Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 497, № 1, стр. 3-6

ПОВЫШЕННАЯ СУММИРУЕМОСТЬ ГРАДИЕНТА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЗАРЕМБЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

Ю. А. Алхутов 1*, Г. А. Чечкин 234**

1 Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых
Владимир, Россия

2 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

3 Институт математики с компьютерным центром – подразделение Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
Уфа, Россия

4 Институт математики и математического моделирования
Алматы, Казахстан

* E-mail: yurij-alkhutov@yandex.ru
** E-mail: chechkin@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 18.02.2021
После доработки 18.02.2021
Принята к публикации 24.02.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Получена оценка повышенной суммируемости градиента решения задачи Зарембы в ограниченной области на плоскости с липшицевой границей и быстрой сменой краевых условий Дирихле и Неймана с повышенным показателем суммируемости, не зависящим от частоты смены краевых условий.

Ключевые слова: оценки Мейерса, теоремы вложения, быстро меняющийся тип краевого условия

В настоящей работе обсуждаются интегральные свойства обобщенных решений уравнения Пуассона с быстро чередующимся краевым условием (Дирихле и Неймана). Устанавливается, что в ограниченной области на плоскости с липшицевой границей модуль градиента решения принадлежит пространству ${{L}_{{2 + \delta }}}$ при достаточно малом $\delta > 0$.

Повышенная суммируемость градиента решений дивергентных равномерно эллиптических уравнений с измеримыми коэффициентами на плоскости вытекает из результатов работы [1]. Позже в многомерном случае для уравнений такого же вида повышенная суммируемость градиента решения задачи Дирихле в области с достаточно регулярной границей была установлена в [2]. Отметим еще, что повышенная суммируемость градиента решений задачи Дирихле в области с лишицевой границей для уравнения p-Лапласа с переменным показателем p, обладающим логарифмическим модулем непрерывности, получена в [3].

Установленный в настоящей работе результат позволяет улучшить ранее известные оценки решений задач с быстрой сменой типа краевых условий (см. [46]).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для простоты рассмотрим модельный случай области $D \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$, такой, что $D = \{ (x,y){\kern 1pt} :\;0 < x < 1$, 0 < y < 1}. Отрезок на оси абсцисс [0, 1] разделим на равные чередующиеся отрезки длины ε, которые обозначим через $\Gamma _{1}^{j}$ и $\Gamma _{2}^{j}$ соответственно, где $j = 1, \ldots ,N$, $\varepsilon = \tfrac{1}{N}$ и N – нечетно. Ниже ${{\Gamma }_{1}}$ означает объединение внутренностей отрезков $\Gamma _{1}^{j}$ и полагается ${{\Gamma }_{2}} = \partial D{{\backslash }}{{\Gamma }_{1}}$.

Рассмотрим в области D задачу Зарембы вида

(1)
$\begin{gathered} \Delta u = {\text{div}}\,f\;\;{\text{в}}\;\;D,\quad u = 0\;\;{\text{на}}\;\;{{\Gamma }_{2}}, \\ \frac{{\partial u}}{{\partial n}} = 0\;\;{\text{на}}\;\;{{\Gamma }_{1}}. \\ \end{gathered} $

Стандартным методом с помощью теоремы Рисса о представлении линейного функционала можно показать, что если вектор-функция $f = ({{f}_{1}}$, f2) имеет компоненты из ${{L}_{2}}(D)$, то существует единственное решение задачи (1) из соболевского пространства функций $W_{2}^{1}(D)$, имеющих нулевой след на на Γ2.

ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Имеет место следующая

Теорема. Если $f \in {{L}_{{2 + {{\delta }_{0}}}}}(D)$, где ${{\delta }_{0}} > 0$, то существуют положительные постоянные $\delta < {{\delta }_{0}}$ и C, зависящие только от ${{\delta }_{0}}$, такие, что для решения задачи (1) справедлива оценка

(2)
$\int\limits_D \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{{2 + \delta }}}dx \leqslant C\int\limits_D \,{\text{|}}f{{{\text{|}}}^{{2 + \delta }}}dx.$

Доказательство. Ниже $B_{r}^{{{{x}_{0}}}}$ означает открытый круг радиуса r с центром в точке ${{x}_{0}}$, $\left| {B_{r}^{{{{x}_{0}}}}} \right|$ – мера данного круга и полагается

$ - \int\limits_{B_{r}^{{{{x}_{0}}}}} \,fdx = \frac{1}{{{\text{|}}B_{r}^{{{{x}_{0}}}}{\text{|}}}}\int\limits_{B_{r}^{{{{x}_{0}}}}} \,fdx.$

Продолжим решение u задачи (1) четно относительно оси абсцисс, оставив за продолжением предыдущее обозначение, и положим

$\tilde {D} = \{ (x,y){\kern 1pt} :\;0 < x < 1,\,\, - 1 < y < 1\} {{\backslash }}{{\Gamma }_{2}}.$

Продолженная функция u является решением задачи Дирихле

(3)
$\Delta u = {\text{div}}\,\tilde {f}\;\;{\text{в}}\;\;\tilde {D},\quad u = 0\;\;{\text{на}}\;\;\partial{ \tilde {D}},$
где $\tilde {f} = f$ в $D$ и $\tilde {f}(x,y) = ({{f}_{1}}(x, - y), - {{f}_{2}}(x, - y))$ в $\tilde {D}{{\backslash }}(D \cup {{\Gamma }_{2}})$. Далее полагаем u = 0 и $\tilde {f} = 0$ вне области $\tilde {D}$. Ясно, что продолженная нулем функция u принадлежит соболевскому пространству $W_{2}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$.

Следующий шаг – доказательство обратного неравенства Гёльдера для градиента u решения задачи (3), которое удовлетворяет интегральному тождеству

(4)
$\int\limits_{\widetilde D} \,\nabla u \cdot \nabla \varphi dx = \int\limits_{\widetilde D} \,\widetilde f \cdot \nabla \varphi dx$
на всех пробных функциях $\varphi \in W_{2}^{1}(\tilde {D})$ с нулевым следом на $\partial{ \tilde {D}}$.

Сначала рассмотрим случай, когда $B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}} \subset \tilde {D}$, и выберем в интегральном тождестве (4) пробную функцию $\varphi = (u - \lambda ){{\eta }^{2}}$, где

$\lambda = \int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,udx, - $
а срезающая функция $\eta \in C_{0}^{\infty }(B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}})$ такова, что 0 < < η < 1, $\eta = 1$ в $B_{{\tfrac{R}{2}}}^{{{{x}_{0}}}}$ и ${\text{|}}\nabla \eta {\text{|}} \leqslant \tfrac{3}{R}$. В результате получим

$\begin{gathered} \int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{2}}{{\eta }^{2}}dx = - 2\int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,\eta (u - \lambda )\nabla u \cdot \nabla \eta dx + \\ \, + \int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{{\eta }^{2}}\widetilde f \cdot \nabla udx + 2\int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,\eta (u - \lambda )\widetilde f \cdot \nabla \eta dx. \\ \end{gathered} $

Поскольку $0 \leqslant \eta \leqslant 1$, то в силу неравенства Коши

${\text{|}}\eta (u - \lambda )\nabla u \cdot \nabla \eta {\text{|}} \leqslant \frac{1}{8}{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{2}}{{\eta }^{2}} + 4{{(u - \lambda )}^{2}}{\text{|}}\nabla \eta {{{\text{|}}}^{2}},$
${\text{|}}{{\eta }^{2}}\tilde {f} \cdot \nabla u{\text{|}} \leqslant \frac{1}{8}{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{2}}{{\eta }^{2}} + 4{\text{|}}\tilde {f}{{{\text{|}}}^{2}},$
${\text{|}}\eta (u - \lambda )\tilde {f} \cdot \nabla \eta {\text{|}} \leqslant \frac{1}{8}{\text{|}}\tilde {f}{{{\text{|}}}^{2}} + 4{{(u - \lambda )}^{2}}{\text{|}}\nabla \eta {{{\text{|}}}^{2}}.$

Таким образом,

$\int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{2}}{{\eta }^{2}}dx \leqslant C\left( {\int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{{{(u - \lambda )}}^{2}}{\text{|}}\nabla \eta {{{\text{|}}}^{2}}dx + \int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\tilde {f}{{{\text{|}}}^{2}}dx} \right).$

В итоге, так как $\eta = 1$ в $B_{{R/2}}^{{{{x}_{0}}}}$ и ${\text{|}}\nabla \eta {\text{|}} \leqslant \tfrac{C}{R}$, то

(5)
$\int\limits_{B_{{\tfrac{R}{2}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{2}}dx \leqslant С\left( {\frac{1}{{{{R}^{2}}}}\int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{{{(u - \lambda )}}^{2}}dx + \int\limits_{B_{R}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\tilde {f}{{{\text{|}}}^{2}}dx} \right).$

Далее воспользуемся неравенством Пуанкаре–Соболева (см., например, [7, теорема 5.6])

$ - {{\left( {\int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{{{(u - \lambda )}}^{2}}dx} \right)}^{{1/2}}} \leqslant C(p)R{{\left( {\int\limits_{B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{p}}dx} \right)}^{{1/p}}}, - $
где $p \in [1,2]$. Для определенности считаем $p = \tfrac{3}{2}$ и из (5) вытекает

(6)
$\begin{gathered} - {{\left( {\int\limits_{B_{{\tfrac{R}{2}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{2}}dx} \right)}^{{1/2}}} \leqslant \\ - \, \leqslant C(p)\left( {{{{\left( {\int\limits_{B_{R}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{{\tfrac{3}{2}}}}dx} \right)}}^{{2/3}}} + {{{\left( {\int\limits_{B_{R}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\tilde {f}{{{\text{|}}}^{2}}dx} \right)}}^{{1/2}}}} \right). - \\ \end{gathered} $

Пусть теперь x0 принадлежит замыканию $\tilde {D}$ и $B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}} \cap \partial{ \tilde {D}} \ne \phi $. Выберем в интегральном тождестве (4) пробную функцию $\varphi = u{{\eta }^{2}}$ с такой же срезающей функцией, что и ранее. В результате получаем оценку (5) c λ = 0, в силу которой

(7)
$\int\limits_{B_{{\tfrac{R}{2}}}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{2}}dx \leqslant С\left( {\frac{1}{{{{R}^{2}}}}\int\limits_{B_{R}^{{{{x}_{0}}}}} \,{{u}^{2}}dx + \int\limits_{B_{R}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\tilde {f}{{{\text{|}}}^{2}}dx} \right).$

Сначала рассмотрим случай, когда $B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}} \cap {{\Gamma }_{2}} \ne \phi $. Поскольку функция u продолжена нулем вне области $\tilde {D}$, то отсюда с учетом структуры множества ${{\Gamma }_{2}}$ вытекает, что для линейной меры lR тех точек пересечения $B_{R}^{{{{x}_{0}}}}$ с осью абсцисс, где u = 0, выполнено неравенство ${{l}_{R}} \geqslant CR$ с константой C, не зависящей от ε. Теперь из неравенства теоремы [8, § 10.1] и оценки предложения 4 [8, § 9.1] будем иметь

(8)
$ - {{\left( {\int\limits_{B_{R}^{{{{x}_{0}}}}} \,{{u}^{2}}dx} \right)}^{{1/2}}} \leqslant C(p)R{{\left( {\int\limits_{B_{R}^{{{{x}_{0}}}}} \,{\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{{\tfrac{3}{2}}}}dx} \right)}^{{\tfrac{2}{3}}}}. - $

Осталось предположить, что $B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}} \cap (\partial{ \tilde {D}}{{\backslash }}{{\Gamma }_{2}}) \ne \phi $. Тогда для двумерной меры Лебега LR множества $B_{R}^{{{{x}_{0}}}} \cap ({{R}^{2}}{{\backslash }}\tilde {D})$ справедлива оценка ${{L}_{R}} \geqslant C{{R}^{2}}$. Так как u = 0 вне $\tilde {D}$, то хорошо известно, что неравенство (8) выполнено и в этом случае.

Таким образом, в силу (7) и (8) вновь приходим к (6). Ясно, что оценка (6) выполнена и для кругов с центрами, лежащими вне $\tilde {D}$. Итак, соотношение (6) имеет место для любых кругов. Поскольку ${\text{|}}\,f\,{\text{|}} \in {{L}_{{2 + {{\delta }_{0}}}}}(D)$ и мы пользовались продолжением, сохраняющем норму, то по модифицированной лемме Геринга (см. [9; 10, гл. VII]) получаем искомое неравенство (2). Теорема доказана.

Приведем простое следствие установленного результата, основанного на теореме вложения.

Следствие. Если выполнены условия теоремы, то решение задачи (1) непрерывно по Гёльдеру в замыкании области D с показателем Гёльдера, равным $\delta {\text{/}}(2 + \delta )$, и нормой Гёльдера, зависящей только от постоянной C в оценке (2) и нормы f в ${{L}_{{2 + {{\delta }_{0}}}}}(D)$.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В работе рассмотрена модельная область с периодическим чередованием типа краевых условий. Однако те же результаты могут быть получены и для произвольной плоской ограниченной области D с липшицевой границей. Чередование типа краевых условий может быть как локально периодическим, так и непериодическим, но при этом требуется выполнение следующего условия: если ${{x}_{0}} \in \bar {D}$ и $B_{{\tfrac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}} \cap {{\Gamma }_{2}} \ne \phi $, то для меры lR пересечения $B_{R}^{{{{x}_{0}}}} \cap {{\Gamma }_{2}}$ должна быть выполнена оценка ${{l}_{R}} \geqslant CR$ с константой C, не зависящей от ε.

ИСТОЧНИКИ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Первый автор поддержан грантом РФФИ (проект 19-01-00184), второй автор – грантом РНФ (проект 20-11-20272).

Список литературы

  1. Боярский Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Матем. сб. 1957. Т. 43(85). № 4. С. 451–503.

  2. Meyers N.G. An ${{L}^{p}}$-estimate for the gradient of solutions of second order elliptic deivergence equations // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3-e série. 1963. V. 17. № 3. P. 189–206.

  3. Zhikov V.V. On some Variational Problems // Russian J. of Mathematical physics. 1997. V. 5. № 1. P. 105–116.

  4. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Матем. сб. 1993. Т. 184. № 6. С. 99–150.

  5. Борисов Д.И. Асимптотики и оценки собственных элементов лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий // Известия РАН. Серия матем. 2003. Т. 67. № 6. С. 23–70.

  6. Chechkina A.G., Sadovnichy V.A. Degeneration of Steklov Type Boundary Conditions in One Spectral Homogenization Problem // Eurasian Mathematical J. 2015. V. 6. № 3. P. 13–29.

  7. Назаров А.И., Поборчий С.В. Неравенство Пуанкаре и его приложения. СПб: Изд-во СПбГУ, 2012.

  8. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

  9. Gehring F.W. The Lp-integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta Math. 1973. V. 130. P. 265–277.

  10. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления