Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 95-99

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

OFDM-сигналы представляют сумму N парциальных гармонических сигналов, ортогональных на тактовом интервале длительностью T [2, 3]

символы ${{\dot {\alpha }}_{0}},{{\dot {\alpha }}_{1}},...{{\dot {\alpha }}_{{N - 1}}}$ задаются информационными битами и сигнальными “созвездиями”.

ССП подобны парциальным сигналам в (1), что обусловливает их эффективность снижения помехоустойчивости по сравнению с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) [3, 4]. Количественной мерой помехоустойчивости является вероятность ошибки на бит ${{P}_{{\text{б}}}}$ [2]. Методы снижения влияния ССП основаны на их компенсации и на увеличении базы сигналов B [3]. При формировании OFDM-сигналов с увеличением базы информационные символы $\vec {\dot {\alpha }}$ объемом K битов поступают на вход кодера помехоустойчивого кода. Каждый символ ${{\dot {\alpha }}_{{{\text{п,}}i}}}$ с выхода кодера и перемежения отображается в последовательность (${{\dot {\alpha }}_{{{\text{п,}}i}}}{{p}_{0}}(i)$,... ..., ${{\dot {\alpha }}_{{{\text{п,}}i}}}{{p}_{{l - 1}}}(i)$) длительностью l [4], которая поступает на вход модулятора, формирующего $L = Kl{\text{/}}RN$ OFDM-сигналов (1). Здесь R – кодовая скорость кода, ${{p}_{j}}(i) = \pm 1$ – удлиняющая последовательность. Для фиксированной частотной полосы последовательность ${{p}_{j}}(i)$ увеличивает базу OFDM-сигналов в l раз [4, 5].

Алгоритм обработки входной реализации $\vec {\dot {z}}$ при приеме включает следующие этапы [4, 5]: умножение $\vec {\dot {z}}$ на весовую функцию $w(k)$, $k = 0,1,2$, ..., N – 1; вычисление спектра ${{\dot {S}}_{j}}(k)$ взвешенной реализации ($j = 1,2,...,l$); компенсацию ССП; демодуляцию OFDM-сигналов и деперемежение, помехоустойчивое декодирование. На вход модуля компенсации ССП поступают отсчеты $\dot {S}_{j}^{'}(k) = \frac{{{{{\dot {S}}}_{j}}(k)}}{{\sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {\left| {{{{\dot {S}}}_{j}}(i)} \right|} }}$ ($j = 1,2,...,l$), где осуществляется ограничение

P – порог, $sign(x)$ – знак x. Операция (2) выполняется и для $\operatorname{Im} (\dot {S}_{j}^{'}(k))$. При демодуляции вычисляются решения ${{\dot {y}}_{i}} = \sum\limits_{j = 1}^l {{{{\dot {s}}}_{j}}(i){{p}_{j}}(i)} $ для символов кода.

Существует оптимальное значение порога P_опт, определяющее минимум P_б для алгоритма приема OFDM-сигналов при наличии ССП. Действительно, вероятность P_б при применении нелинейной обработки (2) определяется действием двух факторов. Во-первых, при уменьшении порога P ограничение приводит к увеличению P_б по отношению к линейной обработке [2]. Во-вторых, при увеличении порога P с целью уменьшения влияния ограничения усиливается действие ССП. В этом случае ССП в частотной области подобны импульсным помехам во временной области. Алгоритмы приема при наличии импульсных помех основаны на безинерционной нелинейной обработке входных реализаций, эквивалентной ограничению с учетом плотности распределения амплитуд отсчетов (в общем случае негауссовской) [6]. Таким образом, должен существовать порог P_опт, определяющий минимизацию совместного влияния ограничения и ССП.

Эффективность снижения влияния ССП определяется приведенной процедурой обработки $\vec {\dot {z}}$. Важным является тип нелинейного преобразования, дополняющий соотношение (2), например, обнуление спектральных компонент, превышающих порог P, а также вид удлиняющей последовательности и выбор оптимальной весовой функции.

Оптимальность весовой функции при решении рассматриваемой задачи определяется обеспечением минимальных боковых лепестков в частотной области; достижением минимума энергии функций за пределами задаваемой полосы; минимизацией энергетических потерь по отношению к согласованной фильтрации; достижением максимальной ортогональности парциальных сигналов (1) с весовой обработкой, обеспечивающей минимум мощности возникающих межканальных помех (МКП) [5].

Известен ограниченный ряд функций со свойствами, близкими к оптимальным, например, функция Кайзера

β – параметр, I₀(x) – функция Бесселя первого рода 0-го порядка, оптимальное значение β = 6 [4]. Альтернативу составляет класс функций Кравченко на основе атомарных функций [7].

Атомарные функции $c{{h}_{{a,n}}}(t)$ с параметрами a, n определяются как финитные решения дифференциального уравнения [7]

Решение (3)

Коэффициенты w(k) функций Кравченко имеют вид

В табл. 1 приведены характеристики для ряда весовых функций. Анализ табл. 1 показывает существование функций Кравченко (параметры n = 1, n = 2) со свойствами, близкими к оптимальным.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Исследование вероятностных характеристик при приеме выполнено путем моделирования для OFDM-сигналов и помехоустойчивого сверточного кода с кодовой скоростью $R = 1{\text{/}}2$, рекомендованного для спутниковых систем связи. Снижение влияния ССП показано моделированием алгоритма приема при наличии АБГШ и до 5 ССП с вариацией их количества и произвольного размещения в полосе OFDM-сигналов, N = 1024, сигнальное “созвездие” – двухфазовая манипуляция, ${{P}_{{\text{с}}}}{\text{/}}{{P}_{{{\text{спп}}}}} = - 20$ дБ (${{P}_{{\text{с}}}},\;{{P}_{{{\text{спп}}}}}$ – мощности OFDM-сигналов и ССП). Экспериментальные исследования показывают адекватность этой модели для ряда спутниковых информационных систем [4].

На рис. 1 приведены зависимости вероятности P_б для P_опт от параметра a для OFDM-сигналов ($l = 2$) с использованием функций Кравченко с параметрами n = 1 (кривая 1), n = 2 (кривая 2), n = 3 (кривая 3) при наличии АБГШ и ССП, ${{E}_{б}}{\text{/}}{{N}_{0}}$ = = 5.5 дБ, где ${{N}_{0}}$ – спектральная плотность АБГШ, E_б – энергия сигналов на бит. Видно, что минимум P_б достигается для n = 1, a = 3.

На рис. 2 приведены вероятностные кривые для OFDM-сигналов (l = 2) – даны зависимости P_б от порога $P$ для функций Кравченко с параметрами n = 1, $a = 3$ (кривая 1) и функции Кайзера (кривая 2). Согласно приведенной теореме, существуют пороги P_опт, определяющие минимум P_б. В табл. 2 даны значения P_опт.

На рис. 3 приведены вероятностные кривые, варьируемым параметром является ${{E}_{б}}{\text{/}}{{N}_{0}}$. Кривая 1 соответствует лишь АБГШ – вероятность P_б = 10^–4 обеспечивается при ${{E}_{б}}{\text{/}}{{N}_{0}} = 3.5$ дБ. Кривые 2, 3 соответствуют наличию АБГШ и ССП и использованию функции Кайзера (β = 6) и функции Кравченко с параметрами n = 1, a = 3.0 для l = 2. Видно, что более эффективной является весовая функция Кравченко – энергетические потери по отношению к кривой 1 не превышают 2.25 дБ. Для весовой функции Кайзера потери по отношению к кривой 1 достигают 3.25 дБ.

При увеличении параметра l подавление ССП увеличивается. Кривые 4, 5 соответствуют l = 4 для рассмотренных весовых функций. Видно, что при использовании функции Кравченко с параметрами n = 1, a = 3.0 энергетические потери по отношению к кривой 1 достигают 1.25 дБ. Функция Кайзера характеризуется меньшей эффективностью – энергетические потери достигают 2.25 дБ.

ВЫВОДЫ

Таким образом, приведены описания сигнальных конструкций с увеличенной базой на основе OFDM-сигналов, устойчивых к искажающему влиянию сосредоточенных по спектру помех, а также описание разработанного алгоритма помехоустойчивого приема этих сигнальных конструкций с весовой обработкой. Даны критерии оптимальности весовых функций, задающих максимальную помехоустойчивость передачи информации, и показано, что ряд функций Кравченко практически удовлетворяют сформулированным критериям оптимальности. Исследование вероятностных характеристик выполнено путем моделирования разработанного алгоритма приема для рассматриваемых сигнальных конструкций и показана возможность надежной передачи информации при наличии канальных сосредоточенных помех с отношением помеха/сигнал ${{P}_{{\text{с}}}}{\text{/}}{{P}_{{{\text{ссп}}}}}$ до –20 дБ (${{P}_{{\text{с}}}},{{P}_{{{\text{ссп}}}}}$ – мощности OFDM-сигналов и ССП). Экспериментальные исследования показывают адекватность используемой модели канала для ряда спутниковых информационных систем, что определяет практическую значимость полученных результатов.

Результаты работы были доложены на пленарном заседании 12-й Международной конференции “Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации” [8].