\alpha }c,$ а если $x{\kern 1pt} ' \in Y$, то существует значение $c{\kern 1pt} ' \in \Phi (x{\kern 1pt} ')$ такое, что $c{\kern 1pt} ' \leqslant \frac{\beta }{\alpha }c$.

Введем следующее понятие. Пусть $(X,d)$ – метрическое пространство, $Y \subseteq X$, и $\theta {\kern 1pt} :\;[0;1] \to \mathbb{R}$ – непрерывная возрастающая функция. Параметрическое семейство многозначных функционалов

будем называть $\theta $-непрерывным, если для каждого $x \in X$, любых $t{\kern 1pt} ',t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in [0;1]$ и любого $c{\kern 1pt} ' \in {{\Phi }_{{t'}}}(x)$ существует такое значение $c{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in {{\Phi }_{{t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '}}}(x)$, что

Следующее утверждение есть модификация обобщенного локального принципа каскадного поиска нулей функционала, доказанного в [2].

Теорема 1. Пусть $(X,d)$ – метрическое пространство, $Y \subseteq X$, $\Phi {\kern 1pt} :\;Y \rightrightarrows {{\mathbb{R}}_{ + }}$ – многозначный функционал, являющийся $(\alpha ,\beta )$-поисковым на Y, с {0}-полным графиком, $0 \leqslant \beta < \alpha $. Пусть заданы ${{x}_{0}} \in Y$, ${{c}_{0}} \in \Phi ({{x}_{0}})$ и $r > 0$ такие, что

Тогда существует точка $\xi \in B({{x}_{0}},r)$ такая, что $0 \in \Phi (\xi )$.

Используя теорему 1 и лемму Куратовского–Цорна, удается доказать следующее основное утверждение.

Теорема 2. Пусть $(X,d)$ – метрическое пространство, $U \subset X$ – открытое подмножество X, $\theta {\kern 1pt} :\;[0;1] \to \mathbb{R}$ – непрерывная возрастающая функция. Пусть задано $\theta $-непрерывное параметрическое семейство $\Phi = {{\{ {{\Phi }_{t}}{\kern 1pt} :\;\bar {U} \rightrightarrows {{\mathbb{R}}_{ + }}\} }_{{t \in [0;1]}}}$ многозначных (α, β)-поисковых на $\overline U $ функционалов c {0}-полными графиками. Пусть множество M = M_U(Φ) := $\{ (x,t)\,{\text{|}}\,x \in U$, $0 \in {{\Phi }_{t}}(x)\} $ замкнуто. Тогда если существует элемент вида $({{x}_{0}},0) \in M$, то существует и элемент вида $({{x}_{1}},1) \in M$.

На теореме 2 основаны доказательства следующих теорем 3, 4, 6.

Пусть $(X,\rho )$, $(Y,d)$ – метрические пространства, $Q \subseteq Y$ – замкнутое подпространство в Y, и $F{\kern 1pt} :\;X \to CB(Y)$. График ${\text{Graph}}(F)$ называется Q‑полным, если всякая фундаментальная последовательность $\{ ({{x}_{n}},{{y}_{n}})\} $ ⊆ Graph(F) такая, что $d({{y}_{n}},Q) \to 0$, сходится к некоторому элементу $(\xi ,\eta ) \in {\text{Graph}}(F)$.

Теорема 3. Пусть $(X,\rho )$, $(Y,d)$ – метрические пространства, $Q \subseteq Y$ – замкнутое подпространство в Y, $U \subset X$ – открытое подмножество X. Пусть $T = {{\{ {{T}_{t}}\} }_{{t \in [0;1]}}}$ – параметрическое семейство многозначных отображений ${{T}_{t}}{\kern 1pt} :\;\overline U \to C(Y)$. Пусть для некоторых чисел α, β, $0 \leqslant \beta < \alpha $, непрерывной возрастающей функции $\theta {\kern 1pt} :\;[0;1] \to \mathbb{R}$ и любого $t \in [0;1]$ выполнены следующие условия:

1) график ${\text{Graph}}({{T}_{t}})$ является Q-полным;

2) для любого $x \in \overline U $ и для любого $y \in {{T}_{t}}(x)$ существует $x{\kern 1pt} ' \in X$ такой, что

и если $x{\kern 1pt} ' \in \overline U $, то существует $y{\kern 1pt} ' \in {{T}_{t}}(x{\kern 1pt} ')$, для которого

3) $T_{t}^{{ - 1}}(Q) \cap \partial U = \phi $, где $\partial U$ – граница U.

Пусть, кроме того,

$\forall t{\kern 1pt} ',t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in [0;1]$, $\forall x \in \overline U $. Тогда, если $T_{0}^{{ - 1}}(Q) \ne \phi $, то $T_{1}^{{ - 1}}(Q) \ne \phi $.

Отметим, что если в условиях теоремы 3 подпространство $Q = \{ {{y}_{0}}\} $ – точка ${{y}_{0}} \in Y$, то утверждается существование семейства ${{\{ {{x}_{t}}\} }_{{t \in [0;1]}}}$ решений параметрического включения вида ${{T}_{t}}(x)\, \mathrel\backepsilon \,{{y}_{0}}$.

Следующая теорема решает задачу о сохранении существования совпадений у конечного набора параметрических семейств отображений.

Теорема 4. Пусть $(X,\rho )$, $(Y,d)$ – метрические пространства, $U \subset X$ – открытое подмножество X. Пусть заданы параметрические семейства отображений

и

Пусть для некоторых $0 \leqslant \beta < \alpha $, $\gamma \geqslant 1$, 1 < q < $\tfrac{{\alpha \gamma }}{\beta }$ и некоторой непрерывной возрастающей функции θ: $[0;1] \to \mathbb{R}$ выполнены следующие условия:

1) график ${\text{Graph}}({{S}_{t}}{{{\text{|}}}_{{\overline U }}}) = \{ (x,y) \in \overline U $ × Y|y ∈ S_t(x)} полон, и $T_{t}^{m}(\overline U ) \subseteq {{S}_{t}}(X)$, $\forall t \in [0;1];$

2) для любой фундаментальной последовательности $\{ {{x}_{n}}\} \subseteq \overline U $, всякая последовательность $\{ {{y}_{n}}\} $, где ${{y}_{n}} \in {{S}_{t}}({{x}_{n}})$, является фундаментальной, $\forall t$ ∈ [0; 1];

3) $\mathop {\max }\limits_{1 \leqslant k \leqslant m} \{ H(T_{t}^{k}(x{\kern 1pt} '),T_{t}^{k}(x{\kern 1pt} ''))\} \leqslant \tfrac{\beta }{{\alpha \gamma q}}d({{S}_{t}}(x{\kern 1pt} '),{{S}_{t}}(x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '))$, $\forall t \in [0;1],$ $\forall x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in \overline U $;

4) для любого ${{y}^{0}} \in {{S}_{t}}(x)$ верно, что H({y⁰}, $T_{t}^{k}(x)) \leqslant \gamma d({{y}^{0}}$, $T_{t}^{m}$(x)), $1 \leqslant k \leqslant m - 1$, $\forall t \in [0;1]$, $\forall x \in \overline U $;

5) $\rho (x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')\, \leqslant \,\tfrac{1}{\alpha }d({{S}_{t}}(x{\kern 1pt} '),{{S}_{t}}(x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '))$, $\forall t \in [0;1],$ $\forall x{\kern 1pt} '$, $x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in X$;

6) $\mathop {\max }\limits_{1 \leqslant k \leqslant m} \{ H(T_{{t'}}^{k}(x),T_{{t''}}^{k}(x))\} $     +     H(S_t'(x),     S_t''(x))     ≤ $ \leqslant {\text{|}}\theta (t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$ – θ(t')|, $\forall x \in \overline U $, $\forall t{\kern 1pt} ',t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in [0;1]$;

7) ${\text{Coin}}({{S}_{t}},T_{t}^{1}, \ldots ,T_{t}^{m}) \cap \partial U = \phi $.

Тогда, если ${\text{Coin}}({{S}_{0}},T_{0}^{1}, \ldots ,T_{0}^{m}) \ne \phi $, то Coin(S₁, $T_{1}^{1}, \ldots ,T_{1}^{m}) \ne \phi $.

Предположив в условиях теоремы 4, что Y = X, отображение ${{S}_{t}}{\kern 1pt} :\;X \to X$ тождественно при всех $t \in [0;1]$, и (без ограничения общности) $0 \leqslant \beta $ < < $\alpha \leqslant 1$, получаем теорему о сохранении существования общих неподвижных точек у семейства многозначных отображений на открытом подмножестве метрического пространства. Соответствующая формулировка здесь не приводится.

Если в условиях теоремы 4 предположить, что $Y = X$ – полное пространство, $0 \leqslant \beta < \alpha \leqslant 1$, $m = 1$, и ${{S}_{t}} = I{{d}_{X}}{\kern 1pt} :\;X \to X$ для любого $t \in [0;1]$, то она превращается в теорему Фригон–Гранаса [5, 6] о сохранении существования неподвижной точки у λ-сжимающего параметрического семейства многозначных отображений, при $\lambda = \tfrac{\beta }{\alpha }$.

Введем понятие пары многозначных отображений типа Замфиреску и рассмотрим задачу о совпадении такой пары отображений.

Определение. Пусть $(X,\rho )$, $(Y,d)$ – метрические пространства, и $U \subset X$ – некоторое открытое подмножество в X. Пусть $T{\kern 1pt} :\;\overline U \to CB(Y)$, S: $X \to CB(Y)$ – два многозначных отображения. Пару отображений $(T,S)$ будем называть парой типа Замфиреску на $\overline U $, если $T(\overline U ) \subseteq S(X)$ и при некоторых A, B, C, таких, что $0 \leqslant A < 1$, $0 \leqslant B$, $C < \tfrac{1}{2}$, для любых точек $x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in \overline U $ выполнено одно из следующих условий:

Доказано следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть $(X,\rho )$, $(Y,d)$ – полные метрические пространства, $T,S{\kern 1pt} :\;X \to CB(Y)$ – пара отображений типа Замфиреску на X. Пусть график ${\text{Graph}}(S)$ замкнут, и для некоторого $\gamma \geqslant 1$ для любых $x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in X$ верно:

Тогда существует точка совпадения отображений T и S.

Теорема 5 является обобщением соответствующих результатов [4]. Отметим, что ее справедливость вытекает из упомянутого выше обобщенного принципа поиска нулей многозначного функционала [2].

Теперь рассмотрим вопрос о сохранении, на открытом подмножестве метрического пространства, существования точек совпадения у параметрического семейства пар многозначных отображений типа Замфиреску.

Предыдущие результаты позволяют утверждать следующее.

Теорема 6. Пусть $(X,\rho )$, $(Y,d)$ – метрические пространства, $U \subset X$ – открытое подмножество в $X$. Пусть заданы параметрические семейства отображений $T = {{\{ {{T}_{t}}\,{\text{|}}\,{{T}_{t}}{\kern 1pt} :\;\overline U \to {\text{CB}}(Y)\} }_{{t \in [0;1]}}}$, S = ${{\{ {{S}_{t}}\,{\text{|}}\,{{S}_{t}}{\kern 1pt} :\;X \to {\text{CB}}(Y)\} }_{{t \in [0;1]}}}$. Пусть для некоторых $0 \leqslant A < 1$, $0 \leqslant B$, $C < \tfrac{1}{2}$, при любом $t \in [0;1]$, пара отображений $({{T}_{t}},{{S}_{t}})$ является парой многозначных отображений типа Замфиреску на подмножестве $\overline U $, для любого $t \in [0;1]$ график ${\text{Graph}}({{S}_{t}}{{{\text{|}}}_{{\overline U }}})$ = {(x, y) ∈ ∈ $\overline U \times Y\,{\text{|}}\,y \in {{S}_{t}}(x)\} $ полон, и для всякой фундаментальной последовательности ${{\{ {{x}_{n}}\} }_{{n \in \mathbb{N}}}} \subseteq \overline U $ любая последовательность вида ${{\{ {{y}_{n}}\} }_{{n \in \mathbb{N}}}}$, где ${{y}_{n}} \in {{S}_{t}}({{x}_{n}})$, n = 1, 2, ..., также фундаментальна. Пусть для некоторого $\gamma \geqslant 1$, любого $t \in [0;1]$ и любых $x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in X$ верно, что $\rho (x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ') \leqslant \gamma d({{S}_{t}}(x{\kern 1pt} ')$, S_t(x'')). Предположим, что для некоторой непрерывной возрастающей функции $\theta :[0;1] \to \mathbb{R}$, для любого $x \in \overline U $ и любых $t{\kern 1pt} ',t{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in [0;1]$ выполнено неравенство

Пусть, кроме того, для любого $t \in [0;1]$ на границе $\partial U$ множества $U$ нет точек совпадения отображений ${{T}_{t}}$ и ${{S}_{t}}$, т.е. ${\text{Coin}}({{T}_{t}},{{S}_{t}}) \cap \partial U = \phi $.

Тогда, если

то

Если в условиях теоремы 6 положить $Y = X$ и ${{S}_{t}} = I{{d}_{X}}$ – тождественное отображение при любом $t \in [0;1]$, то в качестве следствия получается утверждение о сохранении существования, на открытом подмножестве метрического пространства, неподвижной точки у параметрического семейства многозначных отображений Замфиреску. (Определение и некоторые свойства многозначного отображения Замфиреску даны в [4]. Отметим, что такое отображение не обязано быть сжимающим, и даже не обязано быть непрерывным.)

Легко видеть, что многозначное сжимающее (по метрике Хаусдорфа) отображение является одним из частных случаев многозначного отображения Замфиреску, поэтому, как и из теоремы 4, из только что упомянутого следствия из теоремы 6 вытекает, в качестве частного случая, теорема Фригон–Гранаса [5, 6].

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯРабота выполнена в рамках направления исследований Московского центра фундаментальной и прикладной математики.