Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 497, № 1, стр. 18-22

Теорема о жесткости самоаффинных дуг

А. В. Тетенов 123*, О. А. Челканова 2

1 Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отеделения Российской академии наук
Новосибирск, Россия

2 Горно-Алтайский государственный университет
Горно-Алтайск, Россия

3 Новосибирский государственный университет
Новосибирск, Россия

* E-mail: a.tetenov@g.nsu.ru

Поступила в редакцию 24.12.2020
После доработки 11.01.2021
Принята к публикации 26.01.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Как известно более десятилетия, всякая самоподобная жорданова дуга γ, для которой существуют подобия, сколь угодно близкие к тождественному отображению и сдвигающие эту дугу по самой себе на малое расстояние, является отрезком прямой. В настоящей работе мы распространяем это утверждение на класс самоаффинных дуг и доказываем, что всякая самоаффинная дуга, допускающая сколь угодно малые аффинные сдвиги, является отрезком параболы или прямой.

Ключевые слова: самоаффинная дуга, аттрактор, слабое условие отделимости, теорема жесткости

Вопрос о строении самоподобных кривых играет важную роль во фрактальной геометрии и отражен во многих работах, начиная с ее зарождения. Первыми примерами фрактальных кривых были график функции Вейерштрасса (1861), кривая Коха (1906), треугольник Серпинского (1914). В 1938 г. П. Леви исследовал равносоставленные самоподобные кривые, а в 1958 г. Де Рам описал класс двузвенных самоаффинных кривых.

Важным шагом к пониманию структуры самоподобных кривых было исследование В.В. Асеевым самоподобных ципперов [7] и описание условия жордановости и ограниченности искривления их аттракторов.

В работе [8] была получена теорема жесткости для жордановых самоподобных дуг. Она состоит в том, что если жорданова дуга γ задана системой $\mathcal{S}$ сжимающих подобий в ${{\mathbb{R}}^{2}}$, не удовлетворяющей слабому условию отделимости, то γ является отрезком прямой. Из нее вытекают теорема о конечной представимости самоподобных кривых [9] и теорема о жесткости одномерных самоподобных структур [10].

Эти результаты справедливы для жордановых дуг, порожденных системами сжимающих подобий. Открытым оставался вопрос о распространении этих теорем на класс самоаффинных дуг.

К. Бандтом и А. С. Кравченко [2] было доказано, что всякая самоаффинная кривая класса гладкости ${{C}^{2}}$ является поддугой параболы или отрезком прямой.

Цель настоящей работы – доказать теорему жесткости для самоаффинных дуг, устанавливающую условия, при которых жорданова дуга, порожденная конечной или бесконечной системой сжимающих аффинных отображений, является отрезком параболы или прямой.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Пусть $\gamma \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ – жорданова дуга. γ называется самоподобной (соответственно самоаффинной), если она является аттрактором конечной системы $\mathcal{S} = \{ {{S}_{1}},...,{{S}_{m}}\} $ сжимающих подобий (соответственно, невырожденных аффинных отображений) в ${{\mathbb{R}}^{n}}$.

Дугу $\gamma $ назовем локально самоаффинной, если для любой собственной поддуги $\gamma {\kern 1pt} ' \subset \gamma $ существует невырожденное аффинное отображение $S$, такое что $S(\gamma ) \subset \gamma {\kern 1pt} '$.

Аттрактором системы $\mathcal{S} = \{ {{S}_{1}},...,{{S}_{m}}\} $ сжимающих отображений полного метрического пространства $X$ в себя называется такое непустое компактное множество $K \subset X$, что K = = ${{S}_{1}}(K) \cup ... \cup {{S}_{m}}(K)$.

Существование и единственность аттрактора обеспечивается теоремой Хатчинсона [4].

Для системы $\mathcal{S}$ и ее множества индексов $I = \{ 1$, ..., m} назовем слова ${\mathbf{i}} = {{i}_{1}}...{{i}_{k}} \in {{I}^{k}}$ мультииндексами, а множество всех мультииндексов обозначим через $I{\kern 1pt} * = \bigcup\nolimits_{k = 1}^\infty \,{{I}^{k}}$. Каждый мультииндекс ${\mathbf{i}} = {{i}_{1}}{{i}_{2}}...{{i}_{k}}$ задает отображение ${{S}_{{\mathbf{i}}}} = {{S}_{{{{i}_{1}}}}}{{S}_{{{{i}_{2}}}}}...{{S}_{{{{i}_{k}}}}}$: $X \to X$, а множества ${{K}_{{\mathbf{i}}}} = {{S}_{{\mathbf{i}}}}(K)$ называются копиями ранга k аттрактора K.

Заметим, что всякая самоаффинная дуга является локально самоаффинной; обратное неверно.

При исследовании размерности самоподобных множеств К. Бандт и З. Граф [1] рассматривали отображения соседства $S_{{\mathbf{i}}}^{{ - 1}}{{S}_{{\mathbf{j}}}}$ пар копий ${{K}_{{\mathbf{i}}}}$ и ${{K}_{{\mathbf{j}}}}$. Множество всех отображений соседства $\mathcal{F}(S)$ = = $\{ S_{{\mathbf{i}}}^{{ - 1}}{{S}_{{\mathbf{j}}}},{\mathbf{i}},{\mathbf{j}} \in I{\kern 1pt} *,{{i}_{1}} \ne {{j}_{1}}\} $ называется ассоциированным семейством подобий системы $\mathcal{S}$. Система $\mathcal{S}$ удовлетворяет слабому условию отделимости (WSP) [6], если тождественное отображение Id не является предельной точкой семейства $\mathcal{F}(\mathcal{S})$.

Жордановы дуги ${{\gamma }_{1}}$ и ${{\gamma }_{2}}$ имеют правильное пересечение, если ${{\gamma }_{1}} \cap {{\gamma }_{2}}$ – дуга, один из концов которой является концом дуги ${{\gamma }_{1}}$, а другой – концом ${{\gamma }_{2}}$. Невырожденное аффинное отображение $g(x) = Ax + b$ пространства ${{\mathbb{R}}^{2}}$ мы назовем аффинным сдвигом жордановой дуги γ, если γ и $g(\gamma )$ имеют правильное пересечение, ${\text{||}}A\, - \,E{\text{||}}\, < \,\frac{1}{2}$, а g(x) не имеет неподвижных точек на γ.

Главный результат настоящей работы – это следующая теорема о жесткости самоаффинных дуг.

Теорема 1. Пусть локально самоаффинная жорданова дуга $\gamma \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ удовлетворяет одному из следующих условий:

(i) Существует последовательность аффинных сдвигов fk дуги γ, сходящаяся к тождественному отображению Id;

(ii) $\gamma $ является аттрактором системы $\mathcal{S}\, = \,\{ {{S}_{1}}$, ... ..., Sm} сжимающих аффинных отображений, не удовлетворяющей слабому условию отделимости.

Тогда $\gamma $отрезок параболы или прямой.

Доказательству утверждения теоремы в случае (i) посвящена большая часть сообщения. Основная проблема состоит в том, чтобы показать, что дуга $\gamma $ принадлежит классу ${{C}^{2}}$. Для этого в разделе 2 мы доказываем, что каждый аффинный сдвиг f дуги a можно вложить в однопараметрическую подгруппу ${{G}_{f}} = \{ {{f}^{t}},t \in \mathbb{R}\} $ группы аффинных отображений ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Мы отмечаем, что орбиты точек $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ относительно группы G являются кривыми класса гладкости ${{C}^{\infty }}$. Это позволяет получить в разделе 3 последовательность поддуг ${{\Lambda }_{k}}$ класса ${{C}^{\infty }}$, равномерно сходящуюся к некоторой поддуге $\gamma {\kern 1pt} ' \subset \gamma $, и тем доказать требуемую гладкость γ. В случае (ii) требуется только доказать выполнение условия (i).

2. АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И АССОЦИИРОВАННЫЕ С НИМИ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

В этом разделе мы сопоставляем каждому аффинному сдвигу  f однопараметрическую подгруппу ${{G}_{f}} = \{ {{f}^{t}}\} $ и показываем, что траектории {  f  t(x), $t \in \mathbb{R}\} $ для почти всех точек $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ – кривые класса ${{C}^{\infty }}$.

Зададим окрестность $\mathcal{U}$ тождественного отображения Id в группе невырожденных аффинных отображений $GA({{\mathbb{R}}^{2}})$ равенством

$\begin{gathered} \mathcal{U} = \left\{ {f(x) = Ax + b,A \in GL(2,R){{,}_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}} \right. \\ \left. {{\text{||}}A - E{\text{||}} < \frac{1}{2},b \in {{\mathbb{R}}^{2}},{\text{||}}b{\text{||}} < 1} \right\}. \\ \end{gathered} $

Пусть $A({{\mathbb{R}}^{2}})$ – пространство всех аффинных отображений плоскости $g(y) = Ly + \beta $, где $L \in L(2,\mathbb{R})$, $\beta \in {{\mathbb{R}}^{2}}$.

Лемма 1. Существует гомеоморфизм $\Psi $ окрестности $\mathcal{U}$ тождественного отображения в $GA({{\mathbb{R}}^{2}})$ на окрестность $\mathcal{V}$ нулевого отображения в $A({{\mathbb{R}}^{2}})$ такой, что для любого $f \in \mathcal{U}$ отображение g = $\Psi (f)$ удовлетворяет условию:

для любого $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ решение $y = {{f}^{t}}(x)$ задачи Коши $\{ \dot {y} = g(y),y(0) = x\} $ при $t = 1$ равно f(x).

Иными словами, отображение $g(y) = Ly + \beta $ таково, что для любого $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ значение f(x) совпадает со значением оператора эволюции

(1)
${{f}^{t}}(x) = {{e}^{{tL}}}x + {{e}^{{tL}}}\int\limits_0^t \,{{e}^{{ - sL}}}ds \cdot \beta $
аффинной системы
(2)
$\dot {y} = Ly + \beta $
при t = 1. Таким образом, мы вкладываем $f(x)$ в однопараметрическую группу невырожденных аффинных отображений $\{ {{f}^{t}}(x),t \in \mathbb{R}\} $, задаваемую уравнением (2).

Следуя [3, 5], в качестве L мы берем главное значение lnA матричного логарифма A, задаваемое рядом $L = \sum\limits_{n = 1}^\infty \,{{( - 1)}^{{n + 1}}}\tfrac{{{{{(A - E)}}^{n}}}}{n}$, а вектор β находим из равенства $b = {{e}^{L}}\int\limits_0^1 \,{{e}^{{ - sL}}}ds \cdot \beta $. Интегрирование дает, что $({{e}^{L}} - E)\beta = Lb$ или, в других обозначениях, $(A - E)\beta = lnA \cdot b$.

Поэтому $b\, = \,\sum\limits_{n = 0}^\infty \tfrac{{{{L}^{n}}}}{{(n\, + \,1)!}}\beta $ и β = $\sum\limits_{n = 0}^\infty \,{{( - 1)}^{n}}\tfrac{{{{{(A\, - \,E)}}^{n}}}}{{n + 1}}b$.

Таким образом, отображения Ψ и Ψ–1 задаются равенствами

(3)
$\begin{gathered} g(y) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \,{{( - 1)}^{{n + 1}}}\frac{{{{{(A - E)}}^{n}}}}{n} \cdot y + \\ \, + \sum\limits_{n = 0}^\infty \,{{( - 1)}^{n}}\frac{{{{{(A - E)}}^{n}}}}{{n + 1}}b, \\ \end{gathered} $
(4)
$f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \,\frac{{{{L}^{n}}}}{{n!}}x + \sum\limits_{n = 0}^\infty \,\frac{{{{L}^{n}}}}{{(n + 1)!}}\beta .$

Заметим, что при $f\, \in \,\mathcal{U}$, ${\text{||}}E\, - \,A{\text{||}}\, < \,\frac{1}{2}$, а ${\text{||}}L{\text{||}}\, < \,{\text{ln}}2$ < < 0.7. Это обеспечивает равномерную сходимость рядов в выражениях (3) и (4) и показывает, что Ψ гомеоморфно отображает множество U на некоторую окрестность $\mathcal{V} = \Psi (U)$ нуля в $A({{\mathbb{R}}^{2}})$.

Лемма 2. Интегральные кривые Lf(x) = = $\{ {{f}^{t}}(x);t \in \mathbb{R}\} $ системы (2) принадлежат классу гладкости ${{C}^{\infty }}$.

Напомним, как задаются эти кривые в зависимости от выбора $g \in V$. Как известно, здесь возможны три случая:

1. Оба собственных значения ${{\lambda }_{1}},\;{{\lambda }_{2}}$ матрицы $L$ отличны от 0. Тогда собственные значения ${{e}^{{{{\lambda }_{1}}}}},\;{{e}^{{{{\lambda }_{2}}}}}$ матрицы A не равны 1. В этом случае уравнение (2) имеет единственную стационарную точку x0 = = $ - {{L}^{{ - 1}}}\beta = {{(I - A)}^{{ - 1}}}b$, а

(5)
${{f}^{t}}(x) = {{e}^{{Lt}}}(x - {{x}_{0}}) + {{x}_{0}}.$

2. Матрица L вырождена и ее собственные значения равны $\lambda \ne 0$ и 0. Если соответствующие собственные векторы ${{e}_{1}},\;{{e}_{2}}$, а векторы b и x соответственно равны ${{b}_{1}}{{e}_{1}} + {{b}_{2}}{{e}_{2}}$ и ${{x}_{1}}{{e}_{1}} + {{x}_{2}}{{e}_{2}}$, то

(6)
${{f}^{t}}(x) = \left( {{{x}_{1}}{{e}^{{\lambda t}}} + {{b}_{1}}\frac{{{{e}^{{\lambda t}}} - 1}}{{{{e}^{\lambda }} - 1}}} \right){{e}_{1}} + ({{x}_{2}} + {{b}_{2}}t){{e}_{2}}.$

3. Если ${{\lambda }_{1}} = {{\lambda }_{2}} = 0$, а $L \ne 0$, то матрица L подобна жордановой клетке с нулями на диагонали.

Пусть $({{e}_{1}},{{e}_{2}})$ – базис, в котором матрица L имеет вид $L = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ 0&0 \end{array}} \right)$, и пусть $\beta = u{{e}_{1}} + v{{e}_{2}}$ и $b = {{b}_{1}}{{e}_{1}} + {{b}_{2}}{{e}_{2}}$. Тогда

(7)
$\begin{gathered} {{f}^{t}}(x) = \left( {\frac{{{{b}_{2}}}}{2}{{t}^{2}} + \left( {{{x}_{2}} + {{b}_{1}} - \frac{{{{b}_{2}}}}{2}} \right)t + {{x}_{1}}} \right){{e}_{1}} + \\ \, + ({{b}_{2}}t + {{x}_{2}}){{e}_{2}}. \\ \end{gathered} $

В случаях 2 и 3 система (2) либо не имеет стационарных точек, либо, если ${{b}_{2}} = 0$, имеет неподвижную прямую $\{ x = \tau {{e}_{1}} + {{x}_{2}}{{e}_{2}};\tau \in \mathbb{R}\} $, параллельную вектору e1.

В каждом из этих случаев если $x$ не является точкой покоя системы (2), то кривая ${{L}_{f}}(x)$ принадлежит классу гладкости ${{C}^{\infty }}$.

3. АППРОКСИМАЦИЯ ДУГИ $\gamma $ ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ

Пусть ${{f}_{k}}$ – последовательность аффинных сдвигов жордановой дуги $\gamma $, сходящаяся к Id. Пусть ${{a}_{0}},{{a}_{1}}$ – концы дуги $\gamma $. Не ограничивая общности, мы можем предполагать, что дуга $\gamma $ содержится в круге $D = \{ {{x}^{2}} + {{y}^{2}} \leqslant 1\} $ и что ${{f}_{k}}({{a}_{0}}) \in \gamma $ для любого ${{f}_{k}}$.

Лемма 3. Для любого $x \in \gamma $ можно выбрать такие ${{n}_{k}},{{N}_{k}}$, что последовательность множеств

(8)
$P(k,x) = \{ f_{k}^{n}(x), - {{n}_{k}} \leqslant n \leqslant {{N}_{k}} - {{n}_{k}}\} $
сходится к $\gamma $ в метрике Хаусдорфа ${{d}_{H}}$.

Наметим идею доказательства леммы 3.

В силу компактности дуги $\gamma $ для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta $, что если ${{x}_{1}},{{x}_{2}} \in \gamma $ и $d({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ < δ, то диаметр поддуги ${{\gamma }_{{{{x}_{1}},{{x}_{2}}}}}$ меньше ε. Пусть σk, 0 = = $\gamma {{\backslash }}{{f}_{k}}(\gamma )$. Для всякого $k \in \mathbb{N}$ существует такое число Nk, что множество точек $\{ f_{k}^{n}({{a}_{0}}),0 \leqslant n \leqslant {{N}_{k}}\} $ разбивает дугу γ на непересекающиеся поддуги ${{\sigma }_{{k,n}}} = f_{k}^{n}({{\sigma }_{{k,0}}})$ с концами $(f_{k}^{n}({{a}_{0}}),f_{k}^{{n + 1}}({{a}_{0}}))$ при $0 \leqslant n \leqslant {{N}_{k}} - 1$ и поддугу ${{\sigma }_{{k,{{N}_{k}}}}} = f_{k}^{{{{N}_{k}}}}({{\sigma }_{{k,0}}}) \cap \gamma $ с концами $(f_{k}^{{{{N}_{k}}}}({{a}_{0}}),{{a}_{1}})$.

Существует такое N, что при $k > N$ и $y \in \gamma $, ${\text{||}}\,{{f}_{k}}(y) - y{\text{||}} < \delta $. Тогда диаметры поддуг ${{\sigma }_{{k,n}}}$ меньше  ε. Пусть nk – такой номер, что точка $x \in f_{k}^{{{{n}_{k}}}}({{\sigma }_{{k,0}}})$. Тогда множество $P(k,x)$ содержит точки каждой из поддуг ${{\sigma }_{{k,n}}}$, поэтому ${{d}_{H}}(P(k,x),\gamma )$ < ε.

Это показывает справедливость утверждения леммы 3.

Покажем теперь, что дуга $\gamma $ принадлежит классу гладкости ${{C}^{2}}$.

Пусть ${{\Lambda }_{k}}(x)\, = \,\{ f_{k}^{t}(x), - {{n}_{k}}\, \leqslant \,t\, \leqslant \,{{N}_{k}}\, - \,{{n}_{k}}\} $ – поддуга интегральной кривой ${{L}_{{{{f}_{k}}}}}(x)$. Так как ${{\Lambda }_{k}}(x)\, \supset \,P(k,x)$, дуга γ содержится в верхнем топологическом пределе $\overline {\mathop {{\text{lim}}}\limits_{n \to \infty } } \,{{\Lambda }_{k}}(x)$ последовательности множеств ${{\Lambda }_{k}}(x)$.

Множества ${{\Lambda }_{k}}$ являются отрезками интегральных кривых линейных динамических систем $\dot {y}$ = Lky + βk.

Так как ${{f}_{k}} \to {\text{Id}}$, последовательность gk = $\Psi ({{f}_{k}})$ сходится к 0. Воспользуемся тем, что кривые ${{\Lambda }_{k}}$ являются отрезками интегральных кривых уравнений $\dot {y} = \theta {{g}_{k}}(y)$ при любом выборе $\theta > 0$ и, выбрав подходящие множители ${{\theta }_{k}}$, построим последовательность ${{\theta }_{k}}{{g}_{k}}$, отделенную от 0.

Для этого возьмем ${{\theta }_{k}} = 1{\text{/}}\max \{ {\text{||}}{{g}_{k}}(y){\text{||}},y \in D\} $. Положив $\mathop {\hat {g}}\nolimits_k = {{\theta }_{k}}{{g}_{k}}$, мы получим последовательность линейных динамических систем в D, интегральные кривые которых совпадают с интегральными кривыми систем $\dot {y} = {{g}_{k}}(y)$. При этом $\max \{ {\text{||}}{{\hat {g}}_{k}}(y){\text{||}},y \in D\} $ равен единице и, в силу выпуклости функции ${\text{||}}{{\hat {g}}_{k}}(y){\text{||}}$, достигается на границе $D$.

В силу теоремы Арцела, из последовательности ${{\hat {g}}_{k}}$ можно выделить подпоследовательность, которая равномерно сходится к некоторой аффинной функции g0, которая отлична от нуля, поскольку $max{\text{||}}{{g}_{0}}(x){\text{||}}$ на D также равен 1.

Если $\gamma \cap D$ не является отрезком прямой, то найдется такая точка $\xi \in \gamma $, что ${{g}_{0}}(\xi ) = a \ne 0$. Найдем такое N и такую окрестность $V(\xi )$, что при $x \in V$ и $n \geqslant N$, ${\text{||}}{{\hat {g}}_{n}}(x) - a{\text{||}} < {\text{||}}a{\text{/}}2{\text{||}}$. Тогда существует такое $T > 0$, что для любого $n > N$ и для любой точки в $x \in V$ время выхода этой точки за пределы V по траектории ${{\Lambda }_{n}}$ не превосходит T.

При этом в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от правых частей решения уравнений $\dot {x}(t) = {{\hat {g}}_{n}}(x)$, $x(0) = \xi $ равномерно сходятся вместе со всеми производными к решению уравнения $\dot {x}(t) = {{g}_{0}}(x)$, $x(0) = \xi $, а интегральные кривые ${{L}_{{{{n}_{k}}}}}$ сходятся к интегральной кривой ${{L}_{0}}$ уравнения $\dot {x}(t) = {{g}_{0}}(x)$.

Так как для любой точки $x \in \gamma \cap V$, ${{g}_{0}}(x) \ne 0$, эта кривая принадлежит классу ${{C}^{\infty }}$, но тогда и $\gamma \in {{C}^{\infty }}$.

Поскольку, согласно теореме К. Бандта и А.С. Кравченко [2], всякая самоаффинная дуга класса гладкости C2 является отрезком параболы, таковой является и дуга $\gamma $. Это завершает доказательство теоремы в случае (i).

Чтобы получить доказательство утверждения (ii) теоремы 1, мы опираемся на следующие рассуждения:

1. Пусть $\gamma $ – самоаффинная жорданова дуга $\gamma $, $\mathcal{S} = \{ {{S}_{1}},...,{{S}_{m}}\} $ – порождающая ее система, а отображение f принадлежит ассоциированному семейству $\mathcal{F}(\mathcal{S})$. Тогда либо $f(\gamma ) \cap \gamma $ – поддуга в $f(\gamma )$ и $\gamma $, либо $f(\gamma ) \cap \gamma = \emptyset $.

2. Из условий теоремы следует, что существует последовательность ${{f}_{n}} \in \mathcal{F}(\mathcal{S})$, сходящаяся к Id такая, что последовательность поддуг ${{f}_{n}}(\gamma ) \cap \gamma $ сходится к γ. Тогда существует последовательность аффинных сдвигов ${{\hat {f}}_{n}} \in \mathcal{F}(\mathcal{S})$ дуги γ, сходящаяся к Id. Поэтому γ – отрезок параболы.

Список литературы

  1. Bandt Ch., Graf S. Self-similar sets 7. A characterization of self-similar fractals with positive Hausdorff measure // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V. 114. № 4. P. 995–1001.

  2. Bandt C., Kravchenko A.S. Differentiability of fractal curves // Nonlinearity. 2011. V. 24. P. 2717.

  3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 5-е изд. М.: Физматлит, 2004. 560 с. ISBN 5-9221-0524-8.

  4. Hutchinson J. Fractals and self-similarity // Indiana Univ. Math. J. 1981. V. 30. № 5. P. 713–747.

  5. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

  6. Zerner M.P.W. Weak separation properties for self-similar sets // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V. 124. № 11. P. 3529–3539.

  7. Асеев В.В., Тетенов А.В., Кравченко А.С. О самоподобных жордановых кривых на плоскости // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44. № 3. С. 481–492.

  8. Асеев В.В., Тетенов А.В. О жордановых самоподобных дугах, допускающих структурную параметризацию // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46. № 4. С. 733–748.

  9. Тетенов А.В. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентированные системы подобий // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47. № 5. С. 1147–1153.

  10. Tetenov A.V. On the rigidity of one-dimensional systems of contraction similitudes // Siberian Electr. Math. Rep. 2006. V. 3. P. 342–345.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления