Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 55-58
ПРОБЛЕМА КОНЦЕНТРАЦИЙ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ГАЗА
Член-корреспондент РАН П. И. Плотников 1, 2, *
1 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук
Новосибирск, Россия
2 Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия
* E-mail: piplotnikov@mail.ru
Поступила в редакцию 31.08.2020
После доработки 31.08.2020
Принята к публикации 12.09.2020
Аннотация
Рассматривается трехмерная начально-краевая задача для изэнтропических уравнений динамики вязкого газа. Проблема концентраций состоит в том, что при значениях показателя адиабаты γ ≤ 3/2 конечная энергия газа может концентрироваться в сколь угодно малых областях. В работе доказывается, что в критическом случае γ = 3/2 норма плотности кинетической энергии в подходящем логарифмическом пространстве Лоренца ограничена величиной, зависящей только от граничных и начальных данных. Это исключает возможность появления концентраций кинетической энергии.
1. В работе исследуется нестационарная трехмерная начально-краевая задача для уравнений Навье–Стокса динамики вязкого газа. Современная теория гарантирует существование слабых решений для значений показателя адиабаты γ, больших некоторого критического. В трехмерном случае это значение равно 3/2. В настоящем сообщении мы дадим анализ критического случая. Далее будем предполагать, что газ занимает ограниченную область $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ с границей класса C3. Состояние газа полностью характеризуется его плотностью $\varrho (x,t)$ и скоростью ${\mathbf{u}}(x,t)$. Задача состоит в отыскании функций $\varrho $ и u, удовлетворяющих в цилиндре ${{Q}_{T}} = \Omega \times (0,T)$ следующим уравнениям, граничным и начальным условиям:
(1а)
$\begin{gathered} {{\partial }_{t}}(\varrho {\mathbf{u}}) + {\text{div}}(\varrho {\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}) + \nabla {{\varrho }^{\gamma }} = \\ = {\text{div}}\mathbb{S}({\mathbf{u}}) + \varrho {\mathbf{f}}\quad {\text{в}}\quad {{Q}_{T}}, \\ \end{gathered} $(1б)
${{\partial }_{t}}\varrho + {\text{div}}(\varrho {\mathbf{u}}) = 0,\quad \varrho \geqslant 0\quad {\text{в}}\quad {{Q}_{T}},$(1г)
${\mathbf{u}}(x,0) = {{{\mathbf{u}}}_{0}}(x),\quad \varrho (x,0) = {{\varrho }_{0}}(x) > 0\quad {\text{в}}\quad \Omega .$Здесь тензор вязких напряжений $\mathbb{S}({\mathbf{u}})$ имеет вид
(1д)
$\mathbb{S}({\mathbf{u}}) = {{\nu }_{1}}(\nabla {\mathbf{u}} + \nabla {{{\mathbf{u}}}^{{\text{т}}}}) + {{\nu }_{2}}{\text{div}}{\mathbf{u}}\,\mathbb{I},$(2)
$\begin{gathered} {{\left\| {{{{\mathbf{u}}}_{0}}} \right\|}_{{W_{0}^{{1,2}}(\Omega )}}} + {{\left\| {{{\varrho }_{0}}} \right\|}_{{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}} + {{\left\| {\mathbf{f}} \right\|}_{{{{L}^{\infty }}({{Q}_{T}})}}} \leqslant {{c}_{e}}, \\ {{\varrho }_{0}} > c_{e}^{{ - 1}} > 0, \\ \end{gathered} $(3)
$\begin{gathered} {{\partial }_{t}}(\varrho {\mathbf{u}}) + {\text{div}}(\varrho {\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}) + \nabla {{p}_{\varepsilon }}(\varrho ) = \\ = \;{\text{div}}\,\mathbb{S}({\mathbf{u}}) + \varrho {\mathbf{f}}\quad {\text{в}}\quad {{Q}_{T}}, \\ \end{gathered} $(4)
$\mathop {{\text{ess}}\,{\text{sup}}}\limits_{t \in (0,T)} \int\limits_\Omega {\{ \varrho {{{\left| {\mathbf{u}} \right|}}^{2}} + \,{{\varrho }^{\gamma }} + \varepsilon {{\varrho }^{3}}\} } (x,t)dx + \int\limits_{{{Q}_{T}}} {{{{\left| {\nabla {\mathbf{u}}} \right|}}^{2}}} dxdt \leqslant c.$Здесь и далее через c обозначаются несущественные постоянные, зависящие только от данных задачи. Это решение является слабым и определяется интегральными тождествами
(5)
$\begin{gathered} \int\limits_{{{Q}_{T}}} {(\varrho {\mathbf{u}}\, \cdot \,{{\partial }_{t}}\xi )} \,dxdt\, + \\ + \,\int\limits_{{{Q}_{T}}} {(\varrho {\mathbf{u}}\, \otimes \,{\mathbf{u}}\, + \,{{p}_{\varepsilon }}(\varrho )\mathbb{I}\, - \,\mathbb{S}({\mathbf{u}}))} \,:\,\nabla \xi dxdt\, + \\ + \int\limits_{{{Q}_{T}}} {\varrho {\mathbf{f}} \cdot \xi dxdt} + \int\limits_\Omega {{{\varrho }_{0}}} (x){{{\mathbf{u}}}_{0}}(x) \cdot \xi (x,0)dx = 0, \\ \end{gathered} $(6)
$\int\limits_{{{Q}_{T}}} {(\varrho {{\partial }_{t}}\psi + (\varrho {\mathbf{u}}) \cdot \nabla \psi )} \,dxdt + \int\limits_\Omega {(\psi {{\varrho }_{0}})} (x,0)dx = 0,$(7)
${{\varrho }_{\varepsilon }} \to \varrho * - \;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;{{L}^{\infty }}(0,T;{{L}^{{3/2}}}(\Omega )),$Таким образом, вопрос о существовании решений задачи (1) сводится к вопросу о слабой сходимости последовательностей ${{\varrho }_{\varepsilon }}{{u}_{{i,\varepsilon }}}{{u}_{{j,\varepsilon }}}$ и ${{p}_{\varepsilon }}$. Здесь возникает трудность, которая связана с так называемой проблемой концентраций. Она вызвана тем, что при критических и субкритических значениях показателя γ конечная энергия может концентрироваться в сколь угодно малых областях пространства. Дело в том, что в трехмерном случае энергетическая оценка и теоремы вложения гарантируют интегрируемость плотности кинетической энергии $\varrho {{\left| {\mathbf{u}} \right|}^{2}}$ с экспонентой, большей единицы лишь при γ > 3/2. Следовательно, при $\gamma \leqslant 3{\text{/}}2$ нам доступна только L1 – оценка для плотности кинетической энергии. В частности, мы можем утверждать, что для некоторых мер Радона $\mathcal{M}$, π, сосредоточенных в замыкании цилиндра QT, выполняются соотношения
Для решения проблемы концентраций необходимо доказать, что меры дефекта $\mathcal{M} - \varrho {\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}$ и $\pi - {{\varrho }^{\gamma }}$ равны нулю. В недавно опубликованной статье Ху [6] были установлены оценки меры Хаусдорфа носителя меры дефекта. В частности, было показано, что в критическом случае концентрации тензора кинетической энергии сосредоточены на множестве хауcдорфовой размерности не выше 3/2. Мы исследуем этот вопрос для последовательности тензоров кинетической энергии в случае критического значения показателя адиабаты. Следующее утверждение является основным результатом настоящей работы.
Теорема 1. Пусть $\gamma = 3{\text{/}}2$, $0 < \alpha < 8{\text{/}}21$, K – произвольное компактное подмножество цилиндра QT. Тогда для любого решения ${{\varrho }_{\varepsilon }}$, ${{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }}$ модифицированной задачи (4) справедлива оценка
(8)
$\int\limits_K {{{\varrho }_{\varepsilon }}} {{\left| {{{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }}} \right|}^{2}}{\text{log}}{{(1 + {{\varrho }_{\varepsilon }}{{\left| {{{{\mathbf{u}}}_{\varepsilon }}} \right|}^{2}})}^{\alpha }} \leqslant C,$2. Для доказательства теоремы 1 достаточно установить справедливость оценки (8). Так как эта оценка является локальной, то удобно свести задачу к случаю, когда решение определено и имеет компактный носитель во всем пространстве ${{\mathbb{R}}^{4}}$. С этой целью выберем любое решение $\varrho $, u модифицированной начально-краевой задачи, которое удовлетворяет интегральным тождествам (5), (6) и допускает энергетическую оценку (4). Зафиксируем компакт $K \Subset {{Q}_{T}}$ и неотрицательную, бесконечно дифференцируемую, финитную функцию $\lambda (x,t)$, $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{4}}$, с носителем, лежащим в цилиндре QT, такую, что $\lambda (x,t) = 1$ в окрестности компакта K. Положим
Продолжим ρ и v нулем за пределы цилиндра QT на все пространство ${{\mathbb{R}}^{4}}$. Выбирая в качестве тестовых функций в интегральном тождестве (5) векторное поле вида ${{\lambda }^{6}}\xi $, а в интегральном тождестве (6) скалярную тестовую функцию вида λ5ψ, придем к интегральным тождествам
(9)
$\begin{gathered} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} {\left( {\lambda \rho {\mathbf{v}} \cdot {{\partial }_{t}}\xi + (\rho {\mathbf{v}} \otimes {\mathbf{v}} + P\mathbb{I} - \mathbb{T}):\nabla \xi } \right)} \,dxdt + \\ + \;\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} {\mathbf{F}} \cdot \xi dxdt = 0, \\ \end{gathered} $(10)
$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{4}}} {(\lambda \rho {{\partial }_{t}}\psi + (\rho {\mathbf{v}}) \cdot \nabla \psi + G\psi )\,} dxdt = 0,$Здесь функции W, $\Phi $ и коэффициент a(r) = = ${{a}^{ \bot }}(r){\text{/}}{{a}^{\parallel }}(r)$ задаются формулами
Следующее предложение о решениях уравнения (11) играет ключевую роль при доказательстве основной теоремы 1.
Предложение 1. При сделанных предположениях для каждого $\sigma \in (0,\;4{\text{/}}3)$ существуют положительные постоянные ${{\tau }_{\sigma }}$ и ${{c}_{\sigma }}$ такие, что решение уравнения (11) допускает оценку
Очевидное равенство
Лемма 1. Для любого $\mu \in (0,\;2{\text{/}}3)$ существует постоянная $C(\mu )$ такая, что
Последним шагом на пути к доказательству теоремы 1 является применение следующей оценки для плотности кинетической энергии. Зафиксируем произвольно $\beta \in (0,\;1)$ и положим $w = {\text{|}}{\mathbf{v}}{\text{|log}}{{(1\, + \,{\text{|}}{\mathbf{v}}{\text{|}})}^{{5\beta /4}}}$. Тогда для любого $t \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство
Список литературы
Lions P.L. Mathematical topics in fluid dynamics. V. 2. Compressible models. Oxford: Clarendon Press, 1998.
Feireisl E., Novotný A., Petzeltová H. // J. of Mathematical Fluid Mechanics. 2001. V. 3. № 3. P. 358–392.
Novotný A., Straškraba I. Introduction to the mathematical theory of compressible flow / Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. V. 27. Oxford: Oxford University Press, 2004.
Lions P.L On some challenging problems in nonlinear partial differential equations / Mathematics: Frontiers and Perspectives. V. Arnold, eds. RI: AMS Providence, 2000. P. 121–135.
Plotnikov P.I., Weigant W. // SIAM J. Math. Anal. 2015. V. 47. P. 626–652
Xianpeng Hu // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2019. V. 234. P. 375–416.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления