Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 84-90

НОВЫЕ СЛУЧАИ ОДНОРОДНЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ДИССИПАЦИЕЙ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ТРЕХМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ

М. В. Шамолин^1, *

¹ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

Поступила в редакцию 20.10.2020
После доработки 20.10.2020
Принята к публикации 12.11.2020

DOI: 10.31857/S2686954320060247

Аннотация

Показана интегрируемость некоторых классов однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким трехмерным многообразиям. При этом силовые поля приводят к появлению диссипации переменного знака и обобщают ранее рассмотренные.

Ключевые слова: динамическая система, интегрируемость, диссипация, трансцендентный первый интеграл

Изучение интегрируемости автономных динамических систем на трехмерном конфигурационном многообразии M³ приводит к изучению систем шестого порядка на касательном расслоении TM³. При этом ключевым, наряду с геометрией многообразия M³, является структура силового поля, присутствующего в системе. Так, например, известная задача о движении четырехмерного маятника на обобщенном сферическом шарнире в неконсервативном поле сил приводит к динамической системе на касательном расслоении к трехмерной сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительной группой симметрий [1, 2]. Динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций [2, 3].

Известны также задачи о движении точки по трехмерным поверхностям вращения, в пространстве Лобачевского и т.д. Иногда в системах с диссипацией все же удается найти полный список первых интегралов, состоящий из трансцендентных, в смысле комплексного анализа, функций, поскольку о полном списке даже непрерывных автономных первых интегралов приходится забыть. Полученные результаты особенно важны в смысле присутствия в системе именно неконсервативного поля сил.

В работе показана интегрируемость некоторых классов однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким трехмерным многообразиям. При этом силовые поля приводят к появлению диссипации переменного знака и обобщают ранее рассмотренные [2, 3].

1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Как известно, в случае трехмерного риманова многообразия M³ с координатами (α, β), β = (β₁, β₂), и аффинной связностью $\Gamma _{{jk}}^{i}$(α, β) уравнения геодезических линий на касательном расслоении TM³$\{ {{\alpha }^{ \bullet }},\beta _{1}^{ \bullet },\beta _{2}^{ \bullet };\alpha ,{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}\} $ $\alpha = {{x}^{1}},$ ${{\beta }_{1}} = {{x}^{2}},$ ${{\beta }_{2}} = {{x}^{3}}$, x = = $({{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}})$, примут следующий вид (дифференцирование берется по натуральному параметру):

(1)

${{x}^{{i \bullet \bullet }}} + \sum\limits_{j,k = 1}^3 {\Gamma _{{jk}}^{i}(x){{x}^{{j \bullet }}}{{x}^{{k \bullet }}}} = 0,\quad i = {\text{ }}1,2,3.$

Изучим структуру уравнений (1) при изменении координат на касательном расслоении TM³. Для этого рассмотрим замену координат касательного пространства:

(2)

${{x}^{{i \bullet }}} = \sum\limits_{j = 1}^3 {{{R}^{{ij}}}{{z}_{j}}} ,$

которую можно обратить: ${{z}_{j}} = \sum\limits_{i = 1}^3 {{{T}_{{ji}}}{{x}^{{i \bullet }}}} ,$ при этом R^ij, T_ji, i, j = 1, 2, 3, – функции от x, а также RT = E, где $R = ({{R}^{{ij}}})$, $T = ({{T}_{{ji}}})$. Назовем также уравнения (2) новыми кинематическими соотношениями, т.е. линейными соотношениями на касательном расслоении TM³. Справедливы равенства

(3)

$z_{i}^{ \bullet } = \sum\limits_{j,k = 1}^3 {T_{{ij,k}}^{{}}{{x}^{{j \bullet }}}{{x}^{{k \bullet }}}} - \sum\limits_{j,p,q = 1}^3 {T_{{ij}}^{{}}\Gamma _{{pq}}^{j}{{x}^{{p \bullet }}}{{x}^{{q \bullet }}}} ,$

где ${{T}_{{ji,k}}} = \frac{{\partial {{T}_{{ji}}}}}{{\partial {{x}^{k}}}}$, j, i, k = 1, 2, 3, при этом в систе-ме (3) вместо ${{x}^{{i \bullet }}}$, i = 1, 2, 3, надо подставить формулы (2), и правые части составной системы (2), (3) являются однородными формами соответствующих степеней по квазискоростям z₁, z₂, z₃.

Предложение 1. Система (1) в той области, где det$R(\alpha ,\beta ) \ne 0$, эквивалентна составной системе (2), (3).

Таким образом, результат перехода от уравнений геодезических (1) к эквивалентной системе (2), (3) зависит как от замены (2) (т.е. вводимых кинематических соотношений), так и от аффинной связности $\Gamma _{{jk}}^{i}$(α, β).

Рассмотрим далее достаточно общий случай задания кинематических соотношений в следующем виде:

(4)

${{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{3}}{{f}_{3}}(\alpha ),\quad \beta _{1}^{ \bullet } = {{z}_{2}}{{f}_{1}}(\alpha ),\quad \beta _{2}^{ \bullet } = {{z}_{1}}{{f}_{2}}(\alpha )g({{\beta }_{1}}),$

где ${{f}_{1}}(\alpha )$, ${{f}_{2}}(\alpha )$, ${{f}_{3}}(\alpha )$, $g({{\beta }_{1}})$ – гладкие функции, не равные тождественно нулю. Такие координаты z₁, z₂, z₃ в касательном пространстве вводятся тогда, когда рассматриваются следующие уравнения геодезических [4, 5], например, с семью ненулевыми коэффициентами связности (в частности, на трехмерных поверхностях вращения, в пространстве Лобачевского и т.д.):

(5)

$\begin{gathered} {{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} + \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\alpha _{{}}^{{ \bullet 2}} + \Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{{ \bullet 2}} + \Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{2}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{1}^{{ \bullet \bullet }} + 2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{1}^{ \bullet } + \Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )\beta _{2}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{2}^{{ \bullet \bullet }} + 2\Gamma _{{\alpha 2}}^{2}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{2}^{ \bullet } + 2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{ \bullet }\beta _{2}^{ \bullet } = 0, \\ \end{gathered} $

т.е. остальные коэффициенты связности равны нулю. В случае (4) уравнения (3) примут вид

$\begin{gathered} z_{1}^{ \bullet } = - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha 2}}^{2}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{3}} - \\ \, - {{f}_{1}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {g({{\beta }_{1}})} \right|}}{{d{{\beta }_{1}}}}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{2}}, \\ \end{gathered} $

(6)

$\begin{gathered} z_{2}^{ \bullet } = - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{1}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{2}}{{z}_{3}} - \\ \, - \frac{{f_{2}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{1}}(\alpha )}}{{g}^{2}}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} z_{3}^{ \bullet } = - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{3}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]z_{3}^{2} - \\ \, - \frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{2}^{2} - \frac{{f_{2}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}{{g}^{2}}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $

и уравнения (5) геодезических почти всюду эквивалентны составной системе (4), (6) на многообразии TM³$\{ {{z}_{3}},{{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}\} $.

Для полного интегрирования системы (4), (6) необходимо знать, вообще говоря, пять независимых первых интегралов. При этом первые интегралы (в частности, для уравнений геодезических) можно искать и в более общем виде, чем рассмотрено далее.

Предложение 2. Если всюду справедлива система дифференциальных равенств

$\begin{gathered} \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{3}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }} \equiv 0, \\ f_{3}^{2}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{1}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right] + \\ \end{gathered} $

(7)

$\begin{gathered} \, + f_{1}^{2}(\alpha )\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \\ f_{3}^{2}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha 2}}^{2}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right] + \\ \, + f_{2}^{2}(\alpha )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} f_{1}^{2}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {g({{\beta }_{1}})} \right|}}{{d{{\beta }_{1}}}}} \right] + \\ \, + f_{2}^{2}(\alpha )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \\ \end{gathered} $

то система (4), (6) имеет аналитический первый интеграл следующего вида:

(8)

$\Phi _{1}^{{}}({{z}_{3}},{{z}_{2}},{{z}_{1}}) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = C_{1}^{2} = {\text{const}}.$

Пример. Уравнения (5) геодезических в трехмерном пространстве Лобачевского в модели Клейна с координатами $\left( {x = {{\beta }_{1}},~y = {{\beta }_{2}},~\alpha = z} \right)$ примут вид

(9)

$\begin{gathered} {{\alpha }^{{\centerdot \centerdot }}} - \frac{1}{\alpha }({{\alpha }^{{\centerdot 2}}} - \beta _{1}^{{\centerdot 2}} - \beta _{2}^{{\centerdot 2}}) = 0, \\ ~~\beta _{1}^{{\centerdot \centerdot }} - \frac{2}{\alpha }{{\alpha }^{\centerdot }}\beta _{1}^{\centerdot } = 0,\quad \beta _{2}^{{\centerdot \centerdot }} - \frac{2}{\alpha }{{\alpha }^{\centerdot }}\beta _{2}^{\centerdot } = 0. \\ \end{gathered} $

Четырехпараметрическая система, эквивалентная при ${{\mu }_{1}},{{\mu }_{3}} \ne 0,\alpha \ne 0$ уравнениям (9) геодезических и имеющая первый интеграл вида (8), имеет вид

$\begin{gathered} {{\alpha }^{\centerdot }} = {{z}_{3}}{{\mu }_{1}}\alpha ,\quad z_{3}^{\centerdot } = - z_{2}^{2}\frac{{{{\mu }_{1}}{{\alpha }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}} + {{\mu }_{2}}}} - z_{1}^{2}\frac{{{{\mu }_{1}}\mu _{3}^{2}{{\alpha }^{2}}}}{{\mu _{3}^{2}{{\alpha }^{2}} + {{\mu }_{4}}}}, \\ z_{2}^{\centerdot } = {{z}_{2}}{{z}_{3}}\frac{{{{\mu }_{1}}{{\alpha }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}} + {{\mu }_{2}}}},\quad z_{1}^{\centerdot } = {{z}_{1}}{{z}_{3}}\frac{{{{\mu }_{1}}\mu _{3}^{2}{{\alpha }^{2}}}}{{\mu _{3}^{2}{{\alpha }^{2}} + {{\mu }_{4}}}}, \\ \end{gathered} $

$\beta _{1}^{\centerdot } = {{z}_{2}}\frac{{{{\mu }_{1}}{{\alpha }^{2}}}}{{\sqrt {{{\alpha }^{2}} + {{\mu }_{2}}} }},\quad \beta _{2}^{\centerdot } = {{z}_{1}}\frac{{{{\mu }_{1}}{{\mu }_{3}}{{\alpha }^{2}}}}{{\sqrt {\mu _{3}^{2}{{\alpha }^{2}} + {{\mu }_{4}}} }},$

если первое, пятое и шестое уравнения этой системы рассматривать как новые кинематические соотношения.

Система равенств (7) может трактоваться как возможность преобразования квадратичной формы метрики многообразия к каноническому виду с законом сохранения энергии (8) (или см. ниже (18)) в зависимости от рассматриваемой задачи. История и текущее состояние рассмотрения данной более общей проблемы достаточно обширны (отметим лишь работы [5, 6]).

Поиск как интеграла (8), так и (13), (15) (см. далее) опирается на наличие в системе дополнительных групп симметрий [5, 6].

Можно доказать отдельную теорему существования решения ${{f}_{1}}(\alpha )$, ${{f}_{2}}(\alpha )$, ${{f}_{3}}(\alpha )$, g(β₁) системы (7) для наличия аналитического интеграла (8) для исследуемой системы (4), (6) уравнений геодезических. Но в дальнейшем при изучении динамических систем с диссипацией не всегда все условия (7) нам будут требоваться. Тем не менее, в дальнейшем будем предполагать в уравнениях (4) выполнение условия

(10)

${{f}_{1}}(\alpha ) = {{f}_{2}}(\alpha ) = f(\alpha ),$

при этом функция g(β₁) должна удовлетворять преобразованному третьему равенству из (7):

(11)

$2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d{\text{ln}}\left| {g({{\beta }_{1}})} \right|}}{{d{{\beta }_{1}}}} + \Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}}) \equiv 0.$

Таким образом, функция g(β₁) зависит от коэффициентов связности, а вот ограничения на функции f(α), ${{f}_{3}}(\alpha )$ будут даны ниже.

Предложение 3. Если выполнены свойства (10), (11), при этом справедливы равенства

(12)

$\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) = \Gamma _{{\alpha 2}}^{2}(\alpha ,\beta ) = \Gamma _{1}^{{}}(\alpha ),$

то система (4), (6) имеет гладкий первый интеграл следующего вида:

(13)

$\begin{gathered} \Phi _{2}^{{}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ) = \sqrt {z_{1}^{2} + z_{2}^{2}} \Phi _{0}^{{}}(\alpha ) = C_{2}^{{}} = {\text{const}}, \\ \Phi _{0}^{{}}(\alpha ) = f(\alpha )\exp \left\{ {2\int\limits_{{{\alpha }_{0}}}^\alpha {\Gamma _{1}^{{}}(b)db} } \right\}. \\ \end{gathered} $

Предложение 4. Если выполнено свойство

(14)

$\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta ) = \Gamma _{2}^{{}}({{\beta }_{1}}),$

а также второе равенство из (12) ($\Gamma _{{\alpha 2}}^{2}(\alpha ,\beta )$ = Γ₁(α)), то система (4), (6) имеет гладкий первый интеграл следующего вида:

(15)

$\begin{gathered} \Phi _{3}^{{}}({{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}}) = {{z}_{1}}\Phi _{0}^{{}}(\alpha )\Phi ({{\beta }_{1}}) = C_{3}^{{}} = {\text{const,}} \\ \Phi ({{\beta }_{1}}) = g({{\beta }_{1}})\exp \left\{ {2\int\limits_{{{\beta }_{{10}}}}^{{{\beta }_{1}}} {\Gamma _{2}^{{}}(b)db} } \right\}. \\ \end{gathered} $

Предложение 5. Если выполнены условия (10)–(12), (14), то система (4), (6) имеет первый интеграл следующего вида:

(16)

$\begin{gathered} \Phi _{4}^{{}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\beta ) = {{\beta }_{2}} \pm \int\limits_{{{\beta }_{{10}}}}^{{{\beta }_{1}}} {\frac{{{{C}_{3}}g(b)}}{{\sqrt {C_{2}^{2}\Phi _{{}}^{2}(b) - C_{3}^{2}} }}db} = \\ \, = C_{4}^{{}} = {\text{const,}} \\ \end{gathered} $

где, после взятия интеграла (16), вместо постоянных C₂, C₃можно подставить левые части равенств (13), (15), соответственно.

Теорема 1. Если выполнены условия (10)–(12), (14), то система (4), (6) обладает полным набором, состоящим из четырех первых интегралов вида (8), (13), (15), (16).

То, что полный набор состоит из четырех, а не из пяти, первых интегралов, будет показано ниже.

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

Модифицируем систему (4), (6), получив систему консервативную. А именно, вводится гладкое силовое поле в проекциях на оси $z_{k}^{ \bullet }$, k = 1, 2, 3, соответственно: ${{F}_{1}}({{\beta }_{2}}){{f}_{2}}(\alpha )$, ${{F}_{2}}({{\beta }_{1}}){{f}_{1}}(\alpha )$, ${{F}_{3}}(\alpha ){{f}_{3}}(\alpha )$. Рассматриваемая система на касательном расслоении TM³$\{ {{z}_{3}},{{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}\} $ примет вид

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{3}}{{f}_{3}}(\alpha ), \\ z_{3}^{ \bullet } = {{F}_{3}}(\alpha ){{f}_{3}}(\alpha ) - \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{3}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]z_{3}^{2} - \\ \, - \frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{2}^{2} - \frac{{f_{2}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}{{g}^{2}}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $

(17)

$\begin{gathered} z_{2}^{ \bullet } = {{F}_{2}}({{\beta }_{1}}){{f}_{1}}(\alpha ) - \\ \, - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{1}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{2}}{{z}_{3}} - \\ \, - \frac{{f_{2}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{1}}(\alpha )}}{{g}^{2}}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} z_{1}^{ \bullet } = {{F}_{1}}({{\beta }_{2}}){{f}_{2}}(\alpha )g({{\beta }_{1}}) - \\ \, - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha 2}}^{2}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{3}} - \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, - {{f}_{1}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {g({{\beta }_{1}})} \right|}}{{d{{\beta }_{1}}}}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{2}}, \\ \beta _{1}^{ \bullet } = {{z}_{2}}{{f}_{1}}(\alpha ),\quad \beta _{2}^{ \bullet } = {{z}_{1}}{{f}_{2}}(\alpha )g({{\beta }_{1}}), \\ \end{gathered} $

и она почти всюду эквивалентна следующей системе:

$\begin{gathered} {{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} - {{F}_{3}}(\alpha )f_{3}^{2}(\alpha ) + \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\alpha _{{}}^{{ \bullet 2}} + \\ \, + \Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{{ \bullet 2}} + \Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{2}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \beta _{1}^{{ \bullet \bullet }} - {{F}_{2}}({{\beta }_{1}})f_{1}^{2}(\alpha ) + 2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{1}^{ \bullet } + \\ \, + \Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )\beta _{2}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \beta _{2}^{{ \bullet \bullet }} - {{F}_{1}}({{\beta }_{2}})f_{2}^{2}(\alpha ){{g}^{2}}({{\beta }_{1}}) + 2\Gamma _{{\alpha 2}}^{2}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{2}^{ \bullet } + \\ \, + 2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{ \bullet }\beta _{2}^{ \bullet } = 0. \\ \end{gathered} $

Предложение 6. Если всюду справедливы равенства (7), то система (17) имеет гладкий первый интеграл следующего вида:

$\Phi _{1}^{{}}({{z}_{3}},{{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta ) = $

(18)

$\begin{gathered} \, = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} + V(\alpha ,\beta ) = C_{1}^{{}} = {\text{const,}} \\ V(\alpha ,\beta ) = {{V}_{3}}(\alpha ) + {{V}_{2}}({{\beta }_{1}}) + {{V}_{1}}({{\beta }_{2}}) = \\ \end{gathered} $

$\, = - 2\int\limits_{{{\alpha }_{0}}}^\alpha {{{F}_{3}}(a)da} - 2\int\limits_{{{\beta }_{{10}}}}^{{{\beta }_{1}}} {{{F}_{2}}(b)db} - 2\int\limits_{{{\beta }_{{20}}}}^{{{\beta }_{2}}} {{{F}_{1}}(b)db} .$

Предложение 7. Пусть ${{F}_{2}}({{\beta }_{1}}) \equiv {{F}_{1}}({{\beta }_{2}}) \equiv 0$. Если выполнены условия предложений 3, 4, то система (17) имеет два гладких первых интеграла вида (13), (15).

Предложение 8. Если выполнены условия предложения 5, то система (17) имеет первый интеграл вида (16).

Теорема 2. Пусть ${{F}_{2}}({{\beta }_{1}}) \equiv {{F}_{1}}({{\beta }_{2}}) \equiv 0$. Если выполнены условия (10)–(12), (14), то система (17) обладает полным набором, состоящим из четырех первых интегралов вида (18), (13), (15), (16).

То, что полный набор состоит из четырех, а не из пяти первых интегралов, будет показано ниже.

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В СИЛОВОМ ПОЛЕ С ДИССИПАЦИЕЙ

Теперь несколько модифицируем систему (17) при условиях (10)–(12), (14), а также при F₂(β₁) ≡ ≡ ${{F}_{1}}({{\beta }_{2}})$ ≡ 0. При этом получим систему с диссипацией, наличие которой (вообще говоря, знакопеременной) характеризует не только коэффициент $b\delta (\alpha )$, b > 0, в первом уравнении системы (19) (в отличие от (17)), но и следующая зависимость (внешнего) силового поля в проекциях на оси $z_{k}^{ \bullet }$, k = 1, 2, 3, соответственно: ${{z}_{1}}F_{{}}^{1}(\alpha )$, ${{z}_{2}}F_{{}}^{1}(\alpha )$, F₃(α)f₃(α) + + ${{z}_{3}}F_{3}^{1}(\alpha )$. Рассматриваемая система на касательном расслоении TM³$\{ {{z}_{3}},{{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}\} $ примет вид

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{3}}{{f}_{3}}(\alpha ) + b\delta (\alpha ), \\ z_{3}^{ \bullet } = {{F}_{3}}(\alpha ){{f}_{3}}(\alpha ) - \\ \, - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{3}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]z_{3}^{2} - \\ \, - \frac{{f_{{}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{2}^{2} - \\ \end{gathered} $

(19)

$\begin{gathered} \, - \frac{{f_{{}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}{{g}^{2}}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2} + {{z}_{3}}F_{3}^{1}(\alpha ), \\ z_{2}^{ \bullet } = - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + \frac{{d\ln \left| {f(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{2}}{{z}_{3}} - \\ \, - f(\alpha ){{g}^{2}}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2} + {{z}_{2}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} z_{1}^{ \bullet } = - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + \frac{{d\ln \left| {f(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{3}} - \\ \, - f(\alpha )\left[ {2\Gamma _{2}^{{}}({{\beta }_{1}}) + \frac{{d\ln \left| {g({{\beta }_{1}})} \right|}}{{d{{\beta }_{1}}}}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{2}} + {{z}_{1}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \beta _{1}^{ \bullet } = {{z}_{2}}f(\alpha ),\quad \beta _{2}^{ \bullet } = {{z}_{1}}f(\alpha )g({{\beta }_{1}}), \\ \end{gathered} $

и она почти всюду эквивалентна следующей системе:

$\begin{gathered} {{\alpha }^{{\centerdot \centerdot }}}\, - \,\left\{ {b\tilde {\delta }(\alpha )\, + \,F_{3}^{1}(\alpha )\, + \,b\delta (\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\, + \,\frac{{d{\text{ln|}}{{f}_{3}}(\alpha ){\text{|}}}}{{d\alpha }}} \right]} \right\}{{\alpha }^{\centerdot }} - \\ - \,{{F}_{3}}(\alpha )f_{3}^{2}(\alpha ) + b\delta (\alpha )F_{3}^{1}(\alpha ) + \\ \, + {{b}^{2}}{{\delta }^{2}}(\alpha )\left[ {\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln {\text{|}}{{f}_{3}}(\alpha ){\text{|}}}}{{d\alpha }}} \right] + \\ + \,\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{{\centerdot 2}}} + \Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{{\centerdot 2}} + \Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{2}^{{\centerdot 2}} = 0, \\ \beta _{1}^{{\centerdot \centerdot }} - \left\{ {F_{2}^{1}(\alpha ) + b\delta (\alpha )\left[ {2{{\Gamma }_{1}}(\alpha ) + \frac{{d\ln {\text{|}}f(\alpha ){\text{|}}}}{{d\alpha }}} \right]} \right\}\beta _{1}^{\centerdot } + \\ + 2{{\Gamma }_{1}}(\alpha ){{\alpha }^{\centerdot }}\beta _{1}^{\centerdot } + \Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )\beta _{2}^{{\centerdot 2}} = 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \beta _{2}^{{\centerdot \centerdot }} - \left\{ {F_{1}^{1}(\alpha ) + b\delta (\alpha )\left[ {2{{\Gamma }_{1}}(\alpha ) + \frac{{d\ln {\text{|}}f(\alpha ){\text{|}}}}{{d\alpha }}} \right]} \right\}\beta _{2}^{\centerdot } + \\ + \,2{{\Gamma }_{1}}(\alpha ){{\alpha }^{\centerdot }}\beta _{2}^{\centerdot } + 2{{\Gamma }_{2}}({{\beta }_{1}})\beta _{1}^{\centerdot }\beta _{2}^{\centerdot } = 0, \\ \tilde {\delta }(\alpha ) = d\delta (a){\text{/}}d\alpha . \\ \end{gathered} $

Перейдем теперь к интегрированию искомой системы шестого порядка (19) при условии (11), а также при выполнении равенств

$\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) = \Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta ){{g}^{2}}({{\beta }_{1}}) = \Gamma _{3}^{{}}(\alpha ).$

Введем также (по аналогии с (11)) ограничение и на функцию f(α): она должна удовлетворять преобразованному равенству из (7):

$f_{3}^{2}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + \frac{{d\ln \left| {f(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right] + \Gamma _{3}^{{}}(\alpha )f_{{}}^{2}(\alpha ) \equiv 0.$

При этом происходит отделение независимой подсистемы пятого порядка:

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{3}}{{f}_{3}}(\alpha ) + b\delta (\alpha ), \\ z_{3}^{ \bullet } = {{F}_{3}}(\alpha ){{f}_{3}}(\alpha ) - \frac{{f_{{}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}\Gamma _{3}^{{}}(\alpha )(z_{2}^{2} + z_{1}^{2}) + {{z}_{3}}F_{3}^{1}(\alpha ), \\ z_{2}^{ \bullet } = - {{f}_{3}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + \frac{{d\ln \left| {f(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{2}}{{z}_{3}} - \\ \, - f(\alpha ){{g}^{2}}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,{{\beta }_{1}})z_{1}^{2} + {{z}_{2}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \end{gathered} $

Для полного интегрирования системы необходимо знать, вообще говоря, пять независимых первых интегралов. Однако после следующей замены переменных ${{z}_{1}},{{z}_{2}} \to z,{{z}_{*}},$ $z = \sqrt {z_{1}^{2} + z_{2}^{2}} ,$ ${{z}_{*}} = {{z}_{2}}{\text{/}}{{z}_{1}}$ система (19) распадается следующим образом:

(20)

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{3}}{{f}_{3}}(\alpha ) + b\delta (\alpha ), \\ {{z}_{3}}^{ \bullet } = {{F}_{3}}(\alpha ){{f}_{3}}(\alpha ) - \frac{{{{f}^{2}}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}\Gamma _{3}^{{}}(\alpha ){{z}^{2}} + {{z}_{3}}F_{3}^{1}(\alpha ), \\ {{z}^{ \bullet }} = \frac{{{{f}^{2}}(\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}\Gamma _{3}^{{}}(\alpha )z{{z}_{3}} + zF_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \end{gathered} $

(21)

$\begin{gathered} z_{*}^{ \bullet } = ( \pm )z\sqrt {1 + z_{*}^{2}} f(\alpha )\left[ {2\Gamma _{2}^{{}}({{\beta }_{1}}) + \frac{{d\ln \left| {g({{\beta }_{1}})} \right|}}{{d{{\beta }_{1}}}}} \right], \\ \beta _{1}^{ \bullet } = ( \pm )\frac{{z{{z}_{*}}}}{{\sqrt {1 + z_{*}^{2}} }}f(\alpha ), \\ \end{gathered} $

(22)

$\beta _{2}^{ \bullet } = {{z}_{1}}f(\alpha )g({{\beta }_{1}}).$

Видно, что для полной интегрируемости системы (20)–(22) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (20), один – после замены независимой переменной – независимой системы (21), и дополнительный первый интеграл, “привязывающий” уравнение (22) (т.е. всего четыре).

Будем также предполагать, что для некоторого $\kappa \in $ R выполнено равенство

(23)

$\begin{gathered} \frac{{{{f}^{2}}(\alpha )}}{{f_{3}^{2}(\alpha )}}{{\Gamma }_{3}}(\alpha ) = \kappa \frac{d}{{d\alpha }}\ln \left| {{\Delta }(\alpha )} \right|, \\ {\Delta }(\alpha ) = \frac{{\delta (\alpha )}}{{{{f}_{3}}(\alpha )}}, \\ \end{gathered} $

а для некоторых $\lambda _{3}^{0},~\lambda _{k}^{1} \in $ R выполнены равенства

(24)

$\begin{gathered} {{F}_{3}}(\alpha ) = \lambda _{3}^{0}\frac{d}{{d\alpha }}\frac{{{{{\Delta }}^{2}}(\alpha )}}{2}, \\ F_{k}^{1}(\alpha ) = \lambda _{k}^{1}{{f}_{3}}(\alpha )\frac{d}{{d\alpha }}{\Delta }(\alpha ),\quad \kappa = 1,2,3. \\ \end{gathered} $

Здесь $F_{1}^{1}(\alpha ) = F_{2}^{1}(\alpha ) = F_{{}}^{1}(\alpha )$, т.е. $\lambda _{1}^{1} = \lambda _{2}^{1} = {{\lambda }^{1}}$. Условие (23) назовем “геометрическим”, а условия из группы (24) – “энергетическими”.

Условие (23) названо геометрическим в том числе потому, что накладывает условие на коэффициент связности $\Gamma _{3}^{{}}(\alpha )$, приводя соответствующие коэффициенты системы к однородному виду относительно функции Δ(α). Условия же группы (24) названы энергетическими в том числе потому, что силы становятся, в некотором смысле, “потенциальными” по отношению к функциям ${{{\Delta }}^{2}}(\alpha ){\text{/}}2$ и Δ(α), приводя соответствующие коэффициенты системы к однородному виду (опять же относительно функции Δ(α)). При этом функция Δ(α) и вводит в систему диссипацию разных знаков.

Теорема 3. Пусть выполняются условия (23) и (24). Тогда система (20)–(22) обладает четырьмя независимыми, вообще говоря, трансцендентными [7, 8] первыми интегралами.

В общем случае первые интегралы выписываются громоздко (поскольку приходится интегрировать уравнение Абеля [9]). В частности, если $\kappa = - 1$, явный вид ключевого первого интеграла таков:

(25)

$\begin{gathered} {{{\Theta }}_{1}}({{z}_{3}},z;\alpha ) = {{G}_{1}}\left( {\frac{{{{z}_{3}}}}{{\Delta (\alpha )}},\frac{z}{{\Delta (\alpha )}}} \right) = \\ = \frac{{f_{3}^{2}(\alpha )(z_{3}^{2} + {{z}^{2}})\, + \,(b - {{\lambda }^{1}}){{z}_{3}}\delta (\alpha ){{f}_{3}}(\alpha )\, - \,\lambda _{3}^{0}{{\delta }^{2}}(\alpha )}}{{z\delta (\alpha ){{f}_{3}}(\alpha )}} = \\ = {{C}_{1}} = {\text{const}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

При этом дополнительный первый интеграл системы (20) имеет следующий структурный вид:

(26)

${{{\Theta }}_{2}}({{z}_{3}},z;\alpha ) = {{G}_{2}}\left( {\Delta (\alpha ),\frac{{{{z}_{3}}}}{{\Delta (\alpha )}},\frac{z}{{\Delta (\alpha )}}} \right)\, = \,{{C}_{2}}\, = \,{\text{const}}{\text{.}}$

Первый интеграл для системы (21) будет иметь вид

(27)

${{\Theta }_{3}}({{z}_{*}};{{\beta }_{1}}) = \frac{{\sqrt {1 + z_{*}^{2}} }}{{\Phi ({{\beta }_{1}})}} = {{С}_{3}} = {\text{const,}}$

о функции Φ(β₁) см. (15). А дополнительный первый интеграл, “привязывающий” уравнение (22), находится по аналогии с (16):

(28)

$\begin{gathered} \Theta _{4}^{{}}({{z}_{*}};\beta ) = {{\beta }_{2}} \pm \int\limits_{{{\beta }_{{10}}}}^{{{\beta }_{1}}} {\frac{{{{C}_{3}}g(b)}}{{\sqrt {C_{2}^{2}\Phi _{{}}^{2}(b) - C_{3}^{2}} }}db} = \\ \, = C_{4}^{{}} = {\text{const,}} \\ \end{gathered} $

где, после взятия интеграла (28), вместо постоянных C₂, C₃ можно подставить левые части равенств (13), (15) соответственно.

Выражение первых интегралов (25)–(28) через конечную комбинацию элементарных функций зависит не только от вычисления квадратур, но также и от явного вида функции Δ(α). Действительно, при $\kappa = - 1$ дополнительный первый интеграл системы (20) найдется из соотношения

$d\ln \left| {\Delta (\alpha )} \right| = \frac{{(b - {{u}_{3}})d{{u}_{3}}}}{{2W({{u}_{3}}) - {{C}_{1}}\left\{ {{{C}_{1}} \pm \sqrt {C_{1}^{2} - 4W({{u}_{3}})} } \right\}{\text{/}}2}},$

$W({{u}_{3}}) = u_{3}^{2} + (b - {{\lambda }^{1}}){{u}_{3}} - \lambda _{3}^{0},~\quad {{u}_{3}} = \frac{{{{z}_{3}}}}{{\Delta (\alpha )}}.$

При этом после интегрирования вместо C₁ можно подставить левую часть равенства (25). Правая часть данного равенства выражается через конечную комбинацию элементарных функций, а левая – в зависимости о функции Δ(α).

Справедлива и теорема, в некотором смысле обратная к теореме 3.

Теорема 4. Условия (23), (24) (например, при $\kappa = - 1$) являются необходимыми условиями существования первого интеграла (25) для системы (20)–(22).

4. СТРОЕНИЕ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ СИСТЕМ С ДИССИПАЦИЕЙ

Если α – периодическая координата периода 2π, то система (20)–(22) в условиях теоремы 3 становится динамической системой с переменной диссипацией с нулевым средним [2, 10]. При этом при b = –λ¹ она превращается в систему консервативную, которая обладает двумя гладкими первыми интегралами:

(29)

$\begin{gathered} {{{\Phi }}_{1}}( - b;{{z}_{3}},z;\alpha ) = \\ = {{z}^{2}} + z_{3}^{2} + 2b{{z}_{3}}{\Delta }(\alpha ) - \lambda _{3}^{0}{{{\Delta }}^{2}}(\alpha ) = {\text{const}}, \\ \end{gathered} $

(30)

${{{\Phi }}_{2}}({{z}_{1}};\alpha ) = z{\Delta }(\alpha ) = {\text{const}}{\text{.}}$

Очевидно, что отношение двух первых интегралов (29), (30) также является первым интегралом системы (20)–(22) при b = –λ¹. Но при b ≠ –λ¹ каждая из функций

(31)

${{{\Phi }}_{1}}({{\lambda }^{1}};{{z}_{3}},z;\alpha )\, = \,{{z}^{2}} + z_{3}^{2} + (b\, - \,{{\lambda }^{1}}){{z}_{3}}{\Delta }(\alpha )\, - \,\lambda _{3}^{0}{{{\Delta }}^{2}}(\alpha )$

и (30) по отдельности не является первым интегралом системы (20)–(22). Однако отношение функций (31), (30) является первым интегралом системы (20)–(22) (при $\kappa = - 1$) при любом b.

Вообще же, для систем любого порядка с диссипацией трансцендентность функций (в смысле наличия существенно особых точек) как первых интегралов наследуется из нахождения в системе притягивающих или отталкивающих предельных множеств [11, 12].

5. СИСТЕМЫ НА ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Выше уже были выделены в качестве примеров два класса многообразий (поверхности вращения и пространства Лобачевского), для которых применима предлагаемая методика интегрирования систем с диссипацией. Теперь отметим однопараметрическое семейство функций f(α) и f₃(α), определяющих метрику на трехмерной сфере:

$f(\alpha ) = \frac{{{\text{cos}}\alpha }}{{{\text{sin}}\alpha \sqrt {1 + {{\mu }_{1}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\alpha } }},\quad {{\mu }_{1}} \in {\mathbf{R}},\quad {{f}_{3}}(\alpha ) \equiv - 1,$

при этом выделим два существенных подслучая:

(32)

${{\mu }_{1}} = 0$,

(33)

${{\mu }_{1}} = - 1$.

Случай (32) формирует класс систем, соответствующих движению динамически симметричного четырехмерного твердого тела на нулевых уровнях циклических интегралов, вообще говоря, в неконсервативном поле сил, при дополнительной зависимости силового поля от (тензора второго ранга) угловой скорости [2, 10]. Случай (33) формирует класс систем, соответствующих движению точки на трехмерной сфере с естественной метрикой, индуцированной метрикой всеобъемлющего четырехмерного евклидова пространства. В частности, при $\delta (\alpha ) = {{F}_{3}}(\alpha ) \equiv 0$ рассматриваемая система описывает геодезический поток на трехмерной сфере. В случае (32) если $\delta (\alpha ) = \frac{{{{F}_{3}}(\alpha )}}{{{\text{cos}}\alpha }}$, то система описывает движение четырехмерного твердого тела в силовом поле F₃(α) под действием следящей силы [2, 3]. В частности, если ${{F}_{3}}(\alpha ) = {\text{sin}}\alpha {\text{cos}}\alpha $, $\delta (\alpha ) = {\text{sin}}\alpha $, то система описывает обобщенный сферический маятник, помещенный в поток набегающей среды в четырехмерном пространстве, и обладает полным набором трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций [2, 3, 10, 11].

Если функция δ(α) не является периодической, то рассматриваемая диссипативная система является системой с переменной диссипацией с ненулевым средним (т.е. она является собственно диссипативной). Тем не менее, и в этом случае (благодаря теоремам 3 и 4) можно получить явный вид трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Последнее также определяет новые нетривиальные случаи интегрируемости динамических систем с диссипацией на касательном расслоении гладкого трехмерного многообразия в явном виде.

Список литературы

Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53. Вып. 3. С. 209–210.
Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере // ДАН. 2017. Т. 474. № 2. С. 177–181.
Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении трехмерного многообразия // ДАН. 2017. Т. 477. № 2. С. 168–172.
Козлов В.В. Рациональные интегралы квазиоднородных динамических систем // Прикл. матем. и механ. 2015. Т. 79. № 3. С. 307–316.
Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. с нем. 4-е изд., испр., обновл. М.: URSS, 2017. 352 с.
Вейль Г. Симметрия. М.: URSS, 2007.
Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38. Вып. 1. С. 3–67.
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.–Л.: ОГИЗ, 1947.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.
Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем // Фундам. и прикл. матем. 2010. Т. 16. Вып. 4. С. 3–229.
Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении многомерного многообразия // ДАН. 2018. Т. 482. № 5. С. 527–533.
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1987.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал