Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 78-83

За последние 20 лет теория функциональных непрерывных дробей стала важным арифметическим инструментом в проблеме поиска и построения фундаментальных единиц гиперэллиптического поля. С развитием современных алгебраических и теоретико-числовых методов появился новый взгляд на ряд классических проблем, идущих от обыкновенных числовых непрерывных дробей. Одной из таких проблем является проблема о верхней оценке длин периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля.

Проблема периодичности функциональных непрерывных дробей, построенных в поле формальных степенных рядов $K((1{\text{/}}x))$ для элементов гиперэллиптического поля $\mathcal{L} = K(x)(\sqrt f )$, тесно связана с проблемой поиска и построения фундаментальных единиц кольца ${{D}_{f}} = K[x](\sqrt f )$ = {ω₁ + + ${{\omega }_{2}}\sqrt f \,{\text{|}}\,{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}} \in K[x]\} $ и проблемой кручения в якобиане J_f соответствующей гиперэллиптической кривой (подробнее см. [1–5]). Символом $\mathcal{L}$ (или L) мы обозначаем гиперэллиптическое поле, которое вкладывается в поле формальных степенных рядов $K((1{\text{/}}x))$ (соответственно $K((1{\text{/}}x))$), и, тем самым, элементы поля $\mathcal{L}$ (поля L) могут быть разложены в непрерывную дробь, связанную с бесконечным нормированием ${{v}_{\infty }}$ (конечным нормированием ${{v}_{x}}$). Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Б. Мазуром в 1978 г. Для гиперэллиптических кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел и соответствующих им гиперэллиптических полей приведенные три проблемы остаются открытыми.

Для эллиптических полей над полем констант $K = \mathbb{Q}$ рациональных чисел, заданных свободными от квадратов многочленами f четвертой степени, в [6] был поставлен вопрос о возможной длине периода непрерывной дроби $\sqrt f $. Используя параметризацию из [7], в статье [8] показано, что длина периода n непрерывной дроби $\sqrt f $, построенной в $\mathbb{Q}((1{\text{/}}x))$, принимает одно из значений {1, …, 8, 10, 12, 14, 18, 22}, причем для каждого значения длины периода из этого множества существует бесконечная серия соответствующих примеров неизоморфных эллиптических полей (см. [9]). Для эллиптических полей над квадратичными полями констант K в [10] доказано, что длина периода непрерывной дроби $\sqrt f $ в $\mathbb{Q}((1{\text{/}}x))$ может принимать одно из значений {1, …, 15, 17, 18, 22, 26, 30, 34}.

В эллиптическом случае над полем $\mathbb{Q}$ рациональных чисел в статьях [11, 12] полностью решена проблема классификации многочленов f с периодическим разложением $\sqrt f $ в непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов $\mathbb{Q}((x))$. В частности, найдено полное описание многочленов $f \in \mathbb{Q}[x]$, $3 \leqslant degf \leqslant 4$, с периодическим разложением $\sqrt f $ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((x))$, которое при degf = 3 с точностью до естественного отношения эквивалентности, заданного допустимыми заменами вида ${{a}^{2}}f(bx)$, $a,b \in \mathbb{Q}{\kern 1pt} *$, состоит из одного бесконечного семейства многочленов и еще трех отдельных многочленов, а в случае deg f = 4 – из четырех бесконечных семейств и еще семи отдельных многочленов. Из этого описания явно следуют возможные длины периодов непрерывных дробей элементов $\sqrt f $, построенных в $\mathbb{Q}((x))$.

Для получения верхних оценкок на длины периодов ключевых элементов вида $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}}$, $s \in \mathbb{Z}$, гиперэллиптического поля $L = K(x)(\sqrt f )$ важным промежуточным этапом стала теорема 2 [3] о достаточных условия одновременной квазипериодичности непрерывных дробей элементов α, $\alpha \cdot {{x}^{s}} \in L{\backslash }K(x)$, заданных в поле формальных степенных рядов K((x)). Для гиперэллиптических полей L = $K(x)(\sqrt f )$, построенных с помощью свободных от квадратов многочленов $f \in K[x]$ нечетной степени $2g + 1$ достаточные условия также являются необходимыми. В случае ${\text{deg }}f = 2g + 2$ найденные достаточные условия не являются необходимыми, что подтверждается примерами 1–3 в статье [3]. Одно из наглядных следствий этого случая – значительное отличие длин квазипериодов непрерывных дробей элементов $\alpha $ и $\alpha \cdot {{x}^{s}}$. Так, в примере 4 статьи [3] найден свободный от квадратов многочлен $f \in \mathbb{Q}$ степени 6, для которого в $\mathbb{Q}((x))$ длина периода непрерывной дроби элемента $\alpha = \sqrt f {\text{/}}{{x}^{3}}$ равна 2, а длина периода непрерывной дроби элемента $\alpha \cdot {{x}^{3}} = \sqrt f $ равна 18.

В теореме 2 [13] найдено уточнение теоремы 2 [3] над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$, а именно, для гиперэллиптических полей $L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt f )$, $degf$ = = 2g + 2, найден точный промежуток значений $s \in \mathbb{Z}$ таких, что непрерывные дроби элементов вида $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}} \in L{\backslash }\mathbb{Q}(x)$ периодические. Ключевым этапом доказательства было определение рациональных корней последовательности многочленов ${{T}_{n}},{{Q}_{n}} \in \mathbb{Z}[x]$, заданных для $n \in \mathbb{N}$ следующим образом:

С использованием этих результатов в статье [14] найдены оценки сверху на периоды непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем рациональных чисел.

В данном сообщении полностью изучена мультипликативная структура над полем $\mathbb{Q}$ последовательности многочленов T_n, Q_n, и тем самым дано описание всех возможных корней многочленов T_n, Q_n для $n \in \mathbb{N}$. На основании этого найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей в $K((1{\text{/}}x))$ ключевых элементов $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}}$, $s \in \mathbb{Z}$, гиперэллиптических полей над числовыми полями K. Аналогичные оценки справедливы для длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов, построенных в поле формальных степенных рядов K((x)).

Мы высказываем предположение, что для периодических элементов гиперэллиптических полей $\mathcal{L}$ над произвольными полями K характеристики 0 длины периодов непрерывных дробей, построенных в $K((1{\text{/}}x))$, ограничены сверху постоянной, зависящей только от рода гиперэллиптического поля $\mathcal{L}$, порядка группы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой и степени расширения $[{{K}_{0}}:\mathbb{Q}]$, где K₀ – некоторое числовое подполе поля K.

Приведем ряд вспомогательных утверждений, необходимых для поиска корней многочленов T_n, Q_n. Из (1) следует равенство T_n(x²) + $x{{Q}_{n}}({{x}^{2}})$ = (1 + x)ⁿ. Отсюда для $n,m \in \mathbb{N}$ и $a \in \mathbb{Q}$ таких, что ${{T}_{n}}(a) \ne 0$, справедливы тождества

где $b = a{{({{Q}_{n}}(a){\text{/}}{{T}_{n}}(a))}^{2}}$.

Предложение 1. 1. Пусть n нечетно. Тогда 

а) ${{T}_{n}}(x) = {{x}^{{deg{{Q}_{n}}}}}{{Q}_{n}}(1{\text{/}}x)$;

б) если $q\,{\text{|}}\,n$, то ${{T}_{q}}(x)\,{\text{|}}\,{{T}_{n}}(x)$, ${{Q}_{q}}(x)\,{\text{|}}\,{{Q}_{n}}(x)$.

2. Пусть n четно. Тогда

а) ${{T}_{n}}(x) = {{x}^{{deg{{T}_{n}}}}}{{T}_{n}}(1{\text{/}}x)$;

б) если $n = qd$, q – нечетное, то ${{T}_{d}}(x)\,{\text{|}}\,{{T}_{n}}(x)$, ${{Q}_{q}}(x)\,{\text{|}}\,{{Q}_{n}}(x)$;

в) если $n = qd$, d – четное, то ${{T}_{q}}(x)\,{\text{|}}\,{{Q}_{n}}(x)$.

Доказательство предложения 1 следует из формул (2).

Положим $L({{T}_{n}})$ – наименьшее общее кратное многочленов T_d, где n = qd и q > 1 нечетное. Положим $P({{T}_{n}})$ $ = {{T}_{n}}{\text{/}}L({{T}_{n}})$ и $\tilde {P}({{T}_{n}})(x)$ = x^dP(T_n)(1/x), где $d = degP({{T}_{n}})(x)$. Отметим, что по предложению 1 при нечетном n справедливо соотношение $\tilde {P}({{T}_{n}})\,{\text{|}}\,{{Q}_{n}}$, а при четном n справедливо равенство $\tilde {P}({{T}_{n}})(x) = P({{T}_{n}})(x)$.

Предложение 2. Пусть $n \in \mathbb{N}$, $n \geqslant 2$, тогда многочлены $P({{T}_{n}})$ и $\tilde {P}({{T}_{n}})$ неприводимы.

Доказательство предложения 2 следует из представлений

соответствующих разложений на циклотомические многочлены и критерия Эйзенштейна неприводимости многочленов с целыми коэффициентами.

Предложение 3. Пусть $n = {{2}^{t}}q$, где q нечетно. Тогда справедливы формулы

где последнее произведение берется по всем делителям r числа n таким, что n/r четное.

Предложение (3) доказывается по индукции.

Пусть многочлен f ∈ K[x] свободен от квадратов, ${\text{deg}}\,f\, = \,2g\, + \,2$ и $D\, = \,{{\omega }^{2}}f$ является дискриминантом квадратного уравнения ${{\Lambda }_{2}}{{y}^{2}} + 2{{\Lambda }_{1}}y + {{\Lambda }_{0}}$ = 0, где ${{\Lambda }_{0}},{{\Lambda }_{1}},{{\Lambda }_{2}} \in K[x]$ в совокупности взаимно простые многочлены. Пусть элемент $\beta \in \mathcal{L} = K(x)(\sqrt f )$ является корнем этого квадратного уравнения. Тогда по теореме 2 [15] квазипериодичность непрерывной дроби β = $[{{a}_{0}};{{a}_{1}}$, ...] в K((1/x)) эквивалентна наличию решения ${{\Theta }_{1}},{{\Theta }_{2}} \in K[x]$, ${{\Theta }_{2}} \ne 0$, уравнения

Следующая теорема была доказана в статье [14].

Теорема 1. Пусть существует решение Θ₁, ${{\Theta }_{2}} \in K[x]$, ${{\Theta }_{2}} \ne 0$, уравнения (3). Тогда длина квазипериода непрерывной дроби элемента $\beta $ не превосходит

Перейдем к основным результатам сообщения.

Теорема 2. Элемент $\beta = \sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}} \in \mathcal{L}$ для некоторого $s \in \mathbb{Z}$ имеет периодическое разложение в непрерывную дробь тогда и только тогда, когда существуют многочлены ${{f}_{1}},{{f}_{2}},{{\Omega }_{3}},{{\Omega }_{4}} \in K[x]$, которые удовлетворяют условиям

для некоторого $b \in K{\kern 1pt} *$ и $ - {{v}_{x}}({{\Omega }_{3}})\, \leqslant \,s\, \leqslant \,{{v}_{x}}({{\Omega }_{3}})\, + \,{{v}_{x}}({{f}_{1}})$. В случае периодичности непрерывной дроби элемента $\beta $ для длины квазипериода N справедливы оценки

Доказательство теоремы 2 опирается на теорему 1, а также на предложение 2 [3].

Обозначим

тогда оценку теоремы 2 можно записать следующим образом:

N ≤ 2 deg Ω₃ + deg f₁ – δ.

Пусть в поле $\mathcal{L} = K(x)(\sqrt f )$ существует фундаментальная единица ${{\Psi }_{1}} + {{\Psi }_{2}}\sqrt f $, где Ψ1, ${{\Psi }_{2}} \in K[x]$. Для $n \in \mathbb{N}$ определим многочлены $\Omega _{1}^{{(n)}},\Omega _{2}^{{(n)}} \in K[x]$ так, что

Положим $z = \Psi _{2}^{2}f{\text{/}}\Psi _{1}^{2}$, тогда

где многочлены ${{T}_{n}}(z),{{Q}_{n}}(z) \in \mathbb{Z}[z]$ определены в (1).

Для доказательства следующей теоремы нам понадобится еще один вспомогательный результат.

Предложение 4. Пусть $\beta \in \mathcal{L}$ – квадратичная иррациональность с дискриминантом $D(\beta ) = {{\omega }^{2}}f \in K[x]$. Для того чтобы разложение элемента β в непрерывную дробь в поле K((1/x)) было квазипериодично, необходимо и достаточно, чтобы нашелся номер $n \in \mathbb{N}$ такой, что $\omega \,{\text{|}}\,\Omega _{2}^{{(n)}}$.

Главный результат работы получен в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть K – расширение поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ степени k. Пусть $f \in K[x]$ – свободный от квадратов многочлен, и в поле $\mathcal{L} = K(x)(\sqrt f )$ есть фундаментальная единица u = ${{\Psi }_{1}} + {{\Psi }_{2}}\sqrt f $ степени m, где ${{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \in K[x]$. Пусть для $n \in \mathbb{N}$ многочлены $\Omega _{1}^{{(n)}},\Omega _{2}^{{(n)}} \in K[x]$ определены соотношениями (5).

1. Если хотя бы одно из значений ${{v}_{x}}(f)$, ${{v}_{x}}({{\Psi }_{1}})$, ${{v}_{x}}({{\Psi }_{2}})$ отлично от нуля, то непрерывная дробь элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}}$, построенная в $K((1{\text{/}}x))$, периодическая тогда и только тогда, когда

В случае периодичности непрерывной дроби $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}}$ длина квазипериода N не превосходит m – δ, где значение δ определено в (4) при некотором ${{f}_{1}}\,{\text{|}}\,f$, $deg{{f}_{1}} < degf$.

2. Если ${{v}_{x}}(f) = {{v}_{x}}({{\Psi }_{1}}) = {{v}_{x}}({{\Psi }_{2}}) = 0$, то непрерывная дробь элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}}$, построенная в $K((1{\text{/}}x))$, периодическая тогда и только тогда, когда найдется такой номер j, что ${{v}_{x}}(\Omega _{2}^{{(1)}})$ = ... = ${{v}_{x}}(\Omega _{2}^{{(j - 1)}})$ = 0, ${\text{|}}s{\text{|}} \leqslant {{v}_{x}}(\Omega _{2}^{{(j)}})$ и $\phi (j)\,{\text{|}}\,2k$. В случае периодичности непрерывной дроби $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}}$, длина квазипериода $N$ не превосходит $jm - \delta $, где значение δ определено в (4) при некотором f₁ | f, $deg{{f}_{1}} < degf$.

Доказательство. Пункт 1 следует из результатов статьи [14]. Предположим, что ${{v}_{x}}(f)$ = = ${{v}_{x}}({{\Psi }_{1}}) = {{v}_{x}}({{\Psi }_{2}})$ = 0. Положим $z = z(x) = \Psi _{2}^{2}f{\text{/}}\Psi _{1}^{2}$, тогда для $n \in \mathbb{N}$ имеем (6). Отметим, что z(0) определено корректно, поскольку ${{\Psi }_{1}}(0) \ne 0$. Согласно предложению 4, для периодичности элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}}$, s ≠ 0, необходимо, чтобы для некоторого минимального $j \in \mathbb{N}$ было выполнено равенство $\mathop {\left. {{{Q}_{j}}(z)} \right|}\nolimits_{x = 0} $ = 0, т.е. число z(0) должно быть корнем многочлена ${{Q}_{j}}(x)$. В силу минимальности j, число z(0) не должно быть корнем многочленов Q₁(x), ..., ${{Q}_{{j - 1}}}(x)$. Число $z(0)$ должно быть корнем либо многочлена $P({{T}_{{j/2}}})$ при четном j, либо многочлена $\tilde {P}({{T}_{j}})$ при нечетном j. Имеем $degP({{T}_{{j/2}}}) = \phi (j){\text{/}}4$, ${\text{deg}}\tilde {P}({{T}_{j}})$ = ϕ(j)/2, откуда и получаем условие $\phi (j)\,{\text{|}}\,2k$. Более того, поле K в качестве подполя должно содержать поле разложения соответственно многочлена $P({{T}_{{j/2}}})$ или многочлена $\tilde {P}({{T}_{j}})$.

Из оценок на длину квазипериода в теоремах 1 и 2 следует, что $N \leqslant deg{{\Theta }_{1}} - \delta $ = $deg\Omega _{1}^{{(j)}} - \delta $ = jm – δ.

Теорема 3 доказана.

Из условия $\phi (j)\,{\text{|}}\,2k$ теоремы 3 следует, что, например, при k = 6 возможно $j \in \{ 1, \ldots ,10,\,\,12$, 13, 14, 18, 21, 26, 28, 36, 42}, а при k = 7 возможны только случаи $j \in \{ 1,2,3,4,6\} $, такие же, как при k = 1.

Следствие 1. Пусть справедливы обозначения теоремы 3, непрерывная дробь элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{s}}$ периодическая. Пусть дополнительно либо в пункте 1 теоремы 3 имеем j = 1, либо в пункте 2 теоремы 3 многочлен f неприводим, либо j четно. Тогда справедливо неравенство $N \leqslant jm - 2g$.

Если многочлен f неприводим или j четно, то ${{f}_{1}} \in K{\kern 1pt} *$, откуда и следует утверждение следствия 1.

Еще одним интересным следствием теоремы 3 является утверждение о конечности числа нормированных дискриминантов ограниченной степени, для которых соответствующие квадратичные иррациональности имеют квазипериодическое разложение в непрерывную дробь.

Следствие 2. Пусть $\mathcal{L} = K(x)(\sqrt f )$ – гиперэллиптическое поле и C – некоторая постоянная, ${\text{deg}}\,f \leqslant C$. Пусть $M = M(C)$ – множество дискриминантов D со старшим коэффициентом 1 и ${\text{deg}}D \leqslant C$, таких, что f  | D и элементы поля $\mathcal{L}$ с дискриминантом $D \in M$ обладают квазипериодическим разложением в непрерывную дробь. Тогда множество M конечно.

Из предложения 3 следует, что множество корней многочленов T_n(x) и Q_n(x) при $n \in \mathbb{N}$, лежащих в квадратичных полях, исчерпывается множеством

Следующий пример показывает, что полученные в теореме 3 оценки точные.

Пример. Рассмотрим эллиптическое поле $\mathcal{L} = K(x)(\sqrt f )$ рода g = 1, заданное над полем $K = \mathbb{Q}(\sqrt 5 )$ с помощью многочлена

В поле $\mathcal{L}$ есть фундаментальная единица степени m = 4. Непрерывная дробь элемента $\sqrt f $ имеет вид

Длина квазипериода равна 3, коэффициент квазипериода равен $ - 32(3 + \sqrt 5 )$, длина периода равна 6. Непрерывная дробь элемента $\sqrt f {\text{/}}x$ также периодическая, длина квазипериода N = 20 совпадает с длиной периода. В данном примере при обозначениях теоремы 3 имеем s = 1, j = 5, ${{v}_{X}}(\Omega _{2}^{{(1)}})$ = ... = = ${{v}_{X}}(\Omega _{2}^{{(4)}})$ = 0, ${{v}_{X}}(\Omega _{2}^{{(5)}})$ = 1, $k = [K:\mathbb{Q}]$ = 2 и $\phi (j)\,{\text{|}}\,2k$. По теореме 3 имеем оценку на длину квазипериода $N \leqslant jm - \delta = 20$, поскольку $\deg {{f}_{1}}$ = 2, δ = 0. Для этого примера достигается верхняя оценка на длину квазипериода теоремы 3.