Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 55-58

ПРОБЛЕМА КОНЦЕНТРАЦИЙ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА

Член-корреспондент РАН П. И. Плотников^1, 2, *

¹ Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук
Новосибирск, Россия

² Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия

^* E-mail: piplotnikov@mail.ru

Поступила в редакцию 31.08.2020
После доработки 31.08.2020
Принята к публикации 12.09.2020

DOI: 10.31857/S2686954320060120

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается трехмерная начально-краевая задача для изэнтропических уравнений динамики вязкого газа. Проблема концентраций состоит в том, что при значениях показателя адиабаты γ ≤ 3/2 конечная энергия газа может концентрироваться в сколь угодно малых областях. В работе доказывается, что в критическом случае γ = 3/2 норма плотности кинетической энергии в подходящем логарифмическом пространстве Лоренца ограничена величиной, зависящей только от граничных и начальных данных. Это исключает возможность появления концентраций кинетической энергии.

Ключевые слова: уравнения Навье–Стокса, вязкий газ, проблема концентраций

1. В работе исследуется нестационарная трехмерная начально-краевая задача для уравнений Навье–Стокса динамики вязкого газа. Современная теория гарантирует существование слабых решений для значений показателя адиабаты γ, больших некоторого критического. В трехмерном случае это значение равно 3/2. В настоящем сообщении мы дадим анализ критического случая. Далее будем предполагать, что газ занимает ограниченную область $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ с границей класса C³. Состояние газа полностью характеризуется его плотностью $\varrho (x,t)$ и скоростью ${\mathbf{u}}(x,t)$. Задача состоит в отыскании функций $\varrho $ и u, удовлетворяющих в цилиндре ${{Q}_{T}} = \Omega \times (0,T)$ следующим уравнениям, граничным и начальным условиям:

(1а)

$\begin{gathered} {{\partial }_{t}}(\varrho {\mathbf{u}}) + {\text{div}}(\varrho {\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}) + \nabla {{\varrho }^{\gamma }} = \\ = {\text{div}}\mathbb{S}({\mathbf{u}}) + \varrho {\mathbf{f}}\quad {\text{в}}\quad {{Q}_{T}}, \\ \end{gathered} $

(1б)

${{\partial }_{t}}\varrho + {\text{div}}(\varrho {\mathbf{u}}) = 0,\quad \varrho \geqslant 0\quad {\text{в}}\quad {{Q}_{T}},$

(1в)

${\mathbf{u}} = 0\quad {\text{на}}\quad \partial \Omega \times (0,T),$

(1г)

${\mathbf{u}}(x,0) = {{{\mathbf{u}}}_{0}}(x),\quad \varrho (x,0) = {{\varrho }_{0}}(x) > 0\quad {\text{в}}\quad \Omega .$

Здесь тензор вязких напряжений $\mathbb{S}({\mathbf{u}})$ имеет вид

(1д)

$\mathbb{S}({\mathbf{u}}) = {{\nu }_{1}}(\nabla {\mathbf{u}} + \nabla {{{\mathbf{u}}}^{{\text{т}}}}) + {{\nu }_{2}}{\text{div}}{\mathbf{u}}\,\mathbb{I},$

${{\nu }_{i}}$ – положительные коэффициенты вязкости. Функция давления ${{\varrho }^{\gamma }}$ может быть заменена на любую монотонную дифференцируемую функцию $p(\varrho )$, допускающую оценку ${{c}^{{ - 1}}}{{\varrho }^{\gamma }}$ ≤ $p(\varrho ) \leqslant c{{\varrho }^{\gamma }}$ для всех достаточно больших $\varrho $. Далее предполагается, что заданные функции ${{\varrho }_{0}},{{{\mathbf{u}}}_{0}} \in {{L}^{\infty }}(\Omega )$ и ${\mathbf{f}} \in {{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})$ допускают оценки

(2)

$\begin{gathered} {{\left\| {{{{\mathbf{u}}}_{0}}} \right\|}_{{W_{0}^{{1,2}}(\Omega )}}} + {{\left\| {{{\varrho }_{0}}} \right\|}_{{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}} + {{\left\| {\mathbf{f}} \right\|}_{{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}} \leqslant {{c}_{e}}, \\ {{\varrho }_{0}} > c_{e}^{{ - 1}} > 0, \\ \end{gathered} $

в которых c_e – положительная постоянная. Первые нелокальные результаты в математической теории уравнений Навье–Стокса сжимаемой жидкости были получены П.Л. Лионсом. В монографии [1] он доказал существование ренормализованных решений задачи (1) для всех γ > 9/5. Позднее Фейрейзл, Новотный и Пельжетова в статье [2] доказали существование решений для всех γ > 3/2 в трехмерном случае и γ > 1 двумерном случае. Мы также упомянем монографию Новотного и Страшкрабы [3], в которой дано подробное изложение вопроса. Полученные результаты позволили включить в теорию случай одноатомных газов. Для случаев двухатомных и многоатомных газов вопрос о разрешимости задачи (1) остается открытым. Вопрос о существовании решений для критических и субкритических значений γ был поставлен в работе П.Л. Лионса [4]. Для двумерных течений эта задача была решена в [5]. Поэтому далее мы будем рассматривать трехмерные течения. Основная трудность связана с так называемой проблемой концентраций, см. [1, гл. 6.6]. Используя результаты работы [2], можно построить семейство приближенных решений, удовлетворяющих модифицированному уравнению баланса импульса

(3)

$\begin{gathered} {{\partial }_{t}}(\varrho {\mathbf{u}}) + {\text{div}}(\varrho {\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}) + \nabla {{p}_{\varepsilon }}(\varrho ) = \\ = \;{\text{div}}\,\mathbb{S}({\mathbf{u}}) + \varrho {\mathbf{f}}\quad {\text{в}}\quad {{Q}_{T}}, \\ \end{gathered} $

уравнению баланса массы (1б) и условиям (1в), (1г). Здесь модифицированная функция давления имеет вид ${{p}_{\varepsilon }}(\varrho ) = {{\varrho }^{\gamma }} + \varepsilon {{\varrho }^{3}}$. Согласно [2], построенное решение модифицированной задачи допускает энергетическую оценку

(4)

$\mathop {{\text{ess}}\,{\text{sup}}}\limits_{t \in (0,T)} \int\limits_\Omega {\{ \varrho {{{\left| {\mathbf{u}} \right|}}^{2}} + \,{{\varrho }^{\gamma }} + \varepsilon {{\varrho }^{3}}\} } (x,t)dx + \int\limits_{{{Q}_{T}}} {{{{\left| {\nabla {\mathbf{u}}} \right|}}^{2}}} dxdt \leqslant c.$

Здесь и далее через c обозначаются несущественные постоянные, зависящие только от данных задачи. Это решение является слабым и определяется интегральными тождествами

(5)

$\begin{gathered} \int\limits_{{{Q}_{T}}} {(\varrho {\mathbf{u}}\, \cdot \,{{\partial }_{t}}\xi )} \,dxdt\, + \\ + \,\int\limits_{{{Q}_{T}}} {(\varrho {\mathbf{u}}\, \otimes \,{\mathbf{u}}\, + \,{{p}_{\varepsilon }}(\varrho )\mathbb{I}\, - \,\mathbb{S}({\mathbf{u}}))} \,:\,\nabla \xi dxdt\, + \\ + \int\limits_{{{Q}_{T}}} {\varrho {\mathbf{f}} \cdot \xi dxdt} + \int\limits_\Omega {{{\varrho }_{0}}} (x){{{\mathbf{u}}}_{0}}(x) \cdot \xi (x,0)dx = 0, \\ \end{gathered} $

(6)

$\int\limits_{{{Q}_{T}}} {(\varrho {{\partial }_{t}}\psi + (\varrho {\mathbf{u}}) \cdot \nabla \psi )} \,dxdt + \int\limits_\Omega {(\psi {{\varrho }_{0}})} (x,0)dx = 0,$

которые выполняются для всех гладких векторных полей $\xi \in {{C}^{\infty }}({{Q}_{T}})$, удовлетворяющих условиям $\xi (x,T) = 0$ в области Ω и $\xi = 0$ на $\partial \Omega \times (0,T)$, а также для всех гладких функций ψ, равных нулю при t = T. Обозначим решения модифицированной задачи через ${{\varrho }_{\varepsilon }}$ и ${{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }}$. Таким образом, вопрос о разрешимости исходной задачи (1) сводится к вопросу о предельном переходе в тождествах (5), (6) при $\varepsilon \to 0$. Заметим, что в критическом случае γ = 3/2 в силу энергетической оценки и теорем вложения поле импульсов $\varrho {\mathbf{u}}$ решений модифицированных уравнений равномерно ограничено в пространстве ${{L}^{\infty }}(0,T;{{L}^{{6/5}}}(\Omega ))$. Из уравнения баланса массы следует, что в этом случае временные производные функций плотности равномерно ограничены в пространстве ${{L}^{\infty }}(0,T;{{W}^{{ - 1,6/5}}}(\Omega ))$. После перехода к подпоследовательности мы можем считать, что при $\gamma = 3{\text{/}}2$ существуют поля $\varrho $, u со следующими свойствами:

${{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }} \to {\mathbf{u}}\;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;{{L}^{2}}(0,T;W_{0}^{{1,2}}(\Omega )),$

(7)

${{\varrho }_{\varepsilon }} \to \varrho * - \;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;{{L}^{\infty }}(0,T;{{L}^{{3/2}}}(\Omega )),$

$\begin{gathered} {{\varrho }_{\varepsilon }}{{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }} \to \varrho {\mathbf{u}} * - \;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;{{L}^{\infty }}(0,T;{{L}^{{6/5}}}(\Omega )) \\ {\text{при}}\quad \varepsilon \to 0. \\ \end{gathered} $

Таким образом, вопрос о существовании решений задачи (1) сводится к вопросу о слабой сходимости последовательностей ${{\varrho }_{\varepsilon }}{{u}_{{i,\varepsilon }}}{{u}_{{j,\varepsilon }}}$ и ${{p}_{\varepsilon }}$. Здесь возникает трудность, которая связана с так называемой проблемой концентраций. Она вызвана тем, что при критических и субкритических значениях показателя γ конечная энергия может концентрироваться в сколь угодно малых областях пространства. Дело в том, что в трехмерном случае энергетическая оценка и теоремы вложения гарантируют интегрируемость плотности кинетической энергии $\varrho {{\left| {\mathbf{u}} \right|}^{2}}$ с экспонентой, большей единицы лишь при γ > 3/2. Следовательно, при $\gamma \leqslant 3{\text{/}}2$ нам доступна только L¹ – оценка для плотности кинетической энергии. В частности, мы можем утверждать, что для некоторых мер Радона $\mathcal{M}$, π, сосредоточенных в замыкании цилиндра Q_T, выполняются соотношения

$\begin{gathered} {{\varrho }_{\varepsilon }}{{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }} \otimes {{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }} \to \mathcal{M}, \\ {{p}_{\varepsilon }}({{\varrho }_{\varepsilon }}) \to \pi {\text{* - слабо}}\;{\text{в}}\;{\text{пространстве}} \\ {\text{мер}}\;{\text{Радона}}\;{\text{при}}\;\varepsilon \to 0. \\ \end{gathered} $

Для решения проблемы концентраций необходимо доказать, что меры дефекта $\mathcal{M} - \varrho {\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}$ и $\pi - {{\varrho }^{\gamma }}$ равны нулю. В недавно опубликованной статье Ху [6] были установлены оценки меры Хаусдорфа носителя меры дефекта. В частности, было показано, что в критическом случае концентрации тензора кинетической энергии сосредоточены на множестве хауcдорфовой размерности не выше 3/2. Мы исследуем этот вопрос для последовательности тензоров кинетической энергии в случае критического значения показателя адиабаты. Следующее утверждение является основным результатом настоящей работы.

Теорема 1. Пусть $\gamma = 3{\text{/}}2$, $0 < \alpha < 8{\text{/}}21$, K – произвольное компактное подмножество цилиндра Q_T. Тогда для любого решения ${{\varrho }_{\varepsilon }}$, ${{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }}$ модифицированной задачи (4) справедлива оценка

(8)

$\int\limits_K {{{\varrho }_{\varepsilon }}} {{\left| {{{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }}} \right|}^{2}}{\text{log}}{{(1 + {{\varrho }_{\varepsilon }}{{\left| {{{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }}} \right|}^{2}})}^{\alpha }} \leqslant C,$

где постоянная C зависит только от K, граничных данных и области $\Omega $. Кроме того, если последовательность ${{\varrho }_{\varepsilon }}$, u_εудовлетворяет соотношениям (7), то для любой функции $h \in C_{0}^{\infty }({{Q}_{T}})$ выполняется соотношение

$\int\limits_{{{Q}_{T}}} h {{\varrho }_{\varepsilon }}{{u}_{{\varepsilon ,i}}}{{u}_{{\varepsilon ,j}}}dxdt \to \int\limits_0^T {\int\limits_\Omega h } \varrho {{u}_{i}}{{u}_{j}}dxdt\quad при\quad \varepsilon \to 0.$

2. Для доказательства теоремы 1 достаточно установить справедливость оценки (8). Так как эта оценка является локальной, то удобно свести задачу к случаю, когда решение определено и имеет компактный носитель во всем пространстве ${{\mathbb{R}}^{4}}$. С этой целью выберем любое решение $\varrho $, u модифицированной начально-краевой задачи, которое удовлетворяет интегральным тождествам (5), (6) и допускает энергетическую оценку (4). Зафиксируем компакт $K \Subset {{Q}_{T}}$ и неотрицательную, бесконечно дифференцируемую, финитную функцию $\lambda (x,t)$, $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{4}}$, с носителем, лежащим в цилиндре Q_T, такую, что $\lambda (x,t) = 1$ в окрестности компакта K. Положим

$\rho (x,t) = {{\lambda }^{4}}(x,t)\varrho (x,t),\quad {\mathbf{v}}(x,t) = \lambda {\mathbf{u}}(x,t).$

Продолжим ρ и v нулем за пределы цилиндра Q_T на все пространство ${{\mathbb{R}}^{4}}$. Выбирая в качестве тестовых функций в интегральном тождестве (5) векторное поле вида ${{\lambda }^{6}}\xi $, а в интегральном тождестве (6) скалярную тестовую функцию вида λ⁵ψ, придем к интегральным тождествам

(9)

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} {\left( {\lambda \rho {\mathbf{v}} \cdot {{\partial }_{t}}\xi + (\rho {\mathbf{v}} \otimes {\mathbf{v}} + P\mathbb{I} - \mathbb{T}):\nabla \xi } \right)} \,dxdt + \\ + \;\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} {\mathbf{F}} \cdot \xi dxdt = 0, \\ \end{gathered} $

(10)

$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} {(\lambda \rho {{\partial }_{t}}\psi + (\rho {\mathbf{v}}) \cdot \nabla \psi + G\psi )\,} dxdt = 0,$

которые справедливы для любых $\xi \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{4}})$ и $\psi \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{4}})$. Входящие в эти тождества финитные функции $\mathbb{T}$, P, F и $G$ допускают оценки

$\begin{gathered} {{\left\| P \right\|}_{{{{L}^{1}}({{\mathbb{R}}^{4}})}}} + {{\left\| {\mathbf{F}} \right\|}_{{{{L}^{1}}({{\mathbb{R}}^{4}})}}} + {{\left\| G \right\|}_{{{{L}^{1}}({{\mathbb{R}}^{4}})}}} + {{\left\| \mathbb{T} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{4}})}}} \leqslant C, \\ P \geqslant {{\rho }^{{3/2}}} \\ \end{gathered} $

и имеют носители, лежащие в цилиндре ${{Q}_{T}}$. Подстановка векторных полей

$\begin{gathered} \xi = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\frac{{(x - y)}}{{\left| {x - y} \right|}}\,} \rho (y,t)dy, \\ \xi = \int\limits_{|x - y| \geqslant r} {\frac{{(x - y)}}{{\left| {x - y} \right|}}} \,\rho (y,t)dy + \frac{1}{r}\int\limits_{|x - y| \leqslant r} {(x - y)} \,\rho (y,t)dy \\ \end{gathered} $

в интегральное тождество (9) и последующее интегрирование полученных равенств по частям с учетом интегрального тождества (10) даст два интегральных соотношения. Вычитание этих соотношений приводит к равенству, которое можно записать в виде обыкновенного дифференциального уравнения

(11)

$\frac{r}{{a(r)}}W\,{\text{'}}(r) - W(r) - \Phi (r) = 0.$

Здесь функции W, $\Phi $ и коэффициент a(r) = = ${{a}^{ \bot }}(r){\text{/}}{{a}^{\parallel }}(r)$ задаются формулами

$\begin{gathered} W(r) = \frac{1}{2}\int\limits_0^r {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} \rho } (x,t)\frac{1}{{{{s}^{2}}}} \times \\ \times \;\left\{ {\int\limits_{B(x,s)} {{{{({{\Pi }^{ \bot }}(x - y)({\mathbf{v}}(x,t) - {\mathbf{v}}(y,t)))}}^{2}}} dy} \right\}dxdtds + \\ + \;2\int\limits_0^r {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} P } (x,t)\frac{1}{{{{s}^{2}}}}\left\{ {\int\limits_{B(x,s)} \rho (y,t)dy} \right\}dxdtds, \\ \Phi (r) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} \rho (x,t)\left\{ {\int\limits_{B(x,r)} {{{Q}_{{ij}}}} (x - y){{S}_{{ij}}}(y,t)dy} \right\}dxdt - \\ - \;\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} {\mathbf{F}} (x,t) \cdot \left\{ {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} D (x - y)\rho (y,t)dy} \right\}dxdt - \\ - \;\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} G (x,t) \cdot \left\{ {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} D (x - y)(\rho {\mathbf{v}})(y,t)dy} \right\}dxdt, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{a}^{ \bot }} = \frac{1}{2}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} \rho (x,t) \times \\ \times \;\left\{ {\int\limits_{B(x,r)} \rho (y,t){{{({{\Pi }^{ \bot }}(x - y)({\mathbf{v}}(x,t) - {\mathbf{v}}(y,t)))}}^{2}}dy} \right\}dxdt, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{a}^{\parallel }} = \frac{1}{2}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} \rho (x,t) \times \\ \times \;\left\{ {\int\limits_{B(x,r)} \rho (y,t){{{(\Pi (x - y)(\upsilon (x,t) - \upsilon (y,t)))}}^{2}}dy} \right\}dxdt + \\ + \;\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} P (x,t)\left\{ {\int\limits_{B(x,r)} \rho (y,t)dy} \right\}dxdt, \\ \end{gathered} $

в которых проекторы определены соотношениями

$\begin{gathered} {{\Pi }^{ \bot }}(\eta )x = x - \frac{{\eta \cdot x}}{{{\text{|}}\eta {\text{|}}}}\eta , \\ \Pi (\eta )x = \frac{{\eta \cdot x}}{{\left| \eta \right|}}\eta \;{\text{для}}\;{\text{всех}}\;\eta \ne 0, \\ \end{gathered} $

симметричное ядро D определено равенствами

$\begin{gathered} D(x) = ({{\left| x \right|}^{{ - 1}}} - {{r}^{{ - 1}}})x\quad {\text{при}}\quad \left| x \right| \leqslant r, \\ D(x) = 0\quad {\text{при}}\quad \left| x \right| \geqslant r, \\ \end{gathered} $

а симметричное ядро Q_ij обладает следующими свойствами

$\begin{gathered} \left| {{{Q}_{{ij}}}(x)} \right| = 0\quad {\text{при}}\quad \left| x \right| \geqslant r, \\ \left| {{{Q}_{{ij}}}(x)} \right| \leqslant c{{\left| x \right|}^{{ - 1}}}\quad {\text{при}}\quad \left| x \right| \leqslant r. \\ \end{gathered} $

Следующее предложение о решениях уравнения (11) играет ключевую роль при доказательстве основной теоремы 1.

Предложение 1. При сделанных предположениях для каждого $\sigma \in (0,\;4{\text{/}}3)$ существуют положительные постоянные ${{\tau }_{\sigma }}$ и ${{c}_{\sigma }}$ такие, что решение уравнения (11) допускает оценку

$W(r) \leqslant {{c}_{\sigma }}{{\left| {lnr} \right|}^{{ - \sigma }}}\quad для\;всех\quad r \in (0,{{\tau }_{\sigma }}).$

Очевидное равенство

$\begin{gathered} \int\limits_{B(r,x)} \rho (y){{\left| {x - y} \right|}^{{ - 1}}}dy = \frac{1}{r}\int\limits_{B(r,x)} \rho (y,t)dy + \\ + \;\int\limits_0^r {\left\{ {\frac{1}{{{{s}^{2}}}}\int\limits_{B(s,x)} \rho (y,t)dy} \right\}} ds \\ \end{gathered} $

устанавливает связь между потенциалом Ньютона плотности газа и функцией $W(r)$. Это соотношение вместе с предложением 1 влечет за собой следующее утверждение. Введем в рассмотрение потенциалы

$\begin{gathered} {{\Psi }_{\mu }}(x,t) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\frac{1}{{{{{\left| {x - y} \right|}}^{2}}}}} {{\left( {1 + \left| {\left| {x - y} \right|} \right|} \right)}^{\mu }}{{\varrho }^{{4/5}}}(y,t)dy, \\ {{G}_{\mu }}(x,t) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\frac{1}{{{{{\left| {x - y} \right|}}^{2}}}}} {{\varrho }^{{5/4}}}(y,t)log{{(1 + \varrho (y,t))}^{\mu }}dy, \\ {{\Sigma }_{\mu }}(x,t) = {{G}_{0}}{{(1\,\, + \,\,{\text{|}}log{{G}_{0}}\,{\text{|}}\,)}^{\mu }}, \\ {{G}_{0}}(x,t) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {} \frac{1}{{{{{\left| {x - y} \right|}}^{2}}}}{{\varrho }^{{5/4}}}(y,t)dy. \\ \end{gathered} $

Лемма 1. Для любого $\mu \in (0,\;2{\text{/}}3)$ существует постоянная $C(\mu )$ такая, что

${{\left\| {{{\Psi }_{\mu }}} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{4}})}}} + {{\left\| {{{G}_{\mu }}} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{4}})}}} + {{\left\| {{{\Sigma }_{\mu }}} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{4}})}}} \leqslant C(\mu ).$

Последним шагом на пути к доказательству теоремы 1 является применение следующей оценки для плотности кинетической энергии. Зафиксируем произвольно $\beta \in (0,\;1)$ и положим $w = {\text{|}}{\mathbf{v}}{\text{|log}}{{(1\, + \,{\text{|}}{\mathbf{v}}{\text{|}})}^{{5\beta /4}}}$. Тогда для любого $t \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} {\rho (t)} {{\left| {{\mathbf{v}}(t)} \right|}^{2}}log{{(1 + \rho (t){{\left| {{\mathbf{v}}(t)} \right|}^{2}})}^{\beta }}dxdt \leqslant \\ \leqslant \;c\left\| {{{G}_{{5\beta /4}}}(t)} \right\|_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{3}})}}^{{4/5}}\left\| {{\mathbf{v}}(t)} \right\|_{{{{W}^{{1,2}}}({{\mathbb{R}}^{3}})}}^{2} + \\ + \;c{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{8}}} {\frac{{{{\rho }^{{5/4}}}(y,t)}}{{{{{\left| {x - y} \right|}}^{2}}}}} \left| {\nabla w(x,t)} \right|dydx} \right)}^{{4/5}}}\left\| {{\mathbf{v}}(t)} \right\|_{{{{W}^{{1,2}}}({{\mathbb{R}}^{3}})}}^{{6/5}}, \\ \end{gathered} $

которое вместе с оценками леммы 1 и энергетическим неравенством влечет за собой утверждение теоремы 1.

Список литературы

Lions P.L. Mathematical topics in fluid dynamics. V. 2. Compressible models. Oxford: Clarendon Press, 1998.
Feireisl E., Novotný A., Petzeltová H. // J. of Mathematical Fluid Mechanics. 2001. V. 3. № 3. P. 358–392.
Novotný A., Straškraba I. Introduction to the mathematical theory of compressible flow / Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. V. 27. Oxford: Oxford University Press, 2004.
Lions P.L On some challenging problems in nonlinear partial differential equations / Mathematics: Frontiers and Perspectives. V. Arnold, eds. RI: AMS Providence, 2000. P. 121–135.
Plotnikov P.I., Weigant W. // SIAM J. Math. Anal. 2015. V. 47. P. 626–652
Xianpeng Hu // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2019. V. 234. P. 375–416.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал