Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 498, № 1, стр. 5-9

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНТЕЗИРУЕМЫХ ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОСТРАНСТВЕ ШВАРЦА

Н. Ф. Абузярова 1*

1 Башкирский государственный университет
Уфа, Россия

* E-mail: abnatf@gmail.com

Поступила в редакцию 16.12.2020
После доработки 27.04.2021
Принята к публикации 28.04.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается инвариантное относительно оператора дифференцирования подпространство W в пространстве Шварца ${{C}^{\infty }}(a;b)$, допускающее слабый спектральный синтез. Нами получены условия, при которых W представляется в виде прямой (алгебраической и топологической) суммы своего резидуального подпространства и замкнутого подпространства, порожденного содержащимися в W экспоненциальными одночленами.

Ключевые слова: спектральный синтез, инвариантные подпространства, медленно убывающая функция, плотность Берлинга–Мальявена

1. Пусть $\mathcal{E}(a;b): = {{C}^{\infty }}(a;b)$ – пространство Шварца, наделенное метризуемой топологией проективного предела банаховых пространств Ck[ak; ${{b}_{k}}],$ где $[{{a}_{1}};{{b}_{1}}] \Subset [{{a}_{2}};{{b}_{2}}] \Subset \ldots $ – последовательность отрезков, исчерпывающая конечный или бесконечный интервал $(a;b)$ вещественной прямой. Известно, что $\mathcal{E}(a;b)$ – пространство Фреше.

Обозначим через W замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования D = = $\tfrac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}$ (короче, D-инвариантное) подпространство пространства $\mathcal{E}(a;b).$ Резидуальный промежуток ${{I}_{W}}$ подпространства W определяется как минимальный из всех относительно замкнутых в $(a;b)$ непустых промежутков $I$ со свойством ${{W}_{I}} \subset W,$ где

(1)
${{W}_{I}} = \{ f \in \mathcal{E}{\kern 1pt} :\;{{f}^{{(k)}}}(t) = 0,\;t \in I,\;k = 0,1,2, \ldots \} .$

Существование ${{I}_{W}}$ впервые было установлено в [1, теорема 4.1]; этот факт также нетрудно вывести из общей двойственной схемы, примененной нами при исследовании задачи спектрального синтеза для оператора $D$ в $\mathcal{E}(a;b)$ [2].

Пусть $\Lambda $ – последовательность кратных точек комплексной плоскости с единственной предельной точкой в бесконечности и $\mathcal{E}xp(\Lambda )$ – последовательность экспоненциальных одночленов, построенная по множеству показателей $( - i\Lambda )$ (точке $\lambda \in \Lambda $, которая встречается в этой последовательности k раз, соответствует набор функций ${{e}^{{ - {\text{i}}\lambda t}}},$ $t{{e}^{{ - {\text{i}}\lambda t}}},$ …, ${{t}^{{k - 1}}}{{e}^{{ - {\text{i}}\lambda t}}}$). Обозначим символом ${{D}_{{BM}}}(\Lambda )$ плотность Берлинга–Мальявена последовательности $\Lambda $ (см., например, [3, IX.D.2]). Согласно хорошо известной теореме Берлинга–Мальявена о радиусе полноты ([3, X.B.3]), если ${{D}_{{BM}}}(\Lambda ) < \tfrac{{b - a}}{{2\pi }}$, то в $\mathcal{E}(a;b)$ имеются нетривиальные D-инвариантные подпространства W, для которых спектр сужения оператора дифференцирования $D:W \to W$ дискретен и равен $( - i\Lambda )$, а запас всех экспоненциальных одночленов, содержащихся в $W$, есть, соответственно, $\mathcal{E}xp(\Lambda )$. При этом $\left| {{{I}_{W}}} \right| \geqslant 2\pi {{D}_{{BM}}}(\Lambda ),$ где $\left| {{{I}_{W}}} \right|$ – длина резидуального промежутка ${{I}_{W}}.$

Задача спектрального синтеза для оператора дифференцирования D в пространстве $\mathcal{E}(a;b)$ (см. [1]): выяснить, допускает ли заданное нетривиальное $D$-инвариантное подпространство W с дискретным спектром $( - i\Lambda )$ представление

(2)
$W = \overline {{\text{span}}\mathcal{E}xp(\Lambda ) + {{W}_{{{{I}_{W}}}}}} \,?$

Это представление обобщает возможность спектрального синтеза в классическом смысле: W = = $\overline {{\text{span}}\mathcal{E}xp(\Lambda )} $. Оно было предложено авторами работы [1] из-за наличия в пространстве $\mathcal{E}(a;b)$ нетривиальных D-инвариантных подпространств вида (1), спектр которых пуст.

