Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 68-72

Пусть заданы банаховы пространства X, Y, топологическое пространство $\Sigma $ и непрерывное отображение $f{\text{:}}\,X \times \Sigma \to Y.$ Рассмотрим уравнение

относительно неизвестного $x \in X$ и параметра $\sigma \in \Sigma .$ Непрерывную функцию $g( \cdot ),$ определенную на пространстве $\Sigma $ или некотором его подмножестве и удовлетворяющую на нем тождеству f(g(σ), $\sigma ) \equiv 0,$ называют неявной функцией.

В этой работе приводятся глобальные теоремы о неявной функции, т.е. условия, при которых для всех значений параметра $\sigma \in \Sigma $ уравнение (1) разрешимо и имеет решение $x = g(\sigma ),$ которое непрерывно зависит от σ. В качестве частного случая получена глобальная, а также полулокальная теорема об обратной функции, представляющая собой достаточные условия существования определенного на заданном шаре в Y непрерывного правого обратного отображения к заданному гладкому отображению. В качестве приложений теоремы о неявной функции получены теоремы о непрерывном продолжении неявной функции, о ε-неявной функции и о существовании точек совпадения.

Глобальная теорема об обратной функции восходит к Ж. Адамару, который в [1] (см. также [2]) доказал, что если $X = Y = {{\mathbb{R}}^{n}},$ непрерывно дифференцируемое отображение $F{\kern 1pt} :\;X \to Y$ равномерно невырождено, т.е. линейный оператор $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}(x)$ обратим при каждом x ∈ X и функция $\left\| {\mathop {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}(x)}\nolimits^{ - 1} } \right\|$ ограничена на X, то F является диффеоморфизмом. Здесь и далее $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ обозначает норму линейного ограниченного оператора и нормы в пространствах X и Y.

Особый интерес представляет уравнение (1), когда пространства X и Y не являются линейно топологически изоморфными, например, когда $X = {{\mathbb{R}}^{n}},$ $Y = {{\mathbb{R}}^{k}}$ и $n > k.$ Глобальные теоремы о неявной и обратной функции в этом случае получены в [3] в предположении гладкости отображения f по переменной $x.$ Глобальная теорема об обратной функции для локально липшицевых отображений получена в [4].

Сформулируем обобщение результата из [3] на случай гильбертовых пространств. Для этого введем необходимые понятия.

Как обычно, $\mathcal{L}(X,Y)$ – пространство линейных ограниченных операторов $A,$ действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y, а $\mathcal{S}\mathcal{L}(X,Y)$ – множество всех сюръективных операторов $A \in \mathcal{L}(X,Y).$ Через $B(x,r)$ обозначим замкнутый шар в пространстве X радиуса $r \geqslant 0$ с центром в точке x ∈ X и то же самое обозначение будем использовать для шаров в Y.

Для линейного оператора $A \in \mathcal{L}(X,Y)$ положим

Теорема Банаха об открытом отображении означает, что ${\text{cov}}A$ > 0 тогда и только тогда, когда $A \in \mathcal{S}\mathcal{L}$(X, Y). Теорема Майкла о непрерывном селекторе (см. [5]) гарантирует, что если $A \in \mathcal{S}\mathcal{L}$(X, Y), то уравнение $Ax = y$ имеет непрерывное на Y решение $x = x(y).$

Предположим, что отображение $f( \cdot ,\sigma )$ дифференцируемо при каждом $\sigma \in \Sigma .$ Для произвольной непрерывной функции $\varphi {\kern 1pt} :\;\Sigma \to X$ и $t \geqslant 0$ положим

Теорема 1. Пусть X и Y – гильбертовы пространства, отображение $f{\kern 1pt} :\;X \times \Sigma \to Y$ непрерывно, при каждом фиксированном $\sigma \in \Sigma $ отображение $f( \cdot ,\sigma )$ дважды непрерывно дифференцируемо по $x,$ а отображения $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}$ и $\frac{{{{\partial }^{2}}f}}{{\partial {{x}^{2}}}}$ непрерывны на $X \times \Sigma .$

Тогда для любой непрерывной функции $\varphi {\kern 1pt} :\;\Sigma \to X,$ для которой выполняется хотя бы одно из двух условий: или

илисуществует непрерывная функция $g = {{g}_{\varphi }}{\kern 1pt} :\;\Sigma \to X$ такая, что

Доказательство теоремы 1 основано на методах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и состоит в исследовании решений некоторой задачи Коши, которая строится по отображению  f (см. [3]).

Особый интерес и сложность представляет случай, когда пространства X и Y являются банаховыми. В этом случае описанный выше метод сведения уравнения (1) к задаче Коши применить не удается. Это связано с тем, что существуют банаховы пространства X и Y и линейный оператор $A \in \mathcal{S}\mathcal{L}(X,Y)$ такие, что оператор A не имеет непрерывного линейного (и даже нелинейного, но локально липшицевого) правого обратного отображения (подробнее см. [6]). Поэтому задача о глобальной неявной функции в банаховых пространствах требует иного подхода.

В качестве такого подхода предлагается метод, основанный на использовании достаточных условий существования минимума полунепрерывных снизу функционалов (см. [7, 8]). Применение указанных результатов из [7, 8] позволяет доказать следующее утверждение.

Пусть задана непрерывная функция $\pi {\kern 1pt} :\;\Sigma \to {{\mathbb{R}}_{ + }}$ (${{\mathbb{R}}_{ + }}$ – множество неотрицательных вещественных чисел). Для d > 0 положим

Введем следующие предположения относительно отображения $f{\kern 1pt} :\;X \times \Sigma \to Y.$

(A1) отображение f непрерывно, отображение $f( \cdot ,\sigma )$ непрерывно дифференцируемо по x при любом фиксированном $\sigma \in \Sigma $, и отображение $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}$: $X \times \Sigma \to \mathcal{L}(X,Y)$ непрерывно.

Поскольку отображение f дифференцируемо по x, то для любых $(x,\sigma ) \in X \times \Sigma ,$ $\xi \in X$ имеет место представление

в котором $o{\kern 1pt} :\;X \times \Sigma \times X \to Y$ – отображение, для которого

(A2) при каждом $d > 0$ отображение f равномерно дифференцируемо по x в следующем смысле:

(A3) при каждом $d > 0$ производная отображения f по x равномерно ограничена в следующем смысле:

Отметим, что если пространства $X$ и $Y$ конечномерны, а $\Sigma $ компактно, то (A2) и (A3) вытекают из (A1). Аналогично, если пространства X и Y конечномерны, $\Sigma = Y,$ и f представимо в виде $f(x,\sigma ) \equiv $ F(x) – σ, а F непрерывно дифференцируемо, то предположения (A1)–(A3) также выполняются.

Теорема 2. Пусть $X,$ $Y$ – банаховы пространства, и отображение f удовлетворяет предположениям (A1)–(A3).

Тогда для любой непрерывной функции φ: $\Sigma \to X$, для которой имеет место или (2) или (3), и любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная функция $g = {{g}_{{\varphi ,\varepsilon }}}{\kern 1pt} :\;\Sigma \to X,$ удовлетворяющая соотношениям (4) и

Теоремы 1 и 2 носят глобальный характер, т.е. гарантируют существование неявной функции g, определенной на всем $\Sigma .$ Если в определении функции ${{\alpha }_{\varphi }}$ и предположениях (2), (3) пространство $\Sigma $ заменить на заданное подмножество $\widehat \Sigma \subset \Sigma ,$ то теоремы 1 и 2 будут гарантировать существование неявной функции на $\widehat \Sigma $ и, таким образом, будут иметь полулокальный характер.

Если предположения (2) и (3) одновременно нарушаются, то их можно удовлетворить, уменьшая множество $\Sigma $ (и, соответственно, уменьшая в неравенстве (3) левую часть и увеличивая в нем правую часть). В связи со сказанным возникает следующий естественный вопрос: при каких условиях существует указанное выше множество $\widehat \Sigma .$ Из соображений гладкости и непрерывности следует, что если существует точка $({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}) \in X \times \Sigma $ такая, что $f({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}) = 0$ и $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}({{x}_{0}},{{\sigma }_{0}}) \in \mathcal{S}\mathcal{L}(X,Y),$ то существует окрестность $\widehat \Sigma $ точки ${{\sigma }_{0}},$ для которой (3) выполняется при $\Sigma = \widehat \Sigma .$ Используя это рассуждение несложно вывести из теорем 1 и 2 локальные теоремы о неявной функции.

Приведем простое достаточное условие, при котором имеет место соотношение (2). А именно, если

то выполняется соотношение (2). Приведенное условие соответствует предположениям теоремы Адамара, но оно обременительнее условия (2), которое по существу встречалось в работах [9, 10].

Приведем пример, в котором условие (2) выполняется для любой ограниченной функции φ, а условие (7) нарушается. Пусть $u{\kern 1pt} :\;\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ – произвольная непрерывная четная функция, для которой $u(0) > 0,$ $u$ убывает на $[0, + \infty )$ и

Отметим, что в качестве u можно, например, взять функцию $u(t) = (1 + {{\left| t \right|}^{p}}),$ $t \in \mathbb{R},$ где $p \in (0,1].$

Положим

Очевидно, отображение  f непрерывно дифференцируемо. Кроме того, $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x,\sigma ) = u(x) \to 0$ при $x \to \infty $ и, значит, условие (7) нарушается. В то же время, ${{\alpha }_{\varphi }}(t) \geqslant u(t$ + c_φ) при любом $t \geqslant 0,$ где c_φ := := ${\text{sup}}\{ {\text{|}}\varphi (\sigma ){\text{|:}}\,\sigma \in \mathbb{R}\} $ и, значит, условие (2) выполняется.

Из теоремы 2 вытекает следующий ее полулокальный вариант.

Следствие 1. Пусть X, Y – банаховы пространства, и отображение f удовлетворяет предположениям (A1)–(A3).

Тогда для любого непрерывного отображения $\varphi {\kern 1pt} :\;\Sigma \to X$ и любого $r > 0,$ для которых

для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная функция $g{\kern 1pt} :\;\Sigma \to X$ такая, что

Для теоремы об обратной функции условия (2) и (3) принимают более простой вид. Приведем соответствующую терему об обратной функции, которая вытекает из теоремы 2.

Пусть X, Y – банаховы пространства и задано непрерывно дифференцируемое отображение $F{\kern 1pt} :\;X \to Y.$

Теорема 3. Предположим, что производная $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}$ ограничена на любом ограниченном множестве, и отображение F равномерно дифференцируемо, т.е.

Тогда для любой точки ${{x}_{0}} \in X$ и любого R > 0, для которых

для любого ε > 0 существует непрерывная функция $G = {{G}_{{{{x}_{0}},\varepsilon ,R}}}{\text{:}}\,B(F({{x}_{0}}),R) \to X$ такая, что для всех $y \in B(F({{x}_{0}}),R).$

В частности, если имеет место

то существует непрерывная функция $G{\kern 1pt} :\;Y \to X,$ которая удовлетворяет условиям (9), (10) для всех y ∈ Y.

Теорема 3 содержит полулокальное утверждение, так как она, в частности, гарантирует существование непрерывной обратной функции G, определенной на заданном шаре $B(F({{x}_{0}}),R) \subset Y.$ Аналогичное теореме 3 утверждение для гильбертовых пространств можно вывести из теоремы 1.

Из следствия 1 вытекает следующий вариант теоремы 3 об обратной функции, также носящий полулокальный характер.

Следствие 2. Предположим, что отображение F равномерно дифференцируемо и производная $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}$ ограничена на любом ограниченном множестве.

Тогда для любой точки ${{x}_{0}} \in X$ и любого $r > 0,$ для которых

для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная функция $G = {{G}_{{{{x}_{0}},\varepsilon ,r}}}{\text{:}}$ $B\left( {F({{x}_{0}}),\frac{{\gamma r}}{{1 + \varepsilon }}} \right) \to X$ такая, чтопри всех $y \in B\left( {F({{x}_{0}}),\frac{{\gamma r}}{{1 + \varepsilon }}} \right).$

В предположениях теоремы 3 может не существовать обратного к F отображения G, которое является гладким или хотя бы удовлетворяющим условию Липшица в окрестности точки F(x₀), даже если F бесконечно дифференцируемо. Последнее объясняется тем, что, как отмечалось выше, существуют линейные операторы, действующие из одного банахового пространства в другое, не имеющие липшицевого правого обратного отображения. Для некоторых классов банаховых пространств X и Y, включающих в себя класс всех гильбертовых пространств, глобальные теоремы о гладких и локально липшицевых обратных и неявных функциях получены в [11].

Важной особенностью приведенных выше утверждений является полученные априорные оценки (5), (6) и (9) неявных и обратных функций. Эти оценки имеют различные приложения.

Начнем со следующей теоремы о непрерывном продолжении неявной функции.

Теорема 4. Пусть топологическое пространство $\Sigma $ является хаусдорфовым и паракомпактным, отображение f удовлетворяет предположениям (A1)–(A3) и (7).

Тогда для любого замкнутого подмножества $C \subset \Sigma $ и любой непрерывной функции $\varphi {\kern 1pt} :\;C \to X,$ для которой

существует непрерывная функция $g{\text{:}}\,\,\Sigma \to X$ такая, что

Еще одним приложением теоремы 2 является следующая теорема о приближенной неявной функции.

Пусть ε > 0 задано. Непрерывное отображение $\varphi {\kern 1pt} :\;\Sigma \to X$ будем называть $\varepsilon $-неявной функцией, если $\left\| {f(\varphi (\sigma ),\sigma )} \right\| \leqslant \varepsilon $ $\forall \sigma \in \Sigma .$ Иными словами, φ является “неявной функцией с точностью до ε”.

Предложение 1. Пусть отображение f удовлетворяет предположениям (A1)–(A3) и (7). Тогда для любой ε-неявной функции φ существует непрерывная функция $g = {{g}_{\varphi }}{\kern 1pt} :\;\Sigma \to X$ такая, что

Последнее свойство принято называть устойчивостью по Уламу–Хайерсу (см. [12]).

Следующее утверждение является следствием теоремы 3 и представляет собой обобщение теорем Брауэра и Шаудера на задачу о точках совпадения. Напомним, что точкой совпадения двух отображений $F,\Phi {\kern 1pt} :\;X \to Y$ называется точка $\xi \in X$ такая, что $F(\xi ) = \Phi (\xi ).$

Предложение 2. Пусть для отображения $F{\kern 1pt} :\;X \to Y$ выполнены предположения теоремы 3.

Тогда для любой точки ${{x}_{0}} \in X,$ любого $r > 0$ и  любого вполне непрерывного отображения Φ: B(x₀, $r) \to Y,$ для которых

существует точка $\xi \in B({{x}_{0}},r)$ такая, что F(ξ) = = $\Phi (\xi ).$

Очевидно, предположение (12) выполняется при некотором $r > 0$, если отображение Φ: $X \to Y$ ограничено и имеет место (11). Соотношение (11) выполняется, если существует γ > 0, для которого ${\text{cov}}\frac{{\partial F}}{{\partial x}}(x) \geqslant \gamma $ $\forall $$x \in X.$