Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 64-67

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И СЕТОЧНАЯ АДАПТАЦИЯ

В качестве математической модели рассматривается система уравнений Навье–Стокса для вязкого сжимаемого теплопроводного газа, записанная в виде законов сохранения. Численный алгоритм моделирования течений представляет собой модификацию конечно-объемного метода повышенного порядка точности с линейной реконструкцией переменных внутри расчетных ячеек и определением их значений в центрах масс [5, 6].

Механизм адаптации сетки состоит в иерархическом изотропном дроблении и объединении элементов (рис. 1).После измельчения гексаэдров, призм и тетраэдров образуется по восемь многогранников того же типа. Декомпозиция четырехугольной пирамиды состоит из шести пирамид и четырех тетраэдров.

В вычислениях на адаптивных сетках для определения полиномиальных коэффициентов вводятся фиктивные контрольные объемы. Их вершины находятся в точках пересечения отрезков, соединяющих центры соседних расчетных ячеек, с плоскостями соответствующих граней. Объем фиктивной ячейки ограничивается триангуляцией выпуклой оболочки ее вершин. Значения переменных в вершинах и центрах граней фиктивной ячейки вычисляются линейной интерполяцией на отрезках и треугольниках. На рис. 2 показан пример фиктивного контрольного объема для пирамиды, которая граничит с четырьмя элементами (два тетраэдра, гексаэдр и призма) одинакового с ней уровня иерархии и четырьмя тетраэдрами нижнего уровня.

Рис. 1.

Декомпозиция сеточных ячеек.

Рис. 2.

Фиктивный контрольный объем.

Решение о дроблении и объединении многогранников принимается после анализа распределения значений критериев адаптации ${{\phi }_{{cell}}}$ в расчетных ячейках. Выбор критерия или их комбинаций учитывает структуру моделируемого течения. Правило составления множества перестраиваемых элементов в общем виде описывается выражением

Границы интервала $\left( {{{\phi }_{{{\text{min}}}}};{{\phi }_{{{\text{max}}}}}} \right)$ задаются таким образом, чтобы в результате адаптации повысить точность разрешения особенностей течения, одновременно сохранив число расчетных ячеек в заданных пределах. С целью исключения резких перепадов между размерами элементов топология сетки всегда удовлетворяет условию, когда соседние расчетные ячейки отличаются не более чем на один уровень в иерархии.

Для определения значений газодинамических переменных в центрах масс дочерних ячеек используется полиномиальная реконструкция на родительском элементе. В случае их обратного слияния значение в центре родительского многогранника вычисляется осреднением по вложенным контрольным объемам.

Описанный алгоритм программно реализован как последовательное приложение для систем с многоядерными процессорами. Процедуры обработки сеточной топологии выделены в отдельную библиотеку подпрограмм.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Оценка корректности численного алгоритма и процедур сеточной адаптации проводилась на примере моделирования стационарного сверхзвукового обтекания сферы единичного диаметра. Параметры набегающего потока задавались числом Маха ${{M}_{\infty }} = 2$ и числом Рейнольдса ${\text{R}}{{{\text{e}}}_{\infty }}$ = 300. Проведено сравнение полученных характеристик течения с результатами расчета аналогичной задачи на структурированной сетке, опубликованными в [7].

Вычислительный эксперимент включает последовательный расчет задачи сначала на грубой конформной сетке (MI) и затем на двух локально адаптивных сетках (MA и MA2). Сетка MA адаптируется к решению на сетке MI. Сетка MA2 перестраивается в соответствии с результатом расчета на сетке MA. Расчет на каждой из сеток продолжается до установления стационарной картины течения.

Маркировка перестраиваемых элементов происходит путем сравнения значений трех критериев адаптации, учитывающих абсолютную величину градиента давления ($\phi _{{cell}}^{0} = \left| {\nabla p} \right|{{h}_{{cell}}}$), градиента модуля скорости ($\phi _{{cell}}^{1} = \left| {\nabla \left| {\mathbf{u}} \right|} \right|$) и модуль завихренности ($\phi _{{cell}}^{2} = \left| {\nabla \times {\mathbf{u}}} \right|{{h}_{{cell}}}$). Коэффициент ${{h}_{{cell}}}$ равен минимальной высоте элемента. Пороговые значения $\phi _{{{\text{min}}}}^{i}$ и $\phi _{{{\text{max}}}}^{i}$ подобраны экспериментально. Кроме того, процедура адаптации предусматривает преобразование элементов, находящихся вблизи изоповерхности локального числа Маха (M = 1) и границы рециркуляционной зоны.

Исходная сетка MI объединяет 54 сеточных блока и суммарно содержит 268 633 ячейки. Область пограничного слоя заполнена гексаэдрами и призмами. Далее в окрестности сферы чередуются различные типы сеточных ячеек. На выходе к внешним границам расчетной области расположены тетраэдральный и гексаэдральный блоки (рис. 3).

Рис. 3.

Структура стартовой сетки MI.

Глубина измельчения сетки MA (577 386 расчетных ячеек) ограничивается первым уровнем разбиения. Иерархическая структура сетки MA2 (640 772 расчетных ячейки) включает элементы первого и второго уровня вложенности. В обоих случаях среди расчетных ячеек каждого уровня присутствуют многогранники всех типов. Зона адаптации содержит элементы из области разрешения пограничного слоя, а ее поверхность пересекает границы сеточных блоков (рис. 4).

Рис. 4.

Зоны локального измельчения сетки MA2.

Определенные по итогам вычислительного эксперимента параметры течения приведены в таб. 1. На фоне качественного совпадения результатов видно, что адаптация сеточной топологии повышает точность определения контрольных характеристик.

Расчет задачи на сетке MI с адаптацией под решение и продолжением вычислений на сетке MA занимает в 2.5 раза меньше процессорного времени по сравнению с расчетом на равномерно измельченной во всей области стартовой сетке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлен алгоритм численного моделирования уравнений Навье–Стокса на локально адаптивных гибридных сетках с элементами четырех типов и пример расчета стационарного сверхзвукового течения с адаптацией сетки к особенностям решения. Дальнейшее развитие исследований предполагает разработку автоматизированной процедуры динамической адаптации сеточной топологии для моделирования нестационарных течений и создание параллельных версий алгоритмов.