Исследования возможности спектрального синтеза в слабом смысле (2) привели к следующим результатам.

Теорема A [2, следствие 2, замечание 3; 4, теоремы 1.1, 1.2]. Пусть $W$$D$-инвариантное подпространство с дискретным спектром $( - i\Lambda )$ и резидуальным промежутком ${{I}_{W}}.$

1) Если $|{{I}_{W}}| > 2\pi {{D}_{{BM}}}(\Lambda )$, то $W$ допускает слабый спектральный синтез, т.е. имеет вид (2).

2) Если $\left| {{{I}_{W}}} \right| < 2\pi {{D}_{{BM}}}(\Lambda )$, то $W = \mathcal{E}(a;b)$.

3) Среди $D$-инвариантных подпространств с дискретным спектром $( - i\Lambda )$ и резидуальным промежутком ${{I}_{W}}$ длины $2\pi {{D}_{{BM}}}(\Lambda )$ имеются как подпространства, допускающие слабый спектральный синтез (2), так и подпространства, не допускающие представления (2).

Из теоремы A следует, что D-инвариантное подпространство W с конечным спектром допускает слабый спектральный синтез (2), более того, в этом случае W есть прямая сумма (алгебраическая и топологическая) замкнутых подпространств ${\text{span}}\mathcal{E}xp(\Lambda )$ и ${{W}_{{{{I}_{W}}}}}$:

(3)
$W = {\text{span}}\mathcal{E}xp(\Lambda ) \oplus {{W}_{{{{I}_{W}}}}}$
(см. [1, предложение 6.1]).

В настоящей работе мы изучаем условия, при которых представление в виде прямой суммы (алгебраической и топологической):

(4)
$W = \overline {{\text{span}}\mathcal{E}xp(\Lambda )} \oplus {{W}_{{{{I}_{W}}}}}?$
справедливо для D-инвариантного подпространства вида (2) с бесконечным спектром.

2. Алгебра Шварца $\mathcal{P}$ определяется как образ сильного сопряженного $\mathcal{E}{\kern 1pt} '$ к пространству $\mathcal{E}\, = \,{{C}^{\infty }}(\mathbb{R})$ при преобразовании Фурье–Лапласа

$\mathcal{P} = \mathcal{F}(\mathcal{E}{\kern 1pt} '),\quad \mathcal{F}(S) = S({{e}^{{ - {\text{i}}tz}}}),\quad S \in \mathcal{E}{\kern 1pt} '.$

С топологией и линейной структурой, индуцированными из $\mathcal{E}{\kern 1pt} '$, алгебра $\mathcal{P}$ может быть внутренне описана как индуктивный предел последовательности банаховых пространств $\{ {{P}_{k}}\} $, где каждое пространство ${{P}_{k}}$ есть совокупность всех целых функций $\varphi $, для которых конечна норма

${{\left\| \varphi \right\|}_{k}} = \mathop {sup}\limits_{z \in \mathbb{C}} \frac{{\left| {\varphi (z)} \right|}}{{{{{(1 + \left| z \right|)}}^{k}}{{e}^{{k|{\text{Im}}z|}}}}}.$

Функция $\psi \in \mathcal{P}$ называется медленно убывающей (slowly decreasing function), если существует a > 0, такое, что

(5)
$\begin{gathered} \forall x \in \mathbb{R}\,\,\,\exists x{\kern 1pt} ' \in \mathbb{R}{\text{:}}\,\,\,\left| {x - x{\kern 1pt} '} \right| \leqslant a{\text{ln}}(2 + \left| x \right|), \\ \left| {\psi (x{\kern 1pt} ')} \right| \geqslant {{(a + \left| {x{\kern 1pt} '} \right|)}^{{ - a}}}. \\ \end{gathered} $

Медленное убывание $\psi \in \mathcal{P}$ равносильно тому, что главный идеал, алгебраически порожденный этой функцией в $\mathcal{P}$, замкнут (см. [5, 6]).

Пусть, как и выше, $\Lambda = \{ {{\lambda }_{j}}\} $ – комплексная последовательность с единственной предельной точкой в бесконечности, причем ${{D}_{{BM}}}(\Lambda ) < + \infty $. Это условие, согласно цитированной в предыдущем пункте теореме о радиусе полноты, эквивалентно существованию в алгебре $\mathcal{P}$ ненулевой функции $\varphi $, обращающейся в нуль на Λ. Для последовательности $\Lambda $ введем новую характеристику ${{D}_{{sd}}}(\Lambda )$.

Полагаем ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) = + \infty ,$ если $\Lambda $ не является нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции $\varphi \in \mathcal{P}$. В противном случае, ${{D}_{{sd}}}(\Lambda )$ определяется как инфимум множества всех положительных чисел a, таких, что в алгебре $\mathcal{P}$ имеется медленно убывающая функция $\varphi $ экспоненциального типа $\pi a$, равная нулю на $\Lambda .$

Из самого определения величины ${{D}_{{sd}}}(\Lambda )$ следует, что всегда ${{D}_{{BM}}}(\Lambda ) \leqslant {{D}_{{sd}}}(\Lambda ).$ При этом неравенство может быть и строгим. Более того, возможна ситуация, когда для последовательности $\Lambda $ выполнены соотношения ${{D}_{{BM}}}(\Lambda ) = 0$ и ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) = + \infty .$ Рассмотрим соответствующий

Пример. Определим последовательность $\Lambda $, состоящую из точек j2, $j = 2,3$, ..., каждая из которых повторяется в последовательности $[\mathop {\ln }\nolimits^{3/2} j]$ раз. Из леммы 2 работы [7], с учетом замечания 1 и леммы 1 этой же работы, нетрудно вывести, что ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) = + \infty .$ С другой стороны, для любого $\varepsilon > 0$ найдется измеримая последовательность $\Lambda {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$, такая, что $\Lambda \subset \Lambda {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ и ${{D}_{{BM}}}(\Lambda {\kern 1pt} '') = 2\varepsilon .$ А именно, положим $\Lambda {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = \Lambda \cup \Lambda {\kern 1pt} '$, где $\Lambda {\kern 1pt} ' = \{ n{{\varepsilon }^{{ - 1}}}\} $, $n \in \mathbb{Z}$.

Отметим, что характеристика ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ),$ по-видимому, является новой. Было бы интересно и полезно получить ее описание в каких-либо “геометрических” терминах.

Нами установлено, что в вопросе о представлении $D$-инвариантного подпространства, определяемого формулой (2), в виде прямой суммы (4), величина ${{D}_{{sd}}}(\Lambda )$ играет ту же роль, что и плотность Берлинга–Мальявена в теореме A. Ниже сформулированы соответствующие утверждения (теоремы 1, 2, 3).

Рассмотрим $D$-инвариантное подпространство W вида (2) с дискретным спектром $( - i\Lambda )$ и резидуальным промежутком ${{I}_{W}}.$

Теорема 1. Предположим, что ${{I}_{W}} \Subset (a;b)$.

Тогда

а) если $\left| {{{I}_{W}}} \right| > 2\pi {{D}_{{sd}}}(\Lambda )$ и справедливы соотношения

(6)
$\mathop {\overline {\lim } }\limits_{j \to \infty } \frac{{\operatorname{Im} {{\lambda }_{j}}}}{{\ln \left| {{{\lambda }_{j}}} \right|}} < + \infty ,\quad \mathop {\overline {\lim } }\limits_{j \to \infty } \frac{{\operatorname{Im} {{\lambda }_{j}}}}{{\ln \left| {{{\lambda }_{j}}} \right|}} > - \infty ,$
то $W$ представляется в виде (4);

б) если $\left| {{{I}_{W}}} \right| < 2\pi {{D}_{{sd}}}(\Lambda )$, то представление (4) не имеет меcта; иными словами, включение $(\overline {{\text{span}}\,{\text{Exp}}(\Lambda )} \, \oplus \,{{W}_{{{{I}_{W}}}}})$Wсобственное.

Обратно, если $W$ представляется в виде (4), то $\left| {{{I}_{W}}} \right| \geqslant 2\pi {{D}_{{sd}}}(\Lambda )$ и справедливы оба соотношения (6).

Теорема 2. Предположим, что $b - a < + \infty $ и включение ${{I}_{W}} \subset (a;b)$ не компактно.

Тогда справедливы оба прямых утверждения, а) и б) теоремы 1.

Обратно, верна импликация: если $W$ представляется в виде (4) и $b \in \overline {{{I}_{W}}} $ (или $a \in \overline {{{I}_{W}}} $), то |IW| ≥ ≥ $2\pi {{D}_{{sd}}}(\Lambda )$ и справедливо первое (или, соответственно, второе) из соотношений (6).

Теорема 3. Предположим, что ${{I}_{W}} = ( - \infty ;d]$ (либо ${{I}_{W}} = [c; + \infty )$).

Представление (4) для подпространства $W$ имеет место тогда и только тогда, когда ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) < + \infty $ и выполнено первое (соответственно, второе) из соотношений (6).

3. Для дальнейшего изложения нам понадобится пространство Шварца $\mathcal{E}(I)$, где I – произвольный промежуток. Пространство $\mathcal{E}(I)$ состоит из всех бесконечно дифференцируемых на I функций и снабжено метризуемой топологией проективного предела банаховых пространств, аналогично случаю, когда $I = (a;b).$ Например, если $I = [c;d],$ то $\mathcal{E}(I)$ – проективный предел банаховых пространств ${{C}^{k}}[c;d]$; если $I = [c;d),$ $d < + \infty $, то $\mathcal{E}(I)$ – проективный предел банаховых пространств ${{C}^{k}}[c;d - {{k}^{{( - 1)}}}].$

Пространство $\mathcal{E}(I)$ – полное и метризуемое, т.е. пространство Фреше. Сильное сопряженное пространство $\mathcal{E}{\kern 1pt} '(I)$ состоит из всех распределений $S \in \mathcal{E}{\kern 1pt} '$, носители которых содержатся в I.

Рассмотрим последовательность $\Lambda \subset \mathbb{C}$ такую, что соответствующая система экспоненциальных одночленов $\mathcal{E}xp(\Lambda )$ не полна в $\mathcal{E}(I).$ Обозначим замыкание множества ${\text{span}}\mathcal{E}xp(\Lambda )$ в пространстве $\mathcal{E}(I)$ символом $E(\Lambda ,I).$ С топологией, индуцированной из $\mathcal{E}(I)$, подпространство $E(\Lambda ,I)$ само становится пространством Фреше.

Пусть WD-инвариантное подпространство в $\mathcal{E}(a;b)$ со спектром $( - i\Lambda )$ и резидуальным промежутком ${{I}_{W}}$; и пусть $U{\kern 1pt} :\;E(\Lambda ,(a;b)) \to E(\Lambda ,{{I}_{W}})$ – оператор сужения, ставящий в соответствие каждой функции $f \in E(\Lambda ,(a;b))$ ее сужение на промежуток ${{I}_{W}}.$

Предложение 1. Для того чтобы D-инвариантное подпространство W, определенное соотношением (2), представлялось в виде прямой суммы (4), необходимо и достаточно, чтобы оператор сужения U был линейным топологическим изоморфизмом.

Согласно теореме Пэли–Винера–Шварца [8, теорема 7.3.1], образ $\mathcal{F}(\mathcal{E}{\kern 1pt} '(I))$ сильного сопряженного пространства $\mathcal{E}(I)$ при преобразовании Фурье–Лапласа $\mathcal{F}$ есть пространство целых функций экспоненциального типа $\mathcal{P}(I)$, определяемое как индуктивный предел последовательности банаховых пространств ${{\tilde {P}}_{k}}$. В случае, когда $I = [c;d],$ пространство ${{\tilde {P}}_{k}}$ состоит из всех целых функций $\varphi $, для которых конечна норма

$\begin{gathered} {{\left\| \varphi \right\|}_{{I,k}}} = \mathop {sup}\limits_{z \in \mathbb{C}} \frac{{\left| {\varphi (z)} \right|}}{{{{{(1 + \left| z \right|)}}^{k}}exp(d{{y}^{ + }} - c{{y}^{ - }})}}, \\ {{y}^{ \pm }} = max\{ 0, \pm y\} ,\quad z = x + {\text{i}}y. \\ \end{gathered} $

Если же, скажем, $I = [c;b)$, то

$\begin{gathered} {{\left\| \varphi \right\|}_{{I,k}}} = \mathop {sup}\limits_{z \in \mathbb{C}} \frac{{\left| {\varphi (z)} \right|}}{{{{{(1 + \left| z \right|)}}^{k}}exp({{d}_{k}}{{y}^{ + }} - c{{y}^{ - }})}}, \\ {{y}^{ \pm }} = max\{ 0, \pm y\} ,\quad z = x + {\text{i}}y, \\ \end{gathered} $
где $c < {{d}_{1}} < \cdots < {{d}_{k}} < \cdots < b$, $\mathop {lim}\limits_{k \to \infty } {{d}_{k}} = b$. Для промежутков I другого вида все определения даются с очевидными изменениями.

Вложения ${{\tilde {P}}_{k}} \subset {{\tilde {P}}_{{k + 1}}}$ вполне непрерывны, поэтому $\mathcal{P}(I)$, как и алгебра Шварца $\mathcal{P}$, есть локально-выпуклое пространство типа $(LN{\kern 1pt} *)$. Кроме того, $\mathcal{P}(I)$ – топологический модуль над кольцом многочленов $\mathbb{C}[z]$.

Пусть промежутки I и $I{\kern 1pt} '$ не пусты и удовлетворяют условиям: $I{\kern 1pt} '{{\backslash }}I \ne \emptyset $, $\partial I \cap \partial I{\kern 1pt} ' \ne \emptyset $. Привлекая рассуждения с использованием следствия из теоремы 7 работы [9], аналогичные проведенным в работе [10], выводим следующее утверждение.

Предложение 2. Для того чтобы оператор сужения

$U{\kern 1pt} :\;E(\Lambda ,I{\kern 1pt} ') \to E(\Lambda ,I)$
был линейным топологическим изморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы была разрешима следующая интерполяционная задача: для любой функции $\Psi \in \mathcal{P}(I{\kern 1pt} ')$ существует функция $\psi \in \mathcal{P}(I)$ такая, что разность $(\Psi - \psi )$ обращается в нуль на $\Lambda $.

Пусть, как и выше, $I = \left\langle {c;d} \right\rangle $ – конечный или бесконечный промежуток (символ “〈” может быть как круглой “(”, так и квадратной “[” скобкой, аналогичный смысл имеет символ “〉”). С учетом всего сказанного выше, основные результаты (теоремы 1–3) вытекают из следующего утверждения.

Теорема 4. Пусть последовательность $\Lambda $ и промежуток $I$ таковы, что экспоненциальная система $\mathcal{E}xp(\Lambda )$ не полна в $\mathcal{E}(I)$.

I. 1) Если $2\pi {{D}_{{sd}}}(\Lambda ) < \left| I \right|$ и выполнены оба соотношения (6), то интерполяционная задача из предложения 2 разрешима для пары пространств $\mathcal{P}$ и $\mathcal{P}(I)$.

2) Если $2\pi {{D}_{{sd}}}(\Lambda ) > \left| I \right|$ или ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) = + \infty $, то интерполяционная задача из предложения 2 не разрешима ни для какой пары пространств $\mathcal{P}(I{\kern 1pt} ')$ и $\mathcal{P}(I)$.

3) Если ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) < + \infty $ и выполнено первое (второе) из соотношений (6), то интерполяционная задача из предложения 2 разрешима для пары пространств $\mathcal{P}\left( {( - \infty ;\left. d \right\rangle } \right)$ (соответственно, $\mathcal{P}\left( {\left\langle c \right.; + \infty )} \right)$) и $\mathcal{P}(I)$.

II. Предположим, что существует промежуток $I{\kern 1pt} '$, удовлетворяющий условиям: $I{\kern 1pt} '{{\backslash }}I\, \ne \,\emptyset $, $\partial I{\kern 1pt} '\, \cap \,\partial I\, \ne \,\emptyset $такой, что $\mathop {sup}\limits_{t \in I} \in \overline {I{\kern 1pt} '} $ (или $\mathop {inf}\limits_{t \in I} \in \overline {I{\kern 1pt} '} $) и для пары пространств $\mathcal{P}(I{\kern 1pt} ')$ и $\mathcal{P}(I)$ разрешима интерполяционная задача из предложения 2.

Тогда ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) < + \infty $, $2\pi {{D}_{{sd}}}(\Lambda ) \leqslant \left| I \right|$ и выполнено первое (соответственно, второе) из соотношений (6).

4. Заключительные замечания.

1. Если $I = ( - \infty ;\left. d \right\rangle $ (или $I = \left\langle c \right.; + \infty )$), то выполнение первого (или, соответственно, второго) из соотношений (6), в совокупности с требованием ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) < + \infty $, представляет собой необходимое и достаточное условие разрешимости интерполяционной задачи из предложения 2 для пары пространств $\mathcal{P}$ и $\mathcal{P}(I)$.

2. В настоящий момент нам не известно, существует ли для заданного конечного промежутка I последовательность $\Lambda \subset \mathbb{C}$, удовлетворяющая соотношениям (6) и такая, что $2\pi {{D}_{{sd}}}(\Lambda ) = \left| I \right|$, а интерполяционная задача из предложения 2 не разрешима для пары пространств $\mathcal{P}$ и $\mathcal{P}(I)$. Однако нами построена функция $F \in \mathcal{P}$ со следующими свойствами: F не является медленно убывающей, ${{D}_{{BM}}}({{\Lambda }_{F}}) = {{D}_{{sd}}}({{\Lambda }_{F}})$, где ${{\Lambda }_{F}}$ – нулевое множество функции $F$.

3. В связи с приведенными в настоящей работе результатами (теоремы 1–4) представляет интерес умение определять, является ли заданная последовательность $\Lambda \subset \mathbb{C}$, ${{D}_{{BM}}}(\Lambda ) < + \infty ,$ нулевым (под-)множеством медленно убывающей функции? В работе [11] нами получен ряд результатов в этом направлении. Например, используя тот же подход, что и в [11], можно показать, что для последовательности $\Lambda = \{ {{\lambda }_{j}}\} $, удовлетворяющей обоим неравенствам (6), требование ${{D}_{{sd}}}(\Lambda ) < + \infty $ влечет следующее соотношение:

${{n}_{{\operatorname{Re} \Lambda }}}(x,1) = O(\ln \left| x \right|),\quad \left| x \right| \to + \infty ,$
где ${{n}_{{\operatorname{Re} \Lambda }}}(x,1)$ – число точек последовательности $\operatorname{Re} \Lambda = \{ \operatorname{Re} {{\lambda }_{j}}\} $ в промежутке $[x - 1;x + 1].$

Список литературы

  1. Aleman A., Korenblum B. Derivation-Invariant Subspaces of ${{C}^{\infty }}$. Computation Methods and Function Theory. 2008. V. 8. № 2. P. 493–512.

  2. Абузярова Н.Ф. Спектральный синтез в пространстве Шварца бесконечно дифференцируемых функций // ДАН. 2014. Т. 457. № 5. С. 510–513.

  3. Koosis P. Logarithmic Integral II. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

  4. Aleman A., Baranov A., Belov Yu. Subspaces of ${{C}^{\infty }}$ invariant under the differentiation // J. Functional Analysis. 2015. V. 268. P. 2421–2439.

  5. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division, IV // Amer. J. Math. 1960. V. 57. № 1. P. 522–588.

  6. Berenstein C.A., Taylor B.A. A new look at interpolation theory for entire functions of one variable // Adv. in Math. 1980. V. 33. P. 109–143.

  7. Abuzyarova N.F. On conditions of invertibility in the sense of Ehrenpreis in the Schwartz algebra // Lobachevskii J. Math. 2021. V. 42. № 6. P. 1141–1153.

  8. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986.

  9. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF). Математика. Сб. пер. иностр. ст. 1958. Т. 2. № 2. С. 77–107.

  10. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Аналитическое продолжение // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37. № 4. С. 931–945.

  11. Абузярова Н.Ф. Обратимые по Эренпрайсу функции в алгебре Шварца // ДАН. 2019. Т. 484. № 1. С. 7–11.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления