Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 32-37

Рассмотрим свободный от квадратов многочлен $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ степени 2g + 1 над полем $\mathbb{K}$ характеристики, отличной от 2. Для нас особенный интерес представляет случай, когда $\mathbb{K}$ – поле алгебраических чисел. Предположим, что f(x) не делится на x, и f(0) – полный квадрат в поле $\mathbb{K}$, таким образом, нормирование ν_x, соответствующее униформизующей x, имеет два продолжения: $\nu _{x}^{ + }$, $\nu _{x}^{ - }$ в поле $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$. При этих предположениях существует вложение $\sqrt {f(x)} $ и тем самым поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$ в поле формальных рядов Лорана $\mathbb{K}((x))$, что позволяет рассмотреть разложение этого элемента или любого другого элемента поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt {f(x)} )$ в непрерывную дробь (подробнее см. [1]). Пусть $\mathcal{C}$ – гладкая компактификация гиперэллиптической кривой ${{y}^{2}} = f(x)$. Рассмотрим вложение точки $P = (0,\sqrt {f(0)} )$ в якобиан кривой $\mathcal{C}$, переводящее P в класс P – ∞. В случае, когда класс P – ∞ имеет конечный порядок в якобиане, существует класс элементов поля $\mathbb{K}(x)(\sqrt f )$, для которых разложение в непрерывную дробь периодично. Эти разложения обладают интересными свойствами, о которых можно узнать из работ [1–3].

Отметим, что некоторые элементы при указанных предположениях на пару $(\mathcal{C},P)$ заведомо периодичны: например $\frac{{\sqrt {f(x)} }}{{{{x}^{g}}}}$ и $\frac{{\sqrt {f(x)} }}{{{{x}^{{g + 1}}}}}$. В свою очередь, сам элемент $\sqrt {f(x)} $ периодичен не всегда, что является существенным отличием от случая разложения в непрерывную дробь в $\mathbb{K}(({{x}^{{ - 1}}}))$. В связи с этим в работе [3] была поставлена проблема описания всех многочленов $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ степени 2g + 1 для различных классов полей алгебраических чисел $\mathbb{K}$ с квазипериодическим разложением $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь. Там же она была полностью решена для кубических многочленов над полем рациональных чисел. Рассуждения основывались на следующих соображениях. Первое – ограниченность порядка точки эллиптической кривой (полученное Мазуром [4]), второе – рациональность соответствующих модулярных кривых ${{X}_{1}}(N)$, отвечающих порядкам N из теоремы Мазура. Напомним, что $\mathbb{K}$-точки аффинной кривой ${{Y}_{1}}(N)$, определенной над $\mathbb{Q}$, отвечают множествам пар $(\mathcal{C},P)$, определенных над $\mathbb{K}$ и состоящих из эллиптической кривой $\mathcal{C}$ и точки P конечного порядка N на ней (через ${{X}_{1}}(N)$ обозначается гладкая компактификация ${{Y}_{1}}(N)$). Это дает для данных значений N так называемую рациональную параметризацию множества таких пар $(\mathcal{C},P)$ (см. [5]) в зависимости от параметра t, или, иными словами, многочленов f(x, t), где P соответствует x = 0. И последний этап – вычисление непрерывной дроби для $\sqrt {f(x,t)} $ зависимости от параметра t, и применение критерия периодичности $\sqrt {f(x,t)} $, который формулируется в виде неравенства на нормирования для числителя и знаменателя дроби, представляющей наилучшее приближение, и по сути является обращением в нуль некоторого коэффициента при степени x (см. подробнее [2, 3]).

При попытке обобщения этого результата на более общие числовые поля $\mathbb{K}$ мы сразу сталкиваемся со следующими проблемами: полное описание порядков точек кручения (аналог теоремы Мазура) известно только для квадратичных полей (см. [6]), а оценка на кручение, полученная Мерелем (см. [7], а также [8]), более чем велика для текущего состояния вычислительных инструментов. Более того, кривые ${{X}_{1}}(N)$ перестают быть рациональными. В работе [9] были изучены конкретные квадратичные числовые поля, где текущие методы вычисления позволяли дать полный ответ, а в работах [10, 11] было исследовано на периодичность разложение $\sqrt {f(x)} $ в предположениях, ограничивающих его период, что достигалось ограничением порядка точки кручения (что эквивалентно ограничению степени фундаментальной S-единицы). В последних двух работах были исследованы многочлены f, соответствующие эллиптическим кривым с точками кручения порядка $N \leqslant 12$, N = 14, 16, 18. Тем самым для полного описания периодических элементов $\sqrt f $ над квадратичными расширениями $\mathbb{Q}$ оставалось рассмотреть порядки кручения 13 и 15, что являлось нетривиальной вычислительной задачей. В [10, 11] периодичность $\sqrt {f(x)} $ переформулировалась в терминах решения сложной системы уравнений, включающей коэффициенты $\sqrt {f(x)} $ и дополнительные переменные. На самом деле, эта система отвечает за квазипериодичность, но для элементов вида $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{n}}$ их периодичность является следствием квазипериодичности (см. [2]).

В настоящей работе мы предлагаем обобщение метода работы [3]. Наш метод позволяет полностью решить проблему периодичности $\sqrt f $ для квадратичных числовых полей, а именно, мы получаем полное описание периодических разложений пар, состоящих из квадратичного числового поля и периодического элемента $\sqrt f $ (что, в частности, доказывает гипотезу из работы [11]), а также доказываем теорему конечности для кубических и квартичных расширений $\mathbb{Q}$. Ключевым замечанием, позволившим добиться продвижения в решении этих задач, является то, что рациональность кривых ${{X}_{1}}(N)$ хоть и упрощает ситуацию, но не является существенной.

Поскольку периодичность разложения $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь равносильна периодичности $\sqrt {{{f}^{\sigma }}(x)} $, где σ ∈ ${\text{Gal}}(\mathbb{K}{\text{/}}\mathbb{Q})$, а также периодичности $\sqrt {{{a}^{2}}f(bx)} $ для любых $a,b \in {{\mathbb{K}}^{ \times }}$, мы будем рассматривать многочлены с точностью до указанной эквивалентности.

Результаты работы мы сформулируем в виде следующих теорем.

Теорема 1. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb{K}[x]$, отличных от вида cx³ + 1, над полем $\mathbb{K}$ степени $d \leqslant 4$ над $\mathbb{Q}$, имеющих периодическое разложение $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь над $\mathbb{K}$, конечно, и в случае $d \leqslant 2$ исчерпывается следующими представителями:

Эта теорема является следствием следующей более технической теоремы.

Теорема 2. Число классов эквивалентности свободных от квадратов кубических многочленов $f \in \mathbb{K}[x]$ над произвольным полем $\mathbb{K}$, отличных от вида cx³ + 1, для которых точка $(0,\sqrt {f(0)} )$ соот- ветствующей эллиптической кривой имеет порядок 3 ≤ N ≤ 22, N = 24, а разложение $\sqrt {f(x)} $ в непрерывную дробь периодично, конечно.

Имеет место также следующее простое следствие нашего метода, которое было совершенно не очевидно с позиции работ [3, 10, 11]. Множество решений систем, аналогичных построенным в работах [10, 11], не более чем одномерно, поскольку пространство решений является алгебраическим подмножеством в модулярной кривой ${{Y}_{1}}(N)$.

Приведем схему доказательства теоремы 2. Зафиксируем N и рассмотрим модулярную кривую ${{Y}_{1}}(N)$, определенную над $\mathbb{Q}$, $\mathbb{K}$-точки которой отвечают множествам пар $(\mathcal{C},P)$, состоящих из эллиптической кривой $\mathcal{C}$ над $\mathbb{K}$ и $\mathbb{K}$-точки конечного P порядка N на ней. Напомним, что точки X₁(N)\Y₁(N) называются каспидальными. В работе [12] были приведены уравнения от двух переменных ${{g}_{N}}(t,u)$ = 0, задающие кривые ${{Y}_{1}}(N)$. Каждой паре $(t,u) \in {{Y}_{1}}(N)$ отвечает эллиптическая кривая в форме Тейта:

Для такой кривой точка $(0,0)$ является точкой кручения порядка N, если и только если выполнено соотношение ${{g}_{N}}(t,u) = 0$.

Для всех кривых коэффициенты b и c единообразно задаются формулами

где $r: = {{r}_{N}}(t,u)$ и $s: = {{s}_{N}}(t,u)$ уже зависят от N. Заменяя y на $y - \frac{{cx + b}}{2}$, переходим к кривой ${{y}^{2}} = f(x)$ с точкой кручения $\left( {0,\frac{b}{2}} \right)$, где

Как было отмечено ранее, разложение элемента $\frac{{\sqrt f }}{{{{x}^{2}}}}$ в непрерывную дробь периодично. Шагу n этого разложения сопоставим многочлен L_n = = ${{( - 1)}^{{n + 1}}}({{x}^{4}}P_{n}^{2} - fQ_{n}^{2})$, где $\frac{{{{P}_{n}}}}{{{{Q}_{n}}}}$ – n-я подходящая дробь к элементу $\frac{{\sqrt f }}{{{{x}^{2}}}}$. В [2] показано, что точка $\left( {0,\sqrt {f(0)} } \right)$ является точкой кручения тогда и только тогда, когда для некоторого n многочлен L_n пропорционален ${{x}^{{2g + 1}}}$ или ${{x}^{{2g + 2}}}$. А степень S-единицы, равная порядку точки кручения, определяет четность многочлена L_n, для такого минимального n, что L_n обладает указанным ранее свойством.

Сформулируем критерий периодичности элемента $\sqrt f $ из [2] в терминах подходящих дробей и многочлена L_n.

Теорема 3. Пусть f – бесквадратный многочлен степени 2g + 1. Предположим, что для кривой ${{y}^{2}} = f(x)$ точка $\left( {0,\sqrt {f(0)} } \right)$ является точкой кручения.

(i) Тогда найдется минимальное n, что на n-м шаге разложения $\frac{{\sqrt f }}{{{{x}^{{g + 1}}}}}$ в непрерывную дробь многочлен L_n пропорционален ${{x}^{{2g + 1}}}$ или ${{x}^{{2g + 2}}}$.

(ii) Обозначим через $\frac{{{{P}_{n}}}}{{{{Q}_{n}}}}$ подходящую дробь с номером $n$ к элементу $\sqrt f $, где P_n, ${{Q}_{n}} \in \mathbb{K}[{{x}^{{ - 1}}}]$. Тогда в случае ${{L}_{n}} = c{{x}^{{2g + 1}}}$ имеем ${{\nu }_{x}}({{P}_{n}}) < 0$, а элемент $\sqrt f $ периодичен тогда и только тогда, когда ${{\nu }_{x}}({{P}_{n}}) \leqslant - (g + 1)$. А в случае ${{L}_{n}} = c{{x}^{{2g + 2}}}$ элемент $\sqrt f $ периодичен тогда и только тогда, когда ${{\nu }_{x}}({{Q}_{n}}) \leqslant - g$.

Итак, имеем уравнение ${{y}^{2}} = {{f}_{N}}(x,t,u)$, у которого коэффициенты при x зависят от параметров (t, u), где t, u удовлетворяют соотношению ${{g}_{N}}(t,u)$ = 0.

Разложим в непрерывную дробь элемент $\frac{{\sqrt {{{f}_{N}}(x,t,u)} }}{{{{x}^{2}}}}$ по переменной x^–1, воспринимая (t, u) как формальные переменные до шага, на котором L_n пропорционален либо x³, либо x⁴ (при выполнении соотношения ${{g}_{N}}(t,u) = 0$). Далее для

P_n = ${{p}_{0}}(t,u) + {{p}_{1}}(t,u){{x}^{{ - 1}}}$ + … …, ${{Q}_{n}}\, = \,{{q}_{0}}(t,u)\, + \,{{q}_{1}}(t,u){{x}^{{ - 1}}}$ + …

накладываем соотношения либо ${{q}_{0}}(t,u) = 0$, либо ${{p}_{1}}(t,u) = 0$, в зависимости от четности степени L_n, что по теореме 3 (при выполнении соотношения ${{g}_{N}}(t,u) = 0$) повлечет периодичность $\sqrt f $. Далее мы решаем систему, состоящую из ${{g}_{N}}(t,u) = 0$ и одного из уравнений ${{q}_{0}}(t,u) = 0$ или ${{p}_{1}}(t,u) = 0$.

Заметим, что в случае квадратичных числовых полей все модулярные кривые ${{g}_{N}}(t,u) = 0$ имеют род не больше 2 и либо отвечают рациональной параметризации, либо легко приводятся к виду ${{u}^{2}} = h(t)$, и тем самым решение рассматриваемой системы полностью элементарно. В случае для кривых с точкой кручения порядка N = 17, 19, 20, 21, 22, 24 мы воспользовались методом исключения переменной, основанным на базисах Гребнера и сводящим вопрос к одному уравнению от t.

Доказательство теоремы 1. Как мы заметили ранее, если элемент $\sqrt f $ периодичен, то также периодичен и $\frac{{\sqrt f }}{{{{x}^{2}}}}$, а для кривой ${{y}^{2}} = f(x)$ точка $(0,\sqrt {f(0)} )$ имеет конечный порядок N (подробнее см. [2]).

Воспользуемся следующими результатами о конечности возможных порядков N, сформулированными для удобства читателя в виде одной теоремы.

Теорема 4. Пусть $\mathcal{C}$ – эллиптическая кривая над полем $\mathbb{K}$ степени $d \leqslant 4$ над $\mathbb{Q}$, тогда для поля $\mathbb{K}$ и $\mathbb{K}$-точки кручения порядка N на кривой $\mathcal{C}$ имеют место следующие ограничения:

(i) В случае $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ имеем $N \leqslant 12,N \ne 11$ (см. [4]).

(ii) В случае d = 2 имеем $N \leqslant 18,N \ne 17$ (см. [6]).

(iii) В случае d = 3 число полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от $N \leqslant 20$, $N \ne 17,\;19$, конечно (см. [13]).

(iv) В случае d = 4 число полей $\mathbb{K}$ и неизоморфных эллиптических кривых ${{\mathcal{C}}_{\mathbb{K}}}$ с порядком точки кручения, отличным от $N \leqslant 24$, $N \ne 19,\;23$, конечно (см. [14]).

Следует подчеркнуть, что для разложения в непрерывную дробь мы фиксируем нормирование, или, что равносильно, точку $P \in \mathcal{C}$ степени 1. И хотя для некоторого целого l кривая $\mathcal{C}$ с точкой порядка lN над $\mathbb{K}$ (соответствующая точке на ${{X}_{1}}(lN)$) встречается среди кривых, обладающих точками порядка N, параметризуемых точками ${{X}_{1}}(N)$, но там она соответствует другой паре. Более того, кривая $\mathcal{C}$ встречается несколько раз среди пар $(\mathcal{C},P)$, параметризуемых точками ${{X}_{1}}(N)$, однако она появляется в паре с разными соответствующими точками кручения, и периодическое разложение $\sqrt f $ могут давать не все пары. Поэтому мы исследуем кривые ${{X}_{1}}(N)$, соответствующие всем натуральным числам из нашего диапазона, а не только те, которые соответствуют простым делителям чисел из него. Таким образом, для доказательства конечности числа классов достаточно исследовать на периодичность элемента $\sqrt f $ лишь кривые с порядком кручения $3 < N \leqslant 24$, $N \ne 19$, 23, что и было сделано в теореме 2.

Доказательство. В силу ограничений объема и сложности результатов вычислений приведем здесь полное доказательство только одного случая $N = 14$, который дает нетривиальный периодический $\sqrt f $ над кубическим расширением $\mathbb{Q}$, а также сводную таблицу 1, содержащую данные о возможных периодических корнях в эллиптических полях, обладающих точкой кручения заданного порядка, а именно, уравнение модулярной кривой ${{g}_{N}}(t,u)$, многочлен ${{F}_{d}}(t)$ степени d, корни которого реализуют значение параметра t, при которых $\sqrt {{{f}_{N}}} $ периодичен (что определяет поле $\mathbb{K} = \mathbb{Q}[t]{\text{/}}({{F}_{d}})$, причем каждый раз u лежит в поле $\mathbb{K}$), период $\sqrt {{{f}_{N}}} $ (его квазипериод во всех случаях оказывается равен половине периода). Во всех случаях система на (t, u) имеет ровно одно решение с точностью до выбора корня неприводимого над $\mathbb{Q}$ многочлена, не обнуляющее знаменатели коэффициентов f_N, и свободный коэффициент f_N.

В табл. 1 из-за величины коэффициентов не вошли данные для N = 17, 19, 20, 21, 22, 24. Степени числовых полей, в которых реализуются периодические $\sqrt {{{f}_{N}}} $, равны, соответственно, 12, 15, 10, 16, 10, 14, а периоды разложения $\sqrt {{{f}_{N}}} $ в непрерывную дробь: 30, 34, 18, 38, 22, 22. Кроме того, следует отметить, что в работе [3] были разобраны случаи $N \leqslant 12$, N ≠ 11, для которых параметризация ${{X}_{1}}(N)$ рациональна. Для N = 7 периодический $\sqrt {{{f}_{7}}} $ реализуется над квадратичным расширением, а для N = 9, 12 периодический $\sqrt {{{f}_{N}}} $ реализуется над кубическими расширениями $\mathbb{Q}$. В других случаях для $N \leqslant 10$ периодический $\sqrt {{{f}_{N}}} $ либо не реализуется, либо реализуется над $\mathbb{Q}$.

Приведем вычисления только для случая N = 14, который приводит к выражениям с не слишком большими коэффициентами. Остальные случаи доказываются аналогично.

Порядок кручения 14.

Кривая X₁(14) задана соотношением g₁₄(t, u) = = ${{u}^{2}} + ({{t}^{2}} + t)u$ + t, а формулы

после подстановки в (2) и (3) определяют соответствующую эллиптическую кривую:

Рассмотрим разложение квадратичной иррациональности $\frac{{\sqrt {{{f}_{{14}}}} }}{{{{x}^{2}}}}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{K}(t,u)((x))$. В этом случае ${{L}_{5}} = {{x}^{4}}$, причем L_n не пропорционален x^k при $0 \leqslant n < 5$. Степень S-единицы гиперэллиптического поля, заданного многочленом f₁₄, совпадает с порядком точки кручения с x = 0 и равна 14.

Квазипериод разложения $\frac{{\sqrt {{{f}_{{14}}}} }}{{{{x}^{2}}}}$ в непрерывную дробь совпадает с периодом и равен 6. По теореме 3, примененной в случае S-единицы четной степени, $\sqrt {{{f}_{{14}}}} $ периодичен, если и только если свободный коэффициент Q_n обращается в нуль. Запишем это условие:

Подставляя в него выражение для u из ${{g}_{{14}}}(t,u)$ = 0, получаем

Проверим реализуемость периодичного $\sqrt {{{f}_{{14}}}} $ для корня каждого неконстантного множителя (6).

Корень t = –1 не отвечает ${{f}_{{14}}}$ с периодическим разложением $\sqrt {{{f}_{{14}}}} $, поскольку t = –1 является корнем знаменателя одного из коэффициентов f₁₄.

Пусть теперь z является корнем неприводимого над $\mathbb{Q}$ многочлена ${{t}^{3}} + {{t}^{2}} - 2t - \tfrac{9}{2}$. Тогда u = = $ - \tfrac{1}{3}{{z}^{2}} + \tfrac{1}{3}z$, которому отвечает

Разложение $\sqrt {{{f}_{{14}}}(x,z)} $ над числовым полем степени 3 периодично с квазипериодом 7, периодом 14, коэффициентом квазипериодичности

$ - \tfrac{{784}}{{25}}{{z}^{2}}$ – $\tfrac{{1274}}{{15}}z$ – $\tfrac{{74137}}{{900}}$.