Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 5-8

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПЛОСКИХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКИМИ БОКОВЫМИ ГРАНИЦАМИ

Е. А. Бадерко 1*, М. Ф. Черепова 2**

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

2 Национальный исследовательский университет “Московский энергетический институт”
Москва, Россия

* E-mail: baderko.ea@yandex.ru
** E-mail: CherepovaMF@mpei.ru

Поступила в редакцию 10.07.2020
После доработки 10.07.2020
Принята к публикации 30.07.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрены первая и вторая начально-краевые задачи для одномерных по пространственной переменной параболических по Петровскому систем второго порядка с переменными коэффициентами в ограниченной области с негладкими боковыми границами. Установлена единственность классических решений этих задач в пространстве функций, непрерывных вместе с пространственной производной первого порядка в замыкании области. Используется метод граничных интегральных уравнений.

Ключевые слова: параболическая система, начально-краевая задача, единственность классического решения, негладкая боковая граница

Рассматриваются первая и вторая начально-краевые задачи для одномерных по пространственной переменной x параболических по Петровскому [1] систем второго порядка в ограниченной области Ω с негладкими, вообще говоря, боковыми границами. В работах [24] получены теоремы о существовании и свойствах классических решений u этих задач. В настоящей работе устанавливается единственность классических решений таких задач в классе ${{C}^{{1,0}}}({\bar {\Omega }})$ функций, непрерывных в ${\bar {\Omega }}$ вместе с пространственной производной первого порядка. В случае области с гладкими боковыми границами однозначная разрешимость указанных задач в классе Гёльдера следует из [5] (см. также [6, с. 706–707]). Если боковые границы области негладкие, то в случае одного уравнения единственность решения первой начально-краевой задачи следует из принципа максимума (см., например, [7]), а единственность решения второй начально-краевой задачи получена в [8, 9] с помощью теоремы о знаке косой производной. В [10, 11] установлена единственность решения первой начально-краевой задачи для одномерной параболической системы второго порядка с постоянными коэффициентами в полуограниченной области Ω с негладкой боковой границей в классе ${{C}^{{1,0}}}({\bar {\Omega }})~$ при дополнительном условии на старшую производную $\partial _{x}^{2}u$ решения, а также в классе Гёльдера ${{H}^{{1 + \alpha ,\left( {1 + \alpha } \right)/2}}}(\bar {\Omega }).$ Заметим, что для систем не имеет места, вообще говоря, принцип максимума (см. [12]).

В полосе $D = \{ (x,t) \in \mathbb{R} \times (0,T)\} $, $0 < T < + \infty ,$ рассмотрим линейный параболический по И.Г. Петровскому матричный оператор

$\begin{gathered} Lu = {{\partial }_{t}}u - \mathop \sum \limits_{k = 0}^2 {{A}_{k}}\left( {x,t} \right)\partial _{x}^{k}u,~ \\ u = \left( {{{u}_{1}},~ \ldots ,{{u}_{m}}} \right),~\quad m > 1, \\ \end{gathered} $
где ${{A}_{k}} = {\text{||}}a_{{ij}}^{k}{\text{||}}_{{i,j = 1}}^{m}~~$ – матрицы размерности m × m, элементы которых есть вещественные функции, определенные в $\bar {D}$ и удовлетворяющие условиям:

а) собственные числа μr матрицы A2 подчиняются неравенству ${\text{Re}}{{\mu }_{r}}(x,t) \geqslant \delta $ для некоторого δ > 0 и всех $(x,t) \in \overline {D,} \,\,r = 1,2,...,m;$

б) $a_{{ij}}^{k} \in {{H}^{{\alpha ,\alpha /2}}}(\bar {D}),\alpha \in (0,1),~~i,j = 1,2,...,m,~$ k = 0, 1, 2, где ${{H}^{{\beta ,\beta /2}}}(\bar {D})$ (β – нецелое число) – пространство Гёльдера ([6, с. 16]).

В D выделяется область Ω = $\{ (x,t) \in D$ : g1(t) < x < < g2(t)} c негладкими боковыми границами Σk = = $\{ (x,t) \in \bar {D}:~x = ~{{g}_{k}}(t)\} ~$, k = 1, 2, где функции gk удовлетворяют условиям:

(1)
$\begin{gathered} \left| {{{g}_{k}}\left( {t + \Delta t} \right) - {{g}_{k}}\left( t \right)} \right| \leqslant K{{\left| {\Delta t} \right|}^{{\left( {1 + \alpha ~} \right)/2}}}, \\ t,~t + \Delta t \in \left[ {0,T} \right],\quad ~k = 1,~2,~ \\ \end{gathered} $
(2)
${{g}_{1}}(t) < {{g}_{2}}(t),~\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$

В Ω ставится задача отыскания классического решения системы

(3)
$Lu = 0\quad ~{\text{в}}\quad ~{\Omega },$
удовлетворяющего начальному условию
(4)
$u\left( {x,0} \right) = 0,\quad {{g}_{1}}\left( 0 \right) \leqslant x~\,\, \leqslant ~\,\,{{g}_{2}}\left( 0 \right)$
и одному из граничных условий
(5)
$u\left( {{{g}_{k}}\left( t \right),t} \right) = {{{\psi }}_{k}}\left( t \right),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,~\quad k = 1,~2,$
или

(6)
${{\partial }_{x}}u({{g}_{k}}(t),t) = {{{\theta }}_{k}}(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,~\quad k = 1,~2.$

Определим следующие функциональные пространства. Через $\mathop C\limits_0 \left[ {0,T} \right]$ обозначим пространство вектор-функций ${\psi :}\,\,[0,T] \to {{R}^{m}}$, непрерывных на [0, T], для которых ${\psi }$ при этом ||${\psi }$; [0, T]||0 = = $\mathop {{\text{max}}}\limits_{\left[ {0,T} \right]} \left| {\psi } \right|.$ Пусть

${{\partial }^{{1/2}}}{\psi } = \frac{1}{{\sqrt \pi }}\frac{d}{{dt}}\mathop \smallint \limits_0^t {{\left( {t - \tau } \right)}^{{ - 1/2}}}{\psi }\left( \tau \right)d\tau ,~\quad t \in \left[ {0,T} \right],$
есть оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Через ${{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}\left[ {0,T} \right]$ обозначим [2, 3] пространство вектор-функций ${\psi } \in \mathop C\limits_0 \left[ {0,T} \right],$ для которых существует ${{\partial }^{{1/2}}}{\psi } \in \mathop C\limits_0 \left[ {0,T} \right]$; при этом ||${\psi }$; [0, T]||1/2 = = $\mathop {{\text{max}}}\limits_{[0,T]} \left| {\psi } \right| + \mathop {{\text{max}}}\limits_{[0,T]} {\text{|}}{{\partial }^{{1/2}}}{\psi |}.$ Здесь и далее для любого вектора b под |b| понимаем максимум из модулей компонент b.

Через ${{H}^{{\alpha /2}}}\left[ {0,T} \right]~$ обозначим пространство непрерывных вектор-функций ${\psi }:\left[ {0,T} \right] \to {{R}^{m}},$ для которых конечна величина

${{\left| {{\psi };\left[ {0,T} \right]} \right|}^{{\alpha /2}}} = \mathop {{\text{max}}}\limits_{\left[ {0,T} \right]} \left| {\psi } \right| + \mathop {{\text{sup}}}\limits_{\left( {0,T} \right)} \{ \left| {{{\Delta }_{t}}{\psi }} \right|{{\left| {\Delta t} \right|}^{{ - \alpha /2}}}\} .$

Через $~\mathop C\limits_0 ({\bar {\Omega }})$ обозначим пространство непрерывных вектор-функций $u:\overline {{\Omega \;}} \to {{R}^{m}},$ для которых $u(x,0)$ = 0, при этом ${{\left\| {u;{\Omega }} \right\|}^{0}} = \mathop {{\text{max}}}\limits_{\Omega } \left| u \right|.$ Через ${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}\left( {{\bar {\Omega }}} \right)$ обозначим пространство вектор-функций $u \in \mathop C\limits_0 ({\bar {\Omega }}),$ для которых ${{\partial }_{x}}u \in \mathop C\limits_0 \left( {{\bar {\Omega }}} \right),$ при этом ||u; Ω||1,0 = = $\mathop {{\text{max}}}\limits_{\Omega } \left| u \right| + \mathop {{\text{max}}}\limits_{\Omega } \left| {{{\partial }_{x}}u} \right|.$ Под значениями вектор-функций и их производных на границе области Ω понимаем их предельные значения “изнутри” Ω$.$

Существование классических решений задач (3)–(5) и (3), (4), (6) при сформулированных условиях на коэффициенты системы и боковые границы области установлено в [2, 3] и [4], соответственно, если граничные функции ${{{\psi }}_{k}} \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$, k = 1, 2 и ${{{\theta }}_{k}} \in \mathop C\limits_0 \left[ {0,T} \right],~~k = 1,~2$. В этих работах получено также интегральное представление решений в виде суммы векторных параболических потенциалов простого слоя. Основной результат настоящей работы – следующие теоремы единственности.

Теорема 1. Пусть выполнены условия а), б), (1), (2). Пусть u – классическое решение задачи

$Lu = 0\quad {\text{в\;}}\quad {\Omega },\quad {{\left. u \right|}_{{t = 0}}} = 0,\quad {{\left. u \right|}_{{~{{\Sigma }_{k}}}}} = 0,\quad k = 1,~2,$
такое, что $u \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}\left( {{\bar {\Omega }}} \right).$ Тогда $u \equiv 0$ в $\bar {\Omega }$.

Теорема 2. Пусть выполнены условия а), б), (1), (2). Пусть u – классическое решение задачи

$Lu = 0\quad {\text{в}}\quad ~{\Omega },\quad {{\left. u \right|}_{{t = 0}}} = 0,\quad {{\left. {~{{\partial }_{x}}u} \right|}_{{~{{\Sigma }_{k}}}}} = 0,\quad k = 1,~2,$
такое, что $u \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}\left( {{\bar {\Omega }}} \right).$ Тогда $u \equiv 0$ в $\bar {\Omega }$.

Замечание. Если усилить требование на боковые границы области, а именно, если gk ∈ ∈ ${{H}^{{1 + \alpha /2}}}[0,T]$, k = 1, 2, т.е. функции gk дифференцируемы на [0, T] и их производные принадлежат пространству ${{H}^{{\alpha /2}}}\left[ {0,T} \right]$, то из [5] вытекает единственность решения рассматриваемых задач в классе Гёльдера ${{\mathop H\limits_0 }^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega }).$ В случае параболического оператора с постоянными коэффициентами и полуограниченной области теорема 1 получена в [10, 11] при дополнительном условии на старшую производную $\partial _{x}^{2}u$ решения.

Для доказательства теорем 1, 2 сначала с помощью метода работ [10, 11] получаем теоремы единственности решений первой и второй начально-краевых задач для оператора с дифференцируемыми по x коэффициентами. Затем рассматриваем оператор со “сглаженными” коэффициентами, зависящими от параметра r,

${{L}^{{\left( r \right)}}}u = {{\partial }_{t}}u - \mathop \sum \limits_{k = 0}^2 A_{k}^{{\left( r \right)}}\left( {x,t} \right)\partial _{x}^{k}u,$
где $A_{k}^{{\left( r \right)}} = {\text{||}}a_{{ij}}^{{k\left( r \right)}}{\text{||}}_{{i,j = 1}}^{m}$. Коэффициенты оператора L(r) получаются стандартным образом с помощью свертки с гладкой функций (“шапочкой”). Для достаточно малых r коэффициенты оператора L(r)$~$удовлетворяют условию а) с постоянной параболичности $\frac{\delta }{2}$ равномерно по r и удовлетворяют условию б). Кроме того, $a_{{ij}}^{{k\left( r \right)}} \to a_{{ij}}^{k}$ при r → 0 равномерно на любом компакте из D.

Далее доказываем теорему 2. Фиксируем произвольное число ε > 0, произвольную точку (x0, ${{t}_{0}}) \in {\Omega }$ и рассматриваем область Ωd = $\{ (x,t) \in {\Omega }~$: g1(t) + d < x < g2(t) – d, d < t < T} такую, что $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{{\Omega }}_{d}}$ для достаточно малого $d \in \left( {0,T} \right).$ Обозначим через $\bar {u}$ – продолжение вектор-функции u с ${\bar {\Omega }}$ на $\bar {D}$ с сохранением нормы ||⋅||1, 0 (см. [6, с. 342]), причем такое, что $\bar {u}(x,0) = {{\partial }_{x}}\bar {u}(x,0) = 0$, $x \in \mathbb{R}.$ Рассматриваем “сглаженные” вектор-функции ${{u}_{s}}(x,t)$ такие, что ${{u}_{s}}(x,t) \to \bar {u}(x,t)$, s → 0, равномерно на любом компакте из D. Для любых 0 < s < $\frac{d}{2}$ и r > 0 вектор-функция us является решением задачи

$\begin{gathered} {{L}^{{\left( r \right)}}}{v} = {{f}_{s}}\quad {\text{в}}\quad ~{{{\Omega }}_{d}}, \\ {v}\left( {x,d} \right) = {{h}_{s}}\left( x \right),\quad {{g}_{1}}\left( d \right) + d \leqslant x \leqslant {{g}_{2}}\left( d \right) - d, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\partial }_{x}}{v}\left( {~{{g}_{1}}\left( t \right) + d,t} \right) = {\theta }_{s}^{1}\left( t \right),\quad {{\partial }_{x}}{v}\left( {~{{g}_{2}}\left( t \right) - d,t} \right) = {\theta }_{s}^{2}\left( t \right),{\text{\;}} \\ d \leqslant t \leqslant T, \\ \end{gathered} $
где ${{f}_{s}}(x,t)\, = \,{{L}^{{(r)}}}{{u}_{s}}(x,t)$, ${{h}_{s}}(x)\, = \,{{u}_{s}}(x,d)$, ${\theta }_{s}^{1}(t)$ = = ${{\partial }_{x}}{{u}_{s}}$(g1(t) + d, t), ${\theta }_{s}^{2}(t) = {{\partial }_{x}}{{u}_{s}}(~{{g}_{2}}(t) - d,t)$. Из работы [4] и в силу теоремы единственности для оператора с гладкими коэффициентами и свойств параболических потенциалов [3, 4, 13] следует, что для каждого $0 < s < \frac{d}{2}$ вектор-функцию us можно представить в виде суммы векторных параболических потенциалов простого слоя, оценивая которые, получаем, что найдутся достаточно малые числа d > 0, ${{s}_{0}} = {{s}_{0}}(d) < \frac{d}{2}$ и $r = r(d) > 0~$ такие, что ${\text{|}}{{u}_{s}}({{x}_{0}},{{t}_{0}}){\text{|}} < \frac{\varepsilon }{2}$ для любого $s \leqslant {{s}_{0}}.~$ Отсюда, учитывая, что |us(x, t) – – $\bar {u}(x,t){\text{|}} < Cs,$ $(x,t) \in \bar {D},$ для любого s > 0 и в силу произвольности ε, следует утверждение теоремы 2. Затем, используя [3] и теорему 2, получаем утверждение теоремы 1.

Список литературы

  1. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ, секц. А. 1938. Т. 1. Вып. 7. С. 1–72.

  2. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях с негладкими боковыми границами // ДАН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379–381.

  3. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. С. 198–208.

  4. Тверитинов В.А. Решение второй краевой задачи для параболической системы с одной пространственной переменной методом граничных интегральных уравнений // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 15.11.89. № 6906-В89.

  5. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. МИАН. 1965. Т. 83. Ч. 3.

  6. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

  7. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. 1962. Т. 17. Вып. 3 (105). С. 3–146.

  8. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. О приложениях принципа максимума к параболическим уравнениям 2-го порядка // ДАН СССР. 1972. Т. 204. № 3. С. 529–532.

  9. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Об аналогах теоремы Жиро для параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. мат. журнал. 1973. Т. 14. № 1. С. 86–110.

  10. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решения первой начально-краевой задачи для параболических систем на плоскости в модельном случае // ДАН. 2018. Т. 483. № 3. С. 247–249.

  11. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения первой начально-краевой задачи для параболических систем с постоянными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости // Дифференциальные уравнения. 2019. Т. 55. № 5. С. 673–682.

  12. Мазья В.Г., Кресин Г.И. О принципе максимума для сильно эллиптических и параболических систем второго порядка с постоянными коэффициентами // Матем. сб. 1984. Т 125 (167). № 4 (12). С. 458–480.

  13. Тверитинов В.А. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 02.09.88. № 6850-В88.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления