Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 5-8

Трехмерная стационарная система Власова–Пуассона, возникающая в звездной динамике, имеет вид

Здесь $f = f(x,v) \geqslant 0$ – функция распределения гравитирующего вещества, $\rho = \rho (x) \geqslant 0$ – локальная плотность, $U = U(x) \leqslant 0$ – ньютоновский потенциал, $(x,v)$ ∈ ${{\mathbb{R}}^{3}} \times {{\mathbb{R}}^{3}}$ – координаты по пространству и скорости. Стационарное решение (f, ρ, U) системы Власова–Пуассона (1)–(3) называется   сферически   симметричным,   если (f, ρ, U)$(x,v)$ = $(f,\rho ,U)({{A}_{1}}x,{{A}_{2}}v)$ для всех ортогональных преобразований A₁ и A₂. Для стационарных сферически симметричных решений мы можем предполагать, что $(f,\rho ,U)(x,v) = (f,\rho ,U)(r,u)$, где $r: = {\text{|}}x{\text{|}}$, $u: = {\text{|}}v{\text{|}}$, библиографию см. в [1–3].

В этом сообщении мы получим достаточные условия “расширимости” для заданной функции $p = p(r)$. Это означает, что существует стационарное сферически симметричное решение $(f,\rho ,U)$ системы Власова–Пуассона с функцией f, зависящей от локальной энергии $E: = U(r) + \tfrac{{{{u}^{2}}}}{2}$, такое, что ρ = p.

Известно, что для любого $\rho \in {{C}^{\sigma }}({{\mathbb{R}}^{3}})$, $0 < \sigma < 1$, такого, что ${\text{supp}}\rho \subset {{B}_{R}}$, существует единственное решение $U \in {{C}^{{2 + \sigma }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ уравнения (2), для которого $U(x) \to 0$ при ${\text{|}}x{\text{|}} \to \infty $, при этом

см. [4, 5], где ${{B}_{R}} = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}{\kern 1pt} :\;{\text{|}}x{\text{|}} < R\} $, R > 0 – некоторое число.

Рассмотрим ньютонов потенциал U(x) в случае сферической симметрии. Предположим, что, вообще говоря, локальная плотность ρ(x) может иметь сингулярность в точке 0.

Пусть ${{C}_{R}}({{\mathbb{R}}_{ + }}) = \left\{ {p \in C({{\mathbb{R}}_{ + }}){\kern 1pt} :\,p(r)\;\mathop > \limits_{}^{} \;0} \right.$, $r \in (0,R)$, p(r) = 0, $r \in [R,\infty )$, $\int\limits_0^r \,p(s){{s}^{2}}ds < \infty $, $\left. {r\;\mathop \in \limits_{}^{} \;(0,\infty )} \right\}$, где ${{\mathbb{R}}_{ + }} = (0,\infty )$. Определим оператор L на ${{C}_{R}}({{\mathbb{R}}_{ + }})$ по формуле

Лемма 1. Пусть $p\, \in \,{{C}_{R}}({{\mathbb{R}}_{ + }})$, и пусть ρ ∈ ∈ $C({{\mathbb{R}}^{3}}{\backslash }\{ 0\} )$ – сферически симметричная функция такая, что $\rho (x) = p({\text{|}}x{\text{|}})$, x ≠ 0. Тогда функция U, заданная по формуле (4), является сферически симметричной и $U(x) = - (Lp)(r)$, x ≠ 0.

Обозначим ${{\mathcal{D}}_{R}}(L) = \{ p \in C({{\mathbb{R}}_{ + }})$: p строго убывает на (0, R)}.

Лемма 2. Пусть $p \in {{\mathcal{D}}_{R}}(L)$. Тогда

1) $Lp \in {{C}^{2}}({{\mathbb{R}}_{ + }})$ и

Если к тому же $p \in {{C}_{R}}(\overline {{{\mathbb{R}}_{ + }}} )$, то $Lp \in {{C}^{2}}(\overline {{{\mathbb{R}}_{ + }}} )$;

2) функция Lp строго убывает на ${{\mathbb{R}}_{ + }}$ и имеет строго убывающую обратную функцию (Lp)^–1: $[(Lp)(R),(Lp)(0))$ → (0, R], где $(Lp)(0): = \mathop {lim}\limits_{r \to 0} (Lp)(r)$.

Из лемм 1 и 2 следует, что если p ∈ ${{\mathcal{D}}_{R}}(L)\, \cap \,C(\overline {{{\mathbb{R}}_{ + }}} )$, то существует единственное сферически симметричное решение $U(x) = - (Lp)(r) \in {{C}^{2}}(\overline {{{\mathbb{R}}_{ + }}} )$ уравнения (2) такое, что $U(x) \to 0$ при |x| → ∞. Часто мы будем использовать обозначение P = Lp.

Определение 1. Тройка функций f = = $f(r,u)$, $\rho = \rho (r)$ и U = U(r) называется сферически симметричным E-зависимым решением системы Власова–Пуассона (1)–(3), если $\rho \in {{\mathcal{D}}_{R}}(L)$ и существует функция $q = q(s)$ такая, что

где $E(r,u) = U(r) + \tfrac{{{{u}^{2}}}}{2}$, ${{E}_{0}} = P(R) > 0$.

Заметим, что функция f вида (9) удовлетворяет уравнению (1) в следующем смысле: f является константой на характеристиках уравнения (1), поскольку E – первый интеграл уравнения (1).

В силу леммы 2 функция (Lp)^–1 строго убывает на $[{{E}_{0}},P(0))$. Поэтому из условия $p \in {{\mathcal{D}}_{R}}(L)$ следует, что функция

строго возрастает и выполняется равенство

Пусть $F(h) = 0$, $h \in (0,{{E}_{0}})$. Тогда уравнение (13) эквивалентно следующему уравнению

Лемма 3. 1) Пусть $({{f}_{q}},\rho ,U)$ – стационарное сферически симметричное E-зависимое решение системы (1)–(3), и пусть $F: = {{F}_{p}}$ задано по формуле (12), где p = ρ. Тогда q удовлетворяет уравнению

2) Пусть q удовлетворяет условию (8), и пусть F(h) задано по формуле (15). Предположим, что интегральное уравнение (14) имеет решение $p \in {{\mathcal{D}}_{R}}(L)$. Определим $\rho : = p$, $U(r): = - Lp(r)$ и f_q(r, u) := := $q( - E(r$, u) – E₀). Тогда $({{f}_{q}},\rho ,U)$ – стационарное сферически симметричное E-зависимое решение системы (1)–(3).

Пусть ${{F}_{0}}(h): = F(h + {{E}_{0}})$, $h \in [0,P(0) - {{E}_{0}})$. Тогда уравнение (15) примет вид

Уравнение

называется уравнением Эддингтона.

Определение 2. Функция $p \in {{\mathcal{D}}_{R}}(L)$ называется расширимой, если существует стационарное сферически симметричное E-зависимое решение $(f,\rho ,U)$ системы Власова–Пуассона (1)–(3) такое, что ρ = p.

Лемма 4 (лемма об эквивалентности). Пусть $p \in {{\mathcal{D}}_{R}}(L)$. Тогда p расширима тогда и только тогда, когда уравнение Эддингтона (16) имеет решение q, обладающее свойством (8), для $F: = {{F}_{p}}$, заданной по формуле (12), и ${{F}_{0}}(h): = F(h + {{E}_{0}})$.

В силу леммы 4 проблема расширимости может быть сведена к исследованию уравнения Эддингтона. Поэтому мы сформулируем дополнительное утверждение, касающееся разрешимости уравнения Эддингтона, которое эквивалентно результатам [6]. Пусть

Лемма 5. 1) Пусть $g \in AC[0,T)$, $g(0) = 0$, и пусть

а) ${{H}_{{g{\kern 1pt} '}}} \in AC[0,T)$, где ${{H}_{{g'}}}(x): = \int\limits_0^x \,\tfrac{{g{\kern 1pt} '(s)ds}}{{\sqrt {x - s} }}$,

б) ${{H}_{{g{\kern 1pt} '}}}(0) = 0$.

Тогда функция f, определенная по формуле

является единственным решением уравнения Эддингтона (17).

2) Обратно, если $f \in L_{{loc}}^{1}[0,T)$ и $g$ удовлетворяет (17), то $g \in AC[0,T)$, $g(0) = 0$, и выполняются соотношения а) и б). Кроме того, f представляется в виде (18), и $g{\kern 1pt} '(x) = \frac{1}{2}\int\limits_0^x \,\tfrac{{f(s)ds}}{{\sqrt {x - s} }}$.

Теперь мы можем сформулировать основной результат данного сообщения.

Теорема 1. Пусть $p \in {{\mathcal{D}}_{R}}(L)$, $p{{{\text{|}}}_{{(0,R]}}} \in {{C}^{2}}(0$, R], F задано по формуле (12), ${{F}_{0}}( \cdot ) = F( \cdot + {{E}_{0}})$ и ${{E}_{0}}$ = = P(R). Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Уравнение Эддингтона (16) имеет единственное вещественнозначное решение $q \in L_{{loc}}^{1}[0,P(0)$ – E₀), которое имеет вид

где

2.  p расширима тогда и только тогда, когда $q(h)$ > 0, $h \in (0,P(0) - {{E}_{0}})$, т.е.

где $F_{0}^{'}(0) = \tfrac{{p{\kern 1pt} '(R)}}{{P{\kern 1pt} '(R)}} \geqslant 0$.

3. Каждое из следующих условий является достаточным для расширимости p:

а) $F_{0}^{{''}}(s) > 0$, $s \in (0,P(0) - {{E}_{0}})$,

б) $X(r): = p{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '(r) > 0$, $r \in (0,R)$,

в) $\frac{2}{r}p{\kern 1pt} '(r) + p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) > 0$, $r \in (0,R)$,

где а) и б) эквивалентны, а из условия в) следуют а) и б).

Доказательство основано на леммах 1–5.

Пример 1. Пусть $p(r) = 1 - \mathop {\left( {\tfrac{r}{R}} \right)}\nolimits^2 $, $0 \leqslant r \leqslant R$, и $p(r)$ = 0, r > R, где R > 0. Подставляя p(r) в (5), мы имеем $P{\kern 1pt} :\;[0,R] \to [{{E}_{0}},P(0)] = \left[ {\frac{{8\pi {{R}^{2}}}}{{15}},\pi {{R}^{2}}} \right]$ и P(r) = = $\pi {{R}^{2}}\left[ {\frac{1}{5}\mathop {\left( {\frac{r}{R}} \right)}\nolimits^4 - \frac{2}{3}\mathop {\left( {\frac{r}{R}} \right)}\nolimits^2 + 1} \right]$ := h. Обратная функция P^–1 имеет вид r = P^–1(h) = $R\sqrt {\frac{5}{3} - \sqrt {ah - \frac{{20}}{9}} } $, где $a = \frac{5}{{\pi {{R}^{2}}}}$. Следовательно, мы получим

Поэтому $F_{0}^{'}(h) = \tfrac{a}{{2\sqrt {ah + \frac{4}{9}} }}$ и

${{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = \int\limits_0^h \,\tfrac{{F_{0}^{'}(s)ds}}{{\sqrt {h - s} }}$ = $\sqrt a \left( {\tfrac{\pi }{2} - {\text{arctg}}\tfrac{2}{{3\sqrt {ah} }}} \right)$.

Дифференцируя последнее выражение, имеем

В силу теоремы 1.2 функция p расширима. С другой стороны, можно показать, что достаточные условия теоремы 1.3.б) и 1.3.в) не выполнены.

Пример 2. Пусть

Подставляя p(r) в (5), получим

где

Легко видеть, что $f(\alpha ) > 0$ на [0, 1]. Следовательно, $X(r) > 0$ на (0, R). Поэтому, в силу теоремы 1.3.б) функция p расширима. Однако достаточные условия теоремы 1.3.в) не выполняются.