Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 17-21

В сообщении даны ответы на вопросы, поставленные А.Н. Тихомировым (в письме первому автору) о распределениях максимумов квадратичных форм. Его вопросы привели к более общей задаче о распределениях однородных функций. Пусть даны вероятностная мера μ на линейном пространстве X и измеримая функция f на X, являющаяся положительно однородной порядка α > 0, т.е. $f(tx) = {{t}^{\alpha }}f(x)$ для всех $x \in X$ и t > 0. Типичные примеры однородных функций – нормы, квадратичные формы и максимумы из нескольких квадратичных форм. Ограничена ли плотность распределения f относительно μ? Как оценить плотность распределения максимума из нескольких квадратичных форм? В общем случае даже для гауссовской меры μ и нормы f индуцированная мера $\mu \circ {{f}^{{ - 1}}}$ на прямой может не иметь плотность или ее плотность может быть неограниченной около нуля. Плотность распределения может быть неограниченной даже для нормы, эквивалентной стандартной норме l² (см. [1–3]). С другой стороны, в [2] и [3] можно найти достаточные условия на норму, при которых распределение плотности ограничено. Неотрицательная измеримая квадратичная форма на пространстве с гауссовской мерой $\mu $ обладает ограниченной плотностью распределения при условии, что ее ранг на пространстве Камерона–Мартина меры $\mu $ равен по крайней мере двум (см. [4–6]). Это аналогично случаю распределения ${{\chi }^{2}}$ с k степенями свободы: для k = 1 плотность распределения ведет себя как ${{t}^{{ - 1/2}}}$ около нуля, но для k > 1 она ограничена. Распределения гладких однородных функций от строго устойчивых случайных векторов некоторого класса изучены в [7, 8].

Стандартная гауссовская мера ${{\gamma }_{d}}$ на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ имеет плотность

где |x| обозначает стандартную норму на ${{\mathbb{R}}^{d}}$. Для борелевской функции f индуцированная мера ${{\gamma }_{d}} \circ {{f}^{{ - 1}}}$ на прямой определяется равенством для всех борелевских множеств B. Интеграл от ограниченной борелевской функции φ на прямой относительно меры ${{\gamma }_{d}} \circ {{f}^{{ - 1}}}$ вычисляется по формуле

Если ${{\gamma }_{d}} \circ {{f}^{{ - 1}}}$ имеет плотность относительно меры Лебега, то эта плотность называется плотностью распределения f. Она может быть вычислена как производная функции распределения $F(t)$ = γ_d(x: f(x) < t). Мы приводим все результаты для стандартной гауссовской меры, но ясно, что они остаются в силе с другими константами для произвольных гауссовских мер.

Теорема 1. Пусть f – борелевская функция на ${{\mathbb{R}}^{d}}$, положительно однородная порядка $\alpha \in (0,d]$, причем $f(u) \geqslant m > 0$ на единичной сфере. Тогда ${{\gamma }_{d}} \circ {{f}^{{ - 1}}}$ имеет ограниченную плотность распределения ${{\varrho }_{f}}$ и

где $C(\alpha )$ зависит только от α.

В качестве f можно взять функцию вида

где f_j – борелевские функции на ${{\mathbb{R}}^{d}}$, положительно однородные порядка α. Если ${{f}_{q}}(x) \geqslant m{\text{|}}x{{{\text{|}}}^{\alpha }}$ для некоторого $q \leqslant p$, то ${{\varrho }_{f}} \leqslant C(\alpha ){{m}^{{ - 1}}}{{d}^{{(1 - \alpha )/2}}}$.

Следствие 1. Пусть $d > 1$ и

где ${{Q}_{j}}$ – неотрицательно определенные квадратичные формы на ${{\mathbb{R}}^{d}}$, причем максимум из их минимальных собственных значений равен m > 0. Тогда плотность распределения ${{\varrho }_{f}}$ функции f допускает оценкугде $C(d)$ зависит только от d и равняется максимуму плотности распределения $\chi _{d}^{2}$. В частности, ${{\varrho }_{f}}$ $ \leqslant $ $ \leqslant $ $C{{d}^{{ - 1/2}}}{{m}^{{ - 1}}}$ с некоторой абсолютной постоянной $C$.

Основная особенность этой оценки состоит в ее независимости от числа форм. Заметим, что если имеются случайные величины ${{\xi }_{1}}, \ldots ,{{\xi }_{p}}$ с плотностями распределения, ограниченными числом M, то очевидным образом

Без дополнительных предположений множитель p из этой грубой оценки неизбежен. Например, если ${{\xi }_{i}}$ независимы и равномерно распределены в $[0,1]$, то максимум плотности распределения их максимума равен p. Однако неясно, что можно сказать про плотность распределения максимума p квадратичных форм, для каждой из которых плотность не больше M (но нет информации о собственных числах).

Отметим еще, что так как берется максимум из минимальных собственных чисел, то на указанную оценку не влияет добавление форм с маленькими минимальными собственными значениями (хотя на само распределение это может повлиять). Конечно, условие m > 0 не является необходимым для ограниченности плотности, например, можно взять $x_{1}^{2}$ и $x_{2}^{2}$ на ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Если еще взять третью форму $\varepsilon (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$ с малым ε > 0, то $m = \varepsilon $, но максимум не зависит от ε. В теореме 4 рассмотрен случай, когда все формы могут быть вырождены, но имеют невырожденные сужения на общее двумерное подпространство.

Приведем результаты о соболевской регулярности ${{\varrho }_{f}}$, доказываемые с помощью методов исчисления Маллявэна, см. [3–5, 9].

Для знакопеременной меры $\sigma = {{\sigma }^{ + }} - {{\sigma }^{ - }}$ на измеримом пространстве Ω, разложенной в разность ее положительной и отрицательной частей, вариация равна

Через ${{W}^{{1,k}}}(\mathbb{R})$ обозначим класс Соболева таких функций $u \in {{L}^{1}}(\mathbb{R})$ на прямой, что производная u порядка k – 1 абсолютно непрерывна и ${{u}^{{(k)}}} \in {{L}^{1}}(\mathbb{R})$. Соболевская норма на ${{W}^{{1,k}}}(\mathbb{R})$ задается формулой

Класс $BV(\mathbb{R})$ состоит из таких функций $u \in {{L}^{1}}(\mathbb{R})$ на прямой, что обобщенная производная u есть ограниченная мера Du, т.е.

для всех гладких функций φ с компактным носителем. Норма на $BV(\mathbb{R})$ задается формулой где ||Du|| есть вариация меры Du. При этом функция u имеет версию ограниченной вариации, непрерывную слева, более того, для указанной версии $\tilde {u}$ ее вариация ${\text{Var}}\,\tilde {u}$ равна ||Du|| и $su{{p}_{t}}{\text{|}}\tilde {u}(t){\text{|}} \leqslant {\text{||}}Du{\text{||}}$.

Пространство ${{W}^{{1,1}}}(\mathbb{R})$ является замкнутым подпространством в $BV$. Класс ${{V}^{k}}(\mathbb{R})$ с k > 1 состоит из таких функций $u \in {{L}^{1}}(\mathbb{R})$, что $u{\kern 1pt} ', \ldots ,{{u}^{{(k - 1)}}}$ лежат в ${{L}^{1}}(\mathbb{R})$ и ${{u}^{{(k - 1)}}} \in BV$. Он наделяется нормой

Для функции $u \geqslant 0$ информация Фишера определяется равенством

если u абсолютно непрерывна и этот интеграл конечен, где по определению полагаем $\frac{{{\text{|}}u{\kern 1pt} '(t){{{\text{|}}}^{2}}}}{{u(t)}} = 0$ на множестве нулей u. Информация Фишера существует, если и только если есть такое число C, что

Квадрат минимального возможного C есть информация Фишера функции u.

Пусть  f – борелевская функция на ${{\mathbb{R}}^{d}}$, положительно однородная порядка α.

Пусть ${{p}_{{\alpha ,d}}}$ – плотность распределения ${\text{|}}x{{{\text{|}}}^{\alpha }}$ на $({{\mathbb{R}}^{d}},{{\gamma }_{d}})$. Мы имеем

где $C(d,\alpha )$ – число, зависящее от $d$ и $\alpha $. Легко видеть, что

Теорема 2. Если $f \ne 0$ п.в., то мера ${{\gamma }_{d}} \circ {{f}^{{ - 1}}}$ имеет такую плотность ${{\varrho }_{f}}$, что

где ${{C}_{1}}(d,\alpha ) = ma{{x}_{t}}(t{{p}_{{\alpha ,d}}}(t))$. Еслито при $\alpha < d{\text{/}}k$ плотность ${{\varrho }_{f}}$ принадлежит ${{W}^{{1,k}}}(\mathbb{R})$ и

Если $\alpha = d{\text{/}}k$, то ${{\varrho }_{f}} \in {{V}^{k}}(\mathbb{R})$ и

Информация Фишера для ${{\varrho }_{f}}$ допускает оценку

Правая часть конечна, если $\alpha < d{\text{/}}2$ и функция $\frac{1}{{{\text{|}}f(\theta ){{{\text{|}}}^{2}}}}$ интегрируема на единичной сфере.

Если $m = \inf \{ {\text{|}}\,f(\theta ){\text{|}}\,{\text{:}}\,{\text{|}}\theta {\text{|}} = 1\} > 0$ и α < d, то

где $c(d,\alpha ) = {{2}^{{(1 - \alpha )/2}}}\tfrac{{\Gamma ((d - \alpha ){\text{/}}2)}}{{\Gamma (d{\text{/}}2)}}\sqrt {d - \alpha } $. Если выполнено более сильное условие $\alpha < d{\text{/}}2$, то

В частности, если α = 2 и d > 4, то

$\mathcal{I}({{\varrho }_{f}}) \leqslant (d$ + 1)m^–2.

Приведем оценки для случая сильно вырожденных квадратичных форм.

Теорема 3. Пусть $f = \max \{ {{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{p}}\} $, где f_j(x) := $\langle {{K}_{j}}x,x\rangle $ на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ с симметричными операторами K_j (не обязательно неотрицательными). Предположим, что имеется такое подпространство L с dimL = 3, что

Тогда ${\text{||}}{{\varrho }_{f}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\infty }} \leqslant {\text{||}}D{{\varrho }_{f}}{\text{||}} \leqslant 4$.

Теорема 4. Пусть $f = \max \{ {{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{p}}\} $, где f_j(x) :=  $\langle {{K}_{j}}x,x\rangle $ на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ с неотрицательными симметричными операторами K_j. Предположим, что имеется такое подпространство L с dimL = 2, что при некотором $m > 0$ выполнены оценки $\langle {{K}_{j}}x,x\rangle \geqslant \tfrac{m}{2}{\text{|}}x{{{\text{|}}}^{2}}$ для всех x ∈ L и $j \in \{ 1, \ldots ,p\} $. Тогда ${\text{||}}{{\varrho }_{f}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\infty }} \leqslant 1{\text{/}}m$.

Рассмотрим бесконечномерный случай, который с помощью условных мер легко выводится из полученных выше конечномерных оценок из-за отсутствия зависимости от размерности. Напомним (см. [4, 10]), что центрированная радоновская гауссовская мера γ на локально выпуклом пространстве X есть такая внутренне компактно регулярная борелевская вероятностная мера, что всякий непрерывный линейный функционал f на X является центрированной гауссовской случайной величиной относительно γ. Пространство Камерона–Мартина H такой меры есть подпространство всех векторов с конечной нормой

Известно, что H с этой нормой – сепарабельное гильбертово пространство. Для счетной степени стандартной одномерной гауссовской меры пространство Камерона–Мартина есть обычное пространство l².

Будем называть γ-измеримой квадратичной формой квадратичную форму в обычном алгебраическом смысле, измеримую относительно γ. Известно, что такая форма совпадает почти всюду с пределом последовательности конечномерных квадратичных форм вида

Теорема 5. Пусть γ – центрированная радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X и

где ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{p}}$ – такие γ-измеримые квадратичные формы на X, что имеется трехмерное подпространство L пространства Камерона–Мартина H меры γ с ${{Q}_{j}}(h) \geqslant \frac{{m{\text{|}}h{\text{|}}_{H}^{2}}}{2}$ при всех h ∈ L. Тогда $\gamma \circ {{Q}^{{ - 1}}}$ имеет плотность ${{\varrho }_{Q}}$ ограниченной вариации с

Полученные выше оценки могут быть полезны при исследовании различных задач, связанных с асимптотическими свойствами квадратичных форм, см. [11–13]. Недавние обзоры о распределениях многочленов можно найти в [14, 15]. Доказательства приведенных результатов будут опубликованы в подробной статье, где рассмотрены также негауссовские меры и выпуклые функции